专题15.4分式（压轴题综合测试卷）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_压轴题专项-V5_2025版

专题 15.4 分式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） a a2 a ab a ac a a(−1−m2) 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在① = ，② = ，③ = ，④ = 中，从左到 b ab b b2 b bc b b(−1−m2) 右的变形正确的是（ ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【思路点拨】 此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟 练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质依次判断即可． 【解题过程】 a a2 解：①当a≠0时，才有 = ， b ab 故该变形错误； a ②∵分式 中b≠0， b a ab = ∴ ， b b2 故该变形正确； a ac ③当c≠0时，才有 = ， b bc 故该变形错误； ④∵−1−m2<0， ∴−1−m2≠0 a a(−1−m2) ∴ = ， b b(−1−m2)故该变形正确； 综上，正确的有②④． 故选：B 2．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若x，y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是 （ ） 3+x 3 y 3 y2 3 y3 A． B． C． D． x−y x2 (x−y) 2 2x2 【思路点拨】 本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可． 【解题过程】 3+5x 3+x 解：A、 ≠ ，故A不符合题意； 5x−5 y x−y 3×5 y 3 y 3 y B、 = ≠ ，故B不符合题意； (5x) 2 5x2 x2 3×(5 y) 2 3×25 y2 3 y2 C、 = = ，选项C符合题意； (5x−5 y) 2 25(x−y) 2 (x−y) 2 3(5 y) 3 3×125 y3 15 y3 3 y3 D、 = = ≠ ，故D不符合题意； 2(5x) 2 2×25x2 2x2 2x2 故选：C． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）当 m = 1 时，代数式 ( 2 + 1 ) ×(m2−n2)的值为 n 3 m2−mn m2+mn （ ） A．-6 B．6 C．-12 D．12 【思路点拨】 此题考查了分式的化简求值，先计算先把分母分解因式，再利用乘法分配律进行计算，再进行加法运算， 整体代入即可得答案． 【解题过程】 解： ( 2 + 1 ) ×(m2−n2) m2−mn m2+mn( 2 1 ) = + ×(m+n)(m−n) m(m−n) m(m+n) 2 1 = ×(m+n)(m−n)+ ×(m+n)(m−n) m(m−n) m(m+n) 2m+2n m−n = + m m 3m+n = m 3m n = + m m n =3+ m m 1 ∵ = ， n 3 n ∴ =3 m ∴原式=3+3=6 故选：B A 3 6x+B 4．（2024·山东·一模）已知 + = ，则A,B的值分别为（ ） x−2 x−3 (x−2)(x−3) A．3,−15 B．−15,3 C．−3,15 D．15,−3 【思路点拨】 本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相 等，得到关于A、B的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于A、B的方 程组是解题的关键． 【解题过程】 A 3 A(x−3) 3(x−2) A(x−3)+3(x−2) (A+3)x−(3A+6) 解：∵ + = + = = ， x−2 x−3 (x−2)(x−3) (x−2)(x−3) (x−2)(x−3) (x−2)(x−3) A 3 6x+B + = 又∵ ， x−2 x−3 (x−2)(x−3) (A+3)x−(3A+6) 6x+B ∴ = ， (x−2)(x−3) (x−2)(x−3) { A+3=6 ) ∴ ， −(3A+6)=B{ A=3 ) 解得： ， B=−15 故选：A． k−1 x 5．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于x的分式方程 =2− 的解为正数，则k的取值 x−5 5−x 范围是（ ） A．k>−9 B．k<−9 C．k>−9且k≠6 D．k>6且k≠9 【思路点拨】 k−1 x k+9 解分式方程 =2− ，根据“解为正数”得到 >0，解不等式，求出k范围，令x−5≠0，求出 x−5 5−x 3 增根，进而求出对应的k的值，即可求解， 本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根． 【解题过程】 k−1 x 解： =2− x−5 5−x 去分母，得：k−1=2(x−5)+x， k+9 解得：x= ， 3 ∵解为正数， ∴x>0， k+9 ∴ >0， 3 解得：k>−9， ∵x−5≠0， ∴x≠5， k+9 ∴ ≠5， 3 ∴k≠6， ∴k的取值范围是k>−9且k≠6， 故选：C． 