文档内容
第十九章 一次函数
19.4 一次函数的实际应用 分层作业
题型目录
考查题型一 分配方案问题
考查题型二 最大利润问题
考查题型三 行程问题
考查题型四 几何问题
考查题型一 分配方案问题
一、单选题
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再
按每千米 元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车
方案，则他的行驶里程是（ ）
A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和
B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案．
【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，
A方案：一共需要花费： ，
B方案∶ 一共需要花费： ，
若选择A方案， ，解得： ，
若选择B方案，得 ，
由于 ，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800米，
故选：C．
2．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、
教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30租金（单位：元/辆） 400 280
则最节省费用的租车方案是（ ）
A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆
C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆
【答案】A
【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7
辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，
，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解．
【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大
于7辆，
要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于 ，客车总数不能小于6，
∴客车总数为6， ，
由题意可得， ，
整理可得 ，
由题意， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 中， ，y随x的增大而增大，
∴x取最小值时，即 ，y有最小值，
即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题
的关键．
二、解答题
3．（22-23八年级下·河南漯河·阶段练习）在“美丽安顺，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购
买垃圾桶方案：方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；
方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元．
设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y 元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共
1
为y 元，交费时间为x个月．
2
(1)直接写出 与x之间的函数关系式；
(2)在同一坐标系内，画出函数 的图象；
(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当时间大于8个月时，方案1省钱；当时间小于8个月时，方案2省钱；当时间等于8个月时，方案1
与方案2一样省钱
【分析】（1）根据总费用=购买垃圾桶的费用+每月的垃圾处理费，进行求解即可；
（2）运用两点法进行作图即可；
（3）观察图象即可求解．
【详解】（1）由题意得， ；
（2）如图所示：（3）由图象可知：
当时间大于8个月时，直线 落在 的下方， ，即方案1省钱；
当时间小于8个月时，直线 落在 的下方， ，即方案2省钱；
当时间等于8个月时， ，即方案1与方案2一样省钱．
【点睛】本题考查了利用一次函数解决实际问题，能够根据题意列出函数关系式，再结合图象求解是解题
的关键．
4．（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司
对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．
在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购
买草皮，其路程和运费单价表如下：
A校 B校
运费单价
路程（千米） 路程（千米） 运费单价（元）
（元）
甲
20 0.15 10 0.15
地
乙
15 0.20 20 0.20
地
(1)设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式；
(2)请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少？
【答案】(1)
(2)当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输费
用最少，最少费用为14400元
【分析】（1）根据总运费 A校的费用+B校的费用求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，求得 ，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）（2）根据题意可得，
∴
∵ ， ，
∴y随x增大而增大，
∴当 时，y最小，此时 ．
答：当甲往A校运1100平方米，往B校运2400平方米，乙往A校运2500平方米，不往B校运草皮时运输
费用最少，最少费用为14400元．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系．
5．（23-24八年级下·全国·假期作业）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础
教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知毛笔的单价为5元，宣纸的单价
为0.36元．该校准备购买毛笔50支，宣纸 张 ，该超市给出以下两种优惠方案．
方案 ：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案 ：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．
设方案 的总费用为 元，方案 的总费用为 元．
(1)请分别求出 ， 与 之间的函数表达式；
(2)若该校准备购买宣纸300张，则选择哪种方案更合算？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)若该校准备购买宣纸300张，则选择方案 更划算，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
（1）根据题意额题目中的数据，可以分别写出 ， 与x之间的函数关系式；
（2）将 代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的y的值，再比较大小，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得， ，
当 时， ，
当 时， ，
由上可得， ， ；
（2）解：若该校准备购买宣纸300张，则选择方案 更划算，
理由：当 时， ， ，
，
若该校准备购买宣纸300张，则选择方案 更划算．
6．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某厂派出车队运送 箱货物到 两地，若用大、小货车
共 辆，则恰好能一次性运完；大货车每辆能装 箱，小货车每辆能装8箱，其运往 两地的运费如下
表：
目的
地 地（元/辆） 地（元/辆）
车型
大货
车
小货
车
(1)求这 辆车中大、小货车各多少辆；
(2)现安排其中 辆货车前往 地，其余货车前往 地．设前往 的大货车为 辆，前往 两地的总运费
为 元，试求出 与 的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往 的货物为 箱，请你写出此时的货车调配方案，并求出总运费；
【答案】(1)大货车8辆，小货车7辆
(2)
(3)前往地 的大货车5辆，前往 地的小货车5辆，前往 地的大货车3辆，前往 地的小货车2辆；运
费 元．
【分析】本题考查了一元一次方程以及一次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设有大货车 辆，则小货车 辆，根据题意列方程 即可求解；（2）分别表示出前往 、 的大货车、小货车得数量即可求解；
（3）根据题意得 ，解出 即可．
【详解】（1）解：设有大货车 辆，则小货车 辆，
，
解得： ，
答：大货车8辆，小货车7辆
（2）解：∵前往 的大货车为 辆，
∴前往 的小货车为 辆，前往 的大货车为 辆，前往 的小货车为 辆，
∴
（3）解：∵运往 的货物为 箱，
∴ ，
解得：
∴总运费为： （元），
此时前往地 的大货车5辆，前往 地的小货车5辆，前往 地的大货车3辆，前往 地的小货车2辆
7．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）某种中性笔在甲、乙两家文具店的标价都是4元/支，在促销活
动期间，两家文具店都进行了优惠活动．
甲文具店：购买不超过20支按原价销售，超过20支，则超出的部分按6折销售；
乙文具店：不论买多少，全部按八折销售．
(1)分别写出在甲、乙两家文具店购买这种中性笔所付总费用 、 （元）与购买支数 之间的函
数表达式；
(2)请你通过计算分析说明促销活动期间在哪家文具店购买划算？
【答案】(1) ；
(2)见解析
【分析】此题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题
意，利用一次函数的性质解答．（1）根据题意得出等量关系即可求解；
（2）根据（1）中的函数表达式，分情况讨论，比较大小即可得到最省钱的购买方案．
【详解】（1）解：甲文具店： ；
乙文具店： ．
（2）当 时，即
解得
∴当 时，在乙文具店购买划算；
当 时，即
解得
∴当 时，在两个文具店花费一样多；
当 时，即
解得
∴当 时，在甲文具店购买划算．
8．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）移动公司手机话费有A套餐（月租25元，通话费每分钟 元）和B
套餐（月租0元，通话费每分钟 元）两种．设A套餐每月话费为 元，B套餐每月话费为 元，月通话
时间为 分钟．
(1)分别表示出 、 与 的函数关系式；
(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样?
(3)什么情况下B套餐更省钱?
【答案】(1) ，
(2)
(3) 时，当月通话时间少于250分钟时，B套餐更划算
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程，
解不等式是解题的关键．（1） 等于通话费用加上月租； 等于通话费用，计算即可．
（2）根据 ，列式计算即可．
（3）根据 ，解不等式计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ， ．
（2）根据题意，得 ，
故 ，
解得 ．
（3）根据题意，得 ，
∴ ，
解得 ，
故当通话时长小于 时，B套餐更省钱．
9．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）初二年级组织师生参加春游，准备租用 两型客车（每种型号
的客车至少租用一辆），A型车每辆租金500元， 型车每辆租金600元，若5辆A型和2辆 型车坐满后
共载客300人；3辆A型和4辆 型车坐满后共载客320人．
(1)每辆A型车、 型车坐满后各载客多少人？
(2)若年级计划租用A型和 型两种客车共14辆，总租金不高于7800元，并将全年级610名师生载至目的
地．则年级有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
【答案】(1)每辆A型车、 型车坐满后各载客 人、 人
(2)共有 种租车方案；租9辆A型车，5辆 型车最省钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意找到
等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．
（1）设每辆A型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设租用A型车 辆，则租用 型车 辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数
解即可得出 的值，设总租金为 元，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设每辆A型车、 型车坐满后各载客 人、 人，由题意得
解得
答：每辆A型车、 型车坐满后各载客 人、 人．
（2）解：设租用A型车 辆，则租用 型车 辆，由题意得：
解得： ，
取正整数，
， ， ，9，
共有 种租车方案；
设总租金为 元，则 ，
，
随着 的增大而减小，
时， 最小
租9辆A型车，5辆 型车最省钱．
10．（22-23八年级下·四川巴中·阶段练习）北京 官方特许商品旗舰店在北京冬奥会召开期间，购进一
批 不同型号的盲盒，购进 个A型号的盲盒和 个， 型号的盲盒需要 元，购进 个A型号的盲盒
和 个 型号的盲盒需要 元．
(1) 不同型号的盲盒单价各是多少元？
(2)该旗舰店计划购进 不同型号的盲盒共 件，其中 型号的盲盒的个数不大于 型号的盲盒个数，
并且计划费用不超过 元，请问有几种购买方案？ 哪种方案最省钱？
【答案】(1)A盲盒的单价为 元， 盲盒的单价为 元；
(2)共有 种购买方案，购买50件A盲盒，50件B盲盒，最省钱．
【分析】（1）设A盲盒的单价为 元， 盲盒的单价为 元，根据购进 个 型号的盲盒和 个 型号的
盲盒需要 元，购进 个 型号的盲盒和 个 型号的盲盒需要 元列方程解方程即可；（2）设该旗舰店计划购进A盲盒共 件，则该旗舰店计划购进 盲盒共 件，根据题意找出数量
关系，列不等式解不等式即可．
【详解】（1）解：设A盲盒的单价为 元， 盲盒的单价为 元，
根据题意可得： ，
解方程得： ，
答：A盲盒的单价为 元， 盲盒的单价为 元．
（2）解：设该旗舰店计划购进 盲盒共 件，则该旗舰店计划购进 盲盒共 件，
根据题意可得： ，
解得： ，
∴ 型号的盲盒个数 分别为： ，
∴共有 种购买方案，
设购买费用为 ，则 ，
，
∵ 随 的增大而增大，
∴当 时， ，即购买 件 盲盒， 件 盲盒，最省钱，
∴答：共有 种购买方案，购买 件 盲盒， 件 盲盒，最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，根据题意找出数量
关系列方程是解题的关键．
11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了
无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需
