文档内容
专题 01 数轴的五种考法全梳理（高频与压轴题型）
目录
【知识点归纳】.................................................................................................................................1
【考法一、求点的运动时间】.........................................................................................................2
【考法二、点的往返运动问题】.....................................................................................................4
【考法三、数轴弯折问题】.............................................................................................................6
【考法四、定值问题】.....................................................................................................................7
【考法、数轴上的新定义问题】.....................................................................................................9
【课后练习】...................................................................................................................................10
【知识点归纳】
1.数轴上两点间的距离
如图，A、B表示的数为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
当a，b的大小已知时，“大减小（右减左）”，不知大小时，“绝对值”（两数差的绝对值）.
2.数轴上两点间中点表示的数
如图，C是AB的中点，则C表示的数x= ；理由：AC=BC，则x－a=b－x，∴x= .
3.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数
为a－b.
例：P从A出发，以2个单位/秒速度向右运动，t秒后达到的点表示的数为：a+2t.
数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数
轴上线段的和差关系.【考法一、求点的运动时间】
例．已知数轴上三点 对应的数分别为 ，3，点 为数轴上任意一点，其对应的数为 。
（1） 三点中，其中一个点是另外两个点连成的线段的中点（把一条线段分成相等部分的点），那
么 的值是_________．
（2）数轴上是否存在点 ，使点 到点 ，点 的距离之和是7？若存在，请直接写出 的值；若不存在，
请说明理由．
（3）如果点 以每分钟3个单位长度的速度从原点向右运动时，点 和点 分别以每分钟4个单位长度
和每分钟1个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么几分钟后， 三点中，其中一个
点是另外两个点连成的线段的中点
变式1．如图，已知数轴上依次有三点 A、B、C，点 B 对应的数是 ，且点 B 到点A、C的距离均
为600.
(1)写出点A所对应的数；
(2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向右运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5单位长度
每秒，问多少秒时点P与点Q重合；
(3)若动点P、Q分别从A、C两点相向而行，点P运动20秒后，点Q开始运动，点P、Q的速度分别为10
单位长度每秒、5单位长度每秒，问点 P 运动多少秒时P，Q两点的距离为200.
变式2．如图，点 和点 在数轴上对应的数分别为 和 ，且 ．
（1）线段 的长为 ；（2）点 在数轴上所对应的数为 ，且 是方程 的解，在线段 上是否存在点 使得
?若存在，请求出点 在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；
（3）在(2)的条件下，线段 和 分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时向右运动，运
动时间为 秒，点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，若 ，求 的值．
变式3．我校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航同学设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P、Q在
直线 赛道上运动，电子蚂蚁P从A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从B出发
以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且两点同时出发．
小航同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合思想的方法建立数轴可以较快的解决问题，小航同学
设计在数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，满足 ，且k为最大的负整数， ．
(1)则 ________， ________．
(2)如果P、Q相向运动，经过几秒钟P、Q之间距离为4个单位．
(3)当点P、Q两点同时向右方向运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点出发，以每秒5个单位长度的速度
匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得 ，若存在求出t值，并求出点C所表
示的数．
【考法二、点的往返运动问题】
例．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
（1）已知点 ， ， 表示的数分别为1， ，-3．观察数轴，与点 的距离为3的点表示的数是____，
， 两点之间的距离为_____．（2）数轴上，点 关于点 的对称点表示的数是_____．
（3）若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则与 点重合的点表示的数是_____；若此数轴上 ， 两
点之间的距离为2019( 在 的左侧)，且当 点与 点重合时， 点与 点也恰好重合，则点 表示的
数是_____，点 表示的数是_____；
（4）若数轴上 ， 两点间的距离为 ( 在 左侧)，表示数 的点到 ， 两点的距离相等，将数轴折
叠，当 点与 点重合时，点 表示的数是_____，点 表示的数是_____(用含 ， 的式子表示这两个数)．
变式1．如图，数轴上有A，B两点，所表示的有理数分别为a、b，已知AB=12，原点O是线段AB上的
一点，且OA=2OB．
（1）a= ，b= ．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每
秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．
①当t为何值时，2OP﹣OQ=4；
②当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长度的速度也向右运动，当点M追上点Q后
立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直
到点P，Q停止时，点M也停止运动，求在此过程中点M行驶的总路程，并直接写出点M最后位置在数
轴上所对应的有理数．
