文档内容
9.2 坐标方法的简单应用【8 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 利用坐标表示位置】..............................................................................................................................1
【必考点1 利用“表示方向的角+距离”确定位置】...........................................................................................2
【必考点2 利用坐标确定位置】..............................................................................................................................4
【知识点2 点在坐标系中的平移】..........................................................................................................................7
【必考点3 点在坐标系中的平移】..........................................................................................................................8
【知识点3 图形在坐标系中的平移】...................................................................................................................10
【必考点4 图形在坐标系中的平移】...................................................................................................................10
【必考点5 利用坐标系中的平移规律求值】.......................................................................................................13
【必考点6 坐标系中平移变换作图】...................................................................................................................15
【必考点7 点在坐标系中的平移与新定义问题】...............................................................................................20
【必考点8 坐标与图形综合问题】.......................................................................................................................24
【知识点1 利用坐标表示位置】
1.建立平面直角坐标系表示地理位置：
第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。
第二步：根据具体问题确定 单位长度 。
第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。
2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：
以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。
【必考点1 利用“表示方向的角+距离”确定位置】
【例1】下列表述中，不能确定一点的具体位置的是（ ）
A．东经117°，北纬36°
B．礼堂3排12号
C．东风路中段
D．万达广场北偏东60°方向，2千米处
【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可．
【解答】解：东经117°，北纬36°能确定具体位置，故A不符合题意；
礼堂3排12号能确定具体位置，故B不符合题意；东风路中段不能确定具体位置，故C符合题意；
万达广场北偏东60°方向，2千米处能确定具体位置，故D不符合题意；
故选：C．
【例2】如图，位于A处的1班与相距5m的B处的2班，共同做一次联谊活动，用方向和距离描述 1班相
对于2班的位置（ ）
A．南偏东50°，5m处 B．南偏西50°，5m处
C．北偏西50°，5m处 D．北偏东50°，5m处
【分析】1班和2班的距离为5m，且1班在2班北偏东50°方向上，据此可得答案．
【解答】解：由题意得，1班相对于2班的位置北偏东50°，5m处，
故选：D．
【变式1】生态园位于县城东北方向5公里处，如图表示准确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据方向角的定义，东北方向是指北偏东45°解答即可．
【解答】解：∵生态园位于县城东北方向5公里处，
∴生态园在县城北偏东45°距离县城5公里．
故选：B．
【变式2】如图，一艘船在A处遇险后向相距80海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述救生船B
相对于遇险船A的位置（ ）A．南偏西75°，80海里 B．南偏西15°，80海里
C．北偏东15°，80海里 D．北偏东75°，80海里
【分析】直接根据题意得出AB的长以及∠ABC的度数，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠ABC＝15°，AB＝80海里，
救生船B相对于遇险船A的位置是：北偏东15°，80海里，
故选：C．
【变式3】如图，雷达探测器测得六个目标 A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标
C，F的位置表示为C（6，120°），F（5，210°）．
（1）按照此方法表示目标A，B，D，E的位置．A： ；B： ；D： ；E： ．
（2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站
1500米，写出目标A，B，D，E的实际位置；
