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专题12 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学
生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解
决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称
变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解
让大家对这类问题有比较清晰的认识。
模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值
【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小 。
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
图1 图2
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：
辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.
（2）如图2，点A、B在直线同侧：
辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’ ，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.
例1．（2022·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，
∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明 BCD是等边三角形，
从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对△称性可得∠CBP的度数．
【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴ BCD是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴A△C=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且 BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=△∠CDP=15°，故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP
的最小值为AD长是解题的关键．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边三角形 的边 上的高为6， 是 边上的中线，
M是线段 上的-一个动点，E是 中点，则 的最小值为_________．
【答案】6
【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得
BE=AD即可得出结论．
【详解】解：连接BE，与AD交于点M．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，
则BE就是EM+CM的最小值．∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线
∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应
用，解题关键是找到M点的位置．
例3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形 的边长为5，A、B、 三点在一条直线上，且 ．若D为线段 上一动点，则 的最小值是________．
【答案】10
【分析】连接CA 交BC 于点E，C、A 关于直线BC 对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，
1 1 1 1
最小值为线段AA 的长＝10．
1
【详解】解：连接CA 交BC 于点E，过点B作直线l⊥AB，如图，
1 1
∵ ABC是等边三角形， ∴ 是等边三角形，AB=AB=5
1
△
∵A、B、 三点在一条直线上，∴ ABC与 ABC 关于直线l对称，
1 1
△ △
∵∠ABC＝∠ABC ＝60°，∴∠CBC ＝60°，∴∠C BA＝∠C BC，
1 1 1 1 1 1
∵BA＝BC，∴BD⊥CA ，CD＝DA，∴C、A 关于直线BC 对称，
1 1 1 1 1
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA 的长＝10，故答案为：10．
1
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点
之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
例4．（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，
E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？【答案】∠ECF＝30º
【解析】过E作EM∥BC，交AD于N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝ ∠ACB＝30º.
模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值
【模型探究】已知定点A位于定直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
A'
n A
Q
A m
P
m A"
辅助线：过点 A 作关于定直线 m、n 的对称点 A’ 、A’’ ，连接 A’A’’ 交直线 m、n 于点 P、Q，则
PA+PQ+QA的最小值为A’A’’.
例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且
OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．
此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，
∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，
通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， ．在BC，
CD上分别找一点M，N，使 周长最小，则 的度数为_________．
【答案】160°
【分析】要使 周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD
的对称点 ，即可得到 ，进而求得 ，即可得到答案．
【详解】作点A关于BC和CD的对称点 ，连接 ，交BC于M，交CD于N，则 即为 周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和
垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
例3．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边
上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
△
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【答案】C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，
DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N
共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的
值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，
FM，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠MCD+∠NCD=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，∴ •AB•CD= •AB•AC，∴CD= = =2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴
对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
例4．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示， ，点 为 内一点， ，点
分别在 上，求 周长的最小值．
【答案】 周长的最小值为8
【分析】作P关于OA、OB的对称点 ，连结 、 ，即可快速找到解题思路.
【详解】如图，作P关于OA、OB的对称点 ，连结 、 ， 交OA、OB于M、N，此时
周长最小，根据轴对称性质可知 ， ， ，且
， ， ， ， 为等边三角形，
即 周长的最小值为8.
【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知
识，方可正确解答.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值
【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）如图1，两个点都在直线外侧：
辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB.
（2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧：
辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为
AB’.
A
A
m A
m
m
P' P A
m P
B
n n
Q' Q B n
Q
B B n B'
图1 图2
（3）如图3，两个点都在内侧：
辅助线：过点A、B作关于定直线 m、n的对称点 A’ 、B’ ，连接 A’B’ 交直线 m、n于点P、Q，则
PA+PQ+QA的最小值为A’B’.
