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7.1.2 两条直线垂直 分层作业
基础训练
一．选择题
1．如图，已知直线 与直线 相交于点 ，下列条件中不能说明 的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直
进行判定即可．
【详解】解： 、 可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
、 和 是邻补角，邻补角的和是 ，所以可以得到 ，能判定垂直，故此选项
不符合题意；
、 是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
、 和 是对顶角，对顶角相等，和又是 ，所以可得到 ，故此选项不符合题
意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了垂线，解答本题的关键是通过条件计算出其中一个角为 ．
2．如图， ， ， ， 四点在直线 上，点 在直线 外， ，若 ， ，
， ，则点 到直线 的距离是
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可．
【详解】解：如图所示：
直线外一点到这条直线的垂线段最短， ，
点 到直线 的距离是垂线段 的长度，为 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
3．下列说法正确的是
A．相等的角是对顶角
B．两个角的和为 ，那个这两个角互为邻补角
C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断 ；有公共端点，且
有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断 ；过直线外一点作已知直线
的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断 ；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直，据此可判断 ．
【详解】解： 、相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意；
、两个角的和为 ，那个这两个角不一定互为邻补角，错误，不符合题意；
、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，错误，不符合题意；
、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解
题的关键．
4．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
【答案】A【分析】根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．
【详解】解： 、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查了垂线段最短，线段的性质，熟记垂线段最短是解题的关键．
二．填空题
5．如图是地球截面图，其中 ， 分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太
阳光线 的延长线经过地心 ，此时，太阳光线与地面水平线 垂直，已知 ，则
的度数是 ．
【答案】 ．
【分析】根据太阳光线与地面水平线 垂直可得 ，再由 ，代入计算即
可．
【详解】解： 太阳光线与地面水平线 垂直，
，
，
，
即 的度数是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂直的定义，角的和差计算，掌握角度的四则运算是解题的关键．
6．如图， ， ，垂足为 ， 与 的关系是 ．答案】
【
【分析】根据“等角的余角相等”，即可得到正确答案．
【详解】解： 与 相等，理由如下：
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂直的定义理解，熟练掌握垂直的定义是关键．
7．如图，在三角形 中， ， ， ， ，那么点 到 的距离
为 ．
答案】
【
【分析】点到直线的距离即为该点到该直线垂线段的长度，据此求解即可．
【详解】解： ， ，
点 到 的距离为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解答本题的关键要明确：点到直线的距离即为该点到该直线垂
线段的长度．
8．如图，在 中， ， ， ， ．点 在线段 上运动，则线段 长
度的最小值是 ．答案】
【
【分析】当 时， 长度有最小值，由三角形的面积公式即可求出 的长．
【详解】解：当 时， 长度有最小值，
此时， 的面积 ，
，
，
线段 长度的最小值是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段最短．
三．解答题
9．作图并写出结论：
如图，点 是 的边 上一点，请过点 画出 ， 的垂线，分别交 的延长线于 、 ，
线段 的长表示点 到直线 的距离；线段 的长表示点 到直线 的距离；线段
的长表示点 到直线 的距离；点 到直线 的距离为 ．
【答案】 ， ， ，0.
【分析】先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．
【详解】解：如图所示：线段 的长表示点 到直线 的距离；线段 的长表示点 到直线 的距离；线段 的长表示
点 到直线 的距离；点 到直线 的距离为0，
故答案为： ， ， ，0．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键．
10．如图，直线 ， 相交于点 ， 于点 ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ，求 ， 的度数．
【答案】（1）详见解答；（2） 的度数为 ， 的度数为 ．
【分析】（1）根据垂直定义可得， ，结合已知 可得 ，再根据
与 互补，即可解答；
（2）根据 ，可得 ，再根据 ， ，从而求出
的度数，即可求出 和 的度数．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，即 ，
．
的度数为 ；
（2）解： ，
，
，
，即 ，
解得 ，
， ．的度数为 ， 的度数为 ．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
11．如图，直线 ， 相交于点 ， ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）如果 ，那么 与 互相垂直吗？请说明理由．
【答案】（1） 的度数为60°；（2） .
【分析】（1）利用余角、对顶角的定义计算即可；
（2）利用余角的定义，求得两个角的和为 即为垂直．
【详解】解：（1）解： ，
，
，
，
，
；
（2） ，
证明： ，
，
，
即 ，
．
【点睛】本题考查的是余角、垂直、对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、垂直、以及对顶角的定
义，会识别余角、垂直、对顶角．
12．如图所示， 于 ， 于 ， 与 相交于点 、仔细观察图形，回答以下问题：
（1） 和 是什么关系？为什么？（2）若 ，那么 和 各是多少度？
【答案】（1）相等；（2） =20°， =70°.
【分析】（1）根据同角的余角相等解答；
（2）根据直角三角形两锐角互余求出 ，然后求出 ，再根据对顶角相等求出 ．
【详解】解：（1）相等；
， ，
， ，
；
（2） ，
，
，
由（2）可知， ，
所以， （对顶角相等）．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质．
13．如图，已知直线 、 相交于点 ， 平分 ， ．
（1）如果 ，求 、 的度数；
（2）如果 ，则 （用含 的代数式表示）．
【答案】（1） =114°， ；（2） .