（3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在南偏东20°距观测站900米处，写出G，H
的位置表示．【分析】（1）根据图上位置直接写出坐标即可；
（2）根据坐标计算出距离，再根据角度写出方向即可；
（3）同（2）反向计算即可．
【解答】解：（1）由图知A（5，30°），B（2，90°），D（4，240°），E（3，300°），
故答案为（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°）；
（2）根据上北下南左西右东确定角度，用横坐标乘300确定距离，
∴目标A的实际位置为北偏东60°距观测站1500米，目标B的实际位置为正北方向距观测站600米，目
标D的实际位置为南偏西30°距观测站1200米，目标E的实际位置为南偏东30°距观测站900米；
（3）用（2）的反向方法计算可得G（2.5，315°），H（3，290°）．
【必考点2 利用坐标确定位置】
【例1】同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色 5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一
盘棋，若白①的位置是（1，﹣1），黑②的位置是（2，0），现轮到黑棋走，甲认为黑棋放在（2，
4）位置就胜利了；乙认为黑棋放在（7，﹣1）位置就胜利了．你认为（ ）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
【分析】根据题意白①的位置是（1，﹣1），黑②（2，0）题意建立坐标系可确定原点的位置，依据
题目所给规则进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图，由图可知，黑棋放在（2，4）或（7，﹣1）位置就胜利了．
故选：C．
【变式1】象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．
如图是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“帥”的点的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则表
示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（0，2） C．（2，0） D．（1，3）
【分析】根据表示棋子“马”和“帥”的点的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），可得到表示棋子
“卒”的位置是直角坐标系的原点，继而求得棋子“炮”的点的坐标即可．
【解答】解：∵表示棋子“马”和“帥”的点的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），
∴表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点，
∴表示棋子“炮”的点的坐标为（0，2）．
故选：B．
【变式2】车、马、炮三个棋子所处位置不同．车说：“以我为坐标原点，马的位置是（2，3）“．炮
说：“以我为坐标原点，马的位置是（﹣3，﹣2）”．若以马为坐标原点，车、炮的坐标分别是（已知
三棋子所建立的坐标系x轴、y轴的正方向相同）（ ）
A．（﹣3，﹣2），（2，﹣3） B．（﹣2，2），（2，3）
C．（﹣2，﹣3），（3，2） D．（﹣3，﹣2），（﹣2，﹣3）
【分析】已知车、马、炮建立坐标时，x轴y轴正方向相同，以车为坐标原点，马的位置是（2，3），
则以马为坐标原点，车的位置是（﹣2，﹣3）；同样，以马为坐标原点，炮的位置是（3，2）．【解答】解：∵以车为坐标原点，马的位置是（2，3），
∴以马为坐标原点，车的位置是（﹣2，﹣3）；
∵以炮为坐标原点，马的位置是（﹣3，﹣2），
∴以马为坐标原点，炮的位置是（3，2）．
故选：C．
【变式3】如图是长汀县城区部分景点的平面示意图，图中小方格都是边长为 1个单位长度的正方形，若
卧龙山的坐标为（3，a），总兵府邸的坐标为（b，﹣3）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并回答以下问题：
博物馆的坐标是（ ， ），卧龙书院的坐标是（ ， ），汀州文庙在第
象限；
（2）写出实数a＝ ，实数b＝ ；
（3）若长汀一中的坐标为（2，2），请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出长汀一中的位置．
【分析】（1）根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案；
（2）利用（1）中平面直角坐标系得出答案；
（3）在坐标系中找出（2，2）即可．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图；博物馆的坐标是（ 2，0），卧龙书院的坐标是（﹣3，2），汀州文庙在第四象限，
故答案为：2，0；﹣3，2；
（2）实数a＝4，实数b＝﹣2；
故答案为：4，﹣2；
（3）长汀一中的位置如图所示．
【知识点2 点在坐标系中的平移】
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，
向左平移时 减 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。
上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，
向下平移时 减 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【必考点3 点在坐标系中的平移】
【例1】已知点A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，点B（3a+2，b+3）在x轴上，则点C（a，b）向左平移2个
单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为（ ）
A．（5，﹣6） B．（3，0） C．（5，﹣3） D．（7，﹣6）
【分析】根据横轴上的点，纵坐标为零，纵轴上的点，横坐标为零可得a、b的值，然后再根据点的平
移方法可得C平移后的坐标．
【解答】解：∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，
∴a﹣5＝0，
解得：a＝5，∵B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴b+3＝0，
解得：b＝﹣3，
∴C点坐标为（5，﹣3），
∵C向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，