（4）如图4，台球两次碰壁模型：
辅助线：同图3辅助线作法。
A'
m
A
m
P
A
B
Q
B n
n B'
图3 图4
例1．（2022·和平区·八年级期末）如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，点P，Q分
别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 的值最小时， 的大小=___（度）．
【答案】50
【分析】作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 ，交OB于点P，交OA于点Q，
连接MP，QN，可知此时 最小，此时 ，
再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】作M关于OB的对称点 ，N关于OA的对称点 ，连接 ，交OB于点P，交OA于点Q，
连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时 最小，即
，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ．故答案为：50．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
例2．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣
2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值
是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点 、 ，连接BP、CQ、 、 ，PQ，得出BP＋PQ＋CQ
的最小值为 ，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得 和 即可求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点 、 ，连接BP、CQ、 、 ，PQ
∵HC与GB关于y轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x轴⊥y轴，∴AG=AH， 、 关于y轴对称，
∴当 、 ，P、Q在同一条直线上时， 最小，此时 轴，
∵∠GAH＝60°，∴△AGH为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵ 轴，B、 关于AG对称，∴ , ，
∴△BPG为等边三角形，过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴ ，
∴ ，同理可得 ,即 ．故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确
变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．例3．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边
向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
△
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定即可得证；
（2）连接 ，先根据等边三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得
垂直平分 ，然后根据线段垂直平分线的性质可得 ，同样的方法可得 ，从而可得
，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1） 在 中， ， ，
点 是 斜边 的中点， ， 是等边三角形；
（2）如图，连接 ，
和 都是等边三角形， ， ，
， 垂直平分 ， ，
同理可得： 垂直平分 ， ， ，
由两点之间线段最短可知，当点 共线时， 取得最小值 ，
故 的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角
形的性质是解题关键．模型4、将军饮马--线段差的最大值
【模型探究】A，B为定点，在定直线m上分别找两点P，使PA与PB的差最大。
（1）如图1，点A、B在直线m同侧：
辅助线：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时
最大，因此点P为所求的点。
（2）如图2，点A、B在直线m异侧：
辅助线：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
A
A
A
A B'
B m
B m P' P
m
m P P' B B
图1 图2
例1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线 上
的动点，且 ，则 的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP， =CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，∵在等边 中， ，P是 的中线 上的动点，
∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴ =CP-PE，
∵在 中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是 边的中点，∴ 的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到 =CP-PE，是解题
的关键．
例2．（2022·广东·八年级专题练习）如图， ， ，AD是∠BAC内的一条射线，且
，P为AD上一动点，则 的最大值是______．
【答案】5
【分析】作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 、B'P．则 ， ， 是等
边三角形，在 中， ，当 、 、 在同一直线上时， 取最大值 ，即
为5．所以 的最大值是5．
【详解】解：如图，作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 ，B'P．
则 ， ， ， ．∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
在 中， ，当 、 、 在同一直线上时， 取最大值 ，即为5．
∴ 的最大值是5．故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
例3．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图， ， 为 上一动点， ，过 作
交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，
则 ________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，
根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画
出相应图形是解决问题的关键．
课后专项训练
1．（2022·河南七年级期末）如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为 ， 平分 ，
若 、 分别是 、 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作N关于BD的对称点，根据轴对称性质、两点之间线段最短和垂线段最短的定理可以得到
CM+MN 的最小值即为C点到AB的垂线段，因此根据面积公式可以得解．
【详解】解：如图，作N关于BD的对称点 ，连结N ，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则∵BD平分 ∠ABC ，∴ 在AB上，且MN=M ，∴CM+MN= ，
∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为 ，即C点到线段AB某点的连线，
∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，
∵△ABC 的面积为 10 ，∴ ，∴CE=5，故选B．
【点睛】本题考查轴反射的综合运用，熟练掌握轴反射的特征、两点之间线段最短及垂线段最短等性质是
解题关键．
2．（2022·甘肃白银·七年级期末）如图，在 中， ， ， ， ，EF垂直平分
BC，点P为直线EF上的任意一点，则 周长的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．12 D．8
【答案】A
【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的值最小，即可
得到△ABP周长最小．
【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，
∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉
及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的
对称点．
3．（2022·江西宜春·八年级期末）如图，在 中， 是边 的垂直平分线，交 于点 ，交
