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第九章专项训练 平面直角坐标系中的面积问题
一．选择题
1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中 C（﹣4，4）．则三角形ABC的面
积是（ ）
A．4 B．6 C．12 D．24
【分析】根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：由图象可知，A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝2+4＝6，
∵C（﹣4，4），
1
∴S△ABC = ×6×4=12，
2
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
2．（2024•包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，
2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【分析】过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，利用三角形面积公式和梯形的面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△BCF +S梯形ABFE +S△AOE 进行计算．
【解答】解：过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，
∵O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），
∴OE＝1，AE＝2，BF＝3，CF＝2，EF＝2，
∴四边形OABC的面积＝S△AOE+ S△BCF +S梯形ABFE
1 1 (2+3)×2
= ×1×2+ ×3×2+
2 2 2
＝9，
故选：D．
【点评】本题主要考查了梯形的面积、三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，
1
即S△ = ×底×高．也考查了坐标与图形性质．
2
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），点B（2，0），点C在y轴上，若三角形ABC的面积为
3，则点C的坐标是（ ）
A．（0，﹣1） B．（0，1）
C．（0，1）或（0，﹣1） D．（0，2）或（0，﹣2）
【分析】根据题意作图得出C点的坐标即可．
【解答】解：根据题意作图如下：
∵点A（﹣1，0），点B（2，0），三角形ABC的面积为3，
∴AB＝OA+OB＝3，∴C（0，2）或（0，﹣2）
故选：D．
【点评】本题主要考查直角坐标系和三角形的面积，熟练掌握点的坐标和三角形的面积公式是解题的
关键．
二．填空题
4．如图，已知点A（3，2），点B（5，0），点E（4，1），点A、E、B在同一直线上，则三角形AOE
的面积为 2. 5 ．
【分析】根据三角形面积公式，利用 S△AOE ＝S△AOB ﹣S△BOE 进行计算即可．
1 1
【解答】解：S△AOE ＝S△AOB ﹣S△BOE = ×5×2− ×5×1=2.5．
2 2
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关
系．也考查了三角形面积公式．
5．如图，点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴上，把线段AB沿x轴向右平移得到CD，若四边形
3 1
ABDC的面积为 ，则点C的坐标为 （ ， 1 ） ．
2 2
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形
ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【解答】解：∵线段AB沿x轴向右平移得到CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，
3
∵四边形ABDC的面积为 ，点A的坐标为（﹣1，1），
23
∴AC×1= ，
2
3
∴AC= ，
2
3 1
∴C（﹣1+ ，1），即（ ，1）．
2 2
1
故答案为：（ ，1）．
2
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是
解题的关键．
三．解答题
6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC
的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）．
（1）写出D，E，F三点的坐标；
（2）画出三角形DEF；
（3）求三角形DEF的面积．
【分析】（1）直接利用P点平移变化规律得出答案；
（2）直接利用各对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形DEF所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）；
（2）如图所示：△DEF即为所求作的图形；
1 1 1
（3）S△DEF ＝5×3− ×5×1− ×4×2− ×1×3
2 2 2＝15﹣2.5﹣4﹣1.5
＝7．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
7．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
（1）写出A′、B′、C′的坐标；
（2）求出△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；根据各点在坐标系中的位置写出点A′、
B′、C′的坐标；
（2）根据三角形的面积公式即可求出结果；
（3）设P（0，y），再根据三角形的面积公式求出y的值即可．
【解答】解：（1）如图所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；1
（2）S△ABC = ×（3+1）×3＝6；
2
（3）设点P坐标为（0，y），
∵BC＝4，点P到BC的距离为|y+2|，
1
由题意得 ×4×|y+2|＝6，
2
解得y＝1或y＝﹣5，
所以点P的坐标为（0，1）或（0，﹣5）．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，小虫甲从点A（0，10）处开始，以每秒3个单位长度的速度
沿y轴向下爬行，同时小虫乙从点B（8，0）处开始，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左爬行，2s
