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专题12.15 角平分线（直通中考）
【知识点回顾】性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；判定：在角的内部到角两边距离相等
的点在这个角的平分线上.
一、单选题
1．（2022·浙江舟山·中考真题）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．
按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点
D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，
∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
3．（2021·青海·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分
∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
4．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在 和 上分别截取 ，使 ；
②分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
③作射线 ，连接 ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
5．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在 中，按下列步骤作图：
第一步：在 上分别截取 ，使 ；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于 的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线 交 于点M；
第四步：过点M作 于点N．
下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
6．（2020·湖南怀化·中考真题）在 中， ， 平分 ，交 于点 ，
，垂足为点 ，若 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
7．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在 和 中， ， ， ，
．连接 、 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，已知 和 都是等腰三角形，
， 交于点F，连接 ，下列结论：① ；② ；③ 平分
；④ ．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，①在 上分别截取线段 ，使 ；②分
别以 为圆心，以大于 的长为半径画弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ．若
，则 _________ ．
10．（2023·全国·统考中考真题）如图，在 中， ，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线 交 于点E．若 ，则 的大小为
__________度．
11．（2022·北京·统考中考真题）如图，在 中， 平分 若 则
____．
12．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，点 在一块直角三角板 上（其中 ），
于点 ， 于点 ，若 ，则 _________度．
13．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图．在 中， ， ．以点A为圆心，以
任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在
内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G．若 ，则
的周长等于________cm．14．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，
，垂足为 ，若 ， ，则 的长为______．
15．（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过
证明可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据
上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的
边上的中线长 的取值范围是________
16．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，在 中，点 是 ，
的平分线的交点， ，过 作 于点 ，且 ，则 的面积是
______．17．（2023·北京昌平·统考二模）如图，在 中， 平分 若 ，则
___________．
三、解答题
18．（2023·河南·统考中考真题）如图， 中，点D在边 上，且 ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边 交于点E，连接 ．求证： ．
19．（2022·广东·统考中考真题）如图，已知 ，点P在 上， ， ，
垂足分别为D，E．求证： ．
20．（2022·陕西·统考中考真题）如图，已知 是 的一个外角．请用尺规作图法，求作射线 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图，在 中， 分别平分 ，交
于点 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 ，垂足为 ．若 的周长为56， ，求 的面积．
22．（2021·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作△图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明 ．23．（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在四边形 中， ，点E，F分别在 ，
上， ， ，求证： ．
24．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知
角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在
和 上分别取点C和D，使得 ，连接 ，以 为边作等边三角形 ，则 就是
的平分线．请写出 平分 的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现： 不一定必须是等边三角形，只需 即可．他查阅资
料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 的边 ， 上分别取 ，
移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 是 的平分线，请
说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口A，现在
学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路
口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆
规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
参考答案
1．D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
解：A、如图，
由作图可知： ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 平分 ．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ , ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知： ，
∴ , ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；D、如图，
由作图可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
2．B
【分析】根据条件可知 平分 求出 ，根据 平分 求出 ，进而利用
即可求出答案．
解：由作法得BP平分
,
∵OG平分 ,
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的
关键．
3．A
解：试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S = BC•DE= ×5×3=7.5．
BCD
△
故选A．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
4．A
【分析】由作图过程可得： ，再结合 可得 ，由
全等三角形的性质可得 即可解答．
解：由作图过程可得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴A选项符合题意；
不能确定 ,则 不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定 ,故C选项不符合题意，
不一定成立，则 不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点拨】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过
程是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据题意可知， 平分 ，即可得出正确答案．
解：由题意可知， 平分 ，
∵ 不一定等于90°，∴ ，因此A选项不正确；
∵ 不一定等于90°，∴ 不一定等于 ，因此B选项不正确；
∵ 平分 ，∴ ，因此C选项不正确；
∵ 不一定等于90°，∴ 不一定等于 ，因此D选项不正确；
故选C．
【点拨】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的
作图方法是本题的关键．
6．A【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
解：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题
关键．
7．B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝
∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH
（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分 ，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由
△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB
＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而 ，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴ 平分 ，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC与 矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三
角形全等是解题的关键．
8．C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得
∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、
AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结
合 即可判定．
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠CGF=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S =S ,
BAD CAE
△ △
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴ 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵ 平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正
确应用角平分线定理是解答本题的关键．
9．
【分析】由作图可知 是 的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
解：由题意可知， 是 的角平分线，∴ ．
故答案为：
【点拨】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
10．55
【分析】首先根据题意得到 是 的角平分线，进而得到 ．
解：∵由作图可得， 是 的角平分线
∴ ．
故答案为：55．
【点拨】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11．1
【分析】作 于点F，由角平分线的性质推出 ，再利用三角形面积公式求解即可．
解：如图，作 于点F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点拨】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
12．15
【分析】根据 ， ， 判断OB是 的角平分线，即可求解．
解：由题意， ， ， ，
即点O到BC、AB的距离相等，
∴ OB是 的角平分线，
∵ ，∴ ．
故答案为：15．
【点拨】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上”是解题的关键．
13．8
【分析】由角平分线的性质，得到 ，然后求出 的周长即可．
解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8
【点拨】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
14．
【分析】先根据角平分线的性质可得 ，再根据线段的和差即可得．
解： 平分 ， ， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
15．
【分析】根据题意得到 ，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反
向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，
是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
16．12
【分析】过点O作 于点E， 于点F，连接 ，然后根据角平分线的性质定理及三
角形的面积计算公式可求解．
解：过点O作 于点E， 于点F，连接 ，如图所示：∵ 平分 ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：12．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
17．1
【分析】作 交 于点F，首先根据角平分线的性质得到 ，然后利用三角形面
积公式求解即可．
解：如图所示，作 交 于点F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点拨】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
18．(1)见分析；(2)见分析【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明 ，即可得到结论．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和
全等三角形的判定是解题的关键．
19．见分析
【分析】根据题意，用AAS证明 ．
解：证明：∵ ，
∴ 为 的角平分线，
又∵点P在 上， ， ，
∴
又∵ （公共边），
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．
20．见分析
【分析】作 的角平分线即可．
解：如图，射线 即为所求作．【点拨】本题考查了角平分线、三角形外角的性质、平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定
定理．
21．(1)见详解；(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证 即可求证；
（2）作 ，由 即可求解；
解：（1）证明：在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ 分别平分 ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，作 ，∵ 的周长为56，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应
用是解题的关键．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆
心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据 证明 得到 ，进一步可得结论．
解：（1）如图， 为所作 的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在 和 中
∵
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
∴
【点拨】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到 ．23．见分析
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三
角形全等．
24．（1） ；（2）证明见分析；（3）作图见分析；
【分析】（1）先证明 ，可得 ，从而可得答案；
（2）先证明 ，可得 ，可得 是 的角平分线；
（3）先作 的角平分线，再在角平分线上截取 即可．
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线；
故答案为：
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 是 的角平分线；
（3）如图，点 即为所求作的点；
．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角
平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
