文档内容
专题14.3平方差和完全平方公式（5个考点）
【考点1: 平方差公式运算】
【考点2:平方差公式的几何背景】
【考点3:完全平方公式】
【考点4: 完全平方公式下得几何背景】
【考点5: 完全平方公式的逆运算】
【考点1: 平方差公式运算】
1．已知a2−4b2=12，且a−2b=3，则a+2b= ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，将a2−4b2分解为(a+2b)(a−2b)，再整体代入
求出答案．
【详解】∵a2−4b=(a+2b)(a−2b)=12，a−2b=3，
∴3(a+2b)=12，
解得a+2b=4．
故答案为：4．
2．计算：2002−198×202= ．
【答案】4
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．观察可知，198=200−2，
202=200+2，然后根据平方差公式进行计算即可．
【详解】原式=2002−(200−2)(200+2)
=2002−(2002−22)
=2002−2002+22
=4故答案为：4 ．
3．计算：(a−3)(a+3)= ．
【答案】a2−9
【分析】此题考查了平方差公式，根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2进行计算即可．
【详解】解：(a−3)(a+3)=a2−9
故答案为：a2−9
4．计算(2x+1)(2x−1)的结果为 ．
【答案】4x2−1
【分析】题目主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
利用平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：(2x+1)(2x−1)=(2x) 2−12=4x2−1，
故答案为：4x2−1．
5．若a2−b2=15，a−b=−5，则a+b= ．
【答案】−3
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=15，a−b=−5，
∴a+b=−3，
故答案为：−3．
6．计算：(a+3b)(a−3b)= ．
【答案】a2−9b2
【分析】本题考查平方差公式，(a+b)(a−b)=a2−b2，也考查了积的乘方，根据运算法则计算即可．
【详解】解：(a+3b)(a−3b)=a2−(3b) 2=a2−9b2，
故答案为：a2−9b2．
7．已知a−b=10,a+b=4，则a2−b2= ．
【答案】40
【分析】本题考查了平方差公式，先整理得a2−b2=(a+b)(a−b)，再代入a−b=10,a+b=4，即可作
答．【详解】解：∵a−b=10,a+b=4
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×10=40
故答案为：40
8．已知x+ y=4，x2−y2=20，则x−y= ．
【答案】5
【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握相关知识点事解决本题的关键．
利用平方差公式x2−y2=(x+ y)(x−y)，代入x+ y=4即可算出．
【详解】解：由x2−y2=(x+ y)(x−y)=20
把x+ y=4代入得4(x−y)=20
∴x−y=5．
故答案为：5．
9．计算(2❑√3+1)(1−2❑√3)的结果为 ．
【答案】−11
【分析】本题考查的知识点是平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式的运用．
根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2即可求解．
【详解】解：(2❑√3+1)(1−2❑√3)=12−(2❑√3) 2=1−12=−11，
故答案为：−11．
10．若m−n=−2，且m+n=5，则m2−n2= ．
【答案】−10
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据m2−n2=(m+n)(m−n)进行求解即可．
【详解】解：∵m−n=−2，且m+n=5，
∴m2−n2=(m+n)(m−n)=−2×5=−10，
故答案为：−10．
【考点2:平方差公式的几何背景】
11．如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（ ）
A．(a−b) 2=a2−2ab+b2 B．(a+b)(a−b)=a2−b2
C．a(a−b)=a2−ab D．(a+b) 2=a2+2ab+b2
【答案】B
【分析】本题考查几何图形验证平方差公式，分别表示出图①和图②中阴影面积，即可解答．
【详解】解：图①中阴影面积为a2−b2，
图②中阴影面积为(a+b)(a−b)，
根据根据两部分阴影面积相等可以得到(a+b)(a−b)=a2−b2．
故选：B
12．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的
长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．(a−b)²=a²−2ab+b2
B．a(a−b)=a²−ab
C．(a−b)²=a²−b²
D．a²−b²=(a+b)(a−b)
【答案】D
【分析】根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出左图阴影部分的面积
a²−b²，右图中阴影部分进行拼接后，面积等于(a+b)(a−b)，由于两图中阴影部分面积相等，即可
得到结论，
本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解题的关键是：根据图形列出代数式．【详解】解：第一个图形阴影部分的面积是 a²−b²，第二个图形的面积是(a+b)(a−b)，
所以a²−b²=(a+b)(a−b)，
故选 ：D．
13．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形
（如图2）
(1)上述操作能验证的等式是__________；
A．a2−2ab+b2=(a−b) 2 B．b2+ab=b(a+b)
C．a2−b2=(a+b)(a−b) D．a2+ab=a(a+b)
(2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题：
①①已知x2−4 y2=12，x+2y=4，求x的值．
( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
②计算： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ．
22 32 42 192 202
【答案】(1)C
7 21
(2)①x= ②
2 40
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积：
