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14.3.3 运用完全平方公式因式分解
夯实基础篇
一、单选题：
1．多项式 与 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用平方差公式、完全平方公式对两个多项式进行因式分解，再根据公因式的定义即可得．
【详解】解： ，
，
则多项式 与 的公因式是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用公式法进行因式分解、公因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据提取公因式法和公式法进行因式分解，逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键．3．已知下列多项式：① ；② ；③ ；④ ．其中，能用完全
平方公式进行因式分解的有（ ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的结构 ，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：① 不能用完全平方公式进行因式分解；
② ，能用完全平方公式进行因式分解；
③ 不能用完全平方公式进行因式分解；
④ ，能用完全平方公式进行因式分解；
因此能用完全平方公式进行因式分解的有②④．
故选：C．
【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．计算：1252-50×125+252=( )
A．100 B．150 C．10000 D．22500
【答案】C
【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．
故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．
5．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是( )
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】对3a2+3b2+6ab利用完全平方的方法进行因式分解,将a+b=-1代入即可求值.
【详解】解：∵3a2+3b2+6ab=3（a+b）2,
∵a+b+1=0，即a+b=-1，
∴原式=3×（-1）2=3,
故选C.【点睛】本题考查了用完全平方的方法化简求值,属于简单题,熟悉整体代入的思想,用完全平方的方法因式
分解是解题关键.
6．如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为a、 ，周长为20，面积为
16，请计算 的值为（ ）
A．96 B．480 C．320 D．160
【答案】A
【分析】根据长方形的周长和面积求出a+b和ab的值，根据完全平方公式的变形得到a-b的值，对多项式
进行因式分解，整体代入求值即可．
【详解】解：∵长方形的边长为A、b（a＞b），周长为20，面积为16，
∴2（a+b）=20，ab=16，
∴a+b=10，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=102-4×16=100-64=36，
∵a＞b，
∴a-b=6，
∴原式=ab（a-b）=16×6=96．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，掌握（a-b）2=（a+b）2-4ab是解题的关键．
7．若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3，1 D．﹣1，3
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的运算判断即可．
【详解】∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．【点睛】此题考查使用完全平方公式的条件，属于基础题．
二、填空题：
8．多项式x3+x2，x2+2x+1，x2-1的公因式是______ ．
【答案】
【分析】把第一个多项式用提取公因式的方法因式分解，把第二个多项式用完全平方和公式进行因式分解，
把第三个多项式用平方差的公式进行因式分解，然后找到其中相同的因式即为公因式.
【详解】
由分解的结果可知，公因式为
故答案为
【点睛】本题考查了因式分解的直接提公因式法和公式法，涉及到的因式分解的公式有平方差公式
和完全平方和公式 .
9．在多项式：①x2+2xy-y2 ②- x2+2xy-y2 ③ x2+xy+y2 ④ 1+x+ 中，能用完全平方公式分解因式的是
__________（填序号即可）
【答案】②④
【分析】能用完全平方公式分解因式的多项式必须是完全平方式，即符合a2±2ab+b2结构，由此对各项判
定后即可解答．
【详解】①所给出的多项式不符合完全平方式，故不能用完全平方公式分解因式．
②- x2+2xy-y2=-（ x2-2xy+y2）=-（x-y）2．
③所给出的多项式不是完全平方式，故不能用完全平方公式分解因式．
④1-x+ =（1- ）2．
∴②④能用完全平方公式分解因式．
故答案为②④．
【点睛】本题考查了用完全平方公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构．
10．因式分解： __________．
【答案】（m+3）2##（3+m）2【分析】先计算第一部分的乘法运算，再运用公式法分解因式即可．
【详解】解：
＝m2+6m+9
＝（m+3）2．
故答案为：（m+3）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
11．分解因式：﹣8a3b+8a2b2﹣2ab3＝_____．
【答案】﹣2ab（2a﹣b）2
【分析】先提取公因式-2ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式＝﹣2ab（4a2﹣4ab+b2）
＝﹣2ab（2a﹣b）2，
故答案为：﹣2ab（2a﹣b）2．
【点睛】本题考查提公因式法，公式法分解因式，解题的关键在于提取公因式后要继续进行二次分解因式．
12．分解因式： _____．
【答案】
【分析】把（x-y）看成整体，利用完全平方公式分解即可．
【详解】
=
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
13．若 ，则 的值是____________．
【答案】18
【分析】先因式分解，再整体代入计算即可．
【详解】故答案为：18
【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据完全平方公式进行因式分解再整体代入是解题的关键．
14．计算 的结果是___________．
【答案】400
【分析】根据完全平方公式进行简便计算即可．
【详解】解：
=
=
=400；
