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专题14.20 因式分解（公式法）（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021春·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算
的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东潮州·统考一模）若 ，则 值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．（2023春·七年级单元测试）下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
C．ab+ac=a（b+c） D．a2+2ab+b2=（a+b）2
5．（2023春·湖南娄底·七年级统考期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条
信息： ， ， ， ， ， 分别对应六个字：源，爱，我，数，学，涟，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱涟源 B．爱涟源 C．我爱数学 D．涟源数学
6．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式 是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·广东佛山·八年级校考期中）把代数式 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．8．（2023春·湖南永州·七年级统考期末）小李在计算 时，发现其计算结果能被三个
连续整数整除，则这三个整数是（ ）
A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024
C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022
9．（2023春·河北唐山·八年级统考开学考试）对于：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
10．（2023·上海·七年级假期作业）已知 ， ， ，那么
的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）因式分解： ．
12．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）把 分解因式的结果是 ．
13．（2023春·辽宁本溪·八年级统考期中）已知 可以用完全平方公式进行因式分解，则k
的值为 ．
14．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）分解因式：
（1） ；
（2） ．15．（2023·全国·九年级专题练习）计算： ＝ ．
16．（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）已知 ， ，则
的值为 ．
17．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算： ．
18．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）由多项式与多项式相乘的法则可知：
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3
即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．
请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023春·江苏徐州·七年级统考期末）因式分解：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2020秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）因式分解：
（1） （2）
21．（10分）（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期中）因式分解：
（1） ； （2） ．22．（10分）（2022秋·全国·八年级专题练习）利用因式分解计算:
（1）2019× -2019× +2019×2; （2）2072-414×297+2972.
23．（10分）（2022·新疆喀什·校考一模）（1）请用含x和y的代数式来表示阴影部分的面积．
（2）当x＝2022，y＝2021时，阴影部分的面积是多少？
24．（12分）（2023春·全国·八年级期中）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面
是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将 分解因式
小彬的解法： 小颖的解法：
…… ……第1步 第1步
……………………………… ……………………
……第2步 …第2步
………………………… ………………………
…第3步 第3步
任务：
①经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______，这位同学的解
答过程中第 步依据的乘法公式可以用字母表示为______；而另一位同学的解答是从第______步开始出错
的，你认为这位同学解答过程错误的原因是____________．
②按照做错同学的思路，写出正确的解答过程；
③除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，在对多项式进行因式分解时还需要注意的事项给其
他同学提一条建议．参考答案
1．C
【分析】根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断即可求解．
解：A选项： ，不能用平方差公式计算；
B选项： ，不能用平方差公式计算；
C选项： ，可以用平方差公式计算；
D选项： ，不能用平方差公式计算.
故选：C．
【点拨】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，
熟记公式结构是解题的关键．
2．D
【分析】根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，
另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.
解：A. 只有两项，不符合完全平方公式；
B. 其中有两项 、 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. 其中两项 、 不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；D. 符合完全平方公式．
故选D．
【点拨】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键．
3．A
【分析】利用完全平方公式和绝对值的非负性求出x、y值即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，解得 ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查完全平方公式、绝对值的非负性，会利用非负数的非负性求解是解答的关键．
4．C
解：A、a2-b2=（a+b）（a-b），利用平方差公式分解得到结果,不合题意；
B、a2-2ab+b2=（a-b）2，利用完全平方公式分解得到结果,不合题意；
C、ab+ac=a（b+c），提取公因式得到结果,符合题意；
D、a2+2ab+b2=（a+b）2，利用完全平方公式分解得到结果,不合题意．
故选C．
5．A
【分析】题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现
密码信息．
解：∵
，
分别对应 个汉字：我，爱，涟，源，
∴呈现的密码信息可能是：我爱涟源．
