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23.2.2 中心对称图形 分层作业
基础训练
1．下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，
故选：D．
2．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是
参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C
3．雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图
形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【详解】解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．下列说法中，正确的是（ ）A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形必重合
C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同
D．旋转后能重合的两个图形成中心对称
【详解】A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不一定成
中心对称，故错误；
B、成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错误；
C、正确；
D、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误．
故选C．
5．如图,已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结
论:
①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;
②直线BD必经过点O;
③四边形ABCD是中心对称图形;
④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;
⑤△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，
因此点O就是▱ABCD的对称中心，则有：
（1）点E和点F；B和D是关于中心O的对称点，正确；
（2）直线BD必经过点O，正确；
（3）四边形ABCD是中心对称图形，正确；
（4）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；
（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；
其中正确的个数为5个
故选D．6．如图是一个中心对称图形，则此图形的对称中心为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【详解】解：如图所示：
点A与点C是对应点，点D与点E是对应点，线段AC与DE相交于点B，
所以点B是对称中心．
故选B．
7．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该
小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，
故选B．
8．图中所有的小正方形都全等，已有4个正方形被涂黑，现将①②③④中某一个涂黑使得它与原来4个小
正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则要被涂黑的正方形是（ ）A．① B．② C．③ D．④
【详解】解：涂黑②时使得它与原来4个小正方形组成的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选B．
9．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从
点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及
从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P
（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），
由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），
故选：B．
10．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行
旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第 次旋转后得到的图形与图①～④中
相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
详解】观察图形可知每4次循环一次， ，
∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，
故选：B．11．在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中
心对称图形的个数是 ．
【详解】解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，正方形、线段、平
行四边形、圆都是中心对称图形，
只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形，
故答案为：1个．
12．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来
个小正方形组成的图形是中心对称图形，则这个位置是 ．
【详解】当放置在①位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴①不符合题意；
当放置在②位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴②不符合题意
当放置在③位置时，构成的图形是中心对称图形，
∴③符合题意
当放置在④位置时，构成的图形不是中心对称图形，
∴④不符合题意
故答案为：③．
13．如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′．
作法：
①连接AO并延长到A′，使OA′＝ ，得到点A的对应点 ；②同理，可作出点B，C，D的对应点 ，C′，D′；
③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形 即为所作．
【答案】 OA A′ B′ A′B′C′D′
能力提升
1．如图，平面直角坐标系中，△OAB 是边长为2的等边三角形，作△BAB 与△OAB 关于点B 成中心
1 1 2 2 1 1 1 1
对称，再作△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，如此作下去，则△Bn A B n（n是正整数）的顶点
2 3 3 2 2 1 2 2 ﹣1 2n 2
An的坐标是（ ）
2
A．（4n﹣1，﹣ ） B．（4n﹣1， ）
C．（4n+1，﹣ ） D．（4n+1， ）
【详解】∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为 ，B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是- ，
∴点A 的坐标是 ，
2
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是 ，
∴点A 的坐标是 ，
3
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是- ，
∴点A 的坐标是 ，
4
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴A 的横坐标是2n﹣1，An的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
n 2
∵当n为奇数时，A 的纵坐标是 ，当n为偶数时，A 的纵坐标是﹣ ，
n n
∴顶点An的纵坐标是﹣ ，
2
∴顶点An的坐标是 ．
2
故选：A．
2．如图，正方形ABCD与正方形AB C D 关于某点中心对称，已知A, D ,D三点的坐标分别是（0,4），
1 1 1 1 1
（0，3），（0，2）.
(1)对称中心的坐标；
(2)写出顶点B, C, B , C 的坐标.
1 1
【详解】（1）根据对称中心的性质，可得
对称中心的坐标是DD的中点，
1
∵D ，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
1
∴对称中心的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形AB C D 的边长都是：4﹣2=2，
1 1 1 1
∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A D=2，D 的坐标是（0，3），
1 1 1
∴A 的坐标是（0，1），
1
∴B ，C 的坐标分别是（2，1），（2，3），
1 1
综上，可得顶点B，C，B ，C 的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
1 1
3．如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB 是边长为2的等边三角形，作△BAB 与△OAB 关于点B
1 1 2 2 1 1 1 1
成中心对称，再作△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称．
2 2 3 2 2 1 2
（1）直接写出B，B，B，的坐标分别为 ， ， ；
1 2 3
（2）连接AB，求AB 的长．
1 2 1 2
【详解】解：（1）∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴ ，
∵△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，∴ ；
故答案为 ；
（2）过点 作 轴于点H，如图所示：
∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ．
拔高拓展
1．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如：
函数 与 关于原点O互为“伴随函数”．
(1)函数 关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ．
函数 关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
(2)已知函数 与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”，若当 时，函数
与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；(3)已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数 与函数N关于点C
互为“伴随函数”，将二次函数 与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与
线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【详解】（1）解：设函数 的伴随函数上一点为T（x，y），
则T关于原点的对称点T′（-x，-y）在函数 上，即 ， ，
∴函数 的伴随函数为 ；
设函数 的伴随函数上一点为T（x，y），
则T关于原点的对称点T′（-x，-y）在函数 上，即 ， ，
∴函数 的伴随函数为 ；
（2）解：设函数 的伴随函数上一点为T（x，y），
由中点坐标公式可得T关于点P（m，3）的对称点T′的坐标为（2m-x，6-y），则T′在函数 上，
即 ， ，
若函数 在 上递增，
∵函数开口向上对称轴为x=1，∴m≥1，∵m＜7，∴1≤m＜7，
若函数 在 上递增，
∵函数开口向下对称轴为x=2m-1，∴7≤2m-1，m≥4，∵m＜7，∴4≤m＜7，
∴函数 与其伴随函数在 上都递增时4≤m＜7；
（3）解：二次函数 ，
由（2）解答可得其关于点C（2，0）伴随函数为：
， ，
如图，函数 的图象为M，函数 的图象为N，由图可得：对于函数 ，
∵x=-1或x=3时函数值为0，∴函数过（-1，0）、（3，0）两点，
当x=4处的函数值≥1时，与AB有一个交点，此时9a-4a≥1，解得：a≥ ，
当x=4处的函数值＜1时，与AB没有交点，此时9a-4a＜1，解得：0＜a＜ ，
对于函数 ，顶点坐标为（3，4a），
x=1或x=5时函数值为0，∴函数过（1，0）、（5，0）两点，
当4a＜1时，与AB没有交点，此时0＜a＜ ，
当4a=1时，与AB有一个交点，此时a= ，
当4a＞1时，且x=4处的函数值≤1时，与AB有两个交点，此时4a＞1，且-a+4a≤1，解得： ＜a≤ ，
当两函数与AB的交点重合时： ，
= ， = ，
解得：x= ，代入①得：a= ，∵ ＜a≤ ，∴a= ；
当4a＞1时，且x=4处的函数值＞1时，与AB有一个交点，此时4a＞1，且-a+4a＞1，解得：a＞ ，M与AB没有交点，N与AB有两个交点时，0＜a＜ ， ＜a≤ 不成立；
M、N分别与AB有一个交点时，a≥ ， 或 ，即 或 ；
M、N与AB有一个交点重合时，a≥ ， ＜a≤ ，a= ；即a= ；
综上所述，两函数与AB恰有两个交点时， 或 或 ；