【分析】（1）先由对顶角相等得 的度数，根据角平分线的定义得 ，再由得 ，然后由 ， 得 ，最
后根据 可得 的度数；
（2）先由对顶角相等得 ，根据角平分线的定义得 ，进
而根据 可得 的度数．
【详解】解：（1） 直线 、 相交于点 ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
， ；
（2） 直线 、 相交于点 ， ，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，垂线，理解对顶角的性质，角平分线的定义
是解决问题的关键．
能力提升
14．如图，河道 的一侧有 、 两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向 、 两村，下列四种方案中最节省材料的是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他
各点的连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选： ．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之
间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
15．已知 和 互为邻补角，且 ， 平分 ，射线 在 内部，且
， ， ，则 ．
【答案】 或 ．
【分析】分两种情况进行讨论： 在 上方，或 在 下方，先依据已知条件求得 的度数，
再根据 ，即可得到 的度数．
【详解】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若 在 上方，
平分 ，
，
， ，
，即 ，
设 ，则 ， ，
为平角，
，
即 ，
解得 ，，
又 ，
，
；
②如图2所示，若 在 下方，
同理可得， ，
又 ，
，
；
综上所述， 的度数为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得
的度数是解决问题的关键．
16 ． 已 知 ， 分 别 以 射 线 ， 为 始 边 ， 在 的 外 部 作 ，
，则 与 的位置关系是 ．
【答案】垂直或重合．
【分析】根据题意，结合图形，利用已知条件及角的和差关系，求 度数．
【详解】解：①当射线 在射线 上方，射线 在射线 下方时，如图，
， ， ，
，
与 的位置关系是垂直．
②当射线 在射线 上方，射线 在射线 上方时，
由题意可知， ，此时射线 和射线 重合．故填垂直或重合．
【点睛】先利用角的和差关系求得这个角是 ，再由垂线的定义可得，两直线垂直．
17．数学课上，老师给出如下问题：
直线 、 相交于点 ， ， 平分 ，射线 ，求 的度数．
小丽：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图1，因为射线 ，（已知）
所以 ．
因为 与 互补， ，（已知）
所以 ．
因为 平分 ，（已知）
所以 ．
因为 是直线 下方的一条射线，
所以 ．
（1）请补全小丽的解答过程；
（2）小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种情况．”请在图2中画出小聪说的另一种
情况，并解答．
【答案】（1）90；平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直；AOC； ；在同一平面内，如果两个角的和等于 ，那么这两个角互补；70；一个角的顶点出发，把这个角分成两个
相等的角的射线，叫做这个角的平分线；160．（2）详见解答.
【分析】（1）根据垂线的定义可得 ，再根据补角的定义可得 ，由角平分线的定
义求得 ，再根据 求解即可；
（2）当射线 在直线 的上方时，如图，根据垂线的定义可得 ，再根据补角的定义可得
，由角平分线的定义求得 ，再根据 求解即可．
【详解】解：（1） ，
，（平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直）
与 互补， ，
，（在同一平面内，如果两个角的和等于 ，那么这两个角互补）
平分 ，
，（从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平
分线）
是直线 下方的一条射线，
，
故答案为： ，平面上一条直线与另一条直线相交并成直角，这两条直线互相垂直； ； ；在同
一平面内，如果两个角的和等于 ，那么这两个角互补；70；一个角的顶点出发，把这个角分成两个相
等的角的射线，叫做这个角的平分线；160．
（2）当射线 在直线 的上方时，如图2，
，
，
与 互补， ，，
是直线 上方的一条射线，
．
【点睛】本题考查垂线的定义、补角的定义、角平分线的定义、角的和差运算，根据题目的已知条件并结
合图形进行分析是解题的关键．
拔高拓展
18．已知 ，以 为顶点作射线 ， ．若 ， ，则 的度数
为 ．
【答案】 ， ， ， ．
【分析】分情况讨论：（1） 、 在直线 同侧，② 、 在直线 异侧，再根据角的和差计
算即可．
【详解】解：（1） 、 在直线 同侧，
当 、 在直线 上方时，如图，
，
，
，
，
，
．
当 、 在直线 下方时，如图，，
，
，
，
．
（2） 、 在直线 同侧，
当 在直线 上方、 在直线 下方时，如图，
，
，
，
，
．
当 在直线 下方、 在直线 上方时，如图，
，
，
，
，
．
故答案为： ， ， ， ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，注意（2）要根据射线 的位置不同，分类讨论，分
别求出 的度数．
19．如图，已知直线 和 相交于点 ， ， 平分 ， ．
（1）求 的度数．（2）若射线 、 分别绕着点 按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线 每分钟转动 ，射线
每分钟转动 ，多少分钟后，射线 与射线 第一次重合．
（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若 ，则两射线同时出发 分钟．
【答案】（1） =74°；（2）26分钟后，射线 与射线 第一次重合；（3）20或32．
【分析】（1）根据题意可求得 ，再由角平分线的定义可得 ，从而可求 的
度数；
（2）先求解 ，设 分钟后射线 与射线 第一次重合，根据题意列方程，解方程可求解
即可；
（3）设两射线同时出发 分钟后， ，分两种情况列方程，计算可求解．
【详解】解：（1） ， ，
．
平分 ，
．
．
（2） ， ，
．
．
设 分钟后射线 与射线 第一次重合，依题意得： ，
解得： ．
答：26分钟后，射线 与射线 第一次重合．
（3）由（2）可知，开始时 ，
设两射线同时出发 分钟后， ，
当射线 与射线 第一次重合前，由题意得 ，
解得 ；
当射线 与射线 第一次重合后，由题意得 ，
解得 ，
综上，两条射线同时出发20或32分钟后， ．
故答案为：20或32．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，对顶角与补角，理解题意正确列方程是解
题的关键．
