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第三篇 思想方法篇
思想02 分类与整合思想（练）
一、单选题
1．（2023·吉林·统考二模）已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若 是正三角形，则D的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由题得到 ，结合 ，即可求得 .
【详解】无论椭圆焦点位于 轴或 轴，根据点 , , 为椭圆 的三个顶点,
若 是正三角形,则 ，即 ，即 ，
即有 ，则 ，解得 .
故选：C.
2．（2023春·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考开学考试） 表示不超过x的最大整数，已知函数
，有下列结论：
① 的定义域为 ；② 的值域为 ；③ 是偶函数；④ 不是周期函数；⑤ 的单调增区间为
．
其中正确的结论个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】直接根据解析式可知①正确；通过特殊值可知②和③不正确；根据周期函数的定义可知④正确；根据
函数 的单调性可以判断，可知⑤正确.
【详解】对于①， 的定义域为 ，故①正确；
对于②，当 时， ，故②错误；
对于③， , , 的图象不关于y轴对称，则 不是偶函数，故③错误；对于④，当 时， 表示x的小数部分， 在 上单调递增, 在 上
是周期变化，当 时，当 时， ． 是减函数, 在R上不是周
期函数，故④正确；
对于⑤，当 时， ，表示x的小数部分，所以 在 上单调递增；当 时，
当 时， ， 是减函数．故 的单调增区间为 ，故
⑤正确．
故①④⑤正确.
故选: A．
3．（2023秋·天津·高一统考期末）已知函数 若函数 有四个不同的零点
， ， ， ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出函数 图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】函数 的四个不同的零点 ， ， ， ，就是函数 与 两个图象四个交
点的横坐标，
作出函数 的图象，对于A， ，
当 时， ，令 ，解得 ，
结合图象可知 ，故A错误；
结合图象可知 ，解得 ，故B正确；
又 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故C错误；
根据二次函数的性质和图象得出 ，所以 ，故D错误；
故选：B
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量 的夹角为 ，且 是函数 的两个零点.若
，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】由题知 或 .，再根据向量垂直的数量积表示，数量积的运算律分别讨论求解即
可.
【详解】解：因为函数 的两个零点分别为2，3，所以 或 .
又 ，
所以 ，则 ，即 .
当 时， ，解得 （舍去）；
当 时， ，解得 ，满足 .
综上，
故选：A
5．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数 的周期为2，当 时， ．如果
，那么 的零点个数是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【分析】先将问题 的零点问题转化为函数 与 的交点，分析出 的值域，
由此判断出零点个数．
【详解】函数 的零点个数为函数 与 的图象的交点的个数，
因为函数 的定义域为 ，
所以当 时，函数 与 的图象没有交点，
当 时， ，
所以当 时， ．
又函数 的周期为2，所以 ．当 时， ，
所以当 时，函数 与 的图象没有交点，
作函数 和函数 在区间 上的图象，
观察图象可得两函数图象有5个交点,
所以函数 的零点个数为5.
故选：C.
6．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）双曲线 ： 的右焦点和虚轴上的一个
端点分别为 ， ，点 为双曲线 左支上一点，若 周长的最小值为 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求得 ， 的坐标，设出 ，运用双曲线的定义可得 ，则 的周长为
，运用三点共线取得最小值，可得 ，由 ， ， 的关系，
结合离心率公式，计算即可得到所求值.
【详解】解：由题意可得 ， ，设 ，
由双曲线的定义可得 ，
，，
则 的周长为
，
当且仅当 ， ， 共线，取得最小值，且为 ，
由题意可得 ，
即 ，
，
则 ，
故选：B.
7．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量 满足 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，结合椭圆的定义分析求解.【详解】∵ ，则 ，且 ，
不妨设 ，则
，
由 ，即 ，
故点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，
∴ ，
则 ，当且仅当点 为 的延长线与椭圆的交点 时等号成立，
，当且仅当点 为 的延长线与椭圆的交点 时等号成立，
即 ，故 .
故选：D.
8．（2023·安徽合肥·统考一模）已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且 ，当PQ绕
点A转动时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以 点为原点，建立直角坐标系，可知 两点都是圆 上的动点，当直线 斜率不存在时，可得 ，直线 斜率存在时，可得到 或 ，再讨论
与 的大小关系，即可求解.
