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专题12.2 全等三角形（分层练习）
一、单选题
1．下列各组图形中不是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用两个全等的含60°的直角三角板能拼成几种四边形（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3．如图， ， ，则 的对应边是（ ）
A． B． C． D．
4．庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，景区规划面积 ，其中水城面积 ，
属于城市河湖型水利风景区．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若
，则只需测出其长度的线段是（ ）
A． B． C． D．5．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ）
A． B． C． D．
6．对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（ ）
A．边长相等的图形 B．面积相等的图形
C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形
7．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
8．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．周长相等的两个三角形是全等三角形
C．全等三角形是指形状相同的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
9．如图， ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，将两张全等的矩形（非正方形）纸片先后放在同一个正方形中，按如图1呈轴对称方式放
置，按如图2呈中心对称方式放置，若已知图形⑤的周长，则一定能求出（ ）A．图形①与③的周长和 B．图形②与③的周长差
C．图形①与③的周长差 D．图形②与③的周长和
11．已知 如图 ， 、 为 的平分线上的两点，连接 、 、 、 ；如图 ，
、 、 为 的平分线上的三点，连接 、 、 、 、 、 ；如图 ， 、 、
、 为 的平分线上的四点，连接 、 、 、 、 、 、 、 依此规律，
第 个图形中有全等三角形的对数是
A． B． C． D．
12．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
13．如图 ， ， ．点 在线段 上以 的速度由点 向点
运动，同时，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，它们运动的时间为 ．当
与 全等时， 的值是（ ）A．2 B．1或 C．2或 D．1或2
14．如图， ，点B和点C是对应顶点， ，记 ， ，
，当 时， 与 之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，点 在同一直线上，若 ， ， ，则 等于（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题
16．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中 ， ，则 _____．17．如图， 与 全等，可表示为________， 与 是对应角，AC与BD是对应边，其
余的对应角是________，其余的对应边是________．
18．如图， ， ， ，则 的度数是___________．
19．如图， ，且 ， ，则 的度数为______．
20．已知 ， ， 的面积为 ，则 边上的高为 ________．
21．如图是由与四边形 全等的6个四边形拼成的图形，若 ，则 的长为
______cm．
22．如图， ，若 ，且 ，则 的度数为 _____度．23．如图， ，若 ， ，则 ______．
24．如果 ， ， ， 的周长为偶数，则 的长为______．
25．如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分
（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为
2kcm，则（1）裁去的每个小长方形面积为 ___cm2；（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的
表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为 ___．
26．如图，在 的正方形网格中标出了 和 ，则 ___________度．27．如图,长方形纸片的长为8，宽为6，从长方形纸片中剪去两个全等的小长方形卡片，那么余下的
两块阴影部分的周长之和是_____．
28．已知 ，若 ， ，则 的度数为______________ ．
29．已知 的三边长分别为3，5，7， 的三边长分别为3， ， ．若这两个三角形
全等，则 的值为___________．
30．如图， ， ， ， 与 相交于点 ， 与 相交于
点 ，则 ___________ .
三、解答题
31．如图所示， ， 对应 ，请写出其余对应边和对应角．32．如图， ， ， 三点在同一直线上，且 ≌ 线段 ， ， 有怎样的数量关系？
请说明理由．
33．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”
理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．
请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．34．已知，四边形 ， 与 交于点 ，根据提示完成以下证明过程：
（已知），
_____（______），
______ ______（______），
______ （______）．35．如图， ， ， 三点在同一条直线上，且 ．
(1) 求证： ；
(2) 当 满足什么条件时， ？并说明理由．
36．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝ ，
△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试求证：△AOD是直角三角形；
（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？
（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．（直接写出答案）参考答案
1．C
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
解：观察发现，A、B、D选项的两个图形都可以完全重合，
∴是全等图形，
C选项中不可能完全重合，
∴不是全等形．
故选C．
【点拨】本题考查的知识点是全等图形，解题的关键是熟练的掌握全等图形．
2．B
【分析】让长直角边，短直角边，斜边分别重合，得到组合图形的所有情况即可．
解：可拼出如下4种图形：
故选：B．【点拨】此题考查作图−应用与设计作图，用到的知识点为：两个全等的直角三角形的相等边重合时，
应出现两种情况．
3．A
【分析】根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC=DA．
解：∵ABC≌ CDA，
∠BAC=∠DCA△，
∴∠BAC与∠DCA是对应角，
∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）．
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形中对应边的找法，解题的关键是掌握书写的特点．
4．B
【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