（1）用两种方法表示出阴影部分的面积，即可得出结果；
（2）①利用（1）中结论，整体代入法，求出x−2y=3，联立两个二元一次方程，求出x的值即可；
②利用（1）中结论，进行计算即可．
【详解】（1）解：由图形可知，阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)；
故选C．（2）解：①∵x2−4 y2=(x+2y)(x−2y)=12，x+2y=4①，
∴x−2y=3②，
7
①+②，得：2x=7，解得：x= ；
2
( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
② 1− 1− 1− ⋯ 1− 1−
22 32 42 192 202
( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )
= 1− 1+ 1− 1+ 1− ⋯ 1− 1+ 1− 1+
2 2 3 3 4 19 19 20 20
1 3 2 4 3 20 19 21
= × × × × ×⋯× × ×
2 2 3 3 4 19 20 20
1 21
= ×
2 20
21
= ．
40
14．乘法公式的探究及应用．
(1)如图1到图2的操作能验证的等式是 ．（请选择正确的一个）
A．a2−2ab+b2=(a−b) 2 B．a2+ab−a(a+b)
C． (a−b) 2−(a+b) 2−4ab D．a2−b2=(a+b)(a−b)
(2)当4m2=12+n2，2m+n=6时，则2m−n= ．
(3)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①20232−2022×2024；
②2×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×(316+1)+1．
【答案】(1)D(2)2
(3)①1；②332
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）观察图形，利用两图中的面积相等即可得出结论；
（2）利用平方差公式求解即可；
（3）①将原式变形为20232−(2023−1)×(2023+1)，再利用（1）中公式计算；
②将2变形为(3−1)，再逐步利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，图1中阴影面积为a2−b2，
图2的阴影面积为(a+b)(a−b)，
∴图1到图2的操作能验证的等式是a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：D；
（2）解：∵4m2=12+n2，
∴4m2−n2=12，即(2m+n)(2m−n)=12，
又∵2m+n=6，
∴2m−n=2，
故答案为：2；
（3）解：①20232−2022×2024
=20232−(2023−1)×(2023+1)
=20232−20232+1
=1；
②2×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×(316+1)+1
=(3−1)×(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×(316+1)+1
=(32−1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×(316+1)+1
=(34−1)×(34+1)×(38+1)×(316+1)+1
=(38−1)×(38+1)×(316+1)+1=(316−1)×(316+1)+1
=332−1+1
=332.
15．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成
的两张纸拼成如图2的长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为S ，图2中阴影部分面积为S ．请直接用含a，b的代数式表示S =
1 2 1
__________，S = __________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________．
2
(2)应用公式计算：
1 1 1
①已知9x2− y2=12，3x+ y=4，求3x− y的值．
4 2 2
②2024×2026−20252．
【答案】(1)a2−b2；(a+b)(a−b)；(a+b)(a−b)=a2−b2
(2)①3，②−1
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可；
（2）①先变形9x2− 1 y2= ( 3x+ 1 y )( 3x− 1 y ) ，再求解即可；
4 2 2
（3）利用平方差公式进行解答即可．
【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即S =a2−b2，
1
拼成图2是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此阴影部分的面积为S =(a+b)(a−b)，
2
所揭示的乘法公式为：(a+b)(a−b)=a2−b2，
故答案为：a2−b2，(a+b)(a−b)，(a+b)(a−b)=a2−b2；
（2）①由 ( 3x+ 1 y )( 3x− 1 y ) =9x2− 1 y2 ，
2 2 4
1
得3x− y=12÷4=3．
2
②2024×2026−20252
=(2025−1)×(2025+1)−20252
=20252−1−20252
=−1．
16．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方
形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．
A．a2+ab=a(a+b)
B．a2−b2=(a−b)(a+b)
C．a2−2ab+b2=(a−b) 2
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①若4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b= ______；
②计算：242−232+222−212+202−192+⋯22−1；
【答案】(1)B
(2)①4；②300
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用；
（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；（2）①利用平方差公式解答即可；
②利用平方差公式解答即可．
【详解】（1）解：由于拼接前后的面积相等，
∴a2−b2=(a−b)(a+b)，
∴上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，4a2−b2=24，2a+b=6，