3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元．
(1)求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
(2)学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A
型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元
(2)买A型无人机34台时花费最少，最少花费56160元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键
是明确题意，利用一次函数得性质和方程的知识解答；
（1）根据2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B 型无人机共需6200元，
可列出相应的二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买A型无入机m台，花费W元，根据题意，先求出m的取值范围，再列出W关于m的函数关系
式，然后根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设A型无人机的单价是x元、B型无人机的单价是y元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：设A型无人机的单价是800元、B型无人机的单价是600元；
（2）设购买购买A型无人机m台，则购买B型无人机 台，花费了W元
购买B型无人机不超过A型无人机的2倍，
，
解得： ，
商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，
，
，
随m的增大而增大，
当m取最小整数34时，W有最小值，
元，
答：买A型无人机34台时花费最少，最少花费是56160元．
考查题型二 最大利润问题
1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）某蔬菜商需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有甲、乙两种型号货车，其租金和运力如表：
(1)若该商人计划租用甲、乙货车共10辆，其中甲货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
租金（元/辆） 最大运力（箱/辆）
甲货
1000 80
车
乙货
600 40
车
(2)在（1）的条件下，若这批蔬菜共520箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费
用的租车方案，并求出最低费用．
【答案】(1) ；
(2)最节省费用的租车方案为：甲货车3辆，乙货车7辆，最低费用为 元．
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出函
数关系式是解题的关键．
（1）根据租金=甲货车的租金+乙货车的租金进行求解即可；
（2）先根据题意求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设计划租甲货车x辆，则计划租乙货车 辆，共需付租金y元，
由题意得 ；
（2）解：据题意 ，
解得： ，
∴ ，
∵ 中，
， 随 的增大而增大，
∴当 时，租车费用 最低，
∴最节省费用的租车方案为：甲货车3辆，乙货车7辆，
最低费用为 （元）．
2．（23-24八年级下·河南郑州·期中）郑州外国语中学为迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作 、
两种纪念章，已知制作3个 种纪念章比制作2个 种纪念章多花140元，制作4个 种纪念章与制作5个 种纪念章所需钱数相同．
(1)求 ， 两种纪念章每个的价格；
(2)设计公司也给出了优惠方案， 种纪念章打九折．若学校打算制作 ， 两种纪念章共300个，且 种
纪念章的个数不多于 种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？
【答案】(1)每个 种纪念章的价格为100元，每个 种纪念章的价格为80元
(2)最少花费26000元
【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用：
（1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方
程组，解出x，y的值即可；
（2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品 个，根据B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，
即可列出关于a的一元一次不等式，从而可求出a的取值范围．设购买奖品的总花费为w元，根据题意可
求出w与a的关系式，最后由一次函数的性质即得出答案．
【详解】（1）解：设每个 种纪念章的价格为 元，每个 种纪念章价格为 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：每个 种纪念章的价格为100元，每个 种纪念章的价格为80元；
（2）解：设购买 种奖品 个，则购买 种奖品 个，
根据题意，得： ，解得： ．
设购买奖品的总花费为 元，
根据题意，得： ，
，
随着 的增大而增大．
当 时， 取得最小值， ．
答：该公司最少花费26000元．3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）我市计划对1000m2的区域进行绿化，由甲、乙两个工程队合作完成．
已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；当两队分别各完成200m2的绿化时，甲队比乙队少用2天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积；
(2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工n天，试用含n的代数式表示乙队施工的天数；
(3)若甲队每天施工费用是0.6万元，乙队每天为0.25万元，且要求两队施工的天数之和不超过15天，应如
何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用
【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 、 ；
(2) 天
(3)安排甲队施工5天，乙队施工10天，可使施工总费用最低，最低费用为5.5万元．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 ，根据两队独立完成面积为 区域的绿化时，
甲队比乙队少用2天，列方程求解；
（2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率即可求解；
（3）设甲队施工 天，由（2）知乙队施工 天，令施工总费用为 万元，求出 与 的函数解析式，
根据 的取值范围以及一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是 ，则甲工程队每天能完成绿化的面积是 ，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是 ，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 、 ；
（2）解：甲队完成的绿化面积： ，
剩余的绿化面积： ，
乙队施工的天数： 天；
（3）解：设甲队施工 天，由（2）知乙队施工 天，令施工总费用为 万元，则 ．
两队施工的天数之和不超过15天，
，
，
当 时， 有最小值5.5万元，此时甲队施工5天，乙队施工10天．
答：安排甲队施工5天，乙队施工10天，可使施工总费用最低，最低费用为5.5万元．
【点睛】本题考查了分式方程，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，
设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
4．（23-24八年级下·全国·课后作业）在国道202公路改建工程中，某路段长 ，由甲、乙两个工程
队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参
与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路 ；甲工程队2
天、乙工程队3天共修路 ．
(1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为 万元，乙工程队每天的施工费用为 万元，要使该工程的施工费
用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？
【答案】(1)甲队每天修路 ，乙队每天修路
(2)甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
【分析】此题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和
一次函数是解题的关键．
（1）设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，根据甲工程队1天、乙工程队2天共修路 ；甲工程
队2天、乙工程队3天共修路 列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，先求出 .设总费用为W万元，得到
.再根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，
解得答：甲队每天修路 ，乙队每天修路 .
（2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，
，
，
∵ ，
∴ ，
解得 .
又∵ ，
∴ .
设总费用为W万元，依题意，得
.
∵ ，
∴当 时， (万元)，
∴ (天).
∴甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元
5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）我校运动会需购买 ， 两种奖品，其中 奖品的单价是 元；
奖品的单价是 元．计划购买 两种奖品共 件，购买费用不超过 元，且 种奖品的数量不大于
种奖品数量的 倍．
(1)求出 种奖品的数量范围；
(2)设购买费用为 元，写出 （元）与 种奖品的数量 （件）之间的函数关系，并确定最少费用 的
值．
【答案】(1) 种奖品的数量范围 ；
(2) ， 最小为 元．
【分析】（ ）根据题意列出不等式组，求解即可；
（ ）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解；
本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设 种奖品的数量是 件，则 种奖品的数量是 件，，
解得： ，
即 种奖品的数量范围 ；
（2）解：由题意得 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∵ ，
∴当 时， 最小，为 （元）．
6．（23-24八年级下·福建福州·期中）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子
是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经
了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购
进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的
利润为W元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
(2)购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设每个甲种粽子的进价为 元，则每个乙种粽子的进价为 元，根据用1000元购进甲种粽子的个
数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）根据总利润 甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式，根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的
2倍求出 的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【详解】（1）设每个甲种粽子的进价为 元，则每个乙种粽子的进价为 元，
根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，此时 ，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）设购进甲种粽子 个，则购进乙种粽子 个，
根据题意得： ，
与 的函数关系式为 ；
甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
，
解得 ，
为正整数）；
∵ ， ， 为正整数，
当 时， 有最大值，最大值为466，
此时 ，
购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
7．（23-24八年级下·陕西西安·期中）初二年级组织师生到秦岭国家植物园研学，准备租用A、B两种型号
的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和
2辆B型车坐满后共载客300人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客320人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若年级计划租用A型和B型两种客车共40辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，则采用哪
种租车方案租金最少？最少租金是多少元？
【答案】(1)每辆 型车坐满后载客40人， 型车坐满后载客50人
(2)租A型车30辆，则租B型车10辆，租金最少，最少租金是21000元
【分析】（1）设每辆 型车坐满后载客 人， 型车坐满后载客 人，可得 ，即可解得每
辆 型车坐满后载客40人， 型车坐满后载客50人；
（2）设租 型车 辆，则租B型车 辆,根据“要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍”，
，设租金为 ，则 ，结合一次函数的性质，即可作答．本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程
组和不等式组．
【详解】（1）解：设每辆 型车坐满后载客 人， 型车坐满后载客 人，
根据题意得 ，
解得 ，
每辆 型车坐满后载客40人， 型车坐满后载客50人；
（2）解：设租 型车 辆，则租 型车 辆，
∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，
∴ ，
解得 ，
设租金为 ，则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
当 ，则 有最小值，且为 ，
即租 型车30辆，则租 型车10辆，租金最少，最少租金是 元．