变式2．如图，O为原点，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|＋(3a＋b)2＝
0．
（1）a＝________，b＝_________；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）．
①当点P运动到线段OB上，且PO＝2PB时，求t的值；
②先取OB的中点E，当点P在线段OE上时，再取AP的中点F，试探究 的值是否为定值？若是，
求出该值；若不是，请用含t的代数式表示．
③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O后立即原速返回向右匀速运动，当PQ＝1时，求t的值．
变式3．在数轴上，点 表示的数为1，点 表示的数为3，对于数轴上的图形 ，给出如下定义： 为图
形 上任意一点， 为线段 上任意一点，如果线段 的长度有最小值，那么称这个最小值为图形
关于线段 的极小距离，记作 ，线段 ；如果线段 的长度有最大值，那么称这个最大值为图
形 关于线段 的极大距离，记作 ，线段 ．
例如：点 表示的数为4，则 点 ，线段 点 ，线段 ．
已知点 为数轴原点，点 为数轴上的动点．
(1) （点 ，线段 )=_________， （点 ，线段 ）_________；
(2)若点 表示的数 ，点 表示数 (线段 ，线段 ，求 的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，点 从表示数 的点出发，第1秒以每
秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿 轴负方向匀速运动，第3秒以每秒
6个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿 轴负方向匀速运动，……，按此规律
运动， 两点同时出发，设运动的时间为 秒，若 (线段 ，线段 )小于或等于6，直接写出 的
取值范围（ 可以等于0）．
【考法三、数轴弯折问题】
例．将一条数轴在原点 和点 处各折一下，得到如图所示的一条“ 型数轴”．图中点 表示 ，点
表示8，点 表示16，我们称点 和点 在数轴上相距26个单位长度．动点 从点 出发，以2个单位
长度每秒的速度沿着“ 型数轴”向点 方向运动，从点 运动到点 期间速度变为原来的一半，之后立
刻恢复原速；同时，动点 从点 出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“ 型数轴”向点 方向运动，
从点 到点 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为 秒．
(1)动点 从点 运动到点 需要多少时间？(2) 、 两点相遇时，求相遇时间是多少？
(3)求当 为何值时， 、 两点在数轴上相距的长度与 、 两点在数轴上相距的长度相等．
变式1．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示 ，
点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从
A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单
位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的
速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q
运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问：
(1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ；
(2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？
(3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等．
变式2．综合与实践：
如图，将一条数轴在原点 和点 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点 表示 ，点 表示
10，点 表示18，我们称点 和点 在数轴上相距28个长度单位．动点 同时开始运动，点 从点
出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点 运动到点 期间速度变为原来的一半，
之后立刻恢复原速，直至点 处停止运动；点 从点 出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，
从点 运动到点 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点 处停止运动．设运动的时间
为 秒．问：
(1)当点 运动2秒时，点 在数轴上表示的数是______；当点 运动10秒时，点 在数轴上表示的数是
______；
(2)动点 从点 运动至 点需要多少时间？
(3) 两点何时相遇？相遇时，求出相遇点 所对应的数是多少？
(4)在整个运动过程中，是否在线段 上存在 两点在数轴上相距的长度与 两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由）
【考法四、定值问题】
例．如图：已知，在数轴上 A 点表示数 a，B 点示数 b，C 点表示数 c，且 a、b、c 满足
．
(1) ， ， ；
(2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别
以每秒4个单位长度和2个单位长度的速度向右运动．假设t秒钟 过后，点A与点B之间的距离表示
为 ，点A与点C之间的距离表示为 ，点B与点C之间的距离表示为 ．则 ， ，
；（用含t的代数式表示）
(3)在（2）的条件下，若 的值不随着t值的变化而变化，试确定t的取值范围．
变式1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．
研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，
则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为 ．
【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C， ，点A对应的数是40．
【综合运用】
(1)点B表示的数是 ．
(2)若 ，则点C到原点的距离为 ．
(3)如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，
已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点
P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
(4)如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R
从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，m（ ）个单位长度秒、2个单位长
度/秒，在运动过程中，如果点M为线段 的中点，点N为线段 的中点．若 的值为定值，请求出m的值．
变式2．如图，点A表示的数是a，点B表示的数是b，满足 ，动点P从点A出发，以
每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 （ ）秒，
(1)直接写 ____， ____，
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，①问点P
运动多少秒时追上点Q？②问点P运动多少秒时使得 ？
(3)点P、Q以（2）中的速度同时分别从点A、B向右运动，同时点R从原点O以每秒7个单位的速度向右
运动，是否存在常数m，使得 的值为定值，若存在请求出m值；若不存在，请说明理由．
【考法、数轴上的新定义问题】
例．数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关
系，则称该点是其它两个点的“关联点”.