∴6(2a−b)=24，
∴2a−b=4，
故答案为：4；
②242−232+222−212+202−192+⋯22−1
=(24+23)(24−23)+(22+21)(22−21)+⋅⋅⋅+(2+1)(2−1)
=47+43+39+⋅⋅⋅+3
47+3
= ×12
2
=300．
17．实践与探索：如图1，在边长为a的大正方形里挖去一个边长为b的小正方形，再把图1中的剩余部分
（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的一个）
A．a2−b2=(a+b)(a−b)
B．a2−2ab+b2=(a−b) 2
C．a2+ab=a(a+b)
(2)请应用这个等式完成下列各题：①已知4a2−b2=24,2a+b=6，则2a−b= ______．
②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
【答案】(1)A
(2)①4②264−1
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，有理数的混合运算．
（1）观察图形，利用拼接前后的面积关系即可得出结论；
（2）①利用平方差公式解答即可；②将1看成(2−1)，利用平方差公式解答即可．
【详解】（1）图1的面积为a2−b2，图2的面积为：(a+b)(a−b)，
由于拼接前后的面积相等，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
∴上述操作能验证的等式是A，
故答案为：A；
（2）①∵4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，4a2−b2=24，2a+b=6，
∴6(2a−b)=24，
∴2a−b=4，
故答案为：4；
②∵1=2−1，
∴(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(28−1)(28+1)(216+1)(232+1)
=(216−1)(216+1)(232+1)
=(232−1)(232+1)=264−1
18．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图
②所示）
(1)上述操作能验证的等式是（ ）．（请选择正确的一个）
A．a2−b2=(a+b)(a−b)；B．a2−2ab+b2=(a−b) 2；C．a2+ab=a(a+b)
(2)请应用（1）中的等式完成下列各题：
①己知9a2−16b2=28，3a+4b=7则3a−4b=______；
②计算：502−492+482−472+⋅⋅⋅+42−32+22−12．
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )
③计算： 1− × 1− × 1− ×⋅⋅⋅× 1− 1− ．
22 32 42 492 502
【答案】(1)A
51
(2)①4，②1275，③ ．
100
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是解答本题的关键．
（1）根据题意，图①中的阴影部分面积为a2−b2，图②中的阴影部分面积为(a+b)(a−b)，由此选出
答案．
（2）①根据题意，9a2−16b2=28，3a+4b=7，得到(3a+4b)(3a−4b)=28，进而得到答案．
②根据题意，得502−492=(50+49)(50−49)=50+49，482−472=(48+47)(48−47)=48+47，…，
22−12=(2+1)(2−1)=2+1，由此得到原式=50+49+48+47+…+4+3+2+1，得到答案．
1 51
③由题意，利用平方差公式，将原式展开，找到规律，将整式整理之后得到：原式= × ．
2 50
【详解】（1）解：图①中的阴影部分面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
图②中的阴影部分是长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，面积为(a+b)(a−b)，∴ a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：A．
（2）①∵ 9a2−16b2=28，
∴ (3a+4b)(3a−4b)=28，
又∵ 3a+4b=7，
∴ 7(3a−4b)=28，
即3a−4b=4，
故答案为：4．
②∵ 502−492=(50+49)(50−49)=50+49，
482−472=(48+47)(48−47)=48+47，
…
22−12=(2+1)(2−1)=2+1，
∴原式=50+49+48+47+…+4+3+2+1=1275．
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )
③ 1− × 1− × 1− ×⋅⋅⋅× 1− 1−
22 32 42 492 502
( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )
= 1+ 1− 1+ 1− ×…× 1+ 1− 1+ 1−
2 2 3 3 49 49 50 50
1 3 2 4 5 48 50 49 51
= × × × × ×…× × × ×
2 2 3 3 4 49 49 50 50
1 51
= ×
2 50
51
= ．
100
【考点3:完全平方公式】
19．如果x2+mx+4=(x+n) 2，那么n= ．
【答案】±2
【分析】本题考查了完全平方公式，两个多项式的相等，应用完全平方公式展开是关键．
把右边的完全平方公式展开，根据多项式相等，比较两边对应项的系数，即可求得n的值．【详解】解：∵x2+mx+4=(x+n) 2=x2+2nx+n2，
∴n2=4，
∴n=±2．
故答案为：±2．
20．计算：(3x−y) 2= ．
【答案】9x2−6xy+ y2
【分析】本题考查了整式的运算，利用完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2计算即可．
【详解】解：原式=9x2−6xy+ y2，
故答案为：9x2−6xy+ y2．
21．若(2x−9) 2=4x2−mx+81，则m= ．
【答案】36
【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用完全平方公式把等式左边展开即可得到答案．
【详解】解：∵(2x−9) 2=4x2−mx+81，
∴4x2−36+81=4x2−mx+81，
∴−m=−36，
∴m=36，
故答案为：36．
( 1) 2
22．计算 2p+ 的结果为 ．
4
1
【答案】4 p2+p+
16
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．根据完全
平方公式运算进行计算即可求解．
【详解】解： ( 2p+ 1) 2 =4 p2+2×2p× 1 + 1 =4 p2+p+ 1 ，