8．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某校春季运动会开幕式上要进行航模表演．某商店看准商机，推出
了 和 两款飞机模型．该店计划购进两种模型共 个，购进 模型的数量不超过 模型数量的 倍．
、 两款飞机模型的售价、进价如下表所示：
售价 进价
模
型
模型
(1)求商家至少购进多少个 款飞机模型？
(2)如果 模型的进价上调 元 ， 模型的进价不变，但限定 模型的数量不少于 模型的数量，
两种模型的售价均不变．航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是 元，请求出符合条件的 的值．
【答案】(1)商家至少购进 个 款飞机模型
(2)
【分析】本题考查一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，
（1）设购进 模型 个，则购进 模型 个，根据“购进 模型的数量不超过 模型数量的 倍”
可列出关于 的一元一次不等式，解之可得出 的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；
（2）由购进 模型的数量不少于 模型的数量，可列出关于 的一元一次不等式，解之可得出 的取值范
围，结合（1）的结论可确定 的取值范围，根据“总利润＝每个的销售利润×销售数量（购进数量）”找
出利润 关于 的函数关系式，结合 的最大值为 ，可求出 的值，取其符合题意的值，即可得出结
论；
解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找出 关于 的函数关系
式．
【详解】（1）解：设购进 模型 个，则购进 模型 个，
根据题意得： ，
解得： ，
又∵ 为正整数，
∴ 的最大值为 ，
此时 款飞机模型为： （个），
答：商家至少购进 个 款飞机模型；
（2）设售完这批模型可以获得的总利润为 元
根据题意得： ，
解得： ，
又∵ ，且 为正整数，
∴ 且 为整数．
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，
此时 ，
解得： ，
答：符合条件的 的值为 ．
9．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智
慧启发，让人滋养浩然之气”． 我校为提高学生的阅读品味，现决定购买《艾青诗选》和《格列佛游
记》两种读物．已知购买2本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》需35元；购买3本《艾青诗选》与购买
2本《格列佛游记》需 60元．
(1)购买1本《艾青诗选》和1本《格列佛游记》各需多少元？
(2)若班级计划《艾青诗选》和《格列佛游记》共45本，《格列佛游记》的数量不少于《艾青诗选》数量
的2倍，设购买《艾青诗选》m本，求购买读物所需最少费用是多少元？
【答案】(1)《艾青诗选》的单价10元，《格列佛游记》的单价15元．
(2)600元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式、一次函数的应用，明确题意，准确得到数量
关系是解题的关键．
（1）设《艾青诗选》的单价 元，《格列佛游记》的单价 元．根据“购买2本《艾青诗选》和1本《格
列佛游记》需100元；购买3本《艾青诗选》与购买2本《格列佛游记》需 60元．”列出方程组，即可求
解；
（2）设需要购买《艾青诗选》 本．则购买《格列佛游记》 本，根据“《格列佛游记》的数量不
少于《艾青诗选》数量的2倍，”列出不等式，即可求出m的取值范围，再列出费用关于m的函数解析式，
根据一次函数的性质求得最小值即可求解．
【详解】（1）解：设《艾青诗选》的单价 元，《格列佛游记》的单价 元．根据题意可得：
，解得 ，答：《艾青诗选》的单价10元，《格列佛游记》的单价15元．
（2）解：设需要购买《艾青诗选》 本．则购买《格列佛游记》 本，根据题意：
，
解得 ，
购买读物所需费用 ，
∵ ，故 随 增大而减小，
∴当 时，购买读物所需费用最少是 （元）
答：购买15本《艾青诗选》，30本《格列佛游记》，购买读物所需费用最少，最少费用是600元．
10．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯
的进价、售价如下表：
类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）
A型 30 45
B型 50 70
(1)若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各进多少盏．
(2)若设商场购进A型台灯m盏，销售完这批台灯所获利润为P，写出P与m之间的函数关系式．
(3)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型台灯各进多少盏售完之后获得
利润最多？
【答案】(1)应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；
(2) ；
(3)商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元
一次方程的应用．
（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为 盏，然后根据进货款 型台灯的进货款 型台
灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利P元，然后根据总利润 型台灯的利润 型台灯的利润列出方程求
解即可；
（3）首先求出m的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．【详解】（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为 盏，
根据题意得， ，
解得 ，
所以 ，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利P元，
则 ，
，
，
即 ；
（3）∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍，
∴ ，
∴ ，
∵ ，P随m的增大而减小，
∴ 时，P取得最大值
∴商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多．
11．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）疫情过后，地摊经济逐步步入大众视野，某个体户购买
了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要118元；若购进腊梅8束，百合6束，
需要214元．
(1)求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？
(2)若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90
束，计划购买成本不超过1400元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的 ，两种鲜花全部销售完时，求销
售的最大利润及相应的进货方案．
【答案】(1)腊梅的进价是11元/束，百合的进价是21元/束；
(2)当购进腊梅54束，百合36束时，销售的最大利润为738元．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一次函数，一元一次不等式组的应用，熟练掌握利润与进
购量之间的数量关系是解决问题的关键．（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进腊梅m束，则购进百合 束，根据题意列出不等式组求出 ，然后表示出总利
润 ，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，
根据题意得： ，
解得： ．
答：腊梅的进价是11元/束，百合的进价是21元/束；
（2）解：设购进腊梅m束，则购进百合 束，
根据题意得： ，
解得： ，
设购进的两种鲜花全部销售完后获得的总利润为w元，
则 ，
即 ，
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
∴当 时，w取得最大值， （元），
此时 （束）．
答：当购进腊梅54束，百合36束时，销售的最大利润为738元．
12．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）某陕北特产店铺将红枣和小米这两种特产从线下销售转为线上
销售，此前网店运营了一段时间，根据此阶段销售经验，下一个季度该网店预计可以销售该种红枣和小米
共 ．已知该网店销售红枣的利润为20元 ，销售小米的利润为8元 ．设该网店下一个季度销
售红枣的质量为 ．(1)下表为该网店销售红枣的质量 与销售红枣与小米所获利润的关系，根据题意填表：
销售红枣的质量 100 500 1000 1500 …
销售红枣的利润/元 2000 20000 …
销售小米的利润/元 15200 8000 …
(2)设该网店下一个季度销售红枣的利润为 元，销售小米的利润为 元，分别求出 ， 关于 的函数
解析式；
(3)若该种红枣的销售量不低于 ，则该网店下一个季度销售该种红枣和小米至少能够获得利润多少元？
【答案】(1)填表见解析
(2) ，
(3)23200
【分析】此题考查了一次函数的应用，有理数乘法的应用，
（1）根据利润等于质量乘以单价求解即可；
（2）已知红枣的销售量为 ，则小米的销售量为 ，根据利润等于质量乘以单价求解即可；
（3）设该网店下一个季度销售该种红枣和小米所获得的总利润为y元，然后根据 ，
然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵销售红枣的利润为20元 ，
∴销售红枣的质量为 时，利润为 （元）；
销售红枣的质量为 时，利润为 （元）；
∵销售红枣的利润为8元 ，
∴销售红枣的质量为 时，利润为 （元）；
销售红枣的质量为 时，利润为 （元）；
填表如下：
销售红枣的质量 100 500 1000 1500 …销售红枣的利润/元 2000 10000 20000 30000 …
销售小米的利润/元 15200 4000 8000 12000 …
（2）已知红枣的销售量为 ，则小米的销售量为 ，
∵该网店销售红枣的利润为20元/ ，
∴下一个季度销售红枣的利润为 ，
∵销售小米的利润为8元/ ，
∴下一个季度销售小米的利润为 ；
（3）由该种红枣的销售量不低于 可得， ，
设该网店下一个季度销售该种红枣和小米所获得的总利润为y元，
则 ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y最小，最小值为 ，
∴该网店下一个季度销售该种红枣和小米至少能够获得利润23200元．
13．（23-24八年级下·山东青岛·期中）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，
乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购
进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②利群商场对甲种服装每件降价 元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如
何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；
(2)①甲种服装最多购进75件；②当 时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元； 时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是
分类讨论思想的应用．
（1）设甲种服装每件的进价 元，根据题意得： ，解出 的值可得答案；
（2）①设甲种服装购进 件，根据甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元得不
等式组，求出 范围可知甲种服装最多购进75件；
②设获得利润为 元，根据题意得 ，分三种情况讨论可得
答案．
【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价 元，则乙种服装每件的进价 元，
根据题意得： ，
解得 ，
，
甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；
（2）解：①设甲种服装购进 件，
甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元，
，
解得 ；
甲种服装最多购进75件；
②设获得利润为 元，
根据题意得： ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；
当 时，所有进货方案利润都是4000元；
当 时， 随 增大而减小，
当 时， 取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
综上所述，当 时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当 时，所有进货方案利
润都是4000元； 时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
考查题型三 行程问题
一、单选题1．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函
数图象，图中 （单位：米）和 （单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：
①甲让乙先跑了12米；
②射线 表示甲的路程与时间的函数关系；
③甲的速度比乙快1.5米/秒；
④8秒钟后，甲超过了乙
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用．结合函数图象逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得，甲让乙先跑了12米，故①正确；
甲的速度比乙快，
射线 表示乙的路程与时间的函数关系，故②错误；
（米 秒）， （米 秒），
甲的速度比乙快 （米 秒），故③正确；
由图象可知，8秒后甲超过了乙，故④正确；
正确的有①③④，故3个；
故选：C．
2．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）如图，小刚骑电动车到单位上班，最初以某一速度匀速行进，由于
途中遇到火车挡道，停下等待放行，耽误了几分钟，小刚加快了速度，仍保持匀速，行进距离y（千米）
与行进时间t（小时）的函数图象的示意图（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了函数图象，首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：时间t和运动的
路程y之间的关系采用排除法求解即可．
【详解】解：开始随着时间的增多，行进的路程也将增多；由于途中遇到火车挡道，停下等待放行，此时
时间在增多，行驶路程不变，因此排除B；后来加快了速度，仍保持匀速行进，此时行驶的路程随时间的
增多，行驶的路程也增多，且比开始时，路程增加的比开始要快，因此可以排除 ，故C正确．
故选：C．
二、解答题
3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图