后，它们分别到达点A′，B′．
（1）求出点A′，B′的坐标；
（2）求四边形AA′B′B的面积．【分析】（1）由题意知，OA′＝10﹣2×3＝4，OB′＝8﹣2×2＝4，进而可求点A′，B′的坐标；
（2）根据S四边形AA′B′B ＝S△AOB ﹣S△A′OB′ ，计算求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，OA′＝10﹣2×3＝4，OB′＝8﹣2×2＝4，
∴A′（0，4），B′（4，0）；
（2）由题意知，S四边形AA′B′B ＝S△AOB ﹣S△A′OB′
1 1
= ×10×8− ×4×4
2 2
＝32，
∴四边形AA′B′B的面积为32．
【点评】本题考查了坐标与图形．熟练掌握坐标与图形是解题的关键．
9．平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为 6 ；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求△ACD
的面积．
【分析】（1）根据题意得出OA＝2，OB＝2，OC＝4，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）由平移的性质可得点D坐标；①连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点
F，根据S△ACD ＝S△OAD +S△OCD ﹣S△OAC 进行计算即可得到答案；②根据△PAO的面积等于△CAO的面
积，求解即可．
【解答】解：（1）∵O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴BC＝OB+OC＝6，
1 1
∴S = BC⋅OA= ×6×2=6．
△ABC 2 2
故答案为：6；
（2）∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，B（﹣2，0），
∴得到对应点D坐标为（5，4），连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵D（5，4），
∴DE＝5，DF＝4，
∴S△ACD ＝S△OAD +S△OCD ﹣S△OAC
1 1 1
= OA⋅DE+ OC⋅DF+ OA⋅OC
2 2 2
1 1 1
= ×2×5+ ×4×4− ×2×4
2 2 2
＝9．
【点评】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关
键．
10．在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（1，m）、B（n，0）且实数m、n满足|m﹣2|+（4
﹣n）2＝0．
（1）求m、n的值，并在给出的平面直角坐标系中画出线段AB；
（2）平移线段AB至线段PQ处（A的对应点为P），使得点P、Q正好都在坐标轴上，写出P、Q两
点的坐标；
（3）若点C是x轴上的点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．【分析】（1）利用非负数的性质求出m，n，即可解决问题．
（2）如果平移线段AB至线段PQ处，使得点P、Q正好都在坐标轴上，可分两种情况：①P在y轴
上，Q在x轴上，②P在x轴上，Q在y轴上，分别求解．
（3）设点C坐标为（x，0），利用面积关系构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵|m﹣2|+（4﹣n）2＝0，
∴m﹣2＝0，4﹣n＝0，
∴m＝2，n＝4，
∴A（1，2）、B（4，0），
在坐标系中画出线段AB如图所示；
（2）∵x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，
∴如果平移线段AB至线段PQ处，使得点P、Q正好都在坐标轴上，可分两种情况：
①P在y轴上，Q在x轴上，将线段AB先向左平移1个单位，此时P（0，2），Q（3，0）；
②P在x轴上，Q在y轴上，将线段AB先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，此时P（﹣3，
0），Q（0，﹣2）；
（3）设BC的长为x，
∵三角形ABC中，BC边上的高为2，面积为3，
1
∴ ×x×2＝3，解得：x=3，
2
∴BC的长为3，即点C到点B的距离为3，
∵点B坐标为（4，0），
所以点C的坐标为（1，0）或（7，0）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的变化﹣平移等知识，
解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足a2+2a+1+|3a+b|＝0．（1）填空：a＝ ﹣ 1 ，b＝ 3 ；
（2）若存在一点M（﹣2，m）（m＜0），点M到x轴距离 ﹣ m ，到y轴距离 2 ，求△ABM
的面积（用含m的式子表示）；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣1.5时，在y轴上有一点P，使得△MOP的面积与△ABM的面积相等，
请求出点P的坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质求得a、b的值，即可得出答案；
（2）过M作ME⊥x轴于E，根据三角形的面积公式即可得到结果；
（3）设BM交y轴于点C，设P（0，n），根据三角形面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵a2+2a+1+|3a+b|＝0，
∴（a+1）2+|3a+b＝0，
∴a+1＝0，3a+b＝0，
∴a＝﹣1，b＝3；
故答案为：﹣1，3；
（2）∵点M（﹣2，m）（m＜0），
∴点M到x轴距离﹣m，到y轴距离2，
如图1所示，过M作CE⊥x轴于E，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝﹣1，OB＝3，∴AB＝4，
∵在第三象限内有一点M（﹣2，m），
∴ME＝|m|＝﹣m，
1 1
∴S△ABM = AB×ME= ×4×（﹣m）＝﹣2m，
2 2
故答案为：﹣m，2；
（3）设BM交y轴于点C，如图2所示：
设P（0，n），
当m＝﹣1.5时，M（﹣2，﹣1.5），S△ABM ＝﹣2m＝3，
在y轴上有一点P，使得△MOP的面积＝△ABM的面积＝3，
1
∴ |n|×2＝3，
2
解得n＝±3，
∴符合条件的点P坐标是（0，﹣3）或（0，3）．
【点评】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点，能
求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．
