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专题 06 相似三角形的基本模型（子母型）
【模型说明】
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓
于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共
角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
【例题精讲】
例1．（基本模型1）（1）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧，
，求证： ；
（2）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧， ，， ， ，求 的值；
（3）如图， 中，点 在 边上，且 ， ， ，点 在
边上，连接 ， ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）要证 ，可证 ，根据 可得
，即可证得 ；
（2）根据 ， ，可得到 ，从而求
出相应的线段长度，得到 的值；
（3）根据 ，可得到 ，可求出 的长，再根据已知条件证
得 即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵ ，
， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
(2)解：如解图， 与 交于点 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：如解图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
以 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的
线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键．
例2．（基本模型）在 中， ， 平分 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的长．
（2）如图2，过 分别作 交 于 ， 于 ．
①求证： ；
②求 的值．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②
【分析】（1）由已知易证 ，利用 可求得AD的长；
（2）①由（1）和已知易证 ，进而证得 ；②过 作 ，
与 的延长线交于 ，易证： 、 和 均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证．
【详解】解：（1）∵在 中， ， 平分 ，
∴ ，又∠A=∠A，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）①∵ 交 于 ， 于 ，
∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
②过 作 ，与 的延长线交于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 和 均为等腰三角形，
∴ ，
∵在等腰 中， 于 ，
∴ ，即 ，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，
熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质
解决问题是解答的关键．
例3．（培优综合1）如图，在 中， 平分 在 延长线上，且
，若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】通过证 ，得到求出BF=2， ， ，进
而求出CF的长，进而得到∠BAD=∠DFC，从而证 CFD∽ CAB，得到 ，将证得边
的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案．
【详解】解：∵BD平分∠ABC， DE=BD
∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD
∴∠DBC=∠AED
如图，在BC上取点，使BF=AE
则在 与 中，
∴
∴AE=BF=2， ，
∴CF=BC-BF=8-2=6
∵∠BAD= ，∠DFC=
∴∠BAD=∠DFC
又∵∠C=∠C
∴ CFD∽ CAB∴
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∠BAD=∠DFC
∴
∵
∴
∴DF=FC=6，则AD=DF =6
∴CA=6+CD
又∵CF=6，BC=8
∴
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性
质等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题．解
答此题的关键是利用性质找到边与边之间的关系．
例4．（培优综合2）如图，在 中， ， ， ，
， ，则CD的长为 ．
【答案】5
【分析】在CD上取点F，使 ，证明 ，求解 再证明
，利用相似三角形的性质求解 即可得到答案.
【详解】解：在CD上取点F，使 ，
， ，
由 ，
，， ，
且 ，
，
，
∽ ，
，
，
，
又 ，
，
∽ ，
，
又 ，
，
或 舍去 ，
经检验： 符合题意，
．
故答案为：5．
本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，
相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
例5．（最值问题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足
BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，
CE的长为
【答案】 2 -2； ；【分析】在正方形 中，易证 ，可得 ，则 点
的轨迹是以 中点 为圆心， 为半径的圆弧，因此当 、 、 在同一条直线上时，
取最小值，根据勾股定理可得 的最小值为 ，根据 ，则有
可得 ，得到： ，则 ，设 ，则
，可得 ，又∵ ， ，得
，得到 ，解之得： ， （不合题意，
舍去），从而得到 的长为 ．
【详解】解：如图示：
在正方形 中，
在 和 中，
，
，
∴
∵
∴
即有：
点的轨迹是以 中点 为圆心， 为半径的圆弧，
因此当 、 、 在同一条直线上时， 取最小值，
∵ ,
∴
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
∵
∴∴
∴
∴ ,
设 ，则 ，
∴ ，
∴
又∵ ， ，
∴
∴ ,
即：
解之得： ， （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案是： ， ．
【点睛】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形
的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
例6．（与圆综合）如图， 是 的直径，点 是 上一点， 和过点 的切线互
相垂直，垂足为点 ，直线 与 的延长线相交于点 ．弦 平分 ，交直径
于点 ，连接 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）探究线段 ， 之间的大小关系，并加以证明；
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析；（3）
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即
可证得；