所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子
问题耽误了一些时间．图中 ．根据图形所提供的信息，回答下列问题：
(1)甲在途中耽误了______分钟；
(2)乙跑步的速度是______米/分；
(3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分．
【答案】(1)10
(2)75
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和速度的相关知识解答
即可．（1）根据函数图像的数据可以得到答案；
（2）先求出 的表达式，再利用 求出 的 值，求出 的表达式，从而求出 点的坐标，最
后利用速度 路程 时间求出速度即可；
（3）分别求出甲到达终点要用的时间和需要走的路程，最后用速度 路程 时间求出速度即可．
【详解】（1）解：由图像可知甲是从 ，所以 是耽误的时间，
(分钟)
（2）由图像可知 是正比例函数，
设 的表达式是 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
，
设 的表达式为 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
，
当 时，代入 解得 ，
，
乙的速度为： (米/分)
（3） (分钟)
(米)
(米/分)
4．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x
（千米）的函数图像（由两条线段构成）．
(1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当 时，消耗一升油
汽车能行驶的路程为________千米．(2)当 时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量．
【答案】(1)240；10
(2) ，21升
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求关系式是解题的关键．
（1）根据图象可得汽车已行驶的路程，根据50升时行程为0千米和26升时程为240千米可得汽车的耗油
量．
（2）利用待定系数法得到函数关系式，再把 代入可剩余量．
【详解】（1）由图象可得，当油箱剩油量为26升时汽车已行驶的路程为240千米，
∵ （千米/升），
∴消耗一升油汽车能行驶的路程为10千米．
（2）设 ，把 和 代入可得，
，
解得 ，
∴函数表达式为 ，
当 时， ．
答：y关于x的函数表达式为 ，当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量是21升．
5．（23-24八年级下·河北唐山·期中） ， 两地相距 ，甲、乙两车分别从 地和 地同时出发相向
而行．他们距 地的路程 和出发后的时间 （ ）之间的函数关系的图象如图所示．(1)分别求出甲、乙两车距 地的路程 与时间 的函数关系式；
(2)求甲乙两车相遇的时间；
(3)直接写出两车相距 千米时 的值；
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）：依题意，设甲车离开 地的距离 与 的关系式为： ，设乙车离开 地的距离 与 的关系式
为： ，待定系数法求解析式，即可求解．
（2）根据题意，由（1）中的关系式，令两车的路程相等，解方程，即可求解；
（3）根据两车相距 千米，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，设甲车离开 地的距离 与 的关系式为：
当 时，
即：
，
，
设乙车离开 地的距离 与 的关系式为：
观察图象可知： 时， ； 时，
解得： ，
乙车离开 地的距离 与 的关系式为：
（2）依题意可得：解得
（3）解：依题意， 或
解得： 或
6．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，
甲、乙两车离开A城的距离 （千米）、 （千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所
示．
(1)A，B两城相距________千米；
(2)分别求出甲乙两车离开A城的距离 和 关于t的函数关系式；
(3)乙车行驶过程中，当甲、乙两车相距50千米时，求出乙车行驶的时间．
【答案】(1)300
(2) ，
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）根据函数图象分析即可求解；
（2）设出直线的直线解析式，利用待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据题意可得 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，A，B两城相距300千米，
故答案为：300；（2）解：设 把 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ；
设
把 ， 代入代入 中得 ，
∴
∴ ；
（3）解：由题意得， ，
∴
∴ 或
解得 或
∴乙行驶的时间为 或 。
7．（2024八年级下·上海·专题练习）如图， 与 分别是根据 步行与 骑自行车在同一路上行驶的路程
与时间 的关系式所作出的图象，根据图象填空．
(1) 出发骑了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是 ___________小时； 从起点出发后
___________小时与 相遇；
(2)如果 的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进，___________小时与 相遇，相遇点离 的出发点___________千米．
【答案】(1)1，3
(2) ，
【分析】本题考查一次函数的应用：
（1）修理的时间就是路程不变的时间是 小时，从图象看出3小时时，两个图象相交，所以3小
时时相遇；
（2）求出 不发生故障时的解析式和 的解析式，再求出两直线的交点坐标，即可得出答案．
【详解】（1）解：在图中发现0.5至1.5小时，自行车没有行走，
修理所用的时间为1小时，
图中两直线的交点是 与 相遇的时刻，
出发3小时后与 相遇．
故答案为：1，3；
（2）解：设 的自行车不发生故障时，函数解析式为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
的自行车不发生故障，函数解析式为 ，
设 的解析式为： ，
由题意得： ，
解得： ，
的解析式为： ，由 解得： ．
的自行车没有发生故障，保持出发时的速度前进， 小时与 相遇，相遇点离 的出发点 千米．
故答案为： ， ．
8．（23-24八年级下·北京房山·期中）小强从家骑自行车去体育场，在那里锻炼了一段时间后又骑自行车
到文具店去买笔，然后骑自行车回家，小强离家的距离 与所用的时间 的函数关系如图所示．
观察图象，解答下列问题：
(1)小强到达离家最远的地方用了______ ；
(2)小强出发 后离家______ ；
(3)求小强从家出发后，经过多长时间离家 ．
【答案】(1)3
(2)20
(3)小强从家出发后，经过 小时或 小时距家 ．
【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系
式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确地列出解析式，再把对应值代入求解，并会
根据图示得出所需要的信息．
（1）根据分段函数的图象上点的坐标的意义可知：小明到达离家最远的地方需3小时；
（2）运用待定系数法求出直线 的解析式，把 代入解析式即可；
（3）分别利用待定系数法求直线 的解析式和直线 的解析式，分别令 ，求解 即可．【详解】（1）解：由图象可知小明到达离家最远的地方需 小时，此时他离家25千米；
故答案为：3
（2）解：设直线 的解析式为 ，由 、 ，
代入得： ，
解得： ，
故直线 的解析式为： ，
当 时， ．
即小强出发 后离家 ；
故答案为：20
（3）解：设直线 的解析式为 ，
由 、 ，代入得
，
解得： ，
故直线 的解析式为： ，
设直线 的解析式为 ，
，
∴ ，
令 ，则 ， ，
解得： ， ，答：小强从家出发后，经过 小时或 小时距家 ．
9．（23-24八年级下·山西临汾·期中）2024年元旦期间，小康和小勇从学校同时出发到太原市晋祠游玩，
小康选择匀速步行，小勇先以150米/分的速度骑自行车出发，中间休息了一段时间，再加速前往晋祠．小
勇重新出发时，小康已经超过小勇300米，但最终小勇比小康提前2.5分钟到达晋祠，小康和小勇的行驶
路程 （米）与行驶时间 （分钟）之间的函数关系图象如图所示．
(1)求m，n的值．
(2)求直线 的函数表达式．
(3)求小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离．
【答案】(1) ，
(2)
(3)小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离为750米
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）根据路程等于速度乘以时间，求出 的值，求出小康的速度，根据小勇重新出发时，小康已经超过
小勇300米，列出方程求出 的值；
（2）直线 的函数表达式为 ，求出 点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）联立直线 的解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解： （米），小康的速度为 （米/分），当小康行驶 分钟
时，路程为120n米，
．（2）由（1）可知：点 的坐标为 ，
∵小勇比小康提前2.5分钟到达晋祠，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，将点B，E代入，得
解得 ，
直线BE的函数表达式为 ．
（3）由题意，可知：直线 的函数表达式为 ，
直线 的函数表达式为 ，
联立，得 解得
（米）
答：小康与小勇第二次相遇时与景点晋祠的距离为750米．
10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研
究如下：
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他
们解决相关问题．
素材1：如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以 的速度在离
地面 高的上空匀速向右飞行．
素材2：2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿 角爬升，到高 的A处
便立刻转为水平飞行，再过 到达B处开始沿直线 降落，要求 后到达 处．(1) 段h关于s的函数解析式为________，2号机的爬升速度为________ ．
(2)求出 段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标．
(3)两机距离 不超过 的时长为________ ．
【答案】(1) ，
(2) ，预计2号机着陆点的坐标为
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式；
（1）根据2号试飞机沿 角爬升可得 ，利用待定系数法可求出 段h关于s的函数解析式；然
后利用1号机求出飞行时间，计算出 ，进而可得2号机的爬升速度；
（2）求出 ，可得 ，利用待定系数法可求出 段h关于s的函数解析式，令 ，求出s可
得2号机着陆点的坐标；
（3）由两机距离 不超过 可知2号试飞机高度 ，求出2号飞机在 段 时的飞行时间，再
根据点C坐标和1号机飞行速度计算即可．
【详解】（1）解：∵2号试飞机（看成点Q）从原点O处沿 角爬升，
∴ 上的点横纵坐标相同，
∴ ，
设 段h关于s的函数解析式为： ，代入 得： ，
解得： ，
∴ 段h关于s的函数解析式为： ；
∵ ，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方，
∴飞行时间为 ，
∵ ，
∴2号机的爬升速度为： ，
故答案为： ， ；
（2）∵过 到达B处开始沿直线 降落，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 段h关于s的函数解析式为 ，
代入 ， 得： ，
解得： ，
∴ 段h关于s的函数解析式为 ；
令 ，
解得： ，∴预计2号机着陆点的坐标为 ；
（3）当两机距离 时，则2号试飞机高度 ，
当2号试飞机在 段时，
由题意得： ，
此时飞行时间为 ，
又∵ ，
∴两机距离 不超过 的时长为 ，
故答案为： ．
11．（23-24八年级下·海南海口·阶段练习）宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通
车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义．试运行期
间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为
x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
(1)西宁与西安相距_______千米，两车出发后_______小时相遇；
(2)普通列车的速度为_______千米/时；动车的速度为_______千米/时．
(3)动车行驶多长时间与普通列车相距 千米？
【答案】(1)
(2)
(3)动车行驶 小时或 小时与普通列车相距 千米【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴
含的相等关系是解题的关键．
（1）由 时 及 时 的实际意义可得答案；
（2）根据 时的实际意义可得，由速度 路程 时间即可求解；
（3）分相遇前与相遇后两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：由 时， 知，西宁到西安两地相距 千米，
由 时， 知，两车出发后3小时相遇．
故答案为： ；
（2）由图象知 时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需 小时，
普通列车的速度是 (千米/小时)，
设动车的速度为 千米/小时，
根据题意，得： ，
解得： ，
故答案为： ；
（3）①相遇前动车行驶与普通列车相距 千米，
动车行驶 小时与普通列车相距 千米；
②相遇后动车行驶与普通列车相距 千米， (小时)，
动车行驶 小时与普通列车相距 千米；
综上，动车行驶 小时或 小时与普通列车相距 千米．
12．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路
后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后继续骑车去学校．如图是他本次上
学所用的时间与离家的距离之间的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小明家到学校的距离是______米，文具店到学校的距离是______米．
(2)小明在文具店停留了______分钟，本次上学途中，小明一共行驶了______米．
(3)在整个上学途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？
(4)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？本次上学比往常多用了多长时间？
【答案】(1)
(2)