【详解】以 点为原点，以与 平行的直线为 轴，与 垂直的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，易知 两点都是圆 上的动点，
当直线 斜率不存在时， ，
此时 ， ，则
当直线 斜率不存在时，可设直线 的方程为 ，
当 时，联立 ，解得 ， ，
则 ， ，
；
同理，当 时， ， ，
，
综上所述， 的取值范围是 ，
故答案选：D.
二、多选题9．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数a，b满足等式 ，下列式子可以成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据指数函数图象分析判断.
【详解】设 ，分别作出 的函数图象，如图所示：
当 ，则 ，A成立；
当 ，则 ，B成立，C不成立；
当 时，则 ，D成立.
故选：ABD.
10．（2023·广东深圳·统考一模）已知抛物线C： 的准线为 ，直线 与C相交于A、B两点，M
为AB的中点，则（ ）
A．当 时，以AB为直径的圆与 相交
B．当 时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当 时，点M到 的距离的最小值为2
D．当 时，点M到 的距离无最小值
【答案】BC
【分析】将直线 代入 ，结合韦达定理求得 坐标、点 到准线 的距离 及 ．当
时，由 可判断A；当 时，由 可判断B；当 时，得 的关系式，代入表达式，利用基本不等式可判断C；当 时，得 的关系式，代入 表达式，利用对勾函数的性质
可判断D．
【详解】抛物线 ，准线 方程是 ，
直线 代入 ，可得 ， ，
设 ，则 ，
，
，
设 ，则 ，
点 到准线 的距离 ，
，
当 时， ，点 到准线 的距离 ，则以AB为直径的圆与 相
切，故A错误；
当 时， ，则 ，则以AB为直径的圆经过原点O，故B正确；
当 时，即 ，得 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，故C正确；
当 时，即 ，得 ，
所以 ，令 ，
则 ，由对勾函数的性质得，当 时， 单调递增，故当 时， 取最小值 ，故D错误．
故选：BC．
11．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线 的焦点，点 在抛物线W上，过点
F的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作 ， 的垂线，垂足分别为
M，N，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出抛物线 的方程，确定四边形 形状，利用勾股定理及均值不等式计算判
断A，B；设出直线 的方程，与抛物线方程联立，求出弦 长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 ，故 ， ，
抛物线 的焦点 的坐标为 ，
因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 面积的最大值为2，故A正确.
由 ，
得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以四边形 周长的最大值为 ，故B不正确.
设直线 的方程为 ，联立 消x得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ，则 ，
则 ，
同理得 ，
，C正确.
，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 ，故D正确.
故选：ACD.12．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知正方体 的棱长为2（如图所示），点
为线段 （含端点）上的动点，由点 ， ， 确定的平面为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．平面 截正方体的截面始终为四边形
B．点 运动过程中，三棱锥 的体积为定值
C．平面 截正方体的截面面积的最大值为
D．三棱锥 的外接球表面积的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据线面平行的判定定理，运动变化思想，函数思想，即可分别求解.
【详解】对A选项，当 与 点重合时，平面 截正方体的截面为 ，错误；
对B选项，∵ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又点 为线段 （含端点）上的动点，
∴ 到平面 的距离为定值，又 的面积也为定值，
∴三棱锥 的体积为定值，正确；
对C选项，当 由 移动到 的过程中，利用平面的基本性质，延长 交 于 ，连接 交 于 ，
所以，从 到 之间，平面 截正方体的截面为 为等腰梯形，且 ，当 与 重合时，截面为矩形 ，此时面积最大为 ，正确；
对D选项，如图，分别取左右侧面的中心 ， ，则 垂直于左右侧面，
根据对称性易知：三棱锥 的外接球的球心 在线段 上，
设 到 的距离为 ，则 ，
设 ，则 ，又易知 ，外接球 的半径 ，
在 与 中，由勾股定理可得： ，两式相减得： ，
∴ ，令 ，又 ，则 ，
∴ ， ，
设函数 ， ，则 的对称轴为 ，的开口向上，
∴ 在 上单调递增，最小值为 ，最大值为 ，即 ，
∴三棱锥 的外接球表面积 ，正确.
故选：BCD.三、填空题
13．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数 ，则不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上，不等式 的解集为 .
故答案为：
14．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知椭圆C： ， ， 为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆
上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则 的范围为_____．
【答案】
【分析】利用椭圆定义可得 ，再根据三角形三边长的关系可知，当 共线时即可取得
最值.
【详解】由椭圆标准方程可知 ，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得 ，所以
所以
易知 ，当且仅当 三点共线时等号成立；
又 ，所以 ；
即 的范围为 .