1 6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知x2−3x+1=0，则x3−5x+ 的值为（ ） x2 A．4 B．5 C．±4 D．±5【思路点拨】 1 1 将x2−3x+1=0，进行变形得到：x2=3x−1，x2−3x=−1，x+ =3，利用整体思想，将x3−5x+ x x2 ( 1) 2 变形为： x+ −4，再代值计算即可． x 【解题过程】 解：∵x2−3x+1=0， ∴x2=3x−1，x2−3x=−1， 1 1 ∴x3−5x+ =x(x2−5)+ x2 x2 1 =x(3x−1−5)+ x2 1 =3x2−6x+ x2 1 =2x2−6x+x2+ x2 1 =2(x2−3x)+x2+ x2 1 =−2+x2+ x2 ( 1) 2 = x− x ( 1) 2 = x+ −4； x ∵x2−3x+1=0，当x=0时，1≠0，方程不成立， ∴x≠0， 1 ∴方程两边同除以x得：x−3+ =0， x 1 ∴x+ =3， x ∴ ( x+ 1) 2 −4=32−4=5，即：x3−5x+ 1 =5； x x2 故选B． 7．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m(m>1)的正方形 去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m−1)的正方形，两块试验田的小麦都收获了nkg．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为 Pkg/m2和Qkg/m2．则下列说法正确的是（ ） m+1 A．P>Q B．P=Q C．P1， ∴(m+1)(m−1) 2>0， ∴P−Q<0， 即P10， ∴b+10=13或15或39或65或195， 即b=3或5或29或55或185， 其中b=5不符合题意， ∴3+29+55+185=272， 故选C． 3x+5 x+3 { ≤ ) 4 2 10．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组 无解，且关于y的分式方程 1 x+a x+ > 2 2 5−ay 3 −1= 有整数解，则满足条件的整数a的值为（ ） 2−y y−2 A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【思路点拨】 本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进 而解决此题． 【解题过程】3x+5 x+3 { ≤ ) 4 2 { x≤1 ) 解：解不等式组 ，得 ， 1 x+a x>a−1 x+ > 2 2 ∵不等式组无解， ∴a−1≥1， ∴a≥2， 5−ay 3 分式方程 −1= ， 2−y y−2 方程的两边同时乘(y−2)， 得，ay−5−y+2=3， 整理得，(a−1)y=6， 6 ∴y= ， a−1 ∵方程有整数解， ∴a−1=±1或±2或±3或±6， ∴a=2或a=0或a=3或a=−1或a=4或a=−2或a=7或a=−5， ∵a≥2，y≠2， ∴a≠4， ∴a=2或a=3或a=7， 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 2 mx 5 11．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为 x−2 x2−4 x+2 ． 【思路点拨】 分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【解题过程】 解：（1）x=−2为原方程的增根，此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(−2+2)−2m=5×(−2−2)， 解得m=10； （2）x=2为原方程的增根， 此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(2+2)+2m=5×(2−2)， 解得m=−4． （3）方程两边都乘(x+2)(x−2)， 得2(x+2)+mx=5(x−2)， 化简得：(m−3)x=−14． 当m=3时，整式方程无解． 综上所述，当m=10或m=−4或m=3时，原方程无解． 故答案为：10或−4或3． 12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天， 且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ． 【思路点拨】 本题考查的是分式方程的应用，设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．由甲、 乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，再建立方程组即可． 【解题过程】 解：设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程． (1 1) 13 3 由题意得，10 + = + ， x y x y 7 3 ∴ = ， y x x 3 ∴ = ， y 7 1 1 y 7 ∴ : = = ， x y x 3 7 ∴甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ． 