(3)小明在第 分钟至第 分钟这一时间段的骑车速度最快，此时速度为 （米/分）；
(4)小明往常的速度去学校需要花费 （分钟）本次上学比往常多用 （分钟）
【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过
程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，可得答案，
根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，
可得速度；
（4）根据路程、速度，即可得到时间．
【详解】（1）解：由题意可知，小明家到学校的距离是 米，
（米）．即文具店到学校的距离是 米．
故答案为： ；
（2） （分钟）．故小明在文具店停留了4分钟，
（米），故本次上学途中，小明一共行驶了 米，
故答案为： ；
（3）根据题中图象，可知第 分钟至第 分钟这一时间段的线段最陡，
所以小明在第12分钟至第14分钟这一时间段的骑车速度最快，
此时速度为 （米/分）；
（4）小明往常的速度为 （米/分），
去学校需要花费的时间为 （分钟），
本次上学共用了14分钟，比往常多用的时间为 （分钟）．
13．（23-24八年级下·全国·课后作业）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另
一速度向A地走去，如图所示， ， 分别表示小东、小明离B地的距离 与所用时间 的关系．
(1)试用文字说明交点P所表示的实际意义；
(2)试求 ， 的函数表达式；
(3)在什么时间范围内，两人至少相距 ？
【答案】(1)点P表示出发 后两人相遇；
(2) ， ；
(3)在出发后 内（包括 ）及出发 后（包括 ），两人至少相距 ；
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）根据两直线的交点到B地的距离相同即可得到答案；
（2）设出解析式，将图中点代入求解即可得到答案；
（3）根据两个相距最少 列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由图像可得，
∵点P， ， 相同，
∴点P表示出发 后两人相遇；
（2）解：设 ．
∵函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ 的函数表达式为 ，
直线 经过原点，设 ，
∵函数 的图象经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴y 的函数表达式为 ；
2
（3）解：由题意得，
或 ，
解得 或 ，
答：在出发后 内（包括 ）及出发 后（包括 ），两人至少相距 ．
14．（23-24八年级下·上海金山·期中）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度
骑行一段时间，休息了5分钟，再以 米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路
程 （米）与时间 （分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：(1) ___________分， ___________分， ___________米/分：
(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距
离是___________米：
(3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分．
【答案】(1) ， ， ；
(2) ， ；
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象获取信息，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结
合的思想解决问题是关键．
（1）根据速度 路程 时间，求出 的值，进而求出 的值，再根据速度 路程 时间，求出 的值即可；
（2）由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在 段，分别求出 段和 段的关系时，求出路程
相等时 的值，进而求出行驶的路程，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当爸爸和小明第二次相遇前相距 米；②当爸爸和小明第二次相遇后相距
米，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，折线 为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段 为小明行驶的路
程与时间的关系图，
分钟，
分钟，
米/分，
故答案为： ， ， ；
（2）解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在 段，
设 段的关系式为 ，
将点 和 代入，得：
，解得： ，
段的解析式为 ，
小明的速度是120米/分，段的关系式为 ，
，即 ，
解得： ，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是 分，
此时行驶的路程 ，
距图书馆的距离是 米，
故答案为： ， ；
（3）解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距 米，
则 ，
解得： ；
②当爸爸和小明第二次相遇后相距 米，
则 ，
解得： ，
即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是 或 分，
故答案为： 或
15．（22-23八年级下·吉林长春·期中）小林同学从家出发，步行到离家 米的公园散步，速度为 米/分
钟，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离 （米）（分钟）的函数关系如图所示．
(1)a=______；
(2)求CD所在直线的函数表达式；
(3)小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？
【答案】(1)
(2)
(3) 分钟【分析】本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟悉掌握一次函数的
图象性质是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间运算求解即可；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）利用待定系数法求出弟弟的函数表达式，再联立哥哥的函数表达式求出交点即可．
【详解】（1）解：由图象可得，小林家与公园之间的路程为：12×50=600 （米）；
（2）解：设哥哥返回家的过程中 与 之间的函数关系式是 ，
∵哥哥单程的时间为： ，
∴ ， ，
所以把点 和 代入 得：
∴ ，
解得： ，
即哥哥返回家的过程中 与 之间的函数关系式是 ；
（3）解：设弟弟从家出发过程中 与 之间的函数关系式是 ，
由图可得： ，
∴把 代入 可得： ，
解得： ，
∴ ，
∴联立 可得： ，
解得： ，
∴小林出发 分钟后与哥哥第二次相遇．
考查题型四 几何问题一、填空题
1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，且
． 为线段 上一点， 轴于点 ， 的平分线交 轴于点 ．线段
上有一动点 ，在 轴上有一动点 ，连接 、 、 ，则 周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出直线解析式为 ，再求出点 ，再求出 ，
作点D关于x轴的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，与x轴交于点Q，与X 相交于点P，
连接 ，设 与 交于点H，则 ，点 的坐标为 ，证明
，证明点 在直线 上，得到 ，此时
的周长有最小值，即为 的长，再求出 即可．
【详解】解：∵ 在直线 上，
∴
∴ ，
∴∵ 轴于点 ，
∴ 且 轴，
∴ ，
∵ 的平分线交 轴于点 ．
∴ ，
作点D关于x轴的对称点 ，关于 的对称点 ，连接 ，与x轴交于点Q，与 相交于点P，连
接 ，设 与 交于点H，则 ，
∴点 的坐标为 ，
∵点D关于x轴的对称点 ，关于 的对称点 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在直线 上，∴ ，
此时 的周长有最小值，即为 的长，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ 的横坐标为 ，
当 的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 周长的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了轴对称的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，
数形结合和准确添加辅助线是解题的关键．
二、解答题
2．（23-24八年级下·福建·期中）如图，已知一次函数 图象经过 两点，且与 轴于
点 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求 的面积．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象与性质、直线与坐
标轴交点及平面直角坐标系中三角形面积的求法等知识，熟记一次函数图象与性质，数形结合是解决问题
的关键．
（1）根据题意，由待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中直线 ： ，求出其与 轴交点，数形结合得到 ，代值求解即
可得到答案．
【详解】（1）解： 一次函数 图象经过 两点，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）解：由（1）知直线 ： ，
当 时， ，
解得 ，
如图所示：
．
3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，且，点C的坐标为 ，点P在线段 上．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)连接 和 ，当点P的横坐标为4时，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合：
（1）根据 可得出点 的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据直线 的解析式求出点 的纵坐标，从而可得 的 边上的高，再利用三角形的面积公
式求解即可得．
【详解】（1）解： ，
，
将点 代入 得： ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式为 ．
（2）解： 是直线 上一点，点 的横坐标为4，
∴点 的纵坐标为 ，
，，
∴ 的面积为 ．
4．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）我们约定：若关于 的一次函数 和 同时满足
， ，则称函数 和 互为“真诚函数”．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于 的一次函数 和 互为“真诚函数”，求 ， 的值；
(2)若关于 的一次函数 的“真诚函数”经过点 ，且与 的交点P在第三象限，求 的
取值范围；
(3)在平面直角坐标系中，点 ，点 ，若关于 的一次函数 与它的“真诚函数”交于
点N，在平面内是否存在点M，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形．若存在，求出M点坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或 或
【分析】题目主要考查一次函数的性质及新定义，算术平方根及平方的非负性，直线交点问题等，理解新
定义是解题关键．
（1）根据题意得出 ，即可得出结果；
（2）根据新定义确定关于 的一次函数 的“真诚函数”为 ，且经过点 ，代入得
出 ，然后联立两个一次函数得出交点，确定不等式求解即可；
（3）由（2）得关于 的一次函数 与它的“真诚函数”交于点 ，分三种情况分析：
当以 为对角线时，构成菱形，当以 为对角线时，构成菱形，当以 为对角线时，构成菱形，分别利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵关于 的一次函数 和 互为“真诚函数”，
∴ ，
∴ ；
（2）∵关于 的一次函数 和 同时满足 ， ，则称
函数 和 互为“真诚函数”．
∴ ，
∴关于 的一次函数 的“真诚函数”为 ，且经过点 ，代入得：
，得 ，
联立两个函数： ，解得： ，
∵交点P在第三象限，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）由（2）得关于 的一次函数 与它的“真诚函数”交于点 ，
设 ，
点 ，点 ，
当以 为对角线时，构成菱形，
∴ ， 即 ，
解的： 或 ，∴ 或 ；
当以 为对角线时，构成菱形，
∴ ， 即 ，
解的： 或6，
∴ 或 ；
当以 为对角线时，构成菱形，
∴ ， 即 ，
解的： 或6，
∴ ；
综上可得： 或 或 或 或 ．
5．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，在等腰 中， ．点 为 的
中点，动点 从点 出发，沿着 方向运动至点 处停止，过点 作 ，交 于点 ．
设点 运动的路程为 ，点 的距离为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)解决问题：当点 的距离恰好是点 运动的路程的2倍时，点 的距离是______．
【答案】(1)
(2)图见解析，函数的最大值为
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，含 角的直角三角形的性质，理解题意，
正确求出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
（1）分两种情况讨论，根据含 角的直角三角形的性质即可求解；
（2）根据（1）中的解析式画出函数图象，结合函数图象即可得解；
（3）分两种情况，分别建立方程，求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
点 为 的中点，
，
当点 在 上运动时， ，
，
由题意得： ，则 ，
， ，
，
；
当点 在 上运动时， ，，
由题意得： ，则 ，
， ，
，
；
综上所述， ；
（2）解：画出函数图象如图所示：
，
由图象可得，函数的最大值为 ；
（3）解：当 时，由题意得： ，
解得： ，此时 ；
当 时，由题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去）；综上所述：当点 的距离恰好是点 运动的路程的2倍时，点 的距离是 ，
故答案为： ．
6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的
图象，分别与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ．已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象
并回答下列问题：
(1)关于x的方程 的解是___；关于 的不等式 的解集是______．
(2)直接写出关于x的不等式组 解集是______．