4 4 16 16
1
故答案为：4 p2+p+ ．
1623．计算：(−a+b) 2= ．
【答案】a2−2ab+b2
【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式直接展开即可得到答案，熟记完全平方公式的结
果特征并熟练运用是解决问题的关键．
【详解】解：(−a+b) 2=(−a) 2+2×(−a)b+b2=a2−2ab+b2，
故答案为：a2−2ab+b2．
24．计算：(a−3) 2= ．
【答案】a2−6a+9
【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，根据完全平方公式
(a−b) 2=a2−2ab+b2运算即可．
【详解】解：(a−3) 2=a2−2×3a+32=a2−6a+9，
故答案为：a2−6a+9．
( 1) 2
25．计算： 2x− = ．
2
1
【答案】4x2−2x+
4
【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解： ( 2x− 1) 2 =4x2−2x+ 1 ；
2 4
1
故答案为：4x2−2x+
．
4
26．若(a+3 y) 2=16+by+9 y2，则b= ．
【答案】±24
【分析】
本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式计算，再利用整式的性质得到a2=16，6a=b，据此求
解即可．【详解】解：∵(a+3 y) 2=a2+6ay+9 y2，且(a+3 y) 2=16+by+9 y2，
∴a2=16，6a=b，
解得a=±4，
当a=4时，b=24；
当a=−4时，b=−24；
故答案为：±24．
27．计算：(−x−3 y) 2= ．
【答案】x2+9 y2+6xy
【分析】利用完全平方公式进行计算即可．
本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：(−x−3 y) 2
=[−(x+3 y)] 2
=(x+3 y) 2
=x2+9 y2+6xy．
故答案为：x2+9 y2+6xy．
( 1 ) 2
28． 计算∶ 2x− y = ．
2
1
【答案】4x2−2xy+ y2
4
【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式： (a±b) 2=a2±2ab+b2．
利用完全平方公式计算即可．
【详解】解∶ ( 2x− 1 y ) 2 =4x2−2xy+ 1 y2 ．
2 4
1
故答案为：
4x2−2xy+ y2
．
4
24．计算(−3x−4 y) 2的结果是 ．
【答案】9x2+24xy+16 y2【解析】略
【考点4: 完全平方公式下得几何背景】
29．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）
A．(a+b) 2=a2+2ab+b2 B．(a−b) 2=a2−2ab+b2
C．(a+b)(a−b)=a2−b2 D．(ab) 2=a2b
【答案】A
【分析】本题考查完全平方公式的几何推导，根据大正方形的面积＝两个小正方形的面积和+两个小
长方形的面积列等量关系即可．
【详解】解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为(a+b) 2，由边长为a的正方形，2个长为a
宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
∴(a+b) 2=a2+2ab+b2．
故选：A．
30．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2a+b的正方形，需要B类卡片 张．
【答案】4
【分析】利用完全平方公式求出拼成后的正方形的面积，然后即可得出所需各类卡片的数量．
【详解】解：∵(2a+b) 2=4a2+4ab+b2，
∴拼成一个边长为2a+b的正方形需要A类卡片4张，B类卡片4张，C类卡片1张．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式求出拼成后的正方形的面积是解题的关键．
31．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖出直径分别为a与b的两个圆．
(1)求剩下的钢板的面积；
1
(2)若剩下的钢板面积是原钢板面积的 ，求a与b的关系．
2
πab
【答案】(1)
2
(2)a=b
【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号、合并
同类项法则，熟练掌握公式及法则是解答本题的关键．
（1）剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即
可；
1
（2）根据“剩下的钢板面积是原钢板面积的 ”列出a、b的等量关系式，然后利用完全平方公式变
2
形求解即可．
(a+b) 2 (a) 2 (b) 2 πab
【详解】（1）解：剩下的钢板的面积为π −π −π =
2 2 2 2
πab 1 (a+b) 2
（2）解：根据题意，得 = ×π ，
2 2 2
化简得a2−2ab+b2=0，
∴(a−b) 2=0，
∴a=b．
32．把完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2适当的变形，如：(a+b) 2=(a−b) 2+4ab等，这些变形可解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为a+b=3，ab=1，所以(a+b) 2=9，2ab=2
即a2+b2+2ab=9，2ab=2，所以a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
(1)①若2m+n=3，mn=1，且2m>n，则2m−n=________；
②我们知道(2−m)−(5−m)=−3，若(2−m)(5−m)=3，则(2−m) 2+(5−m) 2=________．
(2)如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB=5，两个正方形的面积和为
15，设AC=x，BC= y，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)①1；②15
(2)5
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）①先根据(2m−n) 2=(2m+n) 2−8mn求出(2m−n) 2的值，再求平方根即可得；
②将(2−m)和(5−m)看作整体，利用完全平方公式计算即可得；
(x+ y) 2−(x2+ y2)
（2）先根据题意得出x+ y=5，x2+ y2=15，再根据xy= 求解即可得．
2
【详解】（1）解：①∵2m+n=3，mn=1，
∴(2m−n) 2=4m2−4mn+n2