于点 ，点 是直线 上的一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】由条件可得点A是点C冠以ED的对称点，即求PB+PC的最小值就是求PB+PA的最小值，在点P运
动的过程中，P与E重合时有最小值．
【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，
∴PB+PC的最小值=AB=5．故选：A
【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．
4（2022•绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上
的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和
CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2
（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为
△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质
和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
5．（2022·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝
4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为
PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．
【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．
此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，
同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．
∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．
又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，
∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，
通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．
6．（2023云南八年级期末）如图，在等边 中，BC边上的高 ，E是高AD上的一个动点，F
是边AB的中点，在点E运动的过程中， 存在最小值，则这个最小值是（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的
长，即为FE+EB的最小值．
【详解】解：如图，连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，∴BE+EF=CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，即EF+BE的最小值为6．故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及
轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短
等结论．
△ABC AC BC AB6 △ABC
7．（2022·河南安阳市·八年级期末）如图，在 中， ， ， 的面积为12，
CD AB
于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则
△PBD的周长的最小值是（ ）A．6 B．7 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知CD为△ABC底边AB上的高线，根据面积关系即可求得
CD B C P G PBPD
的长，根据垂直平分线的性质可知点 和点 关于直线EF对称，所以当 与 重合时， 的
值最小，根据CD和BD的长度即可求得△PBD周长的最小值．
【详解】如图
1 1
ABCD12 BD AD AB 3
∵△ABC的面积为12，CD AB∴2 ， 2 ，解得，CD 4，
B C
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，∴点 和点 关于直线EF对称，
∴当P与G重合时，PBPD的值最小，最小值等于CD的长，
△PBD BDCD347
∴ 周长的最小值是 ，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积
等，解题的关键是准确找出P点的位置．
8.（2022•芜湖期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分
别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN
的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E
∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴ ×4•CE＝8，∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角
三角函数的定义求解是解答此题的关键．
9．（2022·河南·安阳市八年级期末）如图，在 中， ，边 的垂直平分线 分别交 ，
于点 ， ，点 是边 的中点，点 是 上任意一点，连接 ， ，若 ，
， 周长最小时， ， 之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AP，根据线段垂直垂直平分线的性质可知PA=PC， ．由，即得出 ，由此可知当A、P、D在同一直线上时， 最小．
再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为 的平分线，即 ．最后根据三角
形外角性质即得出 ，由此即可判断 ．
【详解】如图，连接AP，
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，∴PA=PC， ．
∵ ,∴ ．
由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时， 最小，即为 的长，∴此时 最小．
∵D是边BC的中点，AB=AC，∴AD为 的平分线，∴ ．
∵ ，即 ，∴ ．故选C．
【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．
根据题意理解当A、P、D在同一直线上时 最小是解题关键．
10．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB
上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质
得AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH
是等边三角形，进而可得∠FAB的度数．
【详解】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接
DC′，DE′，
此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，
根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，
∴AG=AH=GH=2，∴△AGH是等边三角形，
∴∠GAH=60°，∴∠FAB= ∠GAH=30°，故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最
短问题．
11．（2022·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是
OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
【答案】2
【分析】先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交
点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可证∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,继而可得△OP′P″是等边三角形,即PP′=OP′=2．【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2.
【点睛】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形
的判定.
12．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，
∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明 BCD是等边三角形，
从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对△称性可得∠CBP的度数．
【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，
∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，
∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴ BCD是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴A△C=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且 BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=△∠CDP=15°，故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP
的最小值为AD长是解题的关键．13．（2022·广东·八年级专题练习）如图， ， ，AD是∠BAC内的一条射线，且
，P为AD上一动点，则 的最大值是______．
【答案】5
【分析】作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 、B'P．则 ， ， 是等
边三角形，在 中， ，当 、 、 在同一直线上时， 取最大值 ，即
为5．所以 的最大值是5．
【详解】解：如图，
作点 关于射线 的对称点 ，连接 、 ，B'P．
则 ， ， ， ．
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
在 中， ，当 、 、 在同一直线上时， 取最大值 ，即为5．
∴ 的最大值是5．故答案为：5．
【点睛】本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
14．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边 中，E是 边的中点，P是 的中线 上的动点，且 ，则 的最大值是________．
【答案】3
【分析】连接PC，则BP=CP， =CP-PE，当点P与点A重合时，CP-PE=CE，进而即可求解．
【详解】解：连接PC，
∵在等边 中， ，P是 的中线 上的动点，
∴AD是BC的中垂线，∴BP=CP，∴ =CP-PE，
∵在 中，CP-PE＜CE，∴当点P与点A重合时，CP-PE=CE，
∵E是 边的中点，∴ 的最大值=6÷2=3．故答案是：3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP，得到 =CP-PE，是解题的关
键．
15.（2022·河南八年级期末）如图，在 中， ， ， ， ， 平分
交 于点 ， ， 分别是 ， 边上的动点，则 的最小值为__________．【答案】
【分析】在 上取点 ，使 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．利用角的对称性，
可知 ，则EC＋EF的最小值即为点C到AB的垂线段CH的长度，进而即可求解．
【详解】解：如图，在 上取点 ，使 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．
平分 ， 根据对称可知 ．
， ． ，
当点 、 、 共线，且点 与点 重合时， 的值最小，最小值为CH= ，故答案为 ．
【点睛】本题考查了轴对称-线段和最小值问题，添加辅助线，把两条线段的和的最小值化为点到直线的距
离问题，是解题的关键．
16．（2022·四川成都·七年级期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于 AB长为半径作弧，
两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝
AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为 ___．
【答案】6
【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，
∵CD＝ AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），
∴PA+PD的最小值为6，∴PB+PD的最小值为6．故答案为6．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键．
17．（2022·安徽芜湖市·八年级期末）如图，在 中． ，若 ， ， ，
将 折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则 的周
长最小值为___．
【答案】20．
【分析】根据 由 沿AD对称,得到 ，进而表示出 ，最后求
周长即可．
【详解】 由 沿AD对称得到，则E与C关于直线AD对称，
，∴ ，如图,连接 ，
由题意得 ，∴ ，当P在BC边上，即D点时取得最小值12，
∴ 周长为 ，最小值为 ．故答案为:20．
【点睛】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
18．（2022·湖北·八年级）如图， ， 为 上一动点， ，过 作 交直线
于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，则
________ ．
【答案】123°
【分析】当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，画出相应的图形，
根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：当DM与DP重合，AN与AB重合时，|AN-DM|的值最大，此时|AN-DM|=AB，
∵∠ABC=114°，∴∠CDE=180°-114°=66°，∴∠MCD=90°-66°=24°，
又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠DCM=180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画
出相应图形是解决问题的关键．
19．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中， ．在BC，CD
上分别找一点M，N，使 周长最小，则 的度数为_________．【答案】160°
【分析】要使 周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD
的对称点 ，即可得到 ，进而求得 ，即可得到答案．
【详解】作点A关于BC和CD的对称点 ，连接 ，交BC于M，交CD于N，
则 即为 周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和
垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形 的边长为5，A、B、 三点在一条直线上，且
．若D为线段 上一动点，则 的最小值是________．【答案】10
【分析】连接CA 交BC 于点E，C、A 关于直线BC 对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，
1 1 1 1
最小值为线段AA 的长＝10．
1
【详解】解：连接CA 交BC 于点E，过点B作直线l⊥AB，如图，
1 1
∵ ABC是等边三角形， ∴ 是等边三角形，AB=AB=5
1
△
∵A、B、 三点在一条直线上，∴ ABC与 ABC 关于直线l对称，
1 1
△ △
∵∠ABC＝∠ABC ＝60°，∴∠CBC ＝60°，∴∠C BA＝∠C BC，
1 1 1 1 1 1
∵BA＝BC，∴BD⊥CA ，CD＝DA，∴C、A 关于直线BC 对称，
1 1 1 1 1
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA 的长＝10，故答案为：10．
1
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点
之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．
21．（2023·山东青岛市·八年级期末）如图，等边 （三边相等，三个内角都是 的三角形）的边长
为 ，动点 和动点 同时出发，分别以每秒 的速度由 向 和由 向 运动，其中一个动点到终
点时，另一个也停止运动，设运动时间为 ， ， 和 交于点 ．
（1）在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由；（2）连接 ，求 为何值时， ；
（3）若 于点 ，点 为 上的点，且使 最短．当 时， 的最小值为多少？
请直接写出这个最小值，无需说明理由．【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；（2）根据DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可；
（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE=D'E，证明△CD′E为等
边三角形，即可求D'E的值．
【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7．
【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段DP+PE=D'E，再由等边三角形的性质
求解D'E的长是解题的关键．