3 7 故答案是： 3 13．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足a+b+c=0．则 (a−b b−c c−a)( c a b ) + + + + = ． c a b a−b b−c c−a【思路点拨】 用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合a+b+c=0化简，所得三部分合并再化 简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得． 【解题过程】 (a−b b−c c−a) c (b−a)(b+a−c) c 2c2 解：∵ + + =1+ × =1+ ， c a b a−b ab a−b ab (a−b b−c c−a) a 2a2 (a−b b−c c−a) b 2b2 同理， + + =1+ ， + + =1+ ， c a b b−c bc c a b c−a ac 2c2 2a2 2b2 2(a3+b3+c3) ∴原式=1+ +1+ +1+ =3+ ， ab bc ac abc 又(a+b) 3=(−c) 3，即a3+3a2b+3b2a+b3=−c3， 则a3+b3+c3=−3ab(a+b)=−3ab(−c)=3abc， 2×3abc 故原式=3+ =9． abc 故答案为：9． 2b−1 2a−1 14．（2024八年级·全国·竞赛）若实数a、b、 、 都是整数，且a>1,b>1，则a+b= a b ． 【思路点拨】 本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键．利用已知条件建立分式方程，并全 面地进行分类讨论即可得出． 【解题过程】 2a−1 2a−1 1 解：当a=b时， = =2− ， a b a ∵a>1， 1 ∴2− 不是整数，与题设矛盾， a ∴a≠b， 2b−1 2a−1 令 =m①， =n②， a b 由题设m、n为正整数，设m>n， am+1 由①得b= ， 2 代入②，整理得(4−mn)a=n+2， ∴4−mn是正整数， ∴mn=1或2或3， 又∵m>n， ∴m=2，n=1或m=3，n=1， 当m=2，n=1时， 3 由①②解得，a=2，b= （不合题意，舍去）， 2 当m=3，n=1时， 由①②解得，a=5，b=3， ∴a+b=8． 故答案为：8. 1 1 1 15．（2023·湖北荆门·一模）已知a>0,S = ,S =−S −1,S = ,S =−S −1,S = ,…．即当n为 1 a 2 1 3 S 4 3 5 S 2 4 1 于1的奇数时，S = ；当n为大于1的偶数时，S =−S −1．计算S +S +S +⋯+S 的结果为 n S n n−1 1 2 3 2022 n−1 ． 【思路点拨】 先找到规律S 的值每6个一循环，再求出S +S +S +S +S +S =−1，由2022=337×6，可得 n 1 2 3 4 5 6 S +S +S +⋯+S =−1×337=−337． 1 2 3 2022 【解题过程】 1 解：S = ， 1 a 1 1+a S =−S −1=− −1=− ， 2 1 a a 1 a S = =− ， 3 S a+1 2 a 1 S =−S −1= −1=− ， 4 3 a+1 a+1 1 S = =−(a+1)， 5 S 4S =−S −1=(a+1)−1=a， 6 5 1 1 S = = ， 7 S a 6 …， ∴S 的值每6个一循环， n ∵S +S +S +S +S +S 1 2 3 4 5 6 1 1+a a 1 = − − − −(a+1)+a a a a+1 a+1 −a a+1 = − −a+1+a a a+1 =−1−1+1 =−1， ∵2022=337×6， ∴S +S +S +⋯+S =−1×337=−337， 1 2 3 2022 故答案为：−337． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共9小题，满分55分） 16．（4分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算： 2x y （1） + ； 2x−y y−2x −m2n −6xy （2） ⋅ ； 3x 5mn2 a+3 a2+3a （3） ÷ ； 1−a a2−2a+1 ( 2x ) x2−x （4） −1 ÷ ． x+1 x2+2x+1 【思路点拨】 本题主要考查了分式的混合计算，分式的乘除法计算，分式的加法计算： （1）根据同分母分式减法计算法则求解即可；（2）根据分式乘法计算法则求解即可； （3）把除法变成乘法后约分化简即可； （4）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【解题过程】 2x y （1）解： + 2x−y y−2x 2x y = − 2x−y 2x−y 2x−y = 2x−y =1； −m2n −6xy （2）解： ⋅ 3x 5mn2 2my = ； 5n a+3 a2+3a （3）解： ÷ 1−a a2−2a+1 a+3 a(a+3) = ÷ 1−a (a−1) 2 a+3 (a−1) 2 = ⋅ 1−a a(a+3) 1−a = ； a ( 2x ) x2−x （4）解： −1 ÷ x+1 x2+2x+1 2x−x−1 x(x−1) = ÷ x+1 (x+1) 2 x−1 (x+1) 2 = ⋅ x+1 x(x−1)x+1 = ． x 17．