故需测出其长度的线段 ，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的应用，熟知全等三角形的性质是解答的关键．
5．C
【分析】根据全等三角形对应角相等，可以求得 的值．
解： 图中的两个三角形是全等三角形，
∴两个三角形中边长为4和7的边的夹角相等，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质解答．
6．D
【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；
C. 周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意；
D. 能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．【点拨】本题主要考查了全等形的识别，熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键．
7．B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由
∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
解：
∵在△ABC和△DBE中
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°
∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，
故选B．
【点拨】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
8．A
【分析】根据全等三角形的性质与概念进行逐一判断即可．
解：A、全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意；
C、全等三角形是指形状和大小完全相同的两个三角形，说法错误，不符合题意；
D、只有边长相等的等边三角形是全等三角形，说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与概念，熟知全等三角形的相关知识是解题的关键．
9．D
【分析】根据全等三角形的性质得到 ，再根据三角形内角和定理求出 ，则 ．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形对应角相等是解题
的关键．
10．D
【分析】根据题意设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，用字母分别表示出图
形①、②、③、⑤的周长，进行计算即可得出正确的选项．
解：设矩形较长的一边为x，较短的一边为y，正方形的边长为a，
图形①的周长为 ，
图形②的周长 ，
图形③的周长 ，
图形⑤的周长为 ，
∴图形①与图形③的周长和 ，
故A选项不符合题意；
∴图形②与图形③的周长差 ，
故选项B不符合题意；
图形①与③的周长差 ，故选项C不符合题意；
图形②与③的周长和 ，
即图形②与③的周长和为图形⑤的周长的2倍，
故选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查整式混合运算的应用,还考查了全等图形的性质，解题的关键是用字母表示出各个图
形的周长．
11．D
【分析】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有 个点时，图中有
个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解．
解：图 中，当有 点 、 时，有 对全等三角形；
图 中，当有 点 、 、 时，有 对全等三角形；
图 中，当有 点时，有 对全等三角形；
图 中，当有 个点时，图中有 个全等三角形，
当 时，全等三角形的对数是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键．
12．B
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
13．B
【分析】由题意知当 与 全等，分 和 两种情况，根据全等
的性质列方程求解即可．
解：由题意知， ， ， ，与 全等，分两种情况求解：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，解得 ， ，即 ，解得 ；
综上所述， 的值是1或 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．解题的关键在于分情况求解．
14．B
【分析】根据全等三角形的性质得到 ，再根据平行线的性质，得到
，利用 ，即可解答．
解： ， ，
，
， ，
， ，
，
，
化简得： ．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的
关键．
15．C
【分析】根据全等三角形的性质可得 ， ，然后由 求出 的值，
即可获得答案．
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵点 在同一直线上，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
16．12【分析】由图形知，所示的图案是由梯形 和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性
质有 ．
解：由题可知，图中有8个全等的梯形，
所以 ，
故答案为：12．
【点拨】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，解题的关键是找清相
互重合的对应边．
17． 与 ， 与 AB与BA，BC与AD
【分析】由 ，结合图形可得其余的对应角与对应边．
解： ， 与 是对应角，AC与BD是对应边，
其余的对应角是 与 ， 与 ；
其余的对应边是AB与BA，BC与AD．
故答案为： ， 与 ， 与 ，AB与BA，BC与AD
【点拨】本题考查的是三角形全等的表示，全等三角形的对应边与对应角的理解，掌握以上知识是解
题的关键．
18． /40度
【分析】根据全等三角形对应角相等可得 ，然后求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
19． / 度
【分析】先根据平行线的性质得到 ，再由全等三角形的性质即可得到
．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
20． 或10厘米
【分析】过A作 于M，过D作 于N，求出 的面积，根据三角形的面积公式求
出即可．
解：过A作 于M，过D作 于N，
∵ ，
∴ 的面积和 的面积相等，
∵ ， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 边上的高为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，关键是能根据已知得出 的面积．
21．
【分析】根据全等图形的性质即可求解．
解：∵图形与四边形 全等的6个四边形拼成的图形
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查全等图形的性质，注意全等图形的对应边相等是解题的关键．
22．80°/80度
【分析】根据全等三角形对应角相等可得 ， ，然后根据直角三角形的
两锐角互余求得 ，从而即可得解．
解：∵ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】此题考查全等三角形的性质以及直角三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的对应角
相等．
23．2
【分析】根据全等三角形对应边相等可得 ，从而求得 的长．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键．
24．
【分析】根据全等三角形的性质得到 ，根据三角形三边的关系得到 ，再由
