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专题 14.2 整式的乘法
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 计算单项式乘多项式】............................................................................................................................1
【考点二 计算多项式乘多项式】............................................................................................................................2
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】................................................................................................4
【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】....................................................................................................................7
【考点五 多项式乘法中的规律性问题】..............................................................................................................11
【考点六 多项式乘多项式与图形面积】..............................................................................................................14
【考点七 幂的乘除混合运算】..............................................................................................................................17
【考点八 幂的乘除逆运算】..................................................................................................................................18
【考点九 整式运算中的先化简再求值】..............................................................................................................20
【考点十 多项式除以单项式】..............................................................................................................................22
【考点十一 整式运算中的新定义型问题】..........................................................................................................25
【过关检测】............................................................................................................................................................30
【典型例题】
【考点一 计算单项式乘多项式】
例题：（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）计算:（1） .（2）
．
【答案】
【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值
【分析】根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：（1） ；
（2） ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式，解题的关键是熟练的掌握相关的运算法则．【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算 计算： ．
【答案】 /
【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值
【分析】此题考查了积的乘方和单项式乘以单项式运算，单项式乘以多项式运算，应用积的乘方和单项式
乘以单项式运算法则进行计算；利用单项式乘以多项式运算法则求解即可．
【详解】
；
．
故答案为： ， ．
2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ．（2）
．
【答案】
【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值
【分析】本题考查了整式乘法，
（1）根据单项式乘法法则计算；
（2）根据单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
故答案为：（1） ；（2） ．【考点二 计算多项式乘多项式】
例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可；
（2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式
【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则．
（1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解；
（2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ．
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了多项式的乘法：
（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；
（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
（3）解：
．
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若 的乘积中不含 项，求n的值．
【答案】4
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．先根据整式的乘法运
算算出结果，然后令 项前面的系数为零，求出n的值．
【详解】解：
，
∵乘积中不含 项，
∴ ，
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．【答案】(1)
(2)12
【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算．
（1）将 展开，根据结果不含 与 项，即含 与 项的系数为0进行求解即可；
（2）将（1）所求值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
的积中不含 与 项，
，
；
（2）解：∵ ， ，
∴．
2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知 的展开式中不含 的一次项，常数项是 ．
(1)求 ， 的值．
(2)先化简再求值 ．
【答案】(1) ，
(2)35
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含 的一次项，常数项是 可得
， ，求解即可获得答案；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将 ， 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
又∵展开式中不含 的一次项，常数项是 ，
∴ ， ，
解得 ， ；
（2）原式
，
∵ ， ，
∴原式．
【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】
例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式：