=4m2+4mn+n2−8mn
=(2m+n) 2−8mn
=32−8×1=1，
∴2m−n=±1，
又∵2m>n，即2m−n>0，
∴2m−n=1，
故答案为：1；
②∵(2−m)−(5−m)=−3，(2−m)(5−m)=3，
∴(2−m) 2+(5−m) 2=[(2−m)−(5−m)) 2 +2(2−m)(5−m)
=(−3) 2+2×3
=9+6
=15，
故答案为：15．
（2）解：由题意可知，x+ y=5，x2+ y2=15，
(x+ y) 2−(x2+ y2)
则图中阴影部分的面积为xy=
2
52−15
=
2
=5，
答：图中阴影部分的面积为5．
33．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的
方式拼成一个大正方形．
(1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：
方法一： ；方法二： ；
(2)【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式(m+n) 2，(m−n) 2，mn之间的等量关系为 ；
(3)【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b=8，ab=7，求a−b的值．
【答案】(1)(m+n) 2−4mn；(m−n) 2
(2)(m+n) 2−4mn=(m−n) 2
(3)±6
【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式
和数形结合思想进行求解．
（1）分别运用大正方形面积减去4个矩形面积和直接运用阴影部分边长的平方表示出图②中阴影部分
的面积；
（2）根据第（1）小题结果进行求解；
（3）运用第（2）小题结果代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
图②中阴影部分的面积为(m+n) 2−4mn或(m−n) 2，
故答案为：(m+n) 2−4mn，(m−n) 2；
（2）解：由（1）题可得，
(m+n) 2−4mn=(m−n) 2，
∴代数式(m+n) 2，(m−n) 2，mn之间的等量关系可表示为：(m+n) 2−4mn=(m−n) 2，
故答案为：(m+n) 2−4mn=(m−n) 2；
（3）解：由（2）题结果可得，
(a+b) 2−4ab=(a−b) 2，
∴a−b=±❑√(a+b) 2−4ab，
∴当a+b=8，ab=7时，
a−b =±❑√82−4×7
=±❑√36
=±6．34．如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示
的大正方形ABCD．四边形AHOE，HDGO，OGCF，EOFB的面积分别为S ,S ,S ,S ．
1 2 3 4
(1)用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
(2)在图2中，若S =3,S =9，则m+n=______；若m+n=12，S =35，则S +S = ______；
1 2 1 2 4
(3)如图3，连接AF交EO于点N，连接GF．若△FGN与△AEN的面积之差为18，求m的值．
【答案】(1)(m+n) 2=m2+2mn+n2
(2)4；74
(3)6
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，通过完全平方公公式进行计算，解题的关键是数
形结合，熟练掌握完全平方公式．
（1）根据正方形面积公式表示出大正方形的面积，用四部分面积之和表示出大正方形的面积，即可
得出关于m，n的等式；
（2）根据S =3,S =9，得出mn=3，n2=9，求出m、n的值，然后再求出m+n即可；根据S =35，
1 2 1
得出mn=35，根据m+n=12，利用完全平方公式变形求出结果即可；
（3）根据S −S =S −S −S +S 得出
△FGN △AEN 四边形BFGE 四边形BFNE △ABF 四边形BFNE
1
S −S = m2=18，求出m的值即可．
△FGN △AEN 2
【详解】（1）解：大正方形ABCD的边长为m+n，则面积为(m+n) 2，
大正方形ABCD看作四个四边形的面积之和，则面积为：m2+2mn+n2，
∴关于m，n的等式为(m+n) 2=m2+2mn+n2；
（2）解：∵若S =3,S =9，
1 2∴mn=3，n2=9，
解得：n=3负值舍去，
∴m=1，
∴m+n=1+3=4；
∵若S =35，
1
∴mn=35，
∵m+n=12，
∴S +S =m2+n2
2 4
=(m+n) 2−2mn
=122−2×35
=144−70
=74．
（3）解：∵S =S −S ，
△FGN 四边形BFGE 四边形BFNE
S =S −S ，
△AEN △ABF 四边形BFNE
∴S −S =S −S −S +S
△FGN △AEN 四边形BFGE 四边形BFNE △ABF 四边形BFNE
=S −S
四边形BFGE △ABF
1 1
= (m+m+n)m− m(m+n)
2 2
1
= m2 ，
2
∵△FGN与△AEN的面积之差为18，
1
∴
m2=18，
2
∴m2=36，
解得：m=6，负值舍去．
35．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长
为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张
拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1：__________，方法2：__________；(2)观察图2，请你写出三个代数式(a+b) 2，a2+b2，ab之间的数量关系：__________；
(3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知a+b=7，a2+b2=33，求ab的值；
②已知(2024−a) 2+(a−2022) 2=8，求(2024−a)(a−2022)的值．
【答案】(1)(a+b) 2；a2+b2+2ab；
(2)(a+b) 2=a2+b2+2ab；
(3)①ab=8；②−2．
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平
方公式的变形是解题的关键．
（1）方法1，由大正方形的边长为a+b，直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正
方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①根据(a+b) 2=a2+b2+2ab求解即可；
②设2024−a=m，a−2022=n ，可得m+n=2，然后根据(m+n) 2=m2+n2+2mn求解即可．
【详解】（1）解：方法1：(a+b) 2，方法2：a2+b2+2ab．
故答案为：(a+b) 2，a2+b2+2ab；
