文档内容
14.2.2 完全平方公式 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.
2.灵活应用完全平方公式进行计算.
二、教学重、难点：
重点：完全平方公式的推导过程，结构特点与公式的应用.
难点：完全平方公式结构特点及其应用.
四、教学过程：
问题引入
一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品
种.
你能用不同的方法表示试验田的总面积吗？
①总面积=(a+b) 2
②总面积=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
知识精讲
探究：计算下列各式，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)=_________；(2) (m+2)2=_________；
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4) (m-2)2=_________.
计算：(a+b)2，(a-b)2.
(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2完全平方公式
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
思考1：你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？
思考2：观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数；
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a,b有什么关系？它的符号与什么有关？
【归纳】公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
典例解析
例1.运用完全平方公式计算：
( 1) 2
y−
2
(1) (4m+n)2 (2)
解：(1) (4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2
( 1) 2 1 (1) 2 1
y−
(2) 2 =y2-2·y·2+ 2 = y2-y+4
【针对练习】运用完全平方公式计算：
(3 2 ) 2
x− y
4 3
(1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4)解：(1)原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36
(2)原式= y2-2·y·5+52 = y2-10y+25
(3)原式=(5-2x)2 = 52-2·5·2x+(2x)2 = 25-20x+4x2
(3 ) 2 3 2 (2 ) 2 9 4
x x y y x2 −xy+ y2
(4)原式= 4 -2·4 ·3 + 3 = 16 9
例2. 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 (2) 992
解：(1) 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404
(2) 992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801
【针对练习】利用完全平方公式简便计算：
(1)20192； (2)1012+992．
（1）解：原式= = = = ；
(2020-1) 2 20202-4040+12 4080400-4040+1 4076361
（2）解：原式= = =
(100+1) 2+(100-1) 2 10000+200+1+10000-200+1 20002
思考：(a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2
(a-b)2与a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
例3.计算：
(1) (2) .
(2x+ y) 2+(2x+ y)(2x- y)-8x2； (a+2b)(a-2b)+(3a-2b) 2
（1）解：原式＝4x2+4xy+ y2+4x2- y2-8x2
=4xy；
（2）解：原式=a2-4b2+9a2-12ab+4b2
=10a2-12ab
【针对练习】计算：
(1) (2)2(x﹣1)2 ﹣x(x﹣2)+(3x﹣2)(3x+2).
[(x- y) 2+(x+ y) 2](x2- y2);
（1）解原式=
[x2-2xy+ y2+x2+2xy+ y2](x2- y2)=
2(x2+ y2)(x2- y2)
=2x4-2y4；
（2）解原式=2x2-4x+2-x2+2x+9x2-4
=10x2﹣2x﹣2．
例4.化简求值：已知 ，求代数式 的值．
x2+x-5=0 (x-1) 2-x(x-3)+(x+2)(x-2)
解：∵x2+x-5=0，
∴x2+x=5，
原式＝x2-2x+1-x2+3x+x2-4
=x2+x-3，
∵x2+x=5，
∴原式=5-3=2．
例5.若x2-2mx+16是完全平方式，则m的值为（ ）
A．8 B．±8 C．4 D．±4
【分析】解：∵x2-2mx+16=x2-2mx+42，
∴-2mx=±2⋅x⋅4，
∴m=±4．
故选：D
例6.（1）已知 ， ，求① 的值；② 的值；
x+ y=7 xy=2 x2+ y2 (x- y) 2
1
（2）已知x2-3x+1=0，求x2+ 的值．
x2
解：（1）①∵x+ y=7，xy=2，
，
∴(x+ y) 2=x2+2xy+ y2
．
∴x2+ y2=(x+ y) 2-2xy =72-2×2 =49-4 =45
② ，
∵(x+ y) 2=(x- y) 2+4xy
．
∴(x- y) 2=(x+ y) 2-4xy=49-4×2=41
（2）∵x2-3x+1=0，且x≠0，1
∴x+ =3，
x
1 2
∴(x+ ) =9，
x
1
∴x2+2+ =9，
x2
1
∴x2+ =7．
x2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.计算: (1) (a+5)2=_________;(2) 1012=________.