（4分）（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）解下列分式方程： x−2 16 （1） −1= ； x+2 x2−4 1 1 1 1 1 （2） + + + = ． 3x 15x 35x 63x x+1 【思路点拨】 此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键： （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1并检验即可求得方程的解． （2）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键 在于充分利用运算规律计算． 【解题过程】 解：（1）去分母，得(x−2) 2−(x2−4)=16， 去括号，得x2−4x+4−x2+4=16， 移项，得−4x=16−4−4， 合并同类项，得−4x=8， 系数化为1，得x=−2， 检验：当x=−2时，(x+2)(x−2)=0， ∴分式方程无解． 1 1 1 1 1 （2） + + + = 3x 15x 35x 63x x+1 1 (1 1 1 1 ) 1 ⋅ + + + = ， x 3 15 35 63 x+1 1 ( 1 1 1 1 ) 1 ⋅ + + + = ， x 1×3 3×5 5×7 7×9 x+1 1 ( 1 1 1 1 1 1 1) 1 1− + − + − + − = ， 2x 3 3 5 5 7 7 9 x+1 1 ( 1) 1 1− = ， 2x 9 x+1 1 8 1 ⋅ = ， 2x 9 x+1 4 1 = ， 9x x+19x=4x+4， 5x=4， 4 x= ， 5 4 检验：x= 是原分式方程的解， 5 4 ∴原方程的解为x= ． 5 ( 8 ) a2+2a+1 a 18．（4分）（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值： +a−3 ÷ − ， a+3 a+3 a+1 {a−1≤−2 ) 其中a为不等式组 a 1 的整数解． −2≤ − 2 4 【思路点拨】 先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解 一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定a值，最后代入求解即可． 【解题过程】 ( 8 ) a2+2a+1 a 解： +a−3 ÷ − a+3 a+3 a+1 8+(a−3)(a+3) (a+1) 2 a = ÷ − a+3 a+3 a+1 (a+1)(a−1) a+3 a = × − a+3 (a+1) 2 a+1 a−1 a = − a+1 a+1 1 =− ； a+1 {a−1≤−2 ) a 1 ， −2≤ − 2 4 解a−1≤−2，得，a≤−1， a 1 解−2≤ − ，得，a≥−3.5， 2 4 ∴−3.5≤a≤−1，∴整式解为−3，−2，−1， ∵a+3≠0，a+1≠0， ∴a≠−3，a≠−1， ∴a=−2， 1 当a=−2时，原式 =− =1． (−2)+1 19．（6分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天 比原计划多生产50个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线 共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总 数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 【思路点拨】 （1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产 24000 24000+300 (24000+300)个零件所用的时间”可列方程 = ，解出x即为原计划每天生产的零件个 x x+50 24000 数，再代入 即可求得规定天数； x （2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“(5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生 4000 产的零件个数)×(规定天数−2)=零件总数24000个”可列方程[5×20×(1+20%)× +4000] y ×(10−2)=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数． 【解题过程】 （1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得， 24000 24000+300 = ， x x+50 解得x=4000， 经检验，x=4000是原方程的根，且符合题意． ∴规定的天数为24000÷4000=6(天)． 答：原计划每天生产零件4000个，规定的天数是6天； （2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，4000 [5×20×(1+20%)× +4000] ×(6−2)=24000, y 解得，y=240． 经检验，y=240是原方程的根，且符合题意． 答：原计划安排的工人人数为240人． a2−1 ( a ) 20．（6分）（23-24八年级下·福建泉州·期中）若 A= ⋅ 1− . b+1 a+1 （1）化简A； （2）若 b=a+2，且 b≥2，求A的最小值； 6b+4 （3）若a， b为正整数， 且 B= ，当A，B均为正整数时，求a−b的值． 