例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为
，所以称点B 是点A，C的“关联点”．
图1
(1)如图2所示，点A表示数 ，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C ，C ，C 其中是
1 2 3
点A，B 的“关联点”的是 ;
图2
(2)如图3所示，点A 表示数 ，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点：
①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B 的“关联点”，求此时点P 表示的数；
②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B 中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P
表示的数.图3
变式1．我们规定：对于数轴上不同的三个点 ， ， ，当点 在点 左侧时，若点 到点 的距离
恰好为点 到点 的距离的 倍，且 为正整数，（即 ），则称点 是“ 整 关联点”．
如图，已知在数轴上，原点为 ，点 ，点 表示的数分别为 ， ．
(1)原点 ________（填“是”或“不是”）“ 整 关联点”；
(2)若点 是“ 整 关联点”，则点 所表示的数 _______；
(3)点 在 ， 之间运动，且不与 ， 两点重合，作“ 整 关联点”，记为 ，作“ 整 关
联点”，记为 ，且满足 ， 分别在线段 和 上．当点 运动时，若存在整数 ， ，使得式子
为定值，直接写出 ， 满足的数量关系________．
变式2．点 在同一条直线上，点 在线段 的延长线上，如果 ，那么我们把点 叫做点
关于点 的伴随点．
(1)如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 关于原点 的伴随点 表示的数是_________；
(2)在（ ）的条件下，点 表示的数是 ，若点 关于点 的伴随点是点 ，求 的值；
(3)如图，数轴上的三个点 分别表示的数是 ．有一动点 从点 出发，以每秒 个单位长度
的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿数轴的负方向
运动．当动点 运动至点 处时，两动点 同时停止运动．设动点 的运动时间为 秒，在运动
过程中，若 三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出 的值．
【课后练习】
1．数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为 ．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则 ．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离 ______，线
段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以
每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的
端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二
次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
2．如图，在数轴上，点 表示的数是 ，点 在原点右侧，且
(1)求在数轴上点 表示的数．
(2)若动点 、 两点分别从 、 两点同时出发，点 从点 向右运动每秒 个单位长度；点 从点 向
左运动每秒 个单位长度，且 是线段 的中点， 是线段 的中点，求经过多长时间 、 两点间
距离是 ．
(3)在（2）的条件下，点 始终保持原速向右运动，当点 、 相遇时，点 立即改变方向，向右运动，
速度不变，点 到点 时停止运动，点 也随之停止，在整个运动过程中，当 时，求在数轴上
点 表示的数．
3．如图：在数轴上点 表示数 ，点 表示数 ，点 表示数 ，已知 是 ，数 是最大的负整数，是单项式 的次数．
(1) _____， _______．
(2)点 ， ， 开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向
右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动， 秒过后，若点A与点B之间的距离表示为 ，点B
与点C之间的距离表示为 ．
① _____， ________．（用含 的代数式表示）
②探究： 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
③若 点 ， ， 与三点同时开始在数轴上运动，点 从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运
动，请含 的式子表示 ．
4．A、B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的
数记录如下表．
(1)根据题意，填写下列表格：
时间（秒） 0 5 7
A点在数轴上的位置 10 0 ___________
B点在数轴上的位置 ___________ 12 20
(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；
(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一
直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．
①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？
②数轴上有一动点C，在感应器开始发出第二次提示时，从原点出发，沿数轴以3个单位长度/秒的速度运
动，C点运动几秒，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是 ？
5．如图，A是数轴上表示 的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A，B，C在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A运动的速度是6个单位长度/秒，点B和点C运动的速度是3个单位长
度/秒．设三个点运动的时间为t秒．
(1)直接写出t秒后，A，B，C三点在数轴上所表示的数；
(2)当t为何值时，线段 （单位长度）？
(3)当 时，设线段 的中点为P，线段 的中点为M，线段 的中点为N，且 为常数，
求k的值．
6．在数轴上有三个点 ， ， 它们表示的有理数分别为 ， ， ，已知 是最大的负整数，且
．
(1) ______， ______， ______；
(2) 如果数轴上点 到 、 两点的距离相等，则点 表示的数为______；
如果数轴上点 到点 的距离是 ，则点 表示的数为______；
(3)在数轴上是否存在一点 ，使点 到点 的距离是点 到点 的距离的 倍？若存在，请直接写出点
表示的数；若不存在，请说明理由；
(4)甲、乙两点分别以每秒 个单位长度和每秒 个单位长度从点 、 同时出发向点 运动，甲到达 点
后以原来 倍的速度返回，求几秒后甲、乙两点相距 个单位长度？
7．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作 或
．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为 ．
如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为 ，0， ．(1)直接写出结果， ， ；
(2)设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段 的中点，则 ；
②若点P为线段 上的一个动点，则 的化简结果是 ；
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒
4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t
秒，是否存在t值，使得 ？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
8．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为 ，定义：
或 ，请回答问题：
(1)设点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若 ，则 ．
(2)设数轴上点P对应的数为p，且 ，求p的值；
(3)如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C表示的数为 ，点B表示的数是9． 现
甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B出发，以每秒4个单位长度的速
度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲
以每秒1个单位长度的速度继续向右运动． 问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？
9．已知 、 满足 ．且 ，有理数 、 、 在数轴上对应的点分别为 、 、
．
(1)则 =______， =______， =______；
(2)若点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动，点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动．点 、 同时出发，设运动时间为 秒．
①请用含 的代数式表示出点M、N表示的数：M：_____，N：_____；
② 为何值时， 、 相距 个单位长度？
(3)若点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向右运动， 为 中点，点 从点 出发向右运动，到
达点 时立即返回向左运动，速度为每秒 个单位长度，点 从点 出发向右运动，速度为每秒 个单位
长度．点 、 、 同时出发， 为何值时， ．