2.若(3x+a)2=9x2+bx+4,则a+b的值为_______.
3.将 4 个数 a, b，c, d 排成 2 行 2 列，两边各加一条坚直线记为 ，定义
，上述记号就叫做2阶行列式.若 ,则x=_____.
4．下列计算正确的是（ ）
A. B.
(-x- y) 2=-x2-2xy- y2 (4x+1) 2＝16x2+8x+1
C. D.
(2x-3) 2 ＝4x2+12x-9 (a+2b) 2 ＝a2+2ab+4b2
5．计算 的结果是（ ）
(2x-1) 2-4(x-3)(x+3)
A．4x-37 B．-4x+37 C．-2x+37D．-4x-35
6．计算：9992-998×1002=（ ）
A.﹣2000 B.﹣1995 C.2000 D.1995
7．若 ，则 的值为（ ）
(m-n) 2=24,mn=2 m2+n2
A．26 B．24 C．20 D．288．如果x2-kxy+16 y2是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．4 B．±8 C．8 D．±4
4
9．已知a2-a-2=0，则a2+ 等于（ ）
a2
A．3 B．5 C．-3 D．1
1
10.先化简，再求值： (3a5b3+a4b2)÷(-a2b) 2 -(2+a)(2-a)-(a-b) 2，其中a=- ，b=2．
5
11．已知（x＋y）2＝1，（x－y）2＝49，求：
(1)xy的值；
(2)x2＋y2的值．
12.如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接
绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为 6a米，四条小路
b
的长与宽都为b米和 米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元．
2
(1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简．
(2)若a＝6，b＝6，计算草坪的造价．
13.若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m，n的值．
解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴ ( )=0，
(m2-2mn+n2)+
即( )+( )=0．
根据非负数的性质，得m=n= ．
(1)阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；
(2)设等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2-4a-6b+13=0，求△ABC的周
长．
【参考答案】1.（1）a2+10a+25 （2）10201
2.±14
3.3
4.B
5.B
6.B
7.D
8.B
9.B
10.解原式
=(3a5b3+a4b2)÷a4b2-(4-a2)-(a2-2ab+b2)
=3ab+1-4+a2-a2+2ab-b2
=5ab-3-b2，
1
将a=- ，b=2代入，
5
原式=5ab-3-b2=5× ( - 1) ×2-3-22=-9．
5
11.（1）解：因为（x+ y）2-（x- y）2=4xy
1
可得：xy= ×（1-49）=-12；
4
（2）因为（x+ y）2+（x- y）2=2x2+2y2，
1
可得：x2+ y2= ×（1+49）=25．
2
12.（1）解：根据题意得：阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减
去中间小正方形的面积，
b
∴草坪（阴影）面积为：6a×6a-4×b× -(6a-2b) 2
2
=36a2-2b2-36a2+24ab-4b2
平方米；
=(-6b2+24ab)
（2）解：草坪的造价为： 元．
(-6×62+24×6×6)×30=19440
13.（1）解：完善例题的解题过程：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，
∴ ，
(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0
即 ，
(m-n) 2+(n-4) 2=0
∴m=n=4；
（2）解：∵a2+b2-4a-6b+13=0，
∴ ，
(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0
∴ ，
(a-2) 2+(b-3) 2=0
∴a−2=0且b−3=0，
∴a=2，b=3，
∵等腰△ABC的三边长为：a、b、c，
∴当c=a时，三边分别为：2、2、3，此时能围成三角形，△ABC的周长=2+2+3=7；
当c=b时，三边分别为：2、3、3，此时能围成三角形，△ABC的周长=2+3+3=8；
综上所述，等腰△ABC的周长为7或8．
四、教学反思：