故答案为：
15．（2022秋·上海青浦·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系 中，若动点 到两直线 和
的距离之和为 ，则 的最大值为___________.
【答案】8
【分析】由已知可知两直线 ，取 在 的右侧时，分别过 作两直线的垂线，结合几何性质确定 点
轨迹，即可求得 的最大值,其他位置同理可得．
【详解】若动点 到两直线 和 的距离之和为 ，
交点为 的斜率分别为 ，则 ，
在 的右侧时，过 分别向 引垂线，
垂足分别为 ，那么 ，
过 作 轴的平行线，与 交点为 如图，则 ，所以 ，
其它位置同理，那么点 轨迹为正方形 ，
当 在 时， 取得最大值 ，即 取得最大值8.
故答案为：8．
16．（2022·北京·统考模拟预测）若函数 的极小值点为1，则实数a的取值
范围是__________，
【答案】
【分析】令 得 ，讨论 与 的大小关系，确定1是否为极值点即可.
【详解】由 得，
，
令 得 ，
令 ，
所以 ，
又 ，所以 有两个不同的根，令 ，
当 或 时， 单调递减；当 单调递增，
①当 即 时， 的大致图象如图1：
当 时， ，当 时， ，所以 为 的极大值点，
当 时， ，当 时， ，所以1为 的极小值点，
当 时， ，当 时， ，所以 为 的极大值点，
故 时满足题意.
②当 时, 是 的最大根， 的大致图象如图2：
时， 当 时 ，所以1为 的极大值点，此时不满足题意.
③当 时， 的大致图象如图3图4， 时， ，当 时 ，所以1为的极大值点，此时不满足题意.
④当 时， ， 时， ，当 时 ，所以1为 的
极大值点，此时不满足题意.
综上： 的取值范围： ，
故答案为：
【点睛】已知 为极值点求参数方法：由极值点定义知 ，
（1）若由 可以求得参数值，再证明 为函数的极值点；
（2）若 恒成立，求不到参数值，则 为变号零点，通过含参讨论确保 两侧的单调性不同求得参数
值或范围.（相似题2018新课标3卷理21题）
四、解答题
17．（2022·北京·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，在数列 中， ，
， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ， 为数列 的前n项和，求 的最值．【答案】(1) ，
(2)最小值为 ，最大值为1
【分析】（1）利用累加法和等差数列的通项公式可求 ，由 及 可求 ；
（2）利用错位相减法求出 ，分情况讨论可得答案.
【详解】（1）由己知得，当 时
.
∴
当 时， ，也满足上式．所以
当 时， ，∴
当 时， ，符合上式
当 时， ，所以 ，也符合上式，综上，
∴ ， .
（2）由（1）可得：
∴
两式相减：∴
当n为奇数时，不妨设 ，则
∴ 单调递减，
当n为偶数时，不妨设 ，则
∴ 单调递增，
∴ 的最小值为 ，最大值为1.
18．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）设数列 的前n项和 满足： ，记
．
(1)证明： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析， ；(2) .
【分析】（1）根据 与 之间的关系可得， ，进而可推得
，即 ，求出 ，可得出 ，即可得出 ，进而得出 ；
（2）作差可得 ，通过研究函数 的性质，即可得出 时， 单调递减，
进而求出 的值，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得， ①，
当 时，有 ②，
①-②整理可得， ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
则 ；
（2）由（1）可知， ，所以，当 时，有 ，
所以要求 的最大值，先比较 与 的大小，
令 ，则 ，
根据函数的单调性，可知当 时， 单调递增.
且 时，有 ，所以 .
当 时，有 ，所以 单调递增.
又 ， ，
所以 时， ，
所以 时，有 ，即 单调递减，
又 ， ， ， ， ，
所以 最大，此时 .
19．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）如图，已知椭圆 的离心
率为 ，其左、右顶点分别为 ．过点 的直线 与该椭圆相交于 两点．(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与 的斜率分别为 ．试问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在， .
【分析】（1）根据题意求出 ，即可得解；
（2）方法一：设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立方程，利用韦达定理可
求得 两点的坐标，再根据 三点共线，即可得出结论.
方法二：根据当直线 垂直于 轴时，得出 的值，在证明直线斜率不存在时， 也为这个值即可.
