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专题 13.6 等腰三角形（精选精练）（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在等腰三角形 中， ， 是边 上的一点．下
列条件不能说明 是 的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断 是等腰三角形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·云南·模拟预测）在 中， 的平分线相交于I， 过点I且 ，若
，则 （ ）
A．8 B．6 C．7 D．5
4．（24-25八年级上·全国·课后作业）在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点E，
F，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在 中， ，D是 的中点，E是 边上
一点，且 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
6．（22-23八年级上·广西钦州·期末）在 中， 平分 ，则
的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ， 平分
，交 于点E，交 于点F，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
8．（23-24八年级下·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中 ， ，为了使用的
舒适性，可调整 的大小．若 增大 ，则 的变化情况是（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
9．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图， 中， ， 是 边上的高， 是 延长线上一点， 平分 ，若 ， ， ，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广西·模拟预测）如图，在 中， ，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径
作弧，两弧分别交于E，F，作直线 ，D为 的中点，M为直线 上任意一点．若 面积为
40，且 长度的最小值为10，则 长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图， 中， 平分 的垂直平分线交 于点
E，交 于点连接 ．若 ，则 的度数为 ．
12．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在 中， ，D、E、F分别是 ， ，
上的点，且 ， ， ，则 的度数是 ．13．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图， ， 平分 ， 交 于 ．如果
，那么点 到 的距离等于 ．
14．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北
航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得 ， ，那么从B处到灯塔C的距
离是 海里．
15．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 中， ，点 、 分别在边 、
上（均不与点 、 、 重合），且 ，若 ，则 度，
度．16．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，在等腰 中， ， ， 为
的角平分线，过点C作 交 的延长线于点E，若 ，则 的长为 ．
17．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在 中， ， ．延长线段 至
点 ，使 ，过点 作射线 ，点 为射线 上的动点，分别过点 ， 作直线 的垂
线 ， ．当 的值最大时， 的度数为 ．
18．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图， ， ，点 为射线 上的一个动点，分别
以 ， 为直角边， 为直角顶点，在 两侧作等腰 、等腰 ，连接 交 于
点，当点 在射线 上移动时， 的长度为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在 中， ， ，
， ，求证： 是等腰三角形．20．（8分）（2023·广东清远·一模）如图，已知 ，在 边上取点 ，在 的外部取点 ，连
接 ， 交 于点 ，且 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
21．（10分）（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在 中， ， 且
的顶点E在边 上移动，在移动过程中，边 ， 分别与 ， 交于点M，N，
（1）当 且M与A重合时，求证：
（2）当E为 中点时，连接 ，求证：22．（10分）（23-24七年级下·上海·期末）如图， ，点D在 边上，
和 相交于点O．
（1）试说明 的理由；
（2）若 ，试判断 和 的大小关系，并说明理由．
23．（10分）（23-24八年级上·河南周口·期末）（1）【问题发现】如图1， 与 中，
，B、 、 三点在同一直线上， ， ，则 _________．
（2）【问题提出】如图2，在 中， ，过点 作 ，且 ，求
的面积．
（3）【问题解决】如图3，四边形 中， ， 面积为 且 的
长为6，求 的面积．24．（12分）（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，
培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：
（1）如图，在等腰 中， ，点D为线段 上的一动点（点D不与A，B重合），以 为
边作等腰 ， ， ，连接 ．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11−1，当 时，线段 ， 的数量关系为 ， °；
【类比探究】
②如图11−2，当 时，试探究线段 与 的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11−3，四边形 中， ， ，连接 ，若 ，则四边形
的面积为多少？（直接写出结果）．参考答案：
1．D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的综合
运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质可判定A，B选项；根据角平分线的性质定理可判定C
选项，根据D选项的条件无法破电脑角平分线，由此即可求解．
【详解】解：∵ 是等腰三角形， ，
∴ ，
A、若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，故该选项不符合题意；
B、若 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，故该选项不符合题意；
C、若 ，如图所示，过点 作 于点 ，作 于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，故该选项不符合题意；
D、当 时，不能确定点 是角平分线，故该选项符合题意；
故选：D ．
2．D
【分析】根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知 ， 是等腰三角形，不符合题意，选项
错误；B、根据垂直平分线的作法可知 ， 是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知， ， ，
根据角平分线的作法可知， ，
， 是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断 是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点拨】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
3．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”
及“等边对等角”证明 ， ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ；
故选：A．
4．D
【分析】根据题意，得 ，得到 ，结合 ，
代换计算即可，本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握
性质和定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ，
∴ ，
∵ ，
∴∴
∵ ，
∴ ．
故选D．
.
5．D
【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形
三线合一的性质得到 ， ，根据三角形内角和得到 ，再根据等
边对等角及三角形内角和得到 ，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，D是 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，在 上截取
，连接 ，证明 ，得到 ，再证明 ，进而代入数值解答即可．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，关键是
推出 ．
根据三角形的内角和定理得出 ， ，根据角平分线和对顶角相等得
出 ，即可得出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．故选：B．
8．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来 ，求出此时
，然后类似求出变化后 ，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来 ，则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
增大 后， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的变化情况是减小 ，
故选：D.