∴所的对应点坐标为（5﹣2，﹣3+3），
即（3，0），
故选：B．
【例 2】将点 P（2m+1，2﹣m）向左平移 3个单位长度得到点 Q，且 Q在y轴上，则点 P的坐标为
（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（0，1） D．（3，0）
【分析】将点P（2m+1，2﹣m）向左平移3个单位长度后点Q的坐标为（2m﹣2，2﹣m），根据点Q
在y轴上知2m﹣2＝0，据此知m＝1，再代入即可得．
【解答】解：将点P（2m+1，2﹣m）向左平移3个单位长度后点Q的坐标为（2m﹣2，2﹣m），
∵点Q在y轴上，
∴2m﹣2＝0，即m＝1，
则点P的坐标为（3，1）．
故选：A．
【变式1】如果将平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置，那么下列平移方法中
正确的是（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】解：∵平面直角坐标系中的点P（a﹣3，b+2）平移到点（a，b）的位置，
∴向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的．
故选：C．
【变式2】把点A（m，m+2）先向左平移2个单位长度，在向上平移3个单位长度得到点B，点B正好落
在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣5，0） B．（﹣7，0） C．（4，0） D．（3，0）【分析】由点A（m，m+2）先向左平移2个单位长度，在向上平移3个单位长度得到点B，知点B坐标
为（m﹣2，m+5），再根据点B正好落在x轴上知m+5＝0，得出到m的值，据此可得答案．
【解答】解：点A（m，m+2）先向左平移2个单位长度，在向上平移3个单位长度得到点B，
则点B坐标为（m﹣2，m+5），
由点B正好落在x轴上知m+5＝0，
解得m＝﹣5，
则m﹣2＝﹣7，
∴点B坐标为（﹣7，0），
故选：B．
【变式3】在平面直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若
点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【解答】解：把点A（m，2）先向右平移1个单位坐标变为（m+1，2），再向上平移3个单位得到点B
（m+1，5），
当点B的横坐标和纵坐标相等时，即m+1＝5，
即m＝4，
故选：A．
【知识点3 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把
原图形向 右 ( 或向左 )平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向 上 ( 或向下 )平移a个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标
发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下
减，横不变”．
【必考点4 图形在坐标系中的平移】
【例1】已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是（﹣2，1）、（2，3）、（﹣3，﹣1），把三角形ABC移
动到一个确定位置，平移后各对应点的坐标可能是（ ）
A．（0，3）、（0，1）、（﹣1，﹣1）
B．（﹣1，3）、（3，5）、（﹣2，1）C．（1，﹣2）、（3，2）、（﹣1，﹣3）
D．（﹣3，2）、（3，2）、（﹣4，0）
【分析】移后各顶点的坐标与原顶点坐标相比，必须有统一的变化规律，即每个顶点的横坐标要有相同
的变化，纵坐标也有相同的变化．
【解答】解：将△ABC平移，结合图形平移的规律可知：点A、B、C平移的规律是相同的．
A．0﹣（﹣2）＝2，0﹣2＝﹣2，平移方向不同，不符合题意；
B．横坐标变化：﹣1﹣（﹣2）＝1，3﹣2＝1，﹣2﹣（﹣3）＝1，纵坐标变化：3﹣1＝2，5﹣3＝2，1
﹣（﹣1）＝2，符合题意；
C．1﹣（﹣2）＝3，3﹣2＝1，平移距离不同，不符合题意；
D．﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，3﹣2＝1，平移方向不同，不符合题意；
故选：B．
【例2】如图，在平面直角坐标系中，三角形 ABC的顶点A的坐标为（﹣3，2），点C的坐标为（1，
0），将三角形ABC平移至三角形A B C 的位置，使得点A的对应点A 与坐标原点O重合，则点C的
1 1 1 1
对应点C 的坐标为（ ）
1
A．（﹣4，﹣2） B．（0，﹣2） C．（5，﹣2） D．（4，﹣2）
【分析】根据A点坐标的变化规律可得△ABC平移的方式，利用平移变换点的坐标的变化规律即可得．
【解答】解：因为点A（﹣3，2）的对应点A 的坐标为（0，0），即（﹣3+3，2﹣2），
1
所以△ABC平移的方式为：向右3个单位，向下2个单位，
点C（1，0）的对应点C 的坐标为（1+3，0﹣2），即（4，﹣2），
1
故选：D．
【变式1】如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到
点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（ ）A．（2，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，4）
【分析】由B（3，0）可得OB＝3，进而得到BE＝1，即将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到
△DCE，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．
【解答】解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1，
∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，
∴点C是将A向右平移1个单位得到的，
∴点C是的坐标是（1+1，2），即（2，2）．
故选：A．
【变式2】第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣2），将线段PQ平移，使平移后的点P、Q分别
在x轴与y轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．（﹣4，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减解答即可．
【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
