文档内容
16.3.2 完全平方公式（第 1 课时完全平方公式）
教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多
项式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分解、分式运算的重要基础。
2. 内容分析
本节课是在学生掌握平方差公式的基础上，聚焦于另一种特殊形式的多项式乘法——两个相同二项式
的乘积，通过规律提炼形成完全平方公式。该公式不仅是简化特定整式乘法运算的重要工具，更是后续学
习因式分解、分式运算等知识的关键基础，其几何背景的探究也进一步深化了学生对“数”与“形”联系
的理解，在代数知识体系中起到承上启下的作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，能利用完全平方公式进行简单的计算和推
理。
（2）经历探索完全平方公式的过程，感受从特殊到一般和数形结合的思想，发展符号意识和几何直
观观念。
2. 目标解析
（1）要求学生把握公式的结构本质：左边是一个二项式的平方（(a+b)2或(a−b)2），右边是三项式
（a2+2ab+b2或a2−2ab+b2），需明确“首平方、尾平方、积的2倍在中央”的特征；同时，通过正方形面
积的分割与组合直观理解公式的几何意义；在应用层面，能识别符合公式特征的算式，准确代入计算，并
进行简单的代数式变形与推理。
（2）学生需从具体实例出发，通过多项式乘法运算、观察结果规律，归纳抽象出完全平方公式的一
般形式，体会从特殊算式到普遍公式的提炼过程；在验证公式时，通过几何图形的面积关系与代数表达式
的对应，感知数与形的内在联系，进而增强用符号表示数量关系的意识（符号意识）和借助图形理解代数
问题的能力（几何直观）。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：一是混淆完全平方公式与平方差公式的结构；二是计算(a ± b)2时出现漏项或符号错误，误写成a2 + b2或a2 − b2；三是对公式中“a”“b”代表多项式时应用困难，难以识别“首项”和
“尾项”。
应对策略：教学中可通过对比(a+b)2与a2 + b2的计算结果，结合几何图形强化对“2ab”项的理解；对
于多项式形式的“a”“b”，采用换元法举例，并设计分层练习从简单到复杂逐步巩固，减少结构混淆与符号
错误。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能利用完全平方公式进行简单的计算和推理。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 上一节课，我们学习了多项式乘法的特殊形式：(a+b)(a−b)，得到了平方差公式，你能说一说
平方差公式的内容吗？
答 符号语言 (a+b)(a−b)=a2−b2.
文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差．
问题2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项相反；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式．
本节课，我们继续研究多项式乘法的特殊形式：(a+b)(a+b).
设计意图：通过问题1引导学生回顾平方差公式的符号与文字表述，强化旧知记忆；问题2聚焦公式
应用要点，从结构特征、结果形式等方面回顾公式应用的注意事项。通过关系图直观呈现多项式乘法特殊
形式的关联，以平方差公式为铺垫，自然引出本节课要研究的内容，实现知识的连贯衔接。
（二）合作探究
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（p+1)2 = (p+1)(p+1) = p 2 +2 p +1 .
（2）（m+2)2 = ( m +2)( m +2) = m 2 +4 m +4 .
（3）（p−1)2 = ( p −1) ( p −1 ) = p 2 -2 p +1 .
（4）（m−2)2 = ( m −2)( m −2) = m 2 -4 m +4 .追问1 四个等式的左侧有什么共同特征？
答 都是形如(a±b)2的多项式相乘.
追问2 四个等式的右侧有什么共同特征？
答 都是两项的平方和(a2+b2)加上(或减去)两项乘积的二倍(2ab).
追问3 你能用符号语言描述这个规律吗？
答 (a±b)2=a2±2ab+b2.
问题3 你能证明(a±b)2=a2±2ab+b2吗？
证明 (a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2 .
证明 (a−b)2=(a−b)(a−b)
=a2−ab−ab+b2
=a2−2ab+b2 .
追问 你能用文字语言描述这个规律吗？
文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和，加上
(或减去)它们的积的2倍．
归纳 （乘法的）完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2. (a−b)2=a2−2ab+b2.
文字语言 两个数(式子)的和 (或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．
思考 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.
