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专题15.4 分式及其性质（直通中考）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2022·湖南怀化·统考中考真题）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）计算： （ ）
A． B． C．5 D．a
4．（2023·广西·统考中考真题）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广西百色·统考中考真题）当x＝﹣2时，分式 的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
6．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知两个不等于0的实数 、 满足 ，则 等于
（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2021·江苏扬州·统考中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·浙江金华·统考中考真题）分式 的值是零，则 的值为（ ）
A．5 B． C． D．2
9．（2018·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（
）A． B． C． D．
10．（2020·河北·统考中考真题）若 ，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·江苏镇江·统考中考真题）使分式 有意义的x的取值范围是 ．
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n
个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，
先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这 个同学之间的距离与原来n个同
学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这 个同学排成圆圈后，又有一个同学要加
入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这 个
同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
13．（2023·浙江宁波·统考中考真题）要使分式 有意义， 的取值应满足 ．
14．（2022·全国·九年级专题练习）已知： （x、y、z均不为零），则 ＝ ．
15．（2021·福建·统考中考真题）已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于 ．16．（2020·湖南郴州·统考中考真题）若分式 的值不存在，则 ．
17．（2020·山东滨州·中考真题）观察下列各式： ， 根据其
中的规律可得 （用含n的式子表示）．
18．（2017·贵州安顺·中考真题）在函数 中，自变量x的取值范围 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·安徽·统考中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（8分）（2019·湖北宜昌·统考中考真题）已知： ， ，求代数式 的值．
21．（10分）（2012·广东广州·中考真题）已知 ，求 的值．
22．（10分）（2013·北京门头沟·统考二模）已知 ，求 的值.
23．（10分）（2023·广东广州·统考中考真题）已知 ，代数式： ， ，
．
（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
24．（12分）（2023·安徽合肥·统考一模）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
参考答案：
1．A
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
解：依题意得： 且 ，
解得 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
2．B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判
断即可．
解：分母中含有字母的是 ， ， ，
∴分式有3个，
故选：B．【点拨】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
3．D
【分析】分子分解因式，再约分得到结果．
解：
，
故选：D．
【点拨】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
4．A
【分析】根据分式有意义的条件可进行求解．
解：由题意得： ，
∴ ；
故选A．
【点拨】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
5．A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把 代入到分式中进行正确的计算即可得
到答案.
解：
把 代入上式中
原式
故选A.
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.6．A
【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
解：∵ ，
∴ ，
∵两个不等于0的实数 、 满足 ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．
7．C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则 ≠0，故符合题意；
D、当x=-1时， ，故不合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
8．B
【分析】利用分式值为零的条件可得 ，且 ，再解即可．
解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故选： ．
【点拨】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等
于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
9．D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、 ，错误；
B、 ，错误；
C、 ，错误；
D、 ，正确；
故选：D．
【点拨】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.
10．D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
解：∵a≠b，
∴ ，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
11．
【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
解：本题考查了分式有意义的条件，
即 ，解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．12．
【分析】由第一次操作可得： ，则 ，设第二次操作时每位同学向后移动了x米，
可得 ，解得 ，再代入化简即可．
解：由第一次操作可得： ，
∴ ，
设第二次操作时每位同学向后移动了x米，则
，
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的
关键．
13．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到 ，求解即可得到答案．
解：要使分式 有意义， 的取值应满足 ，解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件：分母不为零是解决问题的关键．
14．3
【分析】根据已知条件可设 ， ， ，将其代入所求式子，计算即可．
解： （ ， ， 均不为零），
设 ，则 ， ，
．
故答案为：3．【点拨】本题考查了分式的求值，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数 表示出 ， ， ，再
代入计算．
15．4
【分析】由条件 变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
解：由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【点拨】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件 ，变形为x-
y=xy，然后整体代入．
16．-1
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
解：∵分式 的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案为：-1．
【点拨】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
17．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分
子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的
分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
解：由分析得 ，
故答案为：
【点拨】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规
律，并进行推导得出答案．18．x≥1且x≠2．
解：根据题意得：x-1≥0且x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
考点：函数自变量的取值范围．
19． ；
【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
解：
，
当 时，
∴原式= ．
【点拨】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
20．8
【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将 代入计算可得．
解：原式 ，
当 ， 时，
原式 ．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．
许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于
解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知
条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入
求值．
21．
解：分式的化简求值．由 得出 ，对 通分（最简公分母为 ），分子因式分解，约
分，化简得出 ，代入求出即可．
22．
解：试题分析：先根据分式的基本性质约分，再算同分母分式的加减，然后由 得到 ，最后
代入.
原式= = =
当 时， ，原式= = .
考点：分式的化简求值
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.
23．（1） ；（2）见分析
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．
（1）解： ；
（2）解：①当选择A、B时：
，
；
②当选择A、C时：
，；
③当选择B、C时：
，
．
【点拨】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分
式化简的方法．
24．（1） ；（2）第 个等式： ；证明见分析
【分析】（1）根据题意推导即可；
（2）根据题意推导出一般性规律即可．
（1）解：由题意知，第6个等式： ，
故答案为： ；
（2）解：第 个等式： ；证明如下：
第1个等式： ，即 ，
第2个等式： ，即 ，
第3个等式： ，即 ，
第4个等式： ，即 ，
第5个等式： ，即
……
∴可推导一般性规律为：第 个等式： ，∵ ，
∴第 个等式： ．
【点拨】本题考查了规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．