(3)若点 坐标为 ，
①关于 的不等式 的解集是______；
② 的面积为______．
③在 轴上找 点 ，使得 的值最大，则 点坐标为______．
【答案】(1) ；
(2)
(3)① ；② ；③
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，
（1）利用直线与 轴交点即为 时，对应 的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与 轴交点坐标，结合图象得出答案；（3）①利用图象即可求解；②利用三角形面积公式求得即可；③记 交 轴于点 ，此时最大，再求解
直线解析式即可．
【详解】（1）解： 一次函数 和 的图象，分别与 轴交于点 、 ，点 坐标为
，点 坐标为 ，
关于 的方程 的解是 ，关于 的不等式 的解集为 ，
（2）根据图象可以得到关于 的不等式组 的解集 ；
（3）①∵点 ，
结合图象可知，不等式 的解集是 ；
② ， ，
；
③ ，记 交 轴于点 ，
此时 ，此时最大，
设直线 为 ，
∴ ，解得 ，
直线 为 ，
令 ，则 ，
，7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线
与x轴交于点D，与 交于点E，点E的横坐标为4．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)已知P是坐标平面内一点，连接 ， ， ， 所得的 ， 的面积分别为 ，
设 ；
①若点P的坐标为 ，求k的值；
②如图（2），点P的坐标为 ，且位于四边形BODE内，若k为定值，请求出这个定值，若不
是请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)① ；②存在，
【分析】本题考查了一次函数—几何综合问题，求函数解析式，解题关键是过动点向x轴，y轴作垂线．
（1）将点E代入 中即可得点E的坐标，将点E代入 即可求解；
（2）①过点P作 轴交直线 于点M， 轴交直线 于点N过点E作 轴，
求出 , ,则 ， ，即可得到
，求出 ，则 ，即
可得到答案；②过点P作 轴交直线 于点M，作 轴交直线 于点N，过点E作 轴，
可得 ，由此即可得
， ，将 ， ，
代入即可求解；
【详解】（1）解： 点E在直线 上，点E的横坐标为4，
∴ ，
，
点E在直线 上，
∴ ，
，
∴ ，
直线 与x轴交于点D，
当 时， ，
解得 ，
；
（2）①过点P作 轴交直线 于点M， 轴交直线 于点N过点E作 轴，
如图：
∵点P的坐标为 ，
，直线 与x轴，y轴分别交于 两点，
，
, ,
， ，
,
， ，
， ，
， ，
，
；
②过点P作 轴交直线 于点M， 轴交直线 于点N过点E作 轴如图：
，
直线 与x轴，y轴分别交于 两点，
，
, ,
,
， ，， ，
， ，
，
．
8．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线 和直线
都经过点 ．
(1)求直线 的解析式和n的值；
(2)若直线 ， 与y轴所围成的三角形面积为5，求 的值；
(3)将直线 向下平移6个单位，直线 向右平移4个单位，若平移后的两条直线交点在第三象限，求 的
取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，熟知待定系数法及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）分别将点 坐标代入直线 和直线 的函数解析式即可解决问题．
（2）根据直线 ， 与 轴所围成的三角形面积为5，求出 与 轴的交点坐标即可解决问题．
（3）先表示出平移后的两条直线的函数解析式，根据此交点在第三象限，确定k的最大值和最小值，即可
解决问题．
【详解】（1）解：将 点坐标代入直线 的函数解析式得，
，
解得 ，
所以直线 的解析式为 ．
将点 坐标代入直线 的函数解析式得，
，
则 ．
因为 ，
所以 ，
解得 ．
（2）令直线 与 轴的交点为 ，如图所示，因为直线 ， 与 轴所围成的三角形面积为5，
所以 ，
则 ，
所以点 的坐标为 或 ．
当点 坐标为 时，
，
解得 ；
当点 坐标为 时，
，
解得 ；
综上所述， 的值为 ．
（3）直线 向下平移6个单位所得到的直线解析式为：
直线 向右平移4个单位所得到的直线解析式为：直线 与x，y轴交点坐标为 ， ，
直线 过定点
当直线 与x轴交于点 时，
得 ，即
解得
当直线 与y轴交于点 时，
得 ，即
解得
直线 、 平移后的两直线交点在第三象限
由下图可得， 的取值范围为
9．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，等腰直角三角形 的直角边长和正方形 的边长均为
与 在同一条直线上，开始时点 和点 重合，现将等腰直角三角形 以 的速度向
左移动，直到 与 重合，设等腰直角三角形 移动 秒时， 与正方形 重叠部分的面
积为 ．(1)求 与 的函数关系式及自变量 的取值范围．
(2)当 时，求 的值．
(3)若将 向左移动， 与 重合时停止移动．
①求当 时， 与正方形 重叠部分的面积 与 的函数关系式；
②求当 时， 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②
【分析】题目主要考查一次函数的在图形运动中的应用及函数解析式的确定，理解题意，根据题意得出相
应的函数解析式是解题关键．
（1）根据等腰直角三角形及正方形的性质，结合题意得出 移动的距离为 ，再由三角形面积即可
确定函数解析式，再找出临界点确定取值范围即可；
（2）根据题意直接代入（1）中结果求解即可；
（3）①设 与 交于点 ，结合图形得出 ，确定 ，利用等腰梯
形的面积计算方法即可得出结果；
②根据题意直接代入①中结果即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，等腰直角三角形 ，以 的速度向左移动，移动 秒，
∴ 移动的距离为 ，
当点 和点 重合时， ，当 与 重合时， ，
自变量 的取值范围是 ．（2）当 时， ，
即 ．
，
．
（3）①如图，设 与 交于点 ．
，
，
；
②当 时， ．
10．（21-22八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图1．四边形 是菱形， ， ．
绕顶点 逆时针旋转 ，边 与射线 相交于点 （点 与点 不重合），边 与射线 相
交于点 ．
(1)当点 在线段 上时，求证： ；
(2)设 ， 的面积为 ．当点 在线段 上时，求 与 之间的函数关系式，写出函数的定义
域；
(3)连接 ，如果以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)(3)
【分析】（1）连接 ，通过证明 即可得出 ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，先根据勾股定理求出 的长，又 ， ，根据
三角形的面积公式即可列出函数关系式；
（3）根据题意画出图形，并连接 ，先根据四边形 是平行四边形，证出 为直角，在
中， ， ， ，继而即可求出 的长．
【详解】（1）解：连接 （如图1）．
由四边形 是菱形， ，
得： ， ， ．
是等边三角形．
．
又 ， ，
．
在 和 中，
， ， ，
．
．
（2）解：过点 作 ，垂足为 （如图2）在 中， ， ，
．
又 ， ，
，
，
即 ．
（3）解：①当点 在 的延长线上时，
如图3，连接 ，
四边形 是菱形，
．
当四边形 是平行四边形时， ．
．
， ．
在 中， ， ， ．，
根据直角三角形中 对应的边等于斜边的一半，
；
②当点 与 重合时，此时点 与点 重合（不合题意舍去）．
【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的性质，是一道综合题，有一定难
度，解题的关键是对这些知识的熟练掌握以便灵活运用．
11．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，直线 分别与x，y轴交于A，B两点，点 的坐
标为 ，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ．
(1)直接写出B、C两点的坐标；
(2)在x轴上方是否存在点 ，使以点A，B，D为顶点的三角形与 全等．若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由；
(3)点 是 轴上的一点，连接 ，将 沿直线CP翻折，当点 的对应点 恰好落在 轴上时，求此
时直线 的函数表达式．
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，折叠的性质，勾股定理， 全等三角形的性质：
（1）将点 代入解析式得出 ，继而得出点 的坐标为 ，根据 得出 ，
即点 的坐标为 ；（2）分在 轴上方： 和 如图 两种情况，根据特殊角的关系和全等三角形
的性质即可求解．
（3）分点P在x轴上方和下方两种情况，画出对应的图形，利用折叠的性质和勾股定理求出点P坐标，再
利用待定系数法求出解析式即可．
【详解】（1）解：∵直线 过点 ，
，
，
∴直线
在 中，当 时， ，
点 的坐标为 ，
∴ ．
，
．
点 在 轴正半轴，
点 的坐标为 ．
（2）解： ， ，
．
在x轴上方使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，有 和 如图 两
种情况：
如图：当 时，
， ，
，点 的坐标为 ，
当 时，
， ，
点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 ．
（3）解：如图当点P在x轴上方时，
由折叠性质可知， ， ，
∴
设 ，则 ，
∴ ，解得： ，
∴点P坐标为 ，
设直线 的函数表达式为 ，得：
将 、 代入 ，得： ，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ；
如图当点P在x轴下方时，设 ，则 ，
由折叠性质可知 ， ，
∴∴ ，解得： ，
∴点P坐标为 ，
同理可得直线 的函数表达式为 ；
综上所述，直线 的函数表达式为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关
键．
12．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于
点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ．
(1)求直线 的解析式和线段 、 的长度；(2)在线段 上有一动点 （点 不与点 、 重合），过点 作 轴于点 ， 直线 于点 ，
以 、 为邻边作 ．
①求 的周长；
②当 为菱形时，求点 的坐标．
【答案】(1) ， ， ；
(2)①6；②
【分析】（1）利用点A的坐标求出直线 的解析式为 ，再求出点B和点C的坐标，进一步用
勾股定理求解即可；
（2）①连接 ，利用 得到 ，由
得到 ，即可得到 的周长 ；②求出点P的坐标为 ，则
，连接 相交于点Q，证明C、P、F三点共线，求出直线 的解析式为 ，设
点F的坐标为 ，根据平移规律可知，点E的坐标为 ，即 ，把点E
的坐标代入 得到， ，解得 ，即可求出点F的坐标．
【详解】（1）∵直线 与 轴交于点 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，在 中，当 时， ，
当 时， ，解得 ，
∴点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，
∴ ， ；
（2）①连接 ，
，
∵ 轴于点 ， 直线 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ；
②∵ 为菱形，
∴ ，
∵ 轴于点 ， 直线 于点 ，
∴点P在 的角平分线上，
∵ ，
∴P为 的中点， ，
∴点P的坐标为 ，
∵ 轴，
∴ ，连接 相交于点Q，
则点Q是 的中点，且 ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∵ 为菱形， 平分
∴C、P、F三点共线，
设直线 的解析式为 ，
∴
解得
∴直线 的解析式为 ，
设点F的坐标为 ，
∵ ， ，
∴根据平移规律可知，点E的坐标为 ，即 ，
把点E的坐标代入 得到， ，解得 ，
∴点F的坐标为
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、菱形的性质、平行四边形的性质、平移的性质、勾股定理等
知识，数形结合是解题的关键．
1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）五一黄金周，小红一家驾车出游，出发时油箱内存有一定数量的汽
油，行驶若干小时后，到达第一个旅游景点A，游玩后驾车赶往第二个景点，从第一个景点出发4h后在途
中某一加油站加油，加油5分钟使油箱内汽油的升数与未出发前一致，若汽车从始至终都是以同一速度匀
速行驶，图中表示的是该过程中油箱里的剩油量 （L）与行驶时间 （h）之间的函数关系．
(1)油箱内原有汽油________升；在第一个景点游玩________h；
(2)A点坐标表示的实际意义________；
(3)直接写出C点坐标________；
(4)求 所在直线解析式．
【答案】(1)40；4；
(2)行驶2h后，邮箱内还有油30升；
(3) ；
(4) ．
【分析】本题考查了函数图象，以及利用待定系数法求函数解析式，观察函数图象的横坐标得出时间，观
察函数图象的纵坐标得出油量和时间关系是解题关键．（1）根据函数图象的纵坐标，可得原有汽油量；根据函数图象的横坐标，可得第一个景点游玩时间；
（2）根据横纵坐标意义回答即可；
（3）根据题意得到 ，利用从第一个景点出发时的油量减去单位耗油量乘以行驶时间，进行求解即可得到
；
（4）根据题意得到D点坐标，利用待定系数法，可得函数解析式．
【详解】（1）解：由图知，油箱内原有汽油 升；
段表示游玩，且 （ ），
在第一个景点游玩 ，
故答案为： ； ；
（2）解：由图知，A点坐标表示的实际意义为：行驶2h后，邮箱内还有油30升；
故答案为：行驶2h后，邮箱内还有油30升；
（3）解： 从第一个景点出发4h后在途中某一加油站加油，
，
汽车从始至终都是以同一速度匀速行驶，
又 （L/h），
（L），
，
C点坐标为 ，
故答案为： ；
（4）解： 加油5分钟使油箱内汽油的升数与未出发前一致，
（ ），
D点坐标为 ，
设 所在直线解析式为 ，
，解得 ，
所在直线解析式为 ．
2．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图1，在梯形 中， ，点E在边 上且 ．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线 方向运
动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线 方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，
的面积为y．
(1)请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ；
(3)结合函数图象，若直线 与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一）
(3) 或
【分析】（1）分两种情形：当 时，当 时，分别求解即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）先求得直线 经过特殊点时的t的值，结合图象即可求解．
【详解】（1）解：在梯形 中， ，
，点 在边 上且 .