（2）解：由（1）可知：(a+b) 2=a2+b2+2ab；
故答案为：(a+b) 2=a2+b2+2ab；（3）解：①∵a+b=7,a2+b2=33，且(a+b) 2=a2+b2+2ab，
∴49=33+2ab，
解得：ab=8；
②设2024−a=m，a−2022=n，(2024−a) 2+(a−2022) 2=8
∴m2+n2=8，m+n=2024−a+a−2022=2，
∴(m+n) 2=m2+n2+2mn，即4=8+2mn，
解得：mn=−2，
则(2024−a)(a−2022)的值为−2．
36．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路：
例1：已知a+b=4，ab=3，求a2+b2的值．
解：∵a+b=4，ab=3，
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab
=42−2×3=10．
例2：若(10−x)(x−2)=16，求(10−x) 2+(x−2) 2的值．
解：设10−x=a，x−2=b，则：
a+b=10−x+x−2=8，
ab=(10−x)(x−2)=16．
这样就可以利用例1中的方法进行求值了．
请结合以上两个例题解答下列问题：
(1)若a+b=8，ab=12，求a2+b2的值；
(2)若x满足(18−x)(x−5)=30，求(18−x) 2+(x−5) 2的值；
(3)如图，用4个长为a宽为b的长方形拼成一个大正方形．已知每个长方形的面积是6，周长是10，
求右图中空白小正方形面积．
【答案】(1)40(2)109
(3)1
【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式，是解题的关键：
（1）利用完全平方公式变形计算即可；
（2）设18−x=a,x−5=b，利用完全平方公式变形计算即可；
10
（3）根据题意，可得ab=6,a+b= =5，小正方形的面积为(a−b) 2，利用完全平方公式变形计算
2
即可．
【详解】（1）解：∵a+b=8,ab=12，
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=64−24=40；
（2）设18−x=a,x−5=b，则a+b=(18+x)+(x−5)=13，
根据题意得，(18−x)(x−5)=ab=30，
∴(18−x) 2+(x−5) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=132−2×30=109；
10
（3）由题意，ab=6,a+b= =5
2
空白小正方形的边长为a−b
∴空白小正方形的面积为：(a−b) 2=a2+b2−2ab=(a+b) 2−4ab=52−4×6=1．
(a+b) 2−(a2+b2)
37．我们将(a+b) 2=a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2=(a+b) 2−2ab， ab= 等．请
2
灵活利用这些变形解决下列问题：
(1)已知a2+b2=28，(a+b) 2=48，则ab=_______．
(2)若x满足(25−x)(x−10)=−15，求(25−x) 2+(x−10) 2的值．(3)如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD=AC，BE=BC，连结CD，CE，若
AC·BC=10，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】(1)10
(2)255
(3)10
【分析】本题考查了完全平方公式的变式应用能力，解题的关键是能数形结合应用完全平方公式．
（1）将a2+b2=28，(a+b) 2=48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25−x=a，x−10=b，则(25−x) 2+(x−10) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab，再代入计算即可；
1 1
（3）设AD=AC=a，BE=BC=b，则阴影部分的面积为 (a+b)·(a+b)− (a2+b2)=ab，即可求
2 2
解．
【详解】（1）解：∵a2+b2=28，(a+b) 2=48，
(a+b) 2−(a2+b2) 48−28
∴ab= = =10，
2 2
故答案为：10．
（2）解：设25−x=a，x−10=b．
∵a2+b2=(a+b) 2−2ab，
∴(25−x) 2+(x−10) 2
2
=[(25−x)+(x−10)) −2(25−x)(x−10)
=152−2×(−15)
=225+30
=255．
（3）解：设AD=AC=a，BE=BC=b，
1 1
则阴影部分的面积为 (a+b)·(a+b)− (a2+b2)
2 21
= [(a+b)·(a+b)−(a2+b2))
2
1
= ×2ab
2
=ab
=10．
38．若x满足(9−x)(x−4)=4，求(9−x) 2+(x−4）2的值．
解：设9−x=a，x−4=b，则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5，
∴(9−x) 2+(x−4) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=52−2×4=17．
请仿照上面的方法解答下面的问题：
(1)若x满足(x−10)(x−20)=15，求(x−10) 2+(x−20) 2的值．
(2)若x满足(x−2023) 2+(x−2024) 2=33，求(x−2023)(x−2024)的值．
(3)如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方
形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面
积．
【答案】(1)130
(2)16
(3)28
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景、多项式与多项式相乘等知识点，掌握完全平方公
式的应用、设出未知数、用配方法写成完全平方是关键．
（1）设x−10=a，x−20=b，由已知条件得ab=15，a−b=10，根据a2+b2=(a−b) 2+2ab即可求解；
（2）设x−2023=a，x−2024=b，结合已知可得a2+b2=33，a−b=1，将a−b=1两边分别平方，
然后整体代换即可求解；
（3）观察图形，根据线段的构成将FM=DE，DF用含x的代数式表示出来，根据阴影部分的面积
=FM2−DF2=(x−1) 2−(x−3) 2，根据（2）的方法计算即可．
【详解】（1）解：设x−10=a，x−20=b，则
(x−10)(x−20)=ab=15，(x−10)−(x−20)=a−b=10，
∴(x−10) 2+(x−20) 2=a2+b2=(a−b) 2+2ab=102+2×15=130.