故选：A．
【点拨】本题考查提公因式、平方差公式分解因式，根据因式对应信息，合理搭配信息即可，分解因式是解题的关键．
6．C
【分析】根据因式分解的方法，将各选项进行因式分解，即可求解．
解： ． ，含有因式 ，不符合题意；
． ，含有因式 ，不符合题意；
． ，不含有因式 ，符合题意；
． ，含有因式 ，不符合题意；
故选： ．
【点拨】本题考查了因式分解，掌握提取公因式，乘法公式方法进行因式分解是解题的关键．
7．D
【分析】先提公因式，再用完全平方公式即可求解．
解：
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了采用提公因式和完全平方公式进行因式分解的知识．分解因式的定义：把一
个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是
恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．
8．B
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案．
解：
∴能被2022，2023，2024整除，
故选B．【点拨】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
9．D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：① ，此项错误；
② ，此项正确；
③ ，此项错误；
④ ，此项正确．
故选D．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化
成几个整式的积的形式，叫因式分解．
10．A
【分析】先将 因式分解为（a-b）（a-c），再将其值代入计算即可．
解：∵ ， ， ，
∴ =a（a-b）-c（a-b）=（a-b）（a-c）
=（2017x+2016-2017x-2017）×（2017x+2016-2017x-2018）=-1×（-2）=2．
故选：A．
【点拨】考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将 因式分解为（a-b）（a-
c）的形式．
11．
【分析】利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
解： ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
12．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
解：
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须
先提公因式．掌握分解因式的方法是解题的关键．
13．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
解：∵ 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．
【分析】（1）利用平方差公式即可进行因式分解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解．
解：（1）
（2）
故答案为：（1） ；（2）
【点拨】本题考查提公因式法、公式法分解因式．根据式子特点选择合适的方法是解题关键．15．
【分析】把分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果．
解：原式＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了用因式分解进行计算，解题关键是熟练运用公式法进行因式分解．
16．2
【分析】把原式因式分解后，利用整体代入即可得到答案．
解：
，
当 ， 时，
原式 ，
故答案为：2．
【点拨】此题考查了代数式的值和因式分解，熟练掌握因式分解和整体代入是解题的关键．
17．3.98．
【分析】直接提取公因式1.99，即可得答案．
解：1.992+1.99×0.01
=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98.
故答案为：3.98．
【点拨】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
18．
【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可．解：﹣64x3＋y3
故答案为：
【点拨】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）原式利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然
后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．（1）m（m-3）2；（2）（x-y）（a+b）（a-b）
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式（x-y），再利用平方差公式法分解．
解：（1）
=m（m2-6m+9）
=m（m-3）2
（2）
=（x-y）（a2-b2）=（x-y）（a+b）（a-b）
【点拨】考查了因式分解，解题关键是掌握公式的特征，再利用公因式法、公式法分解因式．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解即可；
（2）运用提公因式法，公式法进行因式分级即可．
（1）解： ．
（2）解： ．
【点拨】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法分解因式的方法是解题的关键．
22．（1）2019；（2）8100.
【分析】（1）提取公因式2019即可得；
（2）根据完全平方公式，可得答案；
解：（1）原式=2019× =2019.
（2）原式=2072-2×207×297+2972
=（207-297）2=（-90）2=8100.
【点拨】本题考查了因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分
解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
23．（1） ；（2）4043
【分析】（1）补全正方形，得到大的正方形，阴影部分的面积就是大正方形的面积-小正方形的面积；
（2）代入x=2022，y=2021即可求得代数式的值．
解：（1）如图，阴影部分的面积=
（2）当x=2022，y=2021时，．
【点拨】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是了解矩形的面积计算方法及图形的构成，难度不
大．
24．①小彬； ； ； 没有变号；②解题过程见详解；③运用完全平方公式，
平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，注意各项的符号，合并同
类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行
【分析】①根据平方差公式即可作出判定；根据平方差公式即可用字母表示；从第1步就出差；运用
平方差公式时要注意各项的符合；
②运用平方差公式因式分解，注意各项的符号即可求解；
③根据运用完全平方公式，平方差公式常见问题即可求解．
解：①小彬的解法是根据完全平方公式展开，合并同类项，提取公因式，再根据平方差公式进行因式
分解，各步骤严格按照因式分解法计算；小颖的解法是运用平方差公式进行因式分解，在第 步的地方，
忘记变号，故错误，
∴小彬的解法正确；
平方差公式用字母表示为： ；
小颖的解法从第 步出错，出错的原因是 没有变号．
故答案为：小彬； ； ； 没有变号；
②运用平方差公式正确的解法是：
；
③运用完全平方公式，平方差公式时，若是遇到多项式，要用括号括起来，再根据去括号法则去括号，
注意各项的符号，合并同类项时，要根据有理数的加减法，合并同类项的法则进行．【点拨】本题主要考查完全平方公式，平方差公式因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键．