回答下列问题：
(1)总结公式： _____ ；
(2)已知a，b，m均为整数，若 ，求m的值．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．
（1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数
项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可；
（2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即
可．
【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现： ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵a，b，m均为整数，
∴ ，∴ 或 或 或 ，
∴ 或 ，
∴m的值为 或 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
(1)计算 __________；
根据你发现的规律，猜想 __________；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) ； ；
(2)n的值为
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常
数项，发现规律得猜想；
（2）利用（1）的猜想先求出 ，再根据 得关于m、n的方程，求解
即可．
【详解】（1）解：
根据上面的计算，可发现：故答案为： ； ；
（2）解：由（1）的规律知： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
答：n的值为 ．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键．
2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法 ”的结果的一般性规律问题：
观察发现：（1）① ；
② ；
③ _________；
④ _________．
规律总结：（2） _________．
应用规律：（3）①若 ，求 的算术平方根；
②若 的结果不含 的项，求 的立方根．
【答案】（1）③ ；④ ；（2） ；（3）①4；②1．
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项
求字母的值【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，立方根，算术平方根，求代数式的值，利用多项式乘多项式法
则发现规律得到猜想是解决本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则计算即可得解；
（2）观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想；
（3）①利用猜想得， ， ，从而代入 求解即可；②由（2）的规律知：
，进而求得 ，即可得解．
【详解】解：观察发现：（1）③ ，
故答案为： ；
④ ，
故答案为： ．
规律总结：（2）① ；
② ；
③ ；
④ ；
根据上面的计算，可发现：
故答案为： ；
应用规律：（3）① ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的算术平方根为 ；
②由（2）的规律知： ，∵ 的结果不含 的项，
∴ ，
∴ ，
∴ 的立方根为1．
【考点五 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
观察下列各式：
；
；
；
……
请根据你发现的规律完成下列各题：
(1)根据规律可得 _______________；
(2)请你利用上面的结论解答下列小题：
①若 ，求 的值．
②计算 的值．（结果用幂表示）
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题
【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）①根据（1）中发现的规律即可解决问题．②根据（1）中发现的规律即可解决问题．
本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，能根据题意得出 为正
整数）是解题的关键．【详解】（1）解：因为 ；
；
；
，
所以 ．
故答案为： ．
（2）①由（1）中结论可知，
，
所以 ，
则 ，
所以 ，
则 ．
②由（1）中结论可知，
，
所以 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知
．
(1)根据以上式子计算：
① ；
② ．
(2)请你进行下面的探索：① ____________；
② ____________；
③ ____________．
【答案】(1)① ；②
(2)① ；② ；③
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从
而进行解题．
（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；② 中，把 按升幂进行排列，把
化为 ，然后套用规律进行解答，需要处理好符号；
（2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案．
【详解】（1）解：① ；
② ；
（2）解：① ；
② ；
同理可知：
③
故答案为∶① ；② ；③ ．
2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三
角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角
形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中的系数．
(1)根据上面的规律不难发现， 的展开式共有____________项，请写出它的展开式
；
(2) 的展开式共有__________项，系数和为___________；
(3)利用上面的规律计算： ；
(4)运用：若今天是星期二，经过 天后是星期___________．
【答案】(1)6项， ；
(2)共有（ ）项，系数和为 ；
(3)1；
(4)三．
【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，
找出本题的数字规律是正确解题的关键．
（1）观察规律可知， 的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜
边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答；
（2） 的展开式共有 项，写出前几项系数，得出一般规律即可；
（3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可；（4）根据规律展开 后看最后一项即可．
【详解】（1）解：根据上面规律， 的展开式共有6项，
则 ；
（2）解： 的展开式共有 项，
系数和为 ，
系数和为 ，
系数和为 ，
故 系数和为 ；
（3）解：根据规律可知：
；
（4）解： 的最后一项是1，
则 的余数是1，
若今天是星期二，经过 天后是星期三．
【考点六 多项式乘多项式与图形面积】
例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生
取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长
为 米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积．【答案】 平方米
【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积
【分析】该题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．根据题意列式化简即可．
【详解】解：根据题意，可得停放自行车的面积
平方米．
故停放自行车的面积为 平方米．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为 米、宽
为 米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为
米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
(1)求安装健身器材的区域面积；
(2)若 ， ，求篮球场的面积．【答案】(1)安装健身器材的区域面积为 平方米；
(2)篮球场的面积为420平方米．
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，代数式表示式，求代数式的值，解题的关键在于利用数