9．B
【分析】过点C作 于点F，易证 （AAS），得到 ，
， ，进而得到 ，因此 ．由于
得到 ，又
，得到 ，因此 ，所以 ．由 得 ，变
形得到 ．
【详解】如图，过点C作 于点F是高，
平分
在 和 中
（ ）
， ，
∵在 中， ，又
，
，即
故选：B【点拨】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的
关键．
10．C
【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，
垂线段最短等知识．如图，连接 ，过点 作 于点 ．根据等腰三角形的三线合一的性质得
出点 与点 重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出
最后利用三角形的面积公式求出 即可．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ．
∵ 为 中点， ，
∴点 与点 重合，
垂直平分线段 ，
，
，
，
，
故选：C．
11． /52度
【详解】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角
和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键．
先利用角平分线的定义得到 ，再根据三角形内角和计算出 ，接着根据线
段垂直平分线的性质得 ，则 ，然后计算 即可．
【解答】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
12．48
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现
全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现 ．再根据三角形的内角和定理以
及等腰三角形的性质进行推导．
根据已知条件可推出 ，从而可知 ，则 ，再求解即可．
【详解】解： ，
，
在 和 中，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
故答案为：48．
13．3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关
定理是解题的关键．过点P作 于点D， 于点E，根据角平分线性质定理可得 ，
然后证明 ，即得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，即得答案．
【详解】过点P作 于点D， 于点E，
平分 ，， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，
即点 到 的距离等于3．
故答案为：3．
14．40
【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先求出 海里，再利用三角形外角的性
质证明 ，则 海里．
【详解】解：由题意得， 海里，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 海里，
∴从B处到灯塔C的距离是40海里，
故答案为：40．
15． 96 27
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、全
等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形“等边对等角”的
性质可得 ，再利用三角形内角和定理计算 的值；证明 ，结合全等三
角形的性质证明 为等腰三角形，进而可得 的值，然后由 求解即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：96；27．
16． /
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长 交 的延长线于点F，证
，得 ，再证 ，得 ，然后由等腰三角形的性质得
，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点F，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17． /130度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点
作 直线 于点 ．证明 ，推出 与 重合时， 的值最大，此时
，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．
【详解】解：如图，过点 作 直线 于点 ．直线 ， 直线 ，
，
， ，
，
，
，
与 重合时， 的值最大，
当 与 重合， 与 重合时， 的
值最大，此时 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
故答案为： ．
18．【分析】本题考查了三角形内角和定理， 全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构
造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答.
过点 作 垂足为点 ，首先证明 得到 ，进而证明 即可
解决问题.
【详解】如图，过点 作 垂足为点 ，
，
，
，
均为等腰直角三角形，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，，而 ，
，
故答案为: .
19．见解析
【分析】根据三角形内角和定理，计算 的度数，确定 即可得证．
本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
20．(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（ ）由 可得 ，即得 ，进而得 ，
再由 得 ，即可由 证明 ；
（ ）由全等三角形的性质得 ，即得 ，据此即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
，，
，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
（2）解：∵ ，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，
（1）根据等腰直角三角形的性质可得 ，利用三角形外角的性质与等量代换可得
，在根据全等三角形的判定即可证明；
（2）连接 ，在 上截取 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，
，证得 ，可得 ， ，利用等量
代换可得 ，证得 ，可得 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，在 上截取 ，
∵ ， ，E为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
22．(1)详见解析
(2) ，理由见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等腰三角形的判定与
性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出 ，则 ，利用 即可证明
；
（2）过点E作 ，垂足为H ，根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质求出 ，
结合三角形内角和定理求出 ，等量代换求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
又 ， ，
，
，
，
，
即 ，
在 与 中，
，
；
（2）如图，过点E作 ，垂足为H ，
，
，
，
，
，
，
，， ，
，
，
，
23．（1）7；（2）8；（3）6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．
熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）证明 ，则 ， ，根据 ，计算求解即可；
（2）如图1，过 作 的延长线于E，证明 ，则 ，根据
，计算求解即可；
（3）如图2，过 作 于 ，过 作 的延长线于 ， 由 面积为 且 的长为
6，可得 ，可求 ，证明 是等腰直角三角形，则 ，
，由 ，可得 ， ，证明 ，
则 ，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：7；
（2）解：如图1，过 作 的延长线于E，图1
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为8；
（3）解：如图2，过 作 于 ，过 作 的延长线于 ，
图2
面积为 且 的长为6，
∴ ，
解得， ，
， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
，
， ，，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ 的面积为6．
24．（1）① ，90； ② ，理由见解析；（2）32
【分析】（1）①先证明 ，再利用 证明 ，由全等三角的性质可得出
， ，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出 ，
再根据角的和差关系即可得出 ．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出
，用 证明 ，用全等三角形的性质可得出 ，即可得
出 ，根据内错角相等，两直线平行得出 ．
（2）过A作 交 延长线于G，先证明 ，再根据角的和差关系得出
，利用 证明 ，由全等的性质得出 ， ，根据
得出 ，计算即可．
【详解】解：（1）①∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴
∴ ，
故答案为： ，90．
② ，理由如下：∵ ，
∴
即 ，
∵
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
（2）如图，过A作 交 延长线于G，
∵ ，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
即
在 和 中，∴
∴ ，
∴
∴ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平
行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．