（3）证明 PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角 POC中利用
勾股定理即可列方程求解．
△ △
【详解】解：（1）连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．
（2）PC=PF．
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF．
（3）连接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴ ，
∴AE=BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
AB= BE＝10，
∴OB=OC=5．∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴ ．
∵tan∠PCB=tan∠CAB= ．
∴ ．
设PB=3x，则PC=4x，在Rt POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，
△
解得x =0，x ＝ ．
1 2
∵x＞0，∴x＝ ，
∴PF=PC= ．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算
或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
例7．（与函数综合）如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交
于点B．
（1）求直线 的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作 轴，垂
足为C， 交 于点D，求 的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛物线
交于M，N两点，若点A是线段 的中点，求抛物线 的解析式．
【答案】（1）直线 的解析式为 ，抛物线顶点坐标为 ；（2）当
时， 的最大值为 ； ；（3） ．【分析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线 的解析式为 ，
利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）过点D作 轴于E，则 ．求得AB=5，设点P的坐标为
，则点D的坐标为 ，ED=x，证明 ，
由相似三角形的性质求出 ，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点
P的坐标；
（3）设平移后抛物线 的解析式 ，将L′的解析式和直线AB联立，得到
关于x的方程，设 ，则 是方程 的两根，
得到 ，点A为 的中点， ，可求得m的值，即可求得L′的函
数解析式．
【详解】（1）在 中，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ．
令 ，则 ，∴ ．
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
，
∴抛物线顶点坐标为
（2）如图，过点D作 轴于E，则 ．
∵ ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
而 ，
∴ ，
∵ ， ，由二次函数的性质可知：
当 时， 的最大值为 ．
，
∴ ．
（3）设平移后抛物线 的解析式 ，联立 ，∴ ，
整理，得： ，
设 ，则 是方程 的两根，
∴ ．
而A为 的中点，∴ ，
∴ ，解得： ．
∴抛物线 的解析式 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次
函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
课后训练
1．如图， 中， ， ， ，点 ， 分别在 ， 上，
， ．把 绕点 旋转，得到 ，点 落在线段 上．
若点 在 的平分线上，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知 ，结合定理两边成
比例且夹角相等的三角形相似证明 PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出
∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；
△
连接AD，根据PQ AB和点D在∠BAC的平分线上可
证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解
出x，即可求出CP．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝ ＝ ＝12．
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
∵∠C＝∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ＝∠B，
∴PQ AB；
连接AD，
∵PQ AB，
∴∠ADQ＝∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ＝∠DAB，
∴∠ADQ＝∠DAQ，
∴AQ＝DQ．
∵PD＝PC＝3x，QC=4x
∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.∴DQ＝2x．
∵AQ＝12﹣4x，∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，∴CP＝3x＝6．
故选C．
【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行
线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键．
2．如图， 中，点 在 上， ，若 ， ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】延长 到 ，使 ，连接 ，可得等腰 和等腰 ， ，
再证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求出 ．
【详解】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连接 ，
∴
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关
系①构造等腰 和②构造等腰 是解题关键．
3．如图，在等边三角形 的 边上各取一点P，Q，使 ， 相交
于点O，若 ， ，则 的长为 ， 的长为 ．
【答案】 4【分析】证明△ABP和△ACQ全等，得到∠CAQ和∠ABP相等，即可得到∠AOP为60° 角，
再证△AOP相似于△BAP，通过对应边成比例即可求得AP长；过A作AG⊥OP，在Rt△AOG
和Rt△APG中，通过勾股定理得到等式，求出OG长，即可得到结论．
【详解】∵在△AQC和△BAP中，
∴
∵
∴
过 作 的垂线与OP交于点G，在△ 中，
设OG=x，则AO=2x，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2，
在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42-（x-2）2，
∴3x2=42-（x-2）2解得x= ，又x>0，∴x= ，
，
故答案为：4， ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判
定、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关
键．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，
∠EAF＝45°，则DF的长是 ．【答案】