∵P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
故选：A．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移至三角形A B C ，点P（a，b）是三角形ABC
1 1 1
内一点，经平移后得到三角形A B C 内对应点P （a+8，b﹣5），若点A 的坐标为（5，﹣1），则点A
1 1 1 1 1
的坐标为（ ）A．（﹣4，3） B．（﹣1，2） C．（﹣6，2） D．（﹣3，4）
【分析】先根据P点坐标的变化得出平移的方向和距离，进而可得出结论．
【解答】解：∵点P（a，b）是三角形ABC内一点，经平移后得到三角形A B C 内对应点P （a+8，b
1 1 1 1
﹣5），
∴设A（x，y），
∵点A 的坐标为（5，﹣1），
1
∴x+8＝5，y﹣5＝﹣1，
解得x＝﹣3，y＝4，
∴A（﹣3，4）．
故选：D．
【必考点5 利用坐标系中的平移规律求值】
【例1】如图，已知点A（﹣2，1），B（a，n）．若将线段AB平移到CD，其中C（1，0），D（4，
m），则m﹣n的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【解答】解：∵线段CD由线段AB平移得到，
且A（﹣2，1），B（a，n），C（1，0），D（4，m），
∴m﹣n＝0﹣1＝﹣1．
故选：B．【例2】已知点A（2，4）经过平移后的对应点是D（5，﹣3），点M（a，b）也经过这样的平移后对应
点是N（m，n），则m+n﹣a﹣b的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【分析】根据点A及点A平移后的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，再根据点N由同样的平移方
式由点M平移得到即可解决问题．
【解答】解：因为点A（2，4）经过平移后的对应点是D（5，﹣3），
所以5﹣2＝3，﹣3﹣4＝﹣7．
因为点M（a，b）也经过这样的平移后对应点是N（m，n），
所以m﹣a＝3，n﹣b＝﹣7，
所以m+n﹣a﹣b＝（m﹣a）+（n﹣b）＝3+（﹣7）＝﹣4．
故选：B．
【变式1】如图，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A B 的位置，则a+b的
1 1
值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣1
【分析】根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【解答】解：点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A B 的位置，
1 1
∵点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），A （3，b），B （a，2）
1 1
∴将线段AB平移至A B 时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，
1 1
∴a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
∴a+b＝1+1＝2，
故选：A．
【变式2】△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n）．已知点A（4，3）
也经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2），则m+n﹣a﹣b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】根据图形平移的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC内的任意一点M（a，b），经过平移后对应点N的坐标是（m，n），点A（4，3）也经过这样的平移后的对应点是D（6，﹣2），
∴m﹣a＝6﹣4＝2①，n﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5②，
∴①+②得，m+n﹣a﹣b＝2﹣5＝﹣3．
故选：D．
【变式3】已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+❑√b−8=0，将线段
PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
【分析】利用非负数的性质求出b的值，推出a＝c，推出PQ＝6，根据PQ向右平移a个单位长度，其
扫过的面积为24，推出a＝4即可解决问题．
【解答】解：∵|a﹣c|+❑√b−8=0，
又∵|a﹣c|≥0，❑√b−8≥0，
∴a﹣c＝0，b﹣8＝0，
∴a＝c，b＝8，
∴P（a，8），Q（a，2），
∴PQ＝6，
∵线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，
∴a＝4，
∴a＝c＝4，
∴a+b+c＝4+8+4＝16，
故选：C．
【必考点6 坐标系中平移变换作图】
【例1】如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，
点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关
系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到
的．
（2）若M（a﹣2，2b﹣3）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点
为N（2a﹣7，9﹣b），分别求a和b的值．
（3）求线段AB扫过的面积．【分析】（1）根据题意，得到B（2，1），点B′（﹣1，﹣2），结合2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝
3，得到三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3公单位长度，再向下平移3个单位长度得到或向
下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度；
（2）根据M（a﹣2，2b﹣3）是随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣
b），得a﹣2﹣3＝2a﹣7，2b﹣3﹣3＝9﹣b，求a和b的值即可；
（3）分割法计算四边形AA′BB′扫过的面积即可．
【解答】解：（1）根据题意，得到B（2，1），点B′（﹣1，﹣2），