的周长为偶数即可得到答案．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长为偶数，
∴ 为偶数，
∴ 的长为偶数，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
25． （6k+9） 1或5
【分析】（1）求出小长方形的长，宽，可得结论．
（2）由长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，推出侧面4个长方形的面积和是底面积的整数倍，
延长构建关系式，可得结论．
解：（1）由题意，小长方形的长为（3+2k ）cm，宽为3cm，∴裁去的每个小长方形面积为（6k+9）（cm2），
故答案为：（6k+9）．
（2）由题意，12k+18k=n•6k2（n为正整数），
可得nk=5，
∴n=1，k=5或n=5，k=1，
∴k=1或5，
故答案为：1或5．
【点拨】本题考查全等图形，列代数式，认识立体图形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，
属于中考常考题型．
26．
【分析】作辅助线，使 为等腰直角三角形，根据全等三角形 ，可得到
，利用等角代换即可得解．
解：如图，连接 、 ， ， ， ，
由图可知，在 和 中，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．27．24
【分析】设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b，先用含a、b的代数式分别表示出两个阴影长
方形的周长，再相加即得结果．
解：设两个全等的小长方形卡片的长为a，宽为b，
则左边的阴影长方形的周长=2(a+6－b)=12+2a－2b，
右边的阴影长方形的周长=2(b+6－a)=12+2b－2a，
∴两块阴影部分的周长之和=(12+2a－2b)+( 12+2b－2a)=24．
故答案为：24．
【点拨】本题考查了全等图形的概念和整式的加减运算，正确表示出两个阴影长方形的周长是解题的
关键．
28．60
【分析】根据全等三角形的性质可得 ，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
解：根据题意画出图如图所示：
，
，
，
，
，
故答案为：60．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
29． 或【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y，然后代入计算即可，注意分
类讨论．
解：∵ ， 两个三角形全等，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
则 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查的是全等三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
30．
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据全等三角形的性质求出 ，
得出 ，即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
即 ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形的性质是解题的关键．
31．对应边是： ， ；对应角是 ， ， ．
【分析】根据全等三角形的性质得出即可．
解：∵ ， 对应 ，
∴其余的对应边是： ， ；
对应角是 ， ， ．
【点拨】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
32． ，理由见分析
【分析】根据全等三角形的性质得出 ， ， 即可求解．
解： ．
理由： ≌ ，
， ．
， ， 三点在同一直线上，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键．
33．见分析
【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可．
解：依题意，如图
【点拨】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键．
34．见分析
【分析】根据全等三角形的性质、平行线的判定与性质即可得到结论．
解： （已知），
（全等三角形的对应角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为： ；全等三角形的对应角相等； ；内错角相等，两直线平行； ；两直线
平行，同旁内角互补；
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的
关键．
35．(1)见分析；(2)当 时， ．理由见分析
【分析】（1）由 得出 ，再进行相应等量代换；
（2）当 时， ．由 ，得出 ， ，若
，则 ，因而 ，所以
，进而 ，从而得证 ．
解：（1）证明： ，
， ，
．
（2）解：当 时， ．理由如下：
，
．
，
， ，
，
，
， ，
，
．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质、平行线的判定及三角形内角和定理；根据全等的条件，得
出等角及等量线段，进行相应的等量代换是解题的关键．
36．(1)见分析；(2)△AOD是Rt△.理由见分析；(3)不能.理由：见分析；(4)当α=110°或125°或140°时，
△AOD是等腰三角形.
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到OC=DC，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合图形计算即可；
（3）用反证法，假设△AOD能否为等边三角形，根据题意证明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推
出矛盾；
（4）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
解：(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
(2)△AOD是Rt△.
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC,∠α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是Rt△；
(3)不能.理由：
由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.
若△AOD为等边三角形，
则∠ADO=60°，
又∵∠ODC=60°，
∴∠ADC=∠α=120°.
又∵∠AOD=∠DOC=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵∠AOB=110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°.
∴△AOD不可能为等边三角形；
(4)∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°−α=α−60°,∴α=125°.②当∠AOD=∠OAD时,190°−α=50°,∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,α−60°=50°,∴α=110°.
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【点拨】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质，解题的关键是
掌握等腰三角形的判定、全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质.