（2）解：设x−2023=a，x−2024=b，
则 (x−2023) 2+(x−2024) 2=a2+b2=33，(x−2023)−(x−2024)=a−b=1，
∴(a−b) 2=12，
∴a2−2ab+b2=1，
∴33−2ab=1，解得：ab=16，
∴(x−2023)(x−2024)=ab=16.
（3）解：∵正方形的边长为x，AE=1，CF=3，
∴FM=DE=x−1，DF=x−3，
∴(x−1)(x−3)=48，
∴(x−1)−(x−3)=2，
∴阴影部分的面积=FM2−DF2=(x−1) 2−(x−3) 2，
设x−1=a，x−3=b，则(x−1)(x−3)=ab=48，a−b=(x−1)−(x−3)=2，
∴(a+b) 2=(a−b) 2+4ab=4+192=196，
∵a>0，b>0，
∴a+b>0，
∴a+b=14，
∴(x−1) 2−(x−3) 2=a2−b2=(a+b)(a−b)=14×2=28，即阴影部分的面积为28.【考点5: 完全平方公式的逆运算】
39．若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
【答案】7
【分析】本题考查完全平方公式的变形，掌握(a+b) 2、a2+b2与ab之间的关系是解题的关键．根据完
全平方公式得出a2+b2+2ab=9，代入a+b=3，ab=1即可得答案．
【详解】解：因为a+b=3，ab=1，
所以(a+b) 2=9，2ab=2；
所以a2+b2+2ab=9，2ab=2；
所以a2+b2=7．
40．（1）已知x+ y=2，xy=−6，求x2+ y2和x2+xy+ y2的值．
1 1
（2）已知x−
=3，求x4+
的值．
x x4
【答案】（1）x2+ y2=16，x2+xy+ y2=10；（2）119
【分析】本题考查代数式求值，
（1）运用完全平方公式对原式进行变形，再将x+ y=2，xy=−6的值代入即可得解；
1
（2）将x− =3，左右两边分别平方，即可得解；
x
解题的关键运用完全平方公式和等式两边平方法来计算．
【详解】解：（1）∵x+ y=2，xy=−6，
∴x2+ y2
=(x+ y) 2−2xy
=22−2×(−6)
=16；
x2+xy+ y2
=(x+ y) 2−xy
=22−(−6)
=10，∴x2+ y2=16，x2+xy+ y2=10；
1
（2）∵x− =3，
x
( 1) 2
∴ x− =9，
x
1
∴x2−2+ =9，
x2
1
∴x2+ =11，
x2
∴
( x2+ 1 ) 2 =121，
x2
1
∴x4+ +2=121，
x4
1
∴x4+ =119．
x4
41．已知x2+ y2=9，x+ y=4，求下列代数式的值：
(1)xy；
(2)(x−3)(y−3)．
7
【答案】(1)
2
1
(2)
2
【分析】本题主要考查完全平方公式．
（1）利用完全平方公式进行求解即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
【详解】（1）解：∵x2+ y2=9，x+ y=4，
(x+ y) 2−(x2+ y2)
∴xy=
2
42−9
=
2
7
= ；
2（2）解：(x−3)(y−3)
=xy−3x−3 y+9
=xy−3(x+ y)+9
7
= −3×4+9
2
1
= ．
2
42．已知a−b=5,ab=4求：
(1)3a2+3b2的值；
(2)(a+b) 2的值．
【答案】(1)99
(2)41
【分析】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全
平方式．解此题的关键是要了解a2+b2与(a−b) 2之间的联系．
（1）先进行变形3a2+3b2=3(a−b) 2+6ab，再代入求值即可；
（2）先进行变形(a−b) 2+4ab，再代入求值即可．
【详解】（1）∵a−b=5，ab=4，
∴3a2+3b2=3(a−b) 2+6ab，
=3×52+6×4，
=99；
（2）(a+b) 2
=(a−b) 2+4ab
=52+4×4
=41．
43．已知a+b=6，ab=3，求下列各式的值．(1)(a−b) 2
(2)a4+b4
【答案】(1)24
(2)882
【分析】本题考查利用完全平方公式求值．掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．