【分析】取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，
连接AG，先证出四边形ABNM是正方形，利用SAS证出 ABG≌ AMH，再利用SAS证出
AEG≌ AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行证出 AHM∽ AFD，列出比例式即
可求出结论．
【详解】解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝
MH，连接AG，
∵点M，点N是AD，BC的中点，
∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AB＝AM＝4，
∴四边形ABNM是菱形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，
∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，
∴ ABG≌ AMH（SAS），
∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAH+∠BAE＝45°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，
又∵AG＝AH，AE＝AE
∴ AEG≌ AEH（SAS）∴EH＝GE，
∴EH＝2+MH，
在Rt HEN中，EH2＝NH2+NE2，
∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，
∴MH＝
∵MN∥CD，
∴ AHM∽ AFD，
∴
∴DF＝ × ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判
定及性质和矩形的性质，此题难度较大，掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判
定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质是解决此题的关键．
5．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为
的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则 ∽ ，设FH为x，由已知条件可得
，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解
方程求出x的值，利用 即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点 作 于 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
设 为 ，则 ，由勾股定理得 ，
又∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ 且 ，
∴ ∽ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
∵∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构
造相似三角形．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分
别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝ ．
【答案】 ．
【分析】过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A作
AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线
分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，证明△AKM≌△MQN
（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，证明△ACE∽△AHN，可求出CE的长．
【详解】解：过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，
过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，
过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，
则四边形CHBQ为矩形，
∵∠BFE＝45°，AM∥BD，
∴∠BFE＝∠MAN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝MN，
∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°，
∴∠NMQ＝∠MAK，
又∵∠AKM＝∠MQN＝90°，
∴△AKM≌△MQN（AAS），
∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8，
∵D为AC的中点，AC＝6，
∴AD＝DC＝BM＝3，
∴MK＝NQ＝3，
∴BQ＝CH＝5，
∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5，
∵CE∥HN，
∴△ACE∽△AHN，
∴ ，
即 ，
∴CE＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．在矩形 中， ， ， 是 边上一点， 交 于点 ，过点
作 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ．
（1）如图 ，当点 与点 重合时，求 的长．
（2）如图 ，当点 在线段 上时，设 ， ，求 与 之间的函数关系式，
并写出它的定义域．（3）连接 ，当 与 相似时，求线段 的长．
【答案】（1）3；（2） ；（3） 或1
【分析】（1）由 ，得 ，又 ，得
，得 即可；
（2）过点 作 ，垂足为点 ，四边形 是矩形， ，可证
，得 ，设 ， ，利用线段和差即可得到
；
（3） ， ，推出 ，当 与 相似时，分类讨
论①若 ，推出 ， ， ，求得
， ②若 ，设 与 交于点 ，由 ， ，知
，可证 AEO∽△ABC，利用性质可求 ， ，综上所述，线段 的长为
△
或1时 与 相似．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）过点 作 ，垂足为点 ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴2x-y=4,
当点 在线段 上时，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 与 相似时，
①若 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵设 ， ， ，
∴ ．
②若 ，设 与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=4，BC=3，则AC=5，
设 ，
由EO∥BC
∴△AEO∽△ABC
∴ 即
则 ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，∴ ，
综上所述，线段 的长为 或1时 与 相似．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，
函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、
AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求PA的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得 ，再根据等腰三
