文档内容
专题14.17 乘法公式（直通中考）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·广东深圳·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知 ，则 的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
3．（2021·山东威海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·湖北恩施·中考真题）下列计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m，n满足 ，则
的最大值为（ ）
A．24 B． C． D．
6．（2020·河北·统考中考真题）若 ，则 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．（2019·广西柳州·统考中考真题）定义：形如 的数称为复数（其中 和 为实数， 为虚数单
位，规定 ）， 称为复数的实部， 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如 ，因此， 的实部是﹣8，虚
部是6．已知复数 的虚部是12，则实部是（ ）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
8．（2018·四川乐山·中考真题）已知实数 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
9．（2019·四川资阳·统考中考真题）4张长为a、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个
边长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 ．若 ，则a、b满足（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给
出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2020·江西·统考中考真题）计算： ．
12．（2020·浙江杭州·统考中考真题）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．
13．（2019·浙江衢州·统考中考真题）已知实数 ， 满足 ，则代数式 的值为 .
14．（2011·山东济宁·中考真题）若代数式 可化为 ，则 的值是 ．
15．（2018·贵州安顺·中考真题）若 是关于 的完全平方式，则 ．
16．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知 用“＜”表示
的大小关系为 .
17．（2017·湖北孝感·中考真题）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方
形，图2，是一个边长为 的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则 可化简为
．
18．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开
始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出
第n个数对： ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
， .
20．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
21．（10分）（2022·湖北荆门·统考中考真题）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2； （2）x4+ ．
22．（10分）（2022·河北·统考中考真题）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一
定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如， 为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发
现”中的结论正确．
23．（10分）（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字
（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， 表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
（2）归纳： 与100a（a＋1）＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
24．（12分）（2019·江苏常州·统考中考真题）【阅读】：数学中，常对同一个量（图形的面积、点
的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两
次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】：（1）如图，两个边长分别为 、 、 的直角三角形和一个两条直角边都是 的直角三角
形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2， 行 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：
________；
【运用】：（3） 边形有 个顶点，在它的内部再画 个点，以（ ）个点为顶点，把 边形剪
成若干个三角形，设最多可以剪得 个这样的三角形．当 ， 时，如图，最多可以剪得 个这样的
三角形，所以 ．
①当 ， 时，如图， ；当 ， 时， ；
②对于一般的情形，在 边形内画 个点，通过归纳猜想，可得 （用含 、 的代数式表
示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
参考答案
1．D
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算
即可．解：∵ ，故A不符合题意；
∵ ，故B不符合题意；
∵ ，故C不符合题意；
∵ ，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟
练掌握相关法则是解题的关键．
2．A
【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可．
解：∵
∴
∴
故选：A．
【点拨】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
3．B
【分析】分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的
运算法则对各项进行计算后再判断即可．
解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. 原选项计算正确 ，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项，熟
练掌握相关运算法则是解答此题的关键．
4．B【分析】根据同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项的法则进行计算即可．
解：A、 ，该选项错误，不符合题意；
B、 ，该选项正确，符合题意；
C、 ，该选项错误，不符合题意；
D、 ，不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项，解此题的关
键在于熟练掌握其知识点．
5．B
【分析】先将所求式子化简为 ，然后根据 及 求出
，进而可得答案．
解：
；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出
的取值范围是解题的关键．
6．B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
解：原等式 变形得：
．
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
7．C
【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-
m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可．
解：∵
∴复数 的实部是 ，虚部是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．
8．C
【分析】利用完全平方公式解答即可．
解： ， ，，
，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是熟记公式结构．
9．D
【分析】先用a、b的代数式分别表示 ， ，再根据 ，得
，整理，得 ，所以 ．
解： ，
，
∵ ，
∴ ，
整理，得 ，
∴ ，
∴ ．
故选D．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
10．D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选： ．
【点拨】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面
积．11．
【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.
解：
【点拨】本题考查了平方差公式，即 ；灵活运用该公式是解答本题的关键.
12．﹣
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求
解．
解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2，
∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4，
∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy＝﹣ ，
则P＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
13．3
【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案．
解：∵ ， ，
∴ .
故答案为3
【点拨】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答．
14．5
解： ，根据题意得 ， ，解得 =3，b=8,那么 =5.
15．7或-1
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．解：∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，
故答案为-1或7．
【点拨】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
16．
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
解：由题意可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
，当且仅当 时取等号，此时
与题意 矛盾，
∴
∴ ；
，同理 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式
总是大于等于0的即可与0比较大小．
17．
解：试题分析：
考点：1.平方公式的几何背景；2.分式的化简.
18．
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第 个数对的第一个数为： ，第 个数对的第二个位： ，即可求解．
解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即： ， ， ， ， ，…
则第 个数对的第一个数为： ，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即： ； ； ； ； …，
则第 个数对的第二个位： ，
∴第n个数对为： ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
19． ，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可．
解：
当 ， 时，原式 ．
【点拨】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开．
20． ，6
【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将 代入计算即可解答．
解： ，
，
；
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键．
21．（1）5；（2）47
【分析】（1）由 ＝ 、 ＝ ，进而得到 ﹣4x• 即
可解答；
（2）由 ＝ 可得 =7，又 ＝ ，进而得到 ＝
﹣2即可解答．
（1）解：∵ ＝
∴ ＝
＝
＝ ﹣4x•
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵ ＝ ，
∴
＝ +2
＝5+2
＝7，
∵ ＝ ，
∴
＝ ﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点拨】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．
22．验证： ；论证见分析
【分析】通过观察分析验证10的一半为5， ；将m和n代入发现中验证即可证明．
解：证明：验证：10的一半为5， ；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴ ，其中 为偶数，
且其一半 正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点拨】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
23．（1）③ ；（2）相等，证明见分析；（3）
【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由 再计算100a（a＋1）＋25，从而可得答案；
（3）由 与100a的差为2525，列方程，整理可得 再利用平方根的含义解方程即可．
（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
（2）解：相等，理由如下：
100a（a＋1）＋25=
（3） 与100a的差为2525，
整理得： 即解得：
1≤a≤9，
【点拨】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含
义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
24．（1）见分析，故结论为：直角长分别为 、 斜边为 的直角三角形中 ；（2）
；（3）①6，3；② ，见分析.
【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之
和列出方程并整理．
（2）由图可知 行 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 ，每层棋子分别为 ， ， ， ，…，
．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．
（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加 部分，即可得出结论．
解：（1）有三个 其面积分别为 ， 和 ．
直角梯形的面积为 ．
由图形可知：
整理得 ， ，
．
故结论为：直角长分别为 、 斜边为 的直角三角形中 ．
（2） 行 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 ，每层棋子分别为 ， ， ， ，…， ．
由图形可知： ．
故答案为 ．
（3）①如图，当 ， 时， ，如图，当 ， 时， ．
②方法1．对于一般的情形，在 边形内画 个点，第一个点将多边形分成了 个三角形，以后三角
形
内部每增加一个点，分割部分增加 部分，故可得 ．
方法2．以 的二个顶点和它内部的 个点，共（ ）个点为顶点，可把 分割成
个互不重叠的小三角形．以四边形的 个顶点和它内部的 个点，共（ ）个点为顶点，可
把四边形分割成 个互不重叠的小三角形．故以 边形的 个顶点和它内部的 个点，共（
）个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形．故可得 ．
故答案为① ， ；② ．
【点拨】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．