设计意图：先让学生计算具体的多项式乘法，通过追问引导观察式子左右特征，自主发现规律，再用
代数运算证明完全平方公式，结合几何图形面积验证，让学生经历“特例探究—归纳猜想—逻辑证明—几
何直观验证”的过程，深度理解完全平方公式的结构、本质，掌握公式推导方法，提升归纳推理、逻辑证
明能力，借助几何图形渗透数形结合思想，强化对公式的直观认知。
（三）典例分析
例3 运用完全平方公式计算：
1
(1) (4m+n)2 ； (2)（y− )2.
2
解 (1)原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2；
1 1 1
(2)原式=(y)2−2·(y)· +( )2=y2−y+ .
2 2 4
例4 运用完全平方公式计算：
(1) 1022； (2) 992.
解 (1)原式=(100+2)2
=(100)2+2×100×2+22
=10 000+400+4
=10 404 ；
(2)原式=(100−1)2
=(100)2−2×100×1+12
=10 000−200+1
=9 801 .
方法总结
应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：
（1）积为二次三项式；
（2）积中两项为两数(式子)的平方和；
（3）另一项是两数(式子)积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
（4）公式中的a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式.
思考 (a+b)2与(−a−b)2相等吗?
答 相等，因为(−a−b)2=(−a)2+2·(−a)·(−b)+(−b)2=a2+2ab+b2=(a+b)2.
(a−b)2与(b−a)2相等吗?
答 相等，因为(b−a)2=b2−2ba+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2.(a−b)2与 a2−b2相等吗?
答 不相等，因为(a−b)2=a2−2ab+b2≠a2−b2.
设计意图：通过例3，例4，让学生掌握完全平方公式在不同形式下的应用，精准识别公式中 “a、b”
代表的内容，使学生学会灵活调用公式，解决复杂运算问题，深化对完全平方公式的理解与应用。同时，
培养学生规范书写解题过程的习惯，提升运算能力与逻辑思维。
（四）巩固练习
1. 下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正?
(1) (a+b)2=a2+b2； (2) (a−b)2=a2−ab+b2；
不正确，原式=a2+2ab+b2. 不正确，原式=a2−2ab+b2.
(3) (−x +y)2 =x2+2xy +y2； (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2.
不正确，原式=x2−2xy +y2. 不正确，原式=4x2 +4xy +y2.
2. 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( D )
A．(a−b)2 B．(−a−b)2 C．−(a＋b)2 D．−(a−b)2
3. 运用完全平方公式计算：
3 2
(1) (x+6)2 ； (2) (y−5)2 ； (3) (−2x+5)2 ； (4) ( x − y)2 .
4 3
解 （1）原式=x2+2×6x+62=x2+12x+36.
（2）原式=y2−2×5y+52=y2−10y+25.
（3）原式=(−2x)2+2×5·(−2x)+52=4x2−20x+25.
3 3 2 2 9 4
（4）原式=( x)2−2·( x)·( y)+( y)2= x2−xy+ y2.
4 4 3 3 16 9
4. 运用完全平方公式计算：
(1) 982 ； (2) 70.52 .
解 (1)原式=(100−2)2
=(100)2−2×100×2+22
=10 000−400+4
=9 604 ；
(2)原式=(70+0.5)2
=(70)2+2×70×0.5+0.52
=4 900+70+0.25
=4 970.25 .
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2025·山西）下列运算正确的是（ B ）
A．2a+3b=5ab B．m2 ⋅m4=m6
C．
(a−b) 2=a2−b2
D．
(2m2) 3 =6m6
2．（2025·广东深圳）下列计算正确的是（ B ）
A．
a2+a4=a6
B．
a3 ⋅a3=a6
C．
(a2) 3 =a5
D．
(a+b) 2=a2+b2
3．（2023·内蒙古赤峰）已知 ，则 的值是（ D ）
2a2−a−3=0 (2a+3)(2a−3)+(2a−1) 2
A．6 B．−5 C．−3 D．4
4．（2024·陕西）先化简，再求值： ，其中 ， ．
(x+ y) 2+x(x−2y) x=1 y=−2
解：
(x+ y) 2+x(x−2y)
=x2+2xy+ y2+x2−2xy
=2x2+ y2；
当x=1，y=−2时，
原式 ．
=2×12+(−2) 2=2+4=6设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，
检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理整式乘法的相关知识，构建清晰、完整的知识网络，让学生直观
感知知识之间的联系。同时体现乘法公式是“多项式×多项式”的特殊形式。
（八）布置作业
1.必做题：习题16.3 第2，4，5题.
2.探究性作业：习题16.3 第7题.
五、教学反思