， ,
当 时，当 时，如图，
综上所述： ；
（2）解：函数图象如图所示，函数 的最大值是24；
故答案为：函数 的最大值是24（答案不唯一）；
（3）解：把 代入 得， ，解得 ，
把 代入 得， ，解得 ，
把 代入 得， ，解得 ，
直线 与y的图象有且只有一个交点，
t的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了四边形综合题，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数
的图象和性质等知识点．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形 中， 为钝角， ， 分别为边 ， 上的高，交边 ， 于点 ， ，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)如图2，若 ，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 坐标为 ，点 为直线 上一
动点，当 时，求出此时点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ， 或 ，
【分析】（1）由 ，根据同角的余角相等可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得结论；
（3）分两种情况： 在 轴的上方和下方，先计算 的面积，根据 时，可得 的面积，
如图3，过点 作 轴于 ，从而得 的长，利用待定系数法可得 的解析式，则可求得点 的坐
标．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
， 分别为边 ， 上的高，
， ，
，
，
，
；
（2）证明：如图，延长 ， 交于点 ，，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①如图，点 在 轴的上方，过点 作 轴于 ，
点 坐标为 ，
，
， ，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
， ， ，
设直线 的解析式为： ，
，
解得： ，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
点 的坐标为 ， ；
如图， 在 轴的下方，过点 作 轴于 ，由①可知： ，直线 的解析式为： ，
当 时， ，
，
点 的坐标为 ， ；
综上，点 的坐标为 ， 或 ， ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析
式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系 中，对于线段 和点 ，给出如下定义：
若在直线 上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，则称点 为线段 的“银杏点”．已知
， ．
(1)在 ， ， ， 中，线段 的“银杏点”是______；
(2)点 为直线 上一点，若点 是线段 的“银杏点”且不在第二象限，求 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 且
【分析】本题考查新定义题型，涉及平行四边形的性质，一次函数的交点问题．（1）根据新定义知，四边形 为平行四边形，则对角线的中点重合，可求出点 ，再判断即可；
（2）联立两直线解出点 坐标，再根据其不在第二象限，根据象限符号的特点解答即可．
【详解】（1）解：设 ，
的中点为
四边形 为平行四边形
的中点就是 的中点
在直线 上，
由 ， ， ， 知
， 在直线 上， ， 不在直线 上，
故线段 的“银杏点”是 ， ，
故答案为： ， ；
（2）由（1）知， 在直线 上，而点 为直线 上一点
为直线 和直线 的交点
当 时，两直线平行，没有交点，
当 时
由 得
设 在第二象限，则，即
解得
不在第二象限
且
即 的取值范围是 且 ．
5．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为
“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”．
(1)在平面直角坐标系 中，点P是原点O的“正方形关联点”．
①若 ，则点O、P的“关联正方形”的周长为 ；
②若点P在直线 上，则点O、P的“关联正方形”面积的最小值为 ；
(2)如图2，已知点 ，点B在直线l：上，正方形 是点A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到
直线l的距离分别为a、b，求 的最小值．
【答案】(1)①4；②
(2)【分析】（1）①根据“关联正方形”的定义可知， 是某个正方形的两个对角顶点，根据两点间的距离
公式求出 ，乘以 ，得到该正方形的边长，进而求出周长；
②根据正方形的面积公式可知，当正方形的边长最小时，面积最小，由垂线段最短得出此时 与直线
互相垂直，根据等腰直角三角形的性质求出 ，进而求出最小面积；
（2）过P、Q分别作直线 的垂线，垂足分别为C、D，证明 ，得出
，当 直线l时 有最小值．求出此时 的长，进而求解即可．
【详解】（1）解：①∴ ，
∴O、P的“关联正方形”的边长是 ，
∴周长是 ．
故答案为：4；
②设直线 与x轴交于点M，与y轴交于点N，则 ,
∴
∴ ．
如图，作 于P，此时 最小，则O、P的“关联正方形”面积最小．
∵ ，
∴ ，∴O、P的“关联正方形”的边长为 ，
∴O、P的“关联正方形”的面积为 ；
故答案为： ；
（2）解：如图，过P、Q分别作直线 的垂线，垂足分别为C、D．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴求 的最小值即求正方形边长的最小值，
又 ，
∴即是求 的最小值，
根据垂线段最短可知，当 直线l时， 最小，即 有最小值．过点 作直线 的垂线，垂足为B．
设直线 的解析式为：
把 代入，
解得 ，
∴ ．
解方程组 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形的边长为 ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了新定义，利用待定系数法求直线的解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
垂线的性质，两点间的距离公式，两条直线交点坐标的求法等知识，正确理解“关联正方形”是解题的关
键．
6．（23-24八年级下·北京通州·期中）对于平面直角坐标系 中的图形 和图形 ，给出如下定义： ，
分别为图形 和图形 上任意一点，将 ， 两点间距离的最小值称为图形 和图形 之间的“关联
距离”，记作 ．例如，如图①，点 与 轴之间的“关联距离” ．(1)如图②，已知点 和点 ，则 ______；
(2)如图③，已知点 ， ， ，点 是 轴正半轴上一点，若 ，求点 的
坐标；
(3)已知 ， ，当 时，对于每一个 的值，若线段 和一次函数 （ 是常
数， ）的图像之间的“关联距离” ，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3) 且 ．
【分析】（1）根据“关联距离”的定义得： ，勾股定理即可求解；
（2）分三种情况画出图形：当 在 上方时， 的坐标是 ；当 在线段 上时，过 作 ，可得 ；当 在 上方时， ；
（3）求出直线 过定点 ，当 时， ， ，当 时， ， ，直
线 过 ， 时，分别求得 的值，进而根据新定义，得出直线 与平行四边形
无公共点，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意， ，
故答案为： ．
（2）解：如图所示，点 是 轴正半轴上一点，
当 在 点上方时， ，即点 到 点的距离为 ，
∴ ，
当 在 上方时， 即点 到 的距离为 ，
∴ ，
∵点 ， ， ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形， 则 平分 ，则 到 的距离相等，
过点 作 ，则 是等腰直角三角形，∵ ，此时点 到 的距离为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 或 ；
（3）解：如图所示，
当 时， ，
直线 过定点 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
把 代入 得： ，
解得 ，
把 代入 得： ，
解得 ，
线段 和一次函数 （ 是常数， ）的图像之间的“关联距离” ，
∴直线 与平行四边形 无公共点，
由图可知，此时 ．∵
∴ 且
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等腰直角三角形，平行四边形，勾股定理，解题的
关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
7．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，矩形 中， ， ，菱形 的三个顶点
分别在矩形 的边 上， ，连接 ．
(1)如图 ，若 ，求证：菱形 是正方形；
(2)如图 ，当点 在矩形 的外部时．探究：点 到直线 的距离是否发生变化？并说明理由；
(3)请直接写出 面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不变，理由见解析；
(3) ．
【分析】（ ）由于四边形 为矩形，四边形 为菱形，得 ， ，而
，易证 ，从而有 ，等量代换可得 ，即可
证四边形 为正方形；
（ ）过 作 交 延长线于 ，连接 ，证明 即可求解；
（ ）设 ，由第( )小题得， ，在 中， ，利用勾股定理可得 ，
在 中，再利用勾股定理可得 ，进而可求 ，从而可得当 时， 的
面积最小．
【详解】（1）证明：四边形 为矩形，四边形 为菱形，∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形；
（2）解：不变，理由如下：
过 作 交 延长线于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴当点 在边 上运动时，点 到边 的距离为定值
（3）解：设 ，则由( )得， ，在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
此时 ，
∴当 时， 的面积最小为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，一次函数的性
质，正确作出辅助线是解题的关键．
8．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）夏季来临，游泳成为同学们一项热爱的体育运动．甲、乙两位同学
放学后从学校匀速步行前往游泳馆，甲比乙先出发5分钟，结果比乙晚到2.5分钟甲、乙两位同学距学校
的路程y（km）与甲同学出发的时间t（h）之间的函数关系图象如图所示：
(1)a=______，b=______．
(2)乙同学的步行速度是多少?
(3)甲同学出发多长时间后，甲、乙两同学相距0.4km?
【答案】(1) ，
(2)
(3)甲同学出发 后，甲、乙两同学相距0.4km【分析】（1）根据题中甲比乙先出发5分钟，结果比乙晚到2.5分钟，几何图象即可得出a、b的值；
（2）然后根据图象，可得出A、B两地的距离为3km、乙的时间，即可求出乙的速度；
（3）根据图象先写出甲车距离A地的路程y (km)与它行驶时间t之间的函数关系式，然后根据题意分当甲，
乙相遇前，当甲，乙相遇后，两种情况讨论即可求；
【详解】（1） ， ，
（2）由题意可知：乙所用时间为
∴乙的速度为
（3）设 直线解析式为： ，把A（ ）代入解析式，得：
∴ 直线解析式为：
设 直线解析式为： ，把B（ ），D（ ） 代入解析式，得：
解得：
∴ 直线解析式为
∵甲，乙二人相距0.4km
当甲，乙相遇前时，
即
解得
或
解得
当甲，乙相遇后时，即
解得 （舍）
∴甲同学出发 时间后，甲、乙两同学相距0.4 km
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，解题关键：一是根据图象得出A、B两地的距离，甲、乙的时间，
二是根据题意写函数表达式．
9．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）在一条笔直的公路上有 、 两地，甲、乙二人同时出发，甲从
地步行匀速前往 地，立刻以原速度沿原路返回 地．乙从 地步行匀速前往 地（甲、乙二人到达 地
后均停止运动），甲、乙二人之间的距离 （米）与出发时间 （分钟）之间的函数关系如图所示，请结
合图象解答下列问题：
(1) 、 两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米/分；
(2)图中 ， ， ；
(3)求线段 的函数解析式．
【答案】(1) ；
(2) ； ；
(3)
【分析】（1）利用函数图象中的信息直接得到 、 两地之间的距离，再利用函数图象中的信息即可求得
乙的步行速度；
（2）利用（1）的结论通过计算即可得出结论；
（3）设线段 的函数解析式为 ，将点 ， 的坐标代入解析式，解关于 ， 的二元一次方
程组即可．【详解】（1）解：由图象知：当 时， ，
∴ 、 两地之间的距离是 米，
由图象知：乙经过 分钟到达 ，
∴乙的速度为 （米/分），
故答案为： ； ；
（2）由图象知：当 时， ，
∴甲、乙二人的速度和为： （米/分），
由（1）知：乙的速度为 米/分，
∴甲的速度为 （米/分），
∵点 的实际意义是经过 分钟甲到达 地，
∴ （分钟），
∴ （米），
∵点 的实际意义是经过 分钟乙到达 地，
∴ （米），
故答案为： ； ； ；
（3）由题意得： ， ，
设线段 的函数解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴线段 的函数解析式为 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，明确函数图象
上点的坐标的实际意义是解题的关键．
10．（22-23八年级下·吉林长春·期末）小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资
料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行．当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线 和线段 分别表示两人离学校的路程 （千米）与所经过的时间 （分
钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟．
(2)求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程 （千米）与 （分钟）之间的函数表达式，并写出自变量 的
取值范围．
(3)若设两人在路上相距不超过 千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有______
分钟．
【答案】(1)15；0.5
(2)
(3)10
【分析】（1）由函数图象的数据可以求出小聪在图书馆查阅资料的时间为15分钟，由速度=路程÷时间，
就可以得出小聪返回学校的速度；
（2）利用待定系数法求出s与t的函数解析式即可；
（3）分类讨论，当小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前,当小聪、小明在相遇之前及当小聪、
小明在相遇之后，分别求出来即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
小聪在图书馆查阅资料的时间为 （分钟）；
小聪返回学校的速度为 （千米/分钟）．
故答案为：15；0.5．
（2）解：设 ，把 ， 代入得：，
解得： ；
∴小聪从图书馆返回学校时离学校的路程 （千米）与 （分钟）之间的函数表达式为：
；
（3）解：设小聪从学校到图书馆时离学校的路程 （千米）与 （分钟）之间的函数表达式为：
，把 代入得：
，
解得： ，
∴小聪从学校到图书馆时离学校的路程 （千米）与 （分钟）之间的函数表达式为： ，
设小明运动的路程与时间之间的函数关系式为 ，把 代入得：
，
解得： ，
∴小明运动的路程与时间之间的函数关系式为 ；
∵ ，
解得： ，
∴小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前， 时，两人相距不超过 千米，
当小聪从图书馆刚开始返回时，小明与图书馆之间的距离为： （千米），
∴当小聪从图书馆刚开始返回时，小聪和小明为“可控距离”，
当小聪、小明在相遇之后，两人相距 千米时，，
解得： ，
∴小聪和小明“可控距离”的时间： （分钟）
综上可知，小聪和小明“可控距离”的总时间为 （分钟）．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数
与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
11．（22-23八年级下·河北邢台·期末）学校计划组织八年级的同学参观大学城，已知八年级共有480名同
学，计划租用9辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：
租金/（元/辆） 载客量/（座/辆）
甲种客车 1700 45
乙种客车 2000 60
(1)若恰好一次性将480名学生送往大学城且客车全部坐满，则应租用甲、乙两种客车各多少辆？
(2)设租用甲种客车x辆，租用甲、乙两种型号的客车总费用y元．
①求y与x的函数关系式．
②在保证所有同学均能被送达大学城的情况下，怎样租车费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)租用甲种客车4辆，乙种客车5辆
(2)应租用4辆甲种客车，5辆乙种客车，最低租车费用16800元
【分析】（1）设租用甲种客车 辆，乙种客车 辆．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）①设租用甲种客车x辆，应租乙种客车 辆．然后根据题意列出y与x的函数关系式即可；②由
①所得解析式的增减性再结合x的取值范围求解即可.