2a+3 【思路点拨】 （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； 4 （2）把b=a+2代入A，得到A=1− ，再根据b≥2得到a+3≥3，然后即可求解； a+3 （3）由题意可得A·B<3，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解． 【解题过程】 (a+1)(a−1) 1 （1）解：原式= ⋅ b+1 a+1 a−1 = b+1 a−1 （2）解：由（1）得：A= b+1 a−1 a+3−4 4 把b=a+2代入得：A= = =1− a+3 a+3 a+3 ∵b≥2 ∴a≥0 ∴a+3≥3 4 4 ∴ ≤ a+3 3 4 4 1 ∴1− ≥1− =− a+3 3 3 1 ∴A的最小值为− ； 3 （3）∵A，B均为正整数a−1 6b+4 a−1 6b+6 a−1 6(b+1) ∴A·B= ⋅ < ⋅ = ⋅ =3 b+1 2a+3 b+1 2a−2 b+1 2(a−1) 当A·B=1时， a−1 11 { =1 ) { a= ) b+1 4 ，解得： 6b+4 3 =1 b= 2a+3 4 当A·B=2时 a−1 a−1 { b+1 =1 ) { b+1 =2 ) {a=7) {a=8 ) 或 ，解得： 或 5 6b+4 6b+4 b=5 b= =2 =1 2 2a+3 2a+3 经检验，是原方程的解 ∵a， b为正整数， {a=7) ∴ b=5 ∴a−b=7−5=2 21．（6分）（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察： 1 1 同学们，在学习中，你会发现“x+ ”与“x− ”有着紧密的联系，请你认真观察等式： x x ( x+ 1) 2 =x2+2+ 1 ， ( x− 1) 2 =x2−2+ 1 ． x x2 x x2 用数学的思维思考并解决如下问题： ( 1) 2 ( 1) 2 （1）填空： a+ − a− =______； a a （2）计算： ( 1) 2 1 ①若 a+ =20，求a− 的值； a a 1 ②若a2+a−1=0，求a+ 的值； a |1) |1) ③已知 −a=1，求 +a的值． a a 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． (a±b) 2=a2±2ab+b2 （1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可； ( 1) 2 1 （2）①先利用完全平方公式变形求出 a− =16，然后求出a− 的值即可； a a 1 ( 1) 2 ②先将a2+a−1=0两边都除以a，得a− =−1，然后求出 a+ =5，再求出结果即可； a a 1 1 ③分两种情况：当 >0时，当 <0时，求出结果即可． a a 【解题过程】 ( 1) 2 ( 1) 2 （1）解： a+ − a− a a =a2+2+ 1 − ( a2−2+ 1 ) a2 a2 1 1 =a2+2+ −a2+2+ a2 a2 =4； 故答案为：4． ( 1) 2 ( 1) 2 （2）解：①∵ a− = a+ −4=20−4=16， a a 1 ∴a− =±4． a 1 ②将a2+a−1=0两边都除以a，得a− =−1． a ∴ ( a+ 1) 2 = ( a− 1) 2 +4=(−1) 2+4=5， a a 1 ∴a+ =±❑√5． a 1 |1) 1 1 ③当 >0时，此时a>0，则 −a= −a=1，得a− =−1， a a a a ∵ ( a+ 1) 2 = ( a− 1) 2 +4=(−1) 2+4=5， a a 1 ∴a+ =±❑√5． a ∵a>0，1 ∴a+ =❑√5； a |1) 1 ∴ +a= +a=❑√5， a a 1 |1) 1 1 当 <0时，此时a<0，则 −a=− −a=1，得a+ =−1， a a a a ∵ ( a− 1) 2 = ( a+ 1) 2 −4=(−1) 2−4=−3<0，故舍去． a a |1) 综上， +a的值为❑√5． a 22．（8分）（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变 甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． b （1）若a克糖水中含b克糖（a>b>0），则该糖水的甜度为 ，若再加入m克（m>0）糖，此时糖水的 a 甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若b>a>0，m>0，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v 、v ，水 1 2 流速度为v (v >v >v >0)，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t 、t ，请 0 1 2 0 1 2 利用（1）（2）中探究的结论，比较t 、t 的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 1 2 【思路点拨】 b+m b （1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较 与 的大小即可； a+m a b+m b （2）利用作差法比较 与 的大小即可； a+m a （3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可． 