∵2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3，
∴三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到或向下平
移3个单位长度，再向左平移3个单位长度．
（2）根据M（a﹣2，2b﹣3）是随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为N（2a﹣7，9﹣
b），
得a﹣2﹣3＝2a﹣7，2b﹣3﹣3＝9﹣b，
解得a＝2，b＝5．
（3）根据题意，得A（0，3），A′（﹣3，0），B（2，1），点B′（﹣1，﹣2），1 1 1 1
∴线段AB扫过的面积为：5×5− ×2×2− ×3×3− ×3×3− ×2×2=12．
2 2 2 2
【变式1】如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点
C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（2）若点M（a+1，2b﹣5）是△ABC内一点，它随△ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N
（2a﹣7，4+b），求a和b的值；
（3）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ．
【分析】（1）根据所给图形，即可得出点B和点B′的坐标，进而得出平移的方式即可解决问题．
（2）根据（1）中所得平移方式即可解决问题．
（3）根据平移的性质，得出BC∥B′C′，结合平行线的性质和∠BC′O﹣90°即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
点B的坐标为（2，1），点B′的坐标为（﹣1，﹣2），
所以2﹣（﹣1）＝3，1﹣（﹣2）＝3，则△A′B′C′是由△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（或先向下平移3
个单位长度，再向左平移3个单位长度得到）．
（2）因为点M是△ABC内一点，
所以平移后点M对应点的坐标可表示为（a+1﹣3，2b﹣5﹣3），
因为平移后点M对应点N的坐标为（2a﹣7，4+b），
所以a+1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4+b，
解得a＝5，b＝12．
（3）由平移可知，
BC∥B′C′，
所以∠CBC′＝∠B′C′B．
因为∠B′C′B＝∠B′C′O+∠BC′O＝∠B′C′O+90°，
所以∠CBC′＝∠B′C′O+90°．
故答案为：∠CBC′＝∠B′C′O+90°．
【变式2】已知：如图△ABC的位置如图所示，（每个方格都是边长为1个单位长度的正方形．△ABC的
顶点都在格点上）．点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），（1，5）．
（1）请在图中画出坐标轴，建立直角坐标系；
（2）点P（m．n）是△ABC内部一点，平移△ABC．点P随△ABC一起平移，点A落在A′（0，
4），点P落在P′（n，6），求点P的坐标并直接写出平移过程中线段PC扫过的面积．
【分析】（1）根据A，B，C的坐标确定平面直角坐标系即可；
（2）根据点A（﹣1，0）平移后落在A′（0，4），得出点的坐标平移规律，根据规律求出n的值，进
而得到点P的坐标，再根据平行四边形的面积公式求出平移过程中线段PC扫过的面积．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示：（2）∵点A（﹣1，0）平移后落在A′（0，4），
∴点的坐标平移规律是：横坐标加1，纵坐标加4，
∵点P（m，n）平移后落在P′（n，6），
∴m+1＝n，n+4＝6，
解得，n＝2，m＝1，
∴点P的坐标为（1，2），
设线段PC平移后与线段P′C′重合，则PC∥P′C′，PC＝P′C′，
∴四边形PCC′P′是平行四边形，
∴S
PCC′P′
＝3×1＝3．
即平▱移过程中线段PC扫过的面积为3．
【变式3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为
（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位
长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据平移的性质解决问题即可．
②根据点B的位置即可解决问题．
（2）利用分割法求三角形的面积即可．
（3）设P（0，m），利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度；
故答案为：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案为（6，3）．
4×4 2×3 1×6
（2）如图，S =6×4− − − =24−8−3−3=10
△ABC 2 2 2
1
（3）存在．设P（0，m），由题意 ×|4﹣m|×6＝3，
2
解得m＝3或5，
∴点P坐标为（0，3）或（0，5）．【必考点7 点在坐标系中的平移与新定义问题】
【例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P
的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，
1+2×4），即点Q（6，9）．
（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为（﹣9，3），求点P的坐标；
（3）若点P（c+1，2c﹣1）先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P ．点P
1 1
的“﹣4阶派生点”P 位于坐标轴上，求点P 的坐标．
2 2
【分析】（1）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（2）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论．
（3）判断出P 的坐标，构建方程求出c即可．
2
【解答】解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，
∴点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级派生点”的坐标为（2，14）．
故答案为：（2，14）；
（2）设点P的坐标为（a，b），
{5a+b=−9)
由题意可知 ，
a+5b=3
{a=−2)
解得： ，
b=1
∴点P的坐标为（﹣2，1）；
（3）由题意，P （c﹣1，2c），