【详解】（1）解：设租用甲种客车 辆，乙种客车 辆．
由题可得 ，解得 ．
答：租用甲种客车4辆，乙种客车5辆．
（2）解：①设租用甲种客车x辆，由题可知，应租乙种客车 辆．可得 ．
②由①知 ，
，
随 的增大而减小．
依题意可得 ，
解得 ，
当 时， 有最小值，最小值为16800．
答：应租用4辆甲种客车，5辆乙种客车，最低租车费用16800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，根据题意确
定x的取值范围是解答本题的关键．
12．（22-23八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大
了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进
乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
商品 进价 售价
乒乓球拍（元/套） 45
羽毛球拍（元/套） 52
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
(1)求出a，b的值；
(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，
售完这批体育用品获利y元．
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（ ），羽毛球拍的进
价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？
【答案】(1)a的值为35，b的值为40
(2)①y与x的函数关系式为 ，x的取值范围为： ；②当 时，乒乓球拍购
进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当 时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套
能获利最大；当 时，无论购多少套，只要满足 ，利润都是 ．【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需
花费260元，列出方程组，解方程组即可；
（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超
过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；
②根据总利润 乒乓球拍的利润 羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【详解】（1）根据题意： ，
解得 ，
答：a的值为35，b的值为40；
（2）①由题意得：
，
∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，
∴ ，
∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，
∴ ，
解得： ，
则x的取值范围为： ，
∴y与x的函数关系式为 ，x的取值范围为： ；
②由题意得： ，
∵ ，
∴当 即 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，y有最大值 ，
∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；
当 时，即 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值 ，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；
当 时，无论购多少套，只要满足 ，利润都是 ．
【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数
解析式和列出方程组．
13．（22-23八年级下·河北保定·期末）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，
体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800
元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的 倍．
(1)求甲、乙两种品牌篮球的单价．
(2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购
买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？
(3)在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠 元 ，甲种篮
球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？
【答案】(1)甲、乙两种品牌篮球的单价分别为：160元，200元；
(2)该校共有11种购买方案；
(3)见解析
【分析】（1）设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为 元，根据用4800元购买甲品牌
篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球的数量的 倍列方程即可得到答案；
（2）根据总费用不超过17200元及乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍列不等式组求解即可得
到答案；
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种篮球的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况
讨论求解即可．
【详解】（1）解：设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为 元，由题意可得，
，
解得： ，
经检验 是原方程的解，则 ，
答：甲、乙两种品牌篮球的单价分别为：160元，200元；
（2）解：设购买甲品牌篮球m个，则购买乙品牌篮球 个，
由题意可得， 且m为整数，
解得： ，且m为整数，
∴该校共有11种购买方案；
（3）解：设总利润为W，
则 ，
①当 时， ，W随m的增大而增大，
所以，当 时，W有最小值， ，
即此时应购进甲品牌篮球20个，购进乙品牌篮球70个；
②当 时， ， ，（2）中所有方案获利都一样； ；
③当 时， ，W随m的增大而减小，
所以，当 时，W有最小值， ；
即此时应购进甲品牌篮球30个，购进乙品牌篮球60个．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读
懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分
情况讨论．
14．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）我市某镇组织 辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共 吨到外
地销售．按计划， 辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，
解答以下问题．
脐橙品种 A B C
每辆汽车运载量（吨）
每吨脐橙获利（元）
(1)设转运A种脐橙的车辆数为x，转运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数表达式；(2)如果转运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．
【答案】(1)
(2) 种
(3)当转运A种脐橙的车 辆，转运B种脐橙的车 辆，转运C种脐橙的车 辆时，利润最大为 元
【分析】（1）根据题意列式： ，整理后即可得到 ；
（2）根据装运每种水果的车辆数都不少于4辆， ， ，解不等式组即可；
（3）设利润为W元，则 ，根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）根据题意，装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，
∴装运C种水果的车辆数为 ，
∴ ，
整理得 ．
（2）由（1）知，装运A，B，C三种水果的车辆数分别为x， ，x，
由题意得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．
∵x为整数，
∴x的值为 ， ， ， ， ，
∴安排方案共有 种．
（3）设利润为W元，
∴
，
因为 ，且x的值为 ， ， ， ， ，
∴W的值随x的增大而减小，
∴当 时，销售利润最大．当装运A种水果4车，B种水果12车，C种水果4车，销售获利最大．
最大利润 （元）．
【点睛】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．
解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．
15．（2023八年级下·全国·专题练习）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．
已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需
12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16
万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
【答案】(1)甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元
(2)购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大
【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“购买甲型机器人1台，
乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元”，即可得出关于
x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人 台，根据“该公司计划最多用16万元购买6台这
两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出
m的取值范围，设6台机器人每小时的分拣量为w，利用总分拣量=每台机器人的分拣量×购买该型机器人
的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人 台．依题意，得 ，
解得 ．
设6台机器人每小时的分拣量为w，则 ．
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取得最大值，此时 ，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键
是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数
关系式．
16．（22-23八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建
设美丽乡村，已知 两城分别有水泥200吨和300吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20
元/吨和25元/吨；从 城往 两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现 乡需要水泥240吨，
乡需要水泥260吨．
(1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往 乡的水泥多少
吨时总运费最少？
【答案】(1) ，最少总运费为10040元；
(2) 城运往 乡200吨，总运费最少．
【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；
（2）先列出 城运往 乡的运费每吨减少 元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，
分别求出最小值．
【详解】（1）设从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 ，从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 吨，
设总运费为 元，根据题意，
则： ．
，
随 的增大而增大，
当 时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．
答： 与 的函数关系式为 ，
最少总运费为10040元；
（2）设减少运费后，总运费为 元，
则：
，
分以下三种情况进行讨论：
①当 时， ，
此时 随 的增大而增大，
当 时， ；．
②当 时， ，
不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；
③当 时， ，
此时 随 的增大而减小，
当 时， ；
综上可得：
当 时， 城运往 乡0吨，总运费最少；
当 时，无论从 城运往 乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；
当 时， 城运往 乡200吨，总运费最少．
【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键．17．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、
，与直线 交于点 ，直线 与y轴交于点E，连接 ．
(1)求直线l的解析式；
(2)求 的面积；
(3)Q为直线 上一点，若 为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q
的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1) ；
(2)3；
(3) 或 或 或 ，过程见解析；
【分析】本题综合考查了一次函数的性质，解析式求解，三角形面积分割求解，以及结合等腰三角形考查
了两点间的距离公式的坐标表示，分类讨论思想是解决问题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用 ，而 ， ，即得解；
（3）分 、 、 三种情况，利用两点间的距离公式的坐标表示，分别求解即可．
【详解】（1）解： 直线 过点 ，则设直线 的表达式为 ，
在直线 上，
，点坐标为 ，
点在直线l上，将 代入 ，
解得 ，
直线l的解析式为 ．
（2）解：直线l： 与x轴、y轴分别交于点A、 ，
，
直线 与y轴交于点E，
，
， ， ，
．
（3）解：Q为直线 上一点，设 ，由 ， ， 的坐标得，
， ， ，
当 时，可得，
，解得 （舍去），或 ，
此时 ，
当 时，可得，
，
解得 ，此时 ，
当 时，可得 ，
解得 ，
此时 ，或 ，综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
18．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形 的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B
的坐标为 ，一次函数 的图象与边 、 分别交于点D、E，且 ．点M是线段
上的一个动点．
(1)求b的值；
(2)连接 ，若三角形 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点M的坐标；
(3)设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】（1）先求出 点坐标 ，则 ，再根据矩形的性质，用 表示 点坐标，利用待定
系数法可解；
（2）根据（1）所求，结合梯形面积公式求出四边形 的面积，进而求出 的面积，再根据三
角形面积公式求出点M的横坐标，即可得到答案；
（3）以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以 ， ， 为对角线，
分别求出 点坐标即可．
【详解】（1）解：在 中，当 时， ，∴ 点坐标 ，
∴ ，
，
，
∵点B的坐标为 ，
∴ ，
∴
∴点 的坐标为 ，
把 代入 得： ，
解得： ；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∵三角形 的面积与四边形 的面积之比为 ，
∴ ，
设点 的横坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图（1）所示，当 为菱形对角线时，则点M在线段 的垂直平分线上，且点M与点N关
于 对称∴点M的纵坐标为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴
如图（2）所示，当 为菱形边时，设点M坐标为 ，
由菱形的性质可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ ；当 为菱形的边时，如图，设点M坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
综上所述，点N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键是
掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长．