【解题过程】 b 解：（1）∵a克糖水中含b克糖（a>b>0），则该糖水的甜度为 ， a b+m ∴再加入m克（m>0）糖，此时糖水的甜度为 ，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． a+mb+m b ∵ − a+m a ab+am ab+bm = − a(a+m) a(a+m) m(a−b) = ， a(a+m) ∵a>b>0，m>0， ∴a−b>0，m(a−b)>0，a(a+m)>0， m(a−b) ∴ >0， a(a+m) b+m b ∴ > ， a+m a b+m b ∴由此我们可以得到一个不等式 > ， a+m a b b+m b 故答案为： ， > ； a a+m a b+m b （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为： < ，理由如下： a+m a b+m b ∵ − a+m a ab+am ab+bm = − a(a+m) a(a+m) m(a−b) = ， a(a+m) ∵b>a>0，m>0， ∴a−b<0，m(a−b)<0，a(a+m)>0， m(a−b) ∴ <0， a(a+m) b+m b ∴ < ； a+m a （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ∵v (v >v >v >0)， 0 1 2 0 ∴v −v >0,v −v >0， 1 0 2 0v +v v v −v v 由（2）得 1 0< 1 ， 1 0> 1 ， v +v v v −v v 2 0 2 2 0 2 v +v v −v ∴ 1 0< 1 0 ， v +v v −v 2 0 2 0 v +v v +v ∴ 1 0 < 2 0 ， v −v v −v 1 0 2 0 v +v v +v ∵t = 1 0 ，t = 2 0 ， 1 v −v 2 v −v 1 0 2 0 ∴t v >v >0)， 0 1 2 0 ∴v −v >0,v −v >0， 1 0 2 0 v +v v v −v v 由（1）得 2 0> 2 ， 2 0< 2 ， v +v v v −v v 1 0 1 1 0 1 v +v v −v ∴ 2 0> 2 0 ， v +v v −v 1 0 1 0 v −v v −v ∴ 1 0> 2 0 ， v +v v +v 1 0 2 0 v −v v −v ∵t = 1 0 ，t = 2 0 ， 1 v +v 2 v +v 1 0 2 0 ∴t >t ，乙船先返回A港， 1 2 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，t t ，乙船先返回A港． 1 2 23．（8分）（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即 1 1 1 1 1 A−B=AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如 与 ．因为 − = x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2)1 1 1 1 1 ， × = ．所以 是 的“可存异分式”． x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1 1 1 （1）填空：分式 ________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） x+2 x+3 x （2）分式 的“可存异分式”是________； x−4 2x+3 （3）已知分式 是分式A的“可存异分式”． 3x+3 ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； n+2 m−1 （4）若关于x的分式 是关于x的分式 的“可存异分式”，求6n2+19n+534的值． mx+m2+n mx+n2 【思路点拨】 （1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； x x x （2）设 的“可存异分式”为N，根据定义得出 −N= ×N，利用分式混合运算法则求出 x−4 x−4 x−4 N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； m−1 m−1 （4）设关于x的分式 的“可存异分式”为M，求出M= ，根据关于x的分式 mx+n2 m−1+mx+n2 n+2 m−1 { m−1=n+2 ) 是关于x的分式 的“可存异分式”，得出 ，求出 mx+m2+n mx+n2 m−1+mx+n2=mx+m2+n 11 { m= ) 6 ，代入求值即可． 7 n=− 6 【解题过程】 1 1 −1 （1）解：∵ − = ， x+3 x+2 (x+2)(x+3) 1 1 1 × = ， x+3 x+2 (x+2)(x+3)1 1 1 1 ∴ − ≠ × ， x+2 x+3 x+2 x+3 1 1 ∴分式 不是分式 的“可存异分式”； x+2 x+3 故答案为：不是． x x x （2）解：设 的“可存异分式”为N，则 −N= ×N， x−4 x−4 x−4 ( x ) x ∴ +1 N= ， x−4 x−4 x ( x ) ∴N= ÷ +1 x−4 x−4 x 2x−4 = ÷ x−4 x−4 x x−4 = ⋅ x−4 2x−4 x = ． 