1
∴P 的“﹣4阶派生点“P 为：（﹣4（c﹣1）+2c，c﹣1﹣8c），即（﹣2c+4，﹣7c﹣1），
1 2
∵P 在坐标轴上，
2
∴﹣2c+4＝0或﹣7c﹣1＝0，
1
∴c＝2或c=− ，
7
30
∴P （0，﹣15）或（ ，0）．
2 7
1 1
【变式1】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：如果a= x﹣2，b= y+1，
2 2
那么点M（a，b）就是点P的“关联点”．例如，点P（6，2）的“关联点”是点M（1，2）．
（1）求点A（2，1）的“关联点”坐标．（2）坐标平面内有一点C（a，b），将点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点
C′，如果点C与点C′的“关联点”互相重合，求点C的坐标．
【分析】（1）根据已知中的定义代入点A的坐标即可求得关联点的坐标；
（2）根据坐标平移规律C′坐标，根据定义可求得C′关联点，由题意列方程可解决．
【解答】解：（1）∵点A（2，1），
1 1 3
∴根据定义，点A的“关联点”是：( ×2−2， ×1+1)，即(−1， )，
2 2 2
3
∴A的“关联点”坐标(−1， )；
2
（2）∵C（a，b），点C向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后到点C′，
∴C′（a+2，b﹣3），
1 1
∴点C′的“关联点”是[ (a+2)−2， (b−3)+1]，
2 2
∵点C与点C′的“关联点”互相重合，
1 1
∴ (a+2)−2=a， (b−3)+1=b，
2 2
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，
∴C（﹣2，﹣1）．
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：
点P的“甲变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“乙变换”：将点P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为 ，若对点B进行1次“乙变
换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 ；
（2）若对点C（m，0）进行1次“甲变换”，再进行2次“乙变换”后，所得到的点D落在y轴上，求m的值及点D的坐标；
（3）若对点P（﹣10，1）进行“甲变换”和“乙变换”共计10次后得到点Q，恰好落在x轴上，直接
写出点Q的坐标．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义列方程求解；
（3）根据新定义列方程求解．
【解答】解：（1）若对点A（2，1）进行1次“甲变换”后得到点的坐标为（1，3），若对点B进行1
次“乙变换”后得到点（2，1），则点B的坐标为 （0，2）；
故答案为：（1，3），（0，2）；
（2）由题得：m+（﹣1）+2×2＝0，
解得：m＝﹣3，
∴点D的纵坐标为：0+2×1+2×（﹣1）＝0，
∴D（0，0）；
（3）（1，0）．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：
点P的“第I类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“第II类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）①已知点A（3，0），对点A进行1次“第I类变换”后得到的点的坐标是 ；
②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第II类变换”后得到点（0，2），则点B的坐标是
．
（2）已知点C（m，n），若对点C连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后
得到点D，求点D的坐标（用m，n表示）．
（3）点P的坐标（﹣10，3），对点P进行“第I类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点Q，
请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；
如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）①利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义，可求解；
②利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义，可求解；
（2）利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解；
（3）利用点P的“第Ⅰ类变换”的定义和点P的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解．
【解答】解：（1）①∵点A的坐标为（3，0），
∴点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标（2，2），故答案为：（2，2）；
②∵点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为（0，2），
∴点B的坐标是（0﹣3，2+1），即（﹣3，3）；
故答案为：（﹣3，3）；
（2）对点C（m，n）连续进行5次“第I类变换”后，得到的点的坐标是（m﹣5×1，n+5×2），化简
得（m﹣5，n+10），
再进行4次“第II类变换”后，得到的点的坐标是（m﹣5+4×3，n+10﹣4×1），
∴D（m+7，n+6）；
（3）不存在，理由如下：
∵P（﹣10，3），
设点P经过m次“第I类变换”，经过n次“第II类变换，
得到点Q的坐标为（﹣10﹣m+3n，3+2m﹣n），
∵点Q恰好在y轴上，
{ m+n=20 )
∴ ，
−10−m+3n=0
25
{m= )
2
解得 ，
15
n=
2
∵m、n为非负整数，
∴不合题意舍去，
∴不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上．
【必考点8 坐标与图形综合问题】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2
个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD；
（1）直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）．