形结合的思想解决问题．
（1）根据“安装健身器材的区域面积 长方形场地面积 篮球场面积”列式计算，即可解题；
（2）根据长方形面积列出代数式，再将 ， 代入式子中计算，即可解题．
【详解】（1）解：安装健身器材的区域面积为：
平方米；
（2）解：由题知，篮球场的面积为： ，
当 ， 时，
篮球场的面积为： （平方米），
答：篮球场的面积为420平方米．
2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南
方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽 米，
中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪．
(1)求该观景区草坪的面积．
(2)当 ， 时，草坪的面积是多少？
【答案】(1)
(2)草坪的面积是4400平方米．【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值．
（1）根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）把 ， 代入（1）中的代数式，即可得到结论．
【详解】（1）解：该观景区草坪的面积 平方米；
（2）解：当 ， 时，
（平方米），
答：草坪的面积是4400平方米．
【考点七 幂的乘除混合运算】
例题：（24-25八年级上·福建福州·期中）计算：
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂乘法和除法，最后
合并同类项即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，先计算积的乘方和幂的乘方，
再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】多项式除以单项式、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）利用同底数幂的乘法和除法，以及积的乘方运算法则进行计算，再合并同类项即可解题；
（2）利用多项式除以多项式的运算法则进行计算，即可解题．
【详解】（1）解： ，
，
；
（2）解： ，
．
【考点八 幂的乘除逆运算】
例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知 ， ， ：
(1)求证： ；
(2)求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到 ，即可解题；（2）根据幂的运算得到 ，代入计算即可解题．
【详解】（1）证明： ，
，
即 ，
；
（2）解： ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知 ， ；
(1)当 时，求a的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查了同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，熟练掌握运算法则、正确计算是解题
的关键．
（1）逆用同底数幂相除法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，推出 ，把 转化为 ，计
算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴
．
2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
（1）根据幂的乘方直接解答即可；
（2）根据幂的乘方与同底数幂的除法进行解答即可；
（3）根据 可得 即可得出结论；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，∴ ；
（3）∵ ， ， ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴字母a、b、c之间的数量关系为： ．
【考点九 整式运算中的先化简再求值】
例题：（2024·广西桂林·一模）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，6
【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用多项式
除以单项式、平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可．
【详解】解：原式
；
当 ， 时，原式 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ， ；
【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查整式的化简求值，根据多项式的乘法除法法则直接计算化到最简，再将数字代入求解即
可得到答案；【详解】解：原式
当 ， 时，
原式 ．
2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，30
【知识点】整式四则混合运算、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，直接利用整式的乘除运算法则化简，再合并同类项，再把
已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式
，
当 时，
原式
．
【考点十 多项式除以单项式】
例题：（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，
然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如 ，仿照 计算如图①所示．
因此 ．
(1)阅读上述材料后，试判断 能否被 整除，并说明理由；
(2)若多项式 能被 整除，求 的值；
(3)有一个长为 ，宽为 的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长
方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为 ，且长方形B的面积比C
的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长．
【答案】(1)能，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方
法，并能灵活运用方法解决问题．
（1）按照材料中的竖式方法进行即可；
（2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b
的值，最后求得结果．
（3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得 ，再分别求解长方形 ， 的面积，结合多项式除
以多项式可得答案．
【详解】（1）解：能，理由如下：
列竖式如下：（2）解：列竖式如下：
由题意得：
∴ 且
∴ ， ，
∴ ．
（3）解：∵长方形 的周长为： ，
长方形 的周长为： ，
而长方形B的周长是A周长的2倍，
∴ ，
∴ ，
∴长方形 的面积为：
；
∵长方形B的面积比C的面积大76，
长方形 的面积为： ，∴ ，
∴长方形C已知边长的邻边长为： ．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多
项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行演算，即先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的
项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例如：
计算 的结果．
故 ．
请你用竖式计算： ．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算
【分析】本题主要考查的是多项式除多项式，两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按同一字母的降
幂排列，然后再仿照两个多位数相除的办法用竖式进行计算．
【详解】解：竖式计算如下：∴ ．
【考点十一 整式运算中的新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式 ， ， ， （a．b，
c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母
x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对
于多项式 ， ， ， ，因为 ，
所以多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其黄金因子为 ．