故答案为400．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用完全平方公式公式进行简便计算是解题的关键．
三、解答题：
15．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式 ，然后根据平方差公式因式分解；
（2）先提公因式 ，然后根据完全平方公式因式分解；（3）先提公因式 ，，然后根据平方差公式因式分解；
（4）先提公因式 ，即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：原式＝
；
（3）
解：原式＝
；
（4）
解：原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．已知 ，先因式分解，再求值： ．
【答案】 ；
【分析】先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：当 ， 时，
原式 ．
【点睛】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是提出公共因式．
17．如图1、图2所示，其中 ．
(1)用含a、b的代数式表示它们阴影面积，则 ______， ______；
(2)因式分解 ，并求出当 ， 时式子的值．
【答案】(1) ，
(2) ，6
【分析】（1）根据正方形的面积公式列代数式即可；
（2）根据（1）得出的结果因式分解，再代入数据即可求解．
（1）
解：图1的面积是 ；
图2的面积是 ；
故答案为： ； ；
（2）
解：
==
=
= ，
当 ， 时，原式= ．
【点睛】此题考查了因式分解，列代数式，用到的知识点是正方形的面积公式，多项式的乘法，关键是根
据所给出的图形列出相应的代数式．
能力提升篇
一、单选题：
1．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【答案】D
【分析】计算x，y的差，利用完全平方公式将a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4转化为 ，再根据平方的非
负性解题．
【详解】解：x-y= a2﹣6ab+9b2-（4a﹣12b﹣4）
a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（ ）
A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数
【答案】A
【分析】先把原式化为 ，结合完全平方公式可得原式可化为 从而
可得答案.
【详解】解：x2－4x＋y2－6y＋13故选A
【点睛】本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“
”是解本题的关键.
3．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足 ，则此三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【分析】先移项，将等式右边化为0，再结合完全平方公式及平方数的非负性解题即可．
【详解】
是等边三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的应用、等边三角形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
二、填空题：
4．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结
果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为_________．
【答案】
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项
式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【详解】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键．
5．已知为等腰三角形ABC，其中两边 满足， ，则 的周长为
_______________________
【答案】7或8
【分析】先运用平方差公式将等式的前三项因式分解得 ，再根据非负性求出 ， 的值，
再代入求值即可．
【详解】解： ，
，
， ，
当腰为3时，等腰三角形的周长为 ，
当腰为2时，等腰三角形的周长为 ．
故答案为：7或8．
【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方
公式．
6．已知： ，则 的值为________．
【答案】16
【分析】先对等式进行移项，然后配方法因式分解求得a、b得值，最后计算即可.
【详解】解：由 ，
得 ，
即 ，，
，
∴ 或-4，
，
故答案为：16.
【点睛】本题主要考查配方法的应用以及偶次方非负数的性质，熟练掌握配方法因式分解是解题的关键.
三、解答题：
7．某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式
进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：
解：设 ．
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
根据以上解答过程回答以下问题：
(1)第四步的结果继续因式分解得到结果为________；
(2)请你模仿以上方法对多项式 进行因式分解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）检查第四步结果，利用完全平方公式分解即可；
（2）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可．
（1）解：第四步的结果还能继续因式分解，结果为 ．故答案为： ；
（2）解：根据题意，设 ，则
；
∴
【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关
键．
8．阅读材料：
上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据
以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解： ；
(2)求多项式 的最小值；
(3)已知 、 、 是△ABC的三边长，且满足 ，求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；
（2）配方后根据平方的非负性求最小值；
（3）配方后根据非负性求出a，b，c的值即可．
（1）解：
；
；
（2） ，∵ ，
∴多项式 的最小值为 ；
（3）由题意得： ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的周长为 ．
【点睛】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
