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专题11.12 与三角形有关的角（直通中考）
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上，
于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川达州·统考中考真题）如图， ， 平分 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，直线 ， 于点E．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，分别过 的顶点A，B作 ．若 ，
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·山东德州·统考中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含 角的三角板的斜边与
含 角的三角板的一条直角边平行，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川资阳·中考真题）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若 ，则 度数是( )
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，直线l//l，直线l 与l，l 分别交于A，B两点，过点A作
1 2 3 1 2
AC⊥l，垂足为C，若∠1＝52°，则∠2的度数是（ ）
2
A．32° B．38° C．48° D．52°
8．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，直线 ，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，
，垂足为C．若 ，则 （ ）A．52° B．45° C．38° D．26°
9．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．140° B．130° C．120° D．110°
10．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
△
A． B． C． D．
11．（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图，已知 ， 于点 ，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2023·湖南·统考中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之
欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣 矩，1欘 宣（其中，1矩 ），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件
的示意图，若 矩， 欘，则 ______度．
13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在 中，若 ，
则 ________°．
14．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在三角形纸片 中， ，点 是边 上的动
点，将三角形纸片沿 对折，使点 落在点 处，当 时， 的度数为___________．
15．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是
________三角形．
16．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，在 和 中， ， ，
，AC与DE相交于点F．若 ，则 的度数为_____．
17．（2022·四川绵阳·统考中考真题）两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于M，若 ， 则∠DMC的大小为_________．
18．（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ，
则 ________°．
19．（2013·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上， 将 沿MN翻折，
得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B =___°．
20．（2014·江苏徐州·统考中考真题）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，
使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=_______°．
三、解答题
21．（2022·北京·统考中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，
完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图， ,
求证：
方法一 方法二
证明：如图，过点A作 证明：如图，过点C作
22．（2011·广西贵港·中考真题）如图，A点在B处的北偏东40°方向，C点在B处的北偏东85°方向，A点
在C处的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度数？23．（2013·湖南邵阳·中考真题）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点
F，
（1）求证：CF∥AB，
（2）求∠DFC的度数．
24．（2011·广西贵港·中考真题）已知：如图，在 中， 是 边上的高， 是 平分线.
， ．
（1）求 的度数；
（2）求 的度数．25．（2018·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD
的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
参考答案
一、单选题
1．【答案】C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形
两锐角互余是解题关键．
2．【答案】B
【分析】根据平行线的性质得出 ，再由角平分线确定 ，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知
识点是解题关键．
3．【答案】B
【分析】延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三角形的两锐角互
余即可求出 ．
【详解】解：延长 ，与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的
关键．
4．【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到 ，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
5．【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得 的度数，再根据三角形内角和定理可得 的度数．
【详解】解：∵含 角的三角板的斜边与含 角的三角板的一条直角边平行，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题
的关键．
6．【答案】B
【分析】如图，易知三角板的 为直角，直尺的两条边平行，则可得 的对顶角和 的同位角互为余
角，即可求解．
【详解】如图，根据题意可知 为直角，直尺的两条边平行，
∴ ， ， ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行
推导．
7．【答案】B
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵直线l∥l，∠1＝52°，
1 2∴∠ABC＝∠1＝52°，
∵AC⊥l，
2
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣52°﹣90°＝38°，
故选：B．
【点拨】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
8．【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个
锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】解：∵a b，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．【答案】C
【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠ABC的度数，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵AC⊥BC于点C，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠1=90°，
又∠1=30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵m n，
∴∠2＝180°﹣∠ABC＝120°．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质等知识，解题的关键是求出∠ABC的度数．
10．【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【详解】解：∵Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
△∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；
故选：A．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能
进行推理计算是解决问题的关键．
11．【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质求出 ，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：在 中， ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
二、填空题
12．【答案】 / / ．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩 ，
欘 宣 矩 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并
正确计算．
13．【答案】 /55度
【分析】先由邻补角求得 ， ，进而由平行线的性质求得 ，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题
的关键．
14．【答案】 或
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
【详解】解：由折叠的性质得： ；
∵ ，
∴ ；
①当 在 下方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 在 上方时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ；综上， 的度数为 或 ；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
15．【答案】直角
【分析】设一份为 ，则三个内角的度数分别为 ， ， ，然后根据三角形内角和进行求解即可．
【详解】解：设一份为 ，则三个内角的度数分别为 ， ， ．
则 ，
解得 ．
所以 ， ，即 ， ．
故这个三角形是直角三角形．
故答案是：直角．
【点拨】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
16．【答案】105°#105度
【分析】在 中，利用已知求得 ，再利用平行线的性质求得 ，然后在
中利用三角形的内角和定理求得 ，最后在 中，利用三角形的内角和定理即可求得
．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴在 中， ．
故答案为：
【点拨】本题看考查了三角形的内角和定理，熟练运用三角形的内角和定理是解题的关键．17．【答案】110°/110度
【分析】延长ED交BC于点G，利用三角形内角和定理求出∠C＝30°，∠E＝40°，再利用平行的性质求出
∠EGC＝∠E= 40°，再利用三角形内角和即可求出∠DMC＝110°．
【详解】解：延长ED交BC于点G，
∵∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，
∴∠C＝30°，∠E＝40°，
∵ ，
∴∠EGC＝∠E= 40°，
∴∠DMC＝180°-∠EGC -∠C= 110°．
故答案为：110°
【点拨】本题考查三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是求出∠C＝30°，∠E＝40°，证明
∠EGC＝∠E= 40°．
18．【答案】105
【分析】根据平行线的性质可得 ，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】 ， ，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
19．【答案】95
【详解】∵MF//AD，FN//DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°.
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN= ∠BMF= ×100°=50°，∠BNM= ∠BNF= ×70°=35°.在△BMN中，∠B=180°－（∠BMN＋∠BNM）=180°－（50°＋35°）=180°－85°=95°.
故答案为：95
20．【答案】15
【详解】∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC= （180°﹣50°）=65°.
∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，
∴∠ABE=∠A=50°.
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．
三、解答题
21．【答案】答案见解析
【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到 ， ，从而可求证三角形的内角和
为 ．
方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为 ．
【详解】证明：
方法一：过点 作 ，
则 ， ． 两直线平行，内错角相等）
∵点 ， ， 在同一条直线上，
∴ ．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为 ．
方法二：
如图，过点C作∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
即三角形的内角和为 ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
22．【答案】∠BCA =50°，∠BAC =85°.
【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知结合三角形的内角和求解．
【详解】解：由题意得：∠DBA=40°，∠DBC=85°，∠ACE=45°，DB//CE，
又∵∠DBC+∠BCE=180°，
∴∠BCE=180°－∠DBC=180°－85°=95°，
∴∠ABC=∠DBC－∠DBA=45°，
∠BCA=∠BCE－∠ACE=50°，
∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=85°.
所以∠BCA =50°，∠BAC =85°.
23．【答案】（1）证明见解析；（2）105°
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定
出AB∥CF；
（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2= ∠DCE．
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°．
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3．∴AB∥CF．
（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．
【点拨】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的
解题关键．
24．【答案】（1） （2）
【详解】解：（1）因为 是 边上的高
所以
又因为
所以
因为
所以
（2）因为 是 平分线
所以
又因为
所以
（注：用其它解法正确的均给予相应的分值）
25．【答案】(1) 65°；(2) 25°
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．
再根据角平分线定义即可求出∠CBE= ∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出
∠F=∠CEB=25°．
【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角
平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