(1)小贤发现多项式 ， ， ， 是一组黄金多项式，其列式为
请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
(2)若多项式 ， ， ， （n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值．
(3)若多项式 （m为有理数） ， ， 是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m
的值．
【答案】(1)12
(2) 的值为 或8或2
(3) 的值为
【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式、多项式乘多项式——化简求值
【分析】（1）根据整式的四则混合运算法则计算 ，根据“黄金因子”的定义即可
解答；（2）分三种情况，分别计算① ② ；③
，根据“黄金多项式”的定义即可解答；
（3）分三种情况，分别计算① ，② ，③
，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答．
本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解
题的关键．
【详解】（1）解：
，
这组黄金多项式的黄金因子是 ；
（2）解：若多项式 ， ， ， 是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况，
①
．
这是一组黄金多项式，
，
；
②
．
这是一组黄金多项式，
，
；
③
．
这是一组黄金多项式，
，
，
综上所述， 的值为 或8或2；
（3）解：①，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为 ，不合题意，舍去；
②
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为 ，不合题意，舍去；
③
，
这是一组黄金多项式，
，
，
黄金因子为 ，符合题意，
综上所述， 的值为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算： （其中m、n为常数），
如 ．
(1)填空：当 ， 时， __________；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)3
(2)81
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出 ， ，可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2） ， ，
， ，
整理得： ， ，解得： ，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆
用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，
学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“ ”，对于任意有理数a，b，c，d，规定
，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如： ．
请解答下列问题：
(1)填空： ______；(2)若 的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求 的值，其中 ；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形
内，其中 ，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为 ，右上
角长方形的面积为 ．当 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)24
【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式：
（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义求出 ，再根据不含x的一次项，即可含
x的一次项的系数为0进行求解即可；
（3）根据新定义求出 ，再利用整体代入法代值计算即可；
（4）根据所给图形可得 ，根据 推出 ，再根据新定义
，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， ；
（2）解：∵代数式中不含x的一次项，
∴ ，
∴ ；
（3）解：
∵ ，
∴原式 ；
（4）解：根据题意得： ，
整理得： ，
∴
．【过关检测】
一、单选题
1．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的
关键．根据同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方分别计算对比，即可选出正确答案．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算错误，不符合题意；
C、 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
2．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）已知式子 的计算结
果中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A． B．3 C．1.5 D．0
【答案】C
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了多项式的乘法，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然
后令不含项的系数等于零，列方程求解即可．
【详解】解： ；
∵结果中不含 的一次项，
∴ ，解得： ；
故选C．
3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得 ，即可求解．
【详解】解：∵单项式 与 的积为 ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
故选：A
4．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）按如图程序计算，若开始输入 的值为3，则最后输出的结果是
（ ）
A．156 B．231 C．198 D．262
【答案】B
【知识点】程序流程图与代数式求值
【分析】本题考查了代数式求值，根据程序进行输入3，计算，直到大于100，即可得结果．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，当 时， ．
故选：B．
5．（24-25六年级上·上海·期中）在矩形 内，将两张边长分别为a和 的正方形纸片按图1，
图2两种方式放置（图1．图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的
部分用涂色表示．设图1中涂色部分的面积为 ，图2中涂色部分的面积为 ，当 时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列代数式、整式四则混合运算
【分析】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整
式的运算法则．
用割补法表示出 和 ，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，，
故选：B．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为： ．
7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）若 对任意的x恒成立，则n的值是
．
【答案】1
【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘法去括号，得出关于m的关系式进而求出m的
值，进一步求出n的值．
【详解】解：∵
而
∴
∴ ，
∴
故答案为：1．8．（24-25六年级上·上海·期中）等式 成立，则 ，
．
【答案】 1
【知识点】计算单项式乘多项式及求值、合并同类项
【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同
类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可．
【详解】解：∵
∵
∴
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：1， ．
9．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为 ，则 ．
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘
【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求
出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握
运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为： ．
10．（24-25八年级上·北京·期中）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意
圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为 ．
（1）用含 的代数式表示： ；
（2） ．
【答案】
【知识点】列代数式、整式加减的应用、（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，整式的加减运算．熟练掌握列代数式，多项式乘多项式，
整式的加减运算是解题的关键．
（1）由题意知， ，计算求解即可；
（2）解：由题意知， ， ， ，则 ，
计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
故答案为： ；
（2）解：由题意知， ， ， ，∴ ，
故答案为： ．
三、解答题
11．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂的除法运算、计算多项式乘多项式
【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则，整式的除法的法则运算即可；
先算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ；
【知识点】整式四则混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算 化简求值，平方差公式，先利用平方差公式，多项式乘多项式的法
则计算括号里，再算括号外，然后把 ， 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
13．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、单项式乘多项式的应用
【分析】本题考查求代数式的值，多项式乘多项式，单项式乘多项式，
（1）根据已知得 ，再将 化简，再整体代入即可；
（2）根据已知得 ， ，然后整体代入即可；
整体代入法的灵活运用是解题的关键．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ 的值为 ；
（2）∵ ，
∴ ， ，∴
，
∴ 的值为 ．
14．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值：
，其中x=1
（2）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式四则混合运算
【分析】本题考查整式的化简求值：
（1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案；
（2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案；
【详解】解：（1）原式
，
当x=1时，
原式
；
（2）原式
，
当 ， 时，
∴原式 ，．
15．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）给出如下定义：我们把有序实数对 叫做关于x的二次多项
式 的附属系数对，把关于 的二次多项式 叫做有序实数对 的附属多项式．
(1)关于 的二次多项式 的附属系数对为_________；
(2)有序实数对 的附属多项式与有序实数对 的附属多项式的差中不含一次项，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式的加减运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式系数、指数中字母求值
【分析】（1）根据新定义进行求解即可；
（2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可．
【详解】（1）根据题意可得，多项式 的附属系数对为 ，
故答案为： ；
（2）根据题意得，有序实数对 所对应的多项式为 ，
有序实数对 所对应的多项式为 ，
∵两个多项式的差中不含一次项，
∴
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了新定义的表示和多项式的运算，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
16．（24-25八年级上·北京·期中）观察下列各式，回答问题：① ；
② ；
③ ；
……
(1) ；
(2)按此规律，第n个等式是： ；
(3) 的值的末位数字是 ．
【答案】(1)
(2) （ 为正整数）
(3)
【知识点】数字类规律探索、计算多项式乘多项式、有理数的乘方运算
【分析】本题考查等式和数字的规律探索，
（1）观察已知的3个等式，即可确定出所求式子的结果；
（2）观察一系列等式得到一般性规律，即可确定出所求式子的结果；
（3）先根据（2）得出的规律求出它的值，再根据末位数字的循环规律即可得解；
解题的关键是根据已知式子确定一般规律．
【详解】（1）解：依题意，得：
，
故答案为： ；
（2）∵ ，
，
，
，……
再结合（1）的结论，得：
第n个等式是： （ 为正整数），
故答案为： （ 为正整数）；
（3）解：
，
∵ ，末位数学是 ，
，末位数学是 ，
，末位数学是 ，
，末位数学是 ，
，末位数学是 ，
……
∴结果的末位数学有一个循环的规律，即 ， ， ， 这四个数字依次循环，
∵ ，
∴ 的末位数字是 ，
∴ 的值的末位数字是 ．
故答案为： ．
17．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）我们已经学习过多项式除以单项
式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算 ，可用竖式除法．
步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐；
②用被除式的第一项 除以除式第一项 ，得到商式的第一项 ；
③用商式的第一项 去乘除式 ，把积 写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减；
④把相减所得的差 当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数
低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
余式为0， 可以整除 ．
请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）：
(1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子；
(2)多项式 除以 商式为______，余式为______；
(3)多项式 的一个因式是 ，则该多形式因式分解的结果为______．
【答案】(1)2，
(2) ，
(3)
【知识点】整式四则混合运算
【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式．
（1）用竖式计算即可得到答案；
（2）用竖式计算即可得到答案；
（3）用竖式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：故答案为：2；
（2）解：
故答案为： ； ；
（3）解：
∴ ，
故答案为：
18．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把 看作字母，m看作
系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式
，所以 ，则 ．
(1)若多项式 的值与x的取值无关，求a值；
(2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中未
被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为 ，右下角的面积为 ，当 的长变化时，发
现 的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式加减中的无关型问题、单项式乘多项式的应用
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键．
（1）仿照题意求解即可；
（2）设 ，分别求出 ，进而求出 ，再由 的值始终保持不变进行求解即可．
【详解】（1）解：
由题意得：；
（2）解：设 ，则
的值与x无关，
．
