文档内容
2023-2024 学年高二数学上学期期末模拟考试
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B C A D A D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC 10．AC 11．ABD 12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
【解析】（1）由直线l的方程可知它的斜率为 ，
因为 ，所以直线 的斜率为2．............................................................................2分
又直线 经过点 ，
所以直线 的方程为： ，即 ．.........................................4分
（2）点P到直线l的距离为： ，.................................................................6分
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为： ，
点P到直线 的距离为2，与已知矛盾；.....................................................................8分
②当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为： ，
则 ，解得 ．
所以，直线 的方程为： ．............................................................................10
分
18．（12分）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由已知 ，得 ，
而 ，所以 .
又因为 ，解得 .所以， ........................................................................3分
由 ，可得 .
由 ，可得 ，
联立①②，解得 ，由此可得 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ..............................6分
（2）设数列 的前 项和为 ，由 ，
有 ，
，...............................8分
上述两式相减，得
.................................................10分
得 .
所以，数列 的前 项和为 ........................................................12
分
19．（12分）
【解析】（1）由题可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ．............................................................................3分
（2）由（1）知 ，
设直线 的方程为 ，
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由 得， ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，................................................................5分
设 ， ，
所以 ， ，.....................................................................6分
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍），.....................8分
所以直线 的方程为 ，即直线l恒过定点 ，.....................................9分
..................................10分
令 ， ，
则 ，
当 时， 最大值为 ．............................................................................12分
20．（12分）
【解析】（1）曲线 与 轴的交点为 ，
与 轴的交点为 , ， , ．................................................................2分
可知圆心在直线 上，故可设该圆的圆心 为 ，
则有 ，解得 ，...................................................................4分
故圆 的半径为 ，
所以圆 的方程为 ；...................................................................6分
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2） 的方程为 ．即
圆D： ，即
两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为 .....................................9分
圆C的圆心 到直线 距离为 ，
所以 .............................................................................12分
21．（12分）
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，如图，
又 为 的中点， ，
由 ，则 ，
又 为等腰直角三角形， ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ............................................................................3分
（2）由（1）知， ，
又平面 平面 ， 是交线， 平面 ，
所以 平面 ，即 两两互相垂直，..............................................4分
故以 为原点， 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
设 ，则 ，
， ， ，...........................................................5分
设 为平面 的一个法向量，
则 ，令 ，即 ，....................................................7分
设 与平面 所成角为 ，
4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
即 与平面 所成角的正弦值为 .....................................................................8分
（3）若存在N使得平面 平面 ，且 ， ，
则 ，解得 ，................................................9分
又 ，则 ， ，
设 是平面CNM的一个法向量，
则 ，令b=l，则 ，..................10分
，解得 ，
故存在N使得平面 平面 ，此时 ..................................................12分
22．（12分）
【解析】（1）因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以双曲线 的右焦点 到其渐近线的距离为 ..............................2分
因为双曲线 经过点 ，所以 ，解得 .
故双曲线 的方程为 .............................................................................4分
（2）证明：因为 为 的中点，所以 .............................5分
设直线 的方程为 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 .............................................................................7分
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司联立 ,可得 ，
所以 .....................................................8分
又因为 ，所以 ，
则 .
同理可得 .............................................................................10分
,
，
所以 ，故 三点共线. ........................................................................12分
6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