2x−4 x 故答案为： ． 2x−4 2x+3 （3）①∵分式 是分式A的“可存异分式”， 3x+3 2x+3 2x+3 ∴A− =A× ， 3x+3 3x+3 ( 2x+3) 2x+3 ∴A 1− = ， 3x+3 3x+3 2x+3 ( 2x+3) ∴A= ÷ 1− 3x+3 3x+3 2x+3 3x+3−2x−3 = ÷ 3x+3 3x+3 2x+3 3x+3 = ⋅ 3x+3 x 2x+3 = ； x 2x+3 3 ②∵整数x使得分式A的值是正整数，A= =2+ ， x x ∴x=1时，A=5，x=3时，A=3， x=−3时，A=1， ∴分式A的值是1，3，5； m−1 （4）解：设关于x的分式 的“可存异分式”为M，则： mx+n2 m−1 m−1 −M= ×M， mx+n2 mx+n2 m−1 ( m−1 ) ∴M= ÷ +1 mx+n2 mx+n2 m−1 mx+n2 = ⋅ mx+n2 m−1+mx+n2 m−1 = ， m−1+mx+n2 n+2 m−1 ∵关于x的分式 是关于x的分式 的“可存异分式”， mx+m2+n mx+n2 { m−1=n+2 ) ∴ ， m−1+mx+n2=mx+m2+n { m−n=3 ) 整理得： ， (m+n)(m−n)+n−m+1=0 11 { m= ) 6 解得： ， 7 n=− 6 ∴6n2+19n+534 ( 7) 2 ( 7) =6× − +19× − +534 6 6 49 133 = − +534 6 6 =520． 24．（9分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程 a 1 a +1=b的解是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一 x a+b x 个“关联数对”．2 1 1 例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是 x 2+(−5) 3 a 关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”． x a （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不 x 是，打“×”． ①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）； ③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）； a （2）若数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值； x a （3）若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的 x −2m 方程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值． m+1 【思路点拨】 本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定 义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【解题过程】 1 1 （1）解：当a=−1，b=−1时，分式方程为− +1=−1，x= ， x 2 1 1 1 ∵ =− ≠ ， −1−1 2 2 a ∴①[−1,−1)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”； x 3 当a=3，b=4时，分式方程为 +1=4， x 解得：x=1， 1 1 ∵ = ≠1， 3+4 7a ∴②[3,4)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”； x 2 当a=2，b=−5时，分式方程为 +1=−5， x 1 解得x=− ， 3 1 1 ∵ =− ， 2+(−5) 3 a ∴③[2,−5)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”； x 1 当a=1，b=1时，分式方程为 +1=1， x 此方程无解， a ∴④[1,1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”； x 故答案为：①×；②×；③√；④×． a （2）解：∵数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”， x n2−3 ∴ +1=−n2， x 3−n2 解得：x= ， n2+1 1 3−n2 ∴ = ， n2−3−n2 n2+1 解得n=±❑√5； a （3）解：∵数对[m−k，k](m≠−1且m≠0，k≠1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”， x m−k 1 1 ∴ +1=k，x= = ， x m−k+k m ∴m(m−k)+1=k， m2+1 解得k= ， m+1 −2m ∵kx−m+1= x可化为k(m+1)x−m(m+1)+(m+1)=−2mx， m+1∴(m+1) 2x=(m+1)(m−1)， m−1 m+1−2 2 解得：x= = =1− ， m+1 m+1 m+1 ∵方程有整数解， ∴整数m+1=±1,±2，即m=0,−2,1,−3， 又m≠0，k≠1， ∴m+1≠m2+1 ∴m=−2,−3．