（1）根据(a−b) 2=(a+b) 2−4ab，再整体代入求值即可；
（2）先根据完全平方公式求出a2+b2=(a−b) 2+2ab=30，再根据a4+b4=(a2+b2) 2 −2(ab) 2，最后
整体代入求值即可．
【详解】（1）解：(a−b) 2=(a+b) 2−4ab
=62−4×3
=24；
（2）解：∵a2+b2=(a−b) 2+2ab=24+2×3=30，
∴a4+b4=(a2+b2) 2 −2(ab) 2=302−2×32=900−18=882．
44．已知：m+n=2，mn=1．
(1)求m2+n2的值；
(2)求(m−n) 2．
【答案】(1)2
(2)0
【分析】本题考查代数式求值，解题的关键在于熟练运用完全平方公式对代数式进行变换．
（1）利用完全平方公式将m2+n2化为(m+n) 2−2mn，再将m+n=2，mn=1代入式子求值，即可解
题；
（2）利用完全平方公式将(m−n) 2化为m2+n2−2mn，再将m2+n2=2，mn=1代入式子求值，即可
解题．【详解】（1）解：m2+n2=m2+2mn+n2−2mn，
=(m+n) 2−2mn，
∵ m+n=2，mn=1，
∴ m2+n2=22−2×1=2；
（2）解：(m−n) 2=m2−2mn+n2=m2+n2−2mn，
∵ m2+n2=2，mn=1，
∴ (m−n) 2=2−2×1=0．
45．已知：(x+ y) 2=9，xy=−2，求下列代数式的值：
(1)x2+ y2；
(2)x−y．
【答案】(1)13
(2)±❑√17
【分析】本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，掌握公式形式是解题关键．
（1）根据x2+ y2=(x+ y) 2−2xy，整体代入(x+ y) 2=9，xy=−2即可求解；
（2）根据(x−y) 2=x2+ y2−2xy即可求解．
【详解】（1）∵(x+ y) 2=9，xy=−2，
∴x2+ y2=(x+ y) 2−2xy=9−2×(−2)=13；
（2）∵x2+ y2=13，xy=−2，
∴(x−y) 2=x2+ y2−2xy=17，
∴x−y=±❑√17
46．已知(a+b) 2=9,(a−b) 2=4，求：
(1)ab的值
(2)a2+b2的值5
【答案】(1)
4
13
(2)
2
【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式是解题的关键．
(1)完全平方公式展开，作差计算即可．
(2)根据(1)，选择一个完全平方公式展开，计算即可．
【详解】（1）∵(a+b) 2=9,(a−b) 2=4，
∴a2+2ab+b2=9,a2−2ab+b2=4，
∴4ab=9−4=5，
5
∴ab= ．
4
5
（2）∵(a+b) 2=9，ab= ，
4
∴a2+2ab+b2=9，
5 13
∴a2+b2=9−2ab=9− = ．
2 2
47．若a+b=3，ab=−12，求下列各式的值
(1)a2+b2
(2)(a−b) 2
【答案】(1)33
(2)57
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
（1）根据a2+b2=(a+b) 2−2ab计算即可；
（2）根据(a−b) 2=(a−b) 2−4ab计算即可．
【详解】（1）∵a+b=3，ab=−12
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=32−2×(−12)=9+24=33（2）∵a+b=3，ab=−12
(a−b) 2=(a+b) 2−4ab=32−4×(−12)=9+48=57
48．已知x+ y=5,xy=4，求下列各式的值．
(1)(x+ y) 2
(2)x2+ y2
(3)x−y
【答案】(1)25
(2)17
(3)±3
【分析】（1）直接求出x+ y的平方；
（2）用（1）式减去2xy求解；
（3）先求出(x−y)的平方，然后开方．
【详解】（1）解：(x+ y) 2=52=25；
（2）x2+ y2=(x+ y) 2−2xy=25−2×4=17；
（3）(x−y) 2=x2+ y2−2xy=17−2×4=9，
则x−y=±❑√(x−y) 2=±3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式，以及公式的转换．