（2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，
点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与
∠PCD，∠PAB的数量关系．【分析】（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设t秒后MN∥x轴，构建方程求解；
（3）分三种情形：①如图1中，当点P在直线AC的左侧时，②如图2中，当点P在直线AC的左侧
或直线AC上且在直线AB的右侧时，③如图3中，当点P在直线AB的右侧时，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2），
故答案为：﹣1，3，﹣1，﹣2；
（2）设t秒后MN∥x轴，
∴5﹣t＝0.5t﹣2，
14
解得t= ，
3
14
∴t= 时，MN∥x轴；
3
（3）①如图1中，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD+∠PAB．
②如图2中，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD+∠APC．③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB+∠APC．
1
【变式1】已知A（0，a），B（﹣b，﹣1），C（b，0）且满足 ❑√7−a+|b+2|+❑√2a−14=0．
2
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1所示，CD∥AB，∠DCO的角平分线与∠BAO的补角的角平分线交于点E，求出∠E的度
数；
（3）如图2，把直线AB以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点（0，
﹣5）．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可解决问题；
（2）延长EA交CD的延长线于H．设∠ECO＝∠ECH＝x，∠EAB＝∠EAP＝y，设AB交x轴于F．想办法求出x+y的值即可解决问题；
（3）利用图象法，解决问题即可．
1
【解答】解：（1）∵ ❑√7−a+|b+2|+❑√2a−14=0．
2
又∵❑√7−a≥0，|b+2|≥0，❑√2a−14≥0，
∴a＝7，b＝﹣2，
∴A（0，7）B（2，﹣1）C（﹣2，0）
（2）延长EA交CD的延长线于H．设∠ECO＝∠ECH＝x，∠EAB＝∠EAP＝y，设AB交x轴于F．
∵AB∥CH，
∴∠EAB＝∠H＝y，∠HCO+∠AFC＝180°，
∵∠PAB＝90°+∠AFC，
∴2y＝90°+（180°﹣2x），
∴x+y＝135°，
在△EHC中，∠E＝180°﹣x﹣y＝45°．
（3）如图，观察图象可知，直线AB向左平移3个单位，经过G（0，﹣5），解法二：过点B作BC∥y轴交直线A′B′于C，设BB′＝AA′＝x．
∵S平行四边形ABB′A′ ＝S平行四边形BCGA ，
∴8x＝12×2，
∴x＝3，
所以x＝3，
所以t＝3s，即经过3秒后，该直线与y轴交于点（0，﹣5）．
【变式2】如图，点A的坐标为（1，0），点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后得到
的图形为三角形DEC，点C的坐标为（m，n），且数m是﹣27的立方根，数n是4的算术平方根．
（1）求点E的坐标：
（2）点P是线段CE上的一个动点，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，试确定x，y，z之间的数
量关系，并说明理由．【分析】（1）根据算术平方根与立方根的定义求得m，n的值，进而得出C的坐标为（﹣3，2），根
据点B的坐标，确定平移分式，进而根据点A的坐标得出E点的坐标；
（2）过点P作PN∥CB，根据平行线的性质得出∠EAP＝∠APN，进而即可得出结论．
【解答】解：（1）∵﹣27的立方根是﹣3，
∴m＝﹣3．
∵4的算术平方根是2，
∴n＝2．
∴点C的坐标为（﹣3，2）．
∵点B在y轴上，点C（﹣3，2），
∴点B向左平移了3个单位长度，
∴点A（1，0）向左平移3个单位长度得到点E（﹣2，0）．
（2）x+y＝z．
理由：如图，过点P作PN∥CB．
∴∠CBP＝∠BPN，
又∵AE∥CB，
∴PN∥AC，
∴∠EAP＝∠APN，
∴∠CBP+∠EAP＝∠BPN+∠APN＝∠APB．
即x+y＝z．
【变式3】如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，
0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足❑√4−a+(b−3) 2=0．
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ ）、B（ ）、C（ ）；
②直接写出三角形AOH的面积 ．
（2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n．（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开
始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试
求t的值及点P的坐标．
【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论．
②利用三角形面积公式求解即可．
（2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论．
（3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建
方程，可得结论．
【解答】（1）解：①∵❑√4−a+(b−3) 2=0，
又∵❑√4−a≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4），
故答案为：1，4；3，0；2，﹣4．
1
②△AOH的面积= ×1×4＝2，
2
故答案为：2．
（2）证明：如图，连接DH．∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，
1 1
∴ ×1×n+ ×4×（1﹣m）＝2，
2 2
∴4m＝n．
1 1
（3）解：①当点P在线段OB上， ×（3﹣2t）×4= ×2t，
2 2
解得t＝1.2．
此时P（0.6，0）．
1 1
②当点P在BO的延长线上时， ×（2t﹣3）×4= ×2×t，
2 2
解得t＝2，
此时P（﹣1，0），
综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）．