【详解】（1）依题意可知 ， ，
所以椭圆的方程为： ；
（2）(方法一)设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，
则 ，则 ，所以点 的坐标为 ，
同理，可解得点 的坐标为 ，
当 时，此时 ，因为 ，则 ，
当 时，此时 ，
由 三点共线，得 ，
化简有 ，
由题知 同号，所以 ，
故存在 ，使得成立．
(方法二)当直线 垂直于 轴时， 点的坐标分别为 ，
所以此时直线与的斜率分别为 ，有 ，
由此猜想：存在 满足条件，下面证明猜想正确．
当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，
，
，，
，
由此可得猜想正确，
故存在 ，使得成立．
【点睛】本题考查了椭圆的离心率及椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，计算量较大，有一定
的难度.
20．（2022·北京·统考模拟预测）如图所示，过原点O作两条互相垂直的线OA，OB分别交抛物线 于
A，B两点，连接AB，交y轴于点P．
(1)求点P的坐标；
(2)证明：存在相异于点P的定点T，使得 恒成立，请求出点T的坐标，并求出 面积
的最小值．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， ，8.
【分析】（1）设 ， ， ，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，化简 即
得解；
（2）当 与x轴平行时， ，设 ，由题得 ，化简即得 .求出,即得解.
【详解】（1）设 ， ， ， 的斜率必存在，设
与抛物线联立可得 ，
∴ ，
可知： .
∵ ，∴
∵ ，∴ ，则
∴ ，即 .
（2）由 ，可知： ，
当 与x轴平行时， ，
∴存在点T在y轴上，设 ， ，
∴TP为 的角平分线，有 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，∴存在 ，使得： 恒成立，
∴
，
当且仅当 轴时， 面积的最小值为8.
21.（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 时， 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求 的导函数，对导函数中的参数 分类讨论，在每种情况下通过导函数的正负得出函数的
单调性；
（2）将函数恒成立问题转化为关于函数最值的不等式，解不等式得出参数取值范围.
【详解】（1） ，
①当 时， 在 恒成立， 在 单调递减；
②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，所以 在 单调递增，在
单调递减；
③当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，所以 在 单调递减，在单调递增．
综上，当 时， 在 单调递减；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增．
（2）设 ，则题意等价于 时， 恒成立，所以
，故 .
，由 ，得 或 .
当 时， ，所以 在 为增函数；
当 时， ，所以 在 为减函数；
当 时， ，所以 在 为增函数.
，
要使 时， 恒成立，只需 ，解得 .故实数k的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的解题关键是：先根据区间端点处的恒成立，缩小参数的取值范围，避免了
繁琐的分类讨论.
22．（2023·云南曲靖·统考一模）已知函数 的图像与直线l： 相切于点
．
(1)求函数 的图像在点 处的切线在x轴上的截距；(2)求c与a的函数关系 ；
(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意 ，不等式 恒成立．求实数k的最值．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为3，最小值为 ．
【分析】（1）利用导数求切线方程，进而求出截距；
（2）先求出函数 在x＝1处的切线方程 ，对照系数消去b即可得到；
（3）把题意转化为对 ，不等式 恒成立．对x分类讨论：①x＝0直接判断；②
时，利用分离参数法得到 恒成立．设 ，求得
．利用导数求出 ；③当 时，与②同，求出 的范围．
【详解】（1） ， ， ， ．
函数 的图像在点 处的切线方程是： .
令y＝0得 ，所以该切线在x轴上的截距等于 ．
（2） ， ，函数 的图像在x＝1处的切线方程是：
，即 ，
两端乘以b变作： ①．
又已知函数 的图像在点 处的切线方程是： ②．直线①与直线②重合，则 ③， ④，联立③④消去b得 ，所以c与a的函数
关系为： ．
（3）函数 的零点为a＝1，a＝1时 ．
对 ， 恒成立，转化为对 ，不等式 恒成立．
①当x＝0时， 对 恒成立，此时 ．
②当0＜x≤2时， 恒成立．
设 ，求得 ．
0＜x≤2时 ，由 得 ，由 得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以当 时， 取得极小值， ，此时 ．
③当 时， 恒成立．
与②同，设 ， ．
令 ，则 ， 在 上单调递增．
所以， 时 ，得 ， 在 上单调递减．
所以， 时， 取得最大值 ，此时 ．
整合①②③三种情形，得 ，且等号都取得到．
所以，实数k的最大值为3，最小值为 ．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的
应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）利用导数研究恒（能）成立问题．