角形的性质、三角形的内角和定理可得 ，然后根据角的和差可得
，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得 ，从而可得 ，
再根据相似三角形的判定与性质即可得证；
（3）先根据圆周角定理、直角三角形的性质可得 ，再根据相似三角形的判
定与性质可得 ，从而可得 ，又根据圆周角定理、正切三角函数可得
，然后设 ，由题（2）的结论可得 ，最后根据相似三
角形的性质可得 ，由此即可得出答案．
【详解】（1）如图，连接OC
由圆周角定理得： ，即
，即又 是⊙O的半径
PC是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC
由圆周角定理得：
在 和 中，
即 ；
（3） ，即
由圆周角定理得：
又
在 和 中，
，即
或 （不符题意，舍去）
，即
解得
，
设 ，则
由（2）可知， ，即
又由（2）可知，，即
解得 或
经检验， 是所列方程的根， 是所列方程的增根
故PA的长为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正
切三角函数等知识点，较难的是题（3），利用圆周角定理找出两个相似三角形，从而求出
AC的长是解题关键．
9．（1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连
接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点
E，则图中与△BEP全等的三角形是 ，∠BAD＝ °；
（2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝ AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，
将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间
存在的数量关系为CP＝ AD，请给予证明；
（3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝
30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长．
【答案】（1）△PAD，90；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）由“SAS”可证△PAD≌△BEP，可得∠PAD=∠BEP=135°，依据∠ABC=45°，可得
∠BAD=90°；
（2）过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，由“SAS”可证△APD≌△HBP，可得PH=AD，通过证明△CAB∽△CPH，可得 ，即可得结论；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和相似三角形的性质可求解．
【详解】证明：（1）∵点P是边AC的中点，PE∥AB，
∴点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AC＝BC，
∴BE＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．
∴PB＝PD，
∵∠APD+∠BPC＝90°，∠EBP +∠BPC＝90°，
∴∠EBP＝∠APD，
又∵PB＝PD，
∴△PAD≌△BEP（SAS），
∴∠PAD＝∠BEP，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵PE∥AB，
∴∠ABC＝∠PEC＝45°，
∴∠BEP＝135°，
∴∠BAD＝∠PAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，
故答案为：△PAD，90；
（2）如图，过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，
∴∠CBA＝∠CHP，∠CAB＝∠CPH，
∵CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CHP＝∠CPH，
∴CH＝CP，
∴BH＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．∴PB＝PD，
∵∠BPD＝∠C，
∴∠BPD+∠BPC＝∠C+∠BPC，
∴∠PBH＝∠APD，
∴△APD≌△HBP（SAS），
∴PH＝AD，
∵PH∥AB，
∴△CAB∽△CPH，
∴
∴
∵AC＝BC＝ AB，
∴ ，
∴CP＝ PH＝ AD；
（3）当点P在CA的延长线上时，
∵AC＝BC＝AB＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，
∴BP＝PD，∠BPD＝60°＝∠ACB，
过点P作PE∥AB，交CB的延长线于点E，
∵∠ACB＝∠APB+∠ABP，
∴∠ABP＝∠APB＝30°，
∴AB＝AP＝2，
∴CP＝4，
∵AB∥PE，∴
∴CP＝PE＝4，
由（2）得，PE＝AD＝4，
∵∠APD＝∠APB+BPD＝90°，
∴DP＝ ，
∴△ADP的周长＝AD+AP+DP＝ +6，
当点P在AC延长线上时，如图，
同理可求△ADP的周长＝6+ ，
综上所述：△ADP的周长为6+ ．
【点睛】本题几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定
与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角
形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．
10．如图1， ， ， ，点 从点 出发以每秒1个单位长度的速度
向点 运动，点 同时从点 出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终
点时，另一点也停止运动．
(1)求 的长．
(2)当以点 、 、 为顶点的三角形与 相似时，求 的值．
(3)如图2，将本题改为点 从点 出发以每秒3个单位长度的速度在 上向点 运动，
点 同时从点 出发向点 运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当 为
何值时， 为等腰三角形．【答案】(1)10；
(2)当 秒或 秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与 相似；
(3)当t的值为2秒或 秒或 秒时， 能成为等腰三角形．
【分析】（1）根据三角函数解得即可；
（2）分①当 时和②当 时，两种情况利用相似三角形的性质
解答即可；
（3）分类讨论：①当 时，②当 时，③当 时，三种情况，利
用等腰三角形的性质得出比例解答即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①当 时，
∴ ，
即 ，
解得： ；
②当 时，
∴ ，
即 ，
解得： ，
综上所述，当 秒或 秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与 相似；
（3）解：①如图3，当 时， ，解得： ，
②如图4，当 时，过点M作 于D，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
③如图5，当 时，过点N作 于D，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
综上所述，当t的值为2秒或 秒或 秒时， 能成为等腰三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的
性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
