专题 15.4 分式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
a a2 a ab a ac a a(−1−m2)
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在① = ，② = ，③ = ，④ = 中，从左到
b ab b b2 b bc b b(−1−m2)
右的变形正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④
【思路点拨】
此题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，熟
练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质依次判断即可．
【解题过程】
a a2
解：①当a≠0时，才有 = ，
b ab
故该变形错误；
a
②∵分式 中b≠0，
b
a ab
=
∴ ，
b b2
故该变形正确；
a ac
③当c≠0时，才有 = ，
b bc
故该变形错误；
④∵−1−m2<0，
∴−1−m2≠0
a
a(−1−m2)
∴ = ，
b b(−1−m2)故该变形正确；
综上，正确的有②④．
故选：B
2．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若x，y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是
（ ）
3+x 3 y 3 y2 3 y3
A． B． C． D．
x−y x2 (x−y) 2 2x2
【思路点拨】
本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可．
【解题过程】
3+5x 3+x
解：A、 ≠ ，故A不符合题意；
5x−5 y x−y
3×5 y 3 y 3 y
B、 = ≠ ，故B不符合题意；
(5x) 2 5x2 x2
3×(5 y) 2 3×25 y2 3 y2
C、 = = ，选项C符合题意；
(5x−5 y) 2 25(x−y) 2 (x−y) 2
3(5 y) 3 3×125 y3 15 y3 3 y3
D、 = = ≠ ，故D不符合题意；
2(5x) 2 2×25x2 2x2 2x2
故选：C．
3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）当 m = 1 时，代数式 ( 2 + 1 ) ×(m2−n2)的值为
n 3 m2−mn m2+mn
（ ）
A．-6 B．6 C．-12 D．12
【思路点拨】
此题考查了分式的化简求值，先计算先把分母分解因式，再利用乘法分配律进行计算，再进行加法运算，
整体代入即可得答案．
【解题过程】
解：
( 2 + 1 ) ×(m2−n2)
m2−mn m2+mn( 2 1 )
= + ×(m+n)(m−n)
m(m−n) m(m+n)
2 1
= ×(m+n)(m−n)+ ×(m+n)(m−n)
m(m−n) m(m+n)
2m+2n m−n
= +
m m
3m+n
=
m
3m n
= +
m m
n
=3+
m
m 1
∵ = ，
n 3
n
∴ =3
m
∴原式=3+3=6
故选：B
A 3 6x+B
4．（2024·山东·一模）已知 + = ，则A,B的值分别为（ ）
x−2 x−3 (x−2)(x−3)
A．3,−15 B．−15,3 C．−3,15 D．15,−3
【思路点拨】
本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相
等，得到关于A、B的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于A、B的方
程组是解题的关键．
【解题过程】
A 3 A(x−3) 3(x−2) A(x−3)+3(x−2) (A+3)x−(3A+6)
解：∵ + = + = = ，
x−2 x−3 (x−2)(x−3) (x−2)(x−3) (x−2)(x−3) (x−2)(x−3)
A 3 6x+B
+ =
又∵ ，
x−2 x−3 (x−2)(x−3)
(A+3)x−(3A+6) 6x+B
∴ = ，
(x−2)(x−3) (x−2)(x−3)
{ A+3=6 )
∴ ，
−(3A+6)=B{ A=3 )
解得： ，
B=−15
故选：A．
k−1 x
5．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于x的分式方程 =2− 的解为正数，则k的取值
x−5 5−x
范围是（ ）
A．k>−9 B．k<−9
C．k>−9且k≠6 D．k>6且k≠9
【思路点拨】
k−1 x k+9
解分式方程 =2− ，根据“解为正数”得到 >0，解不等式，求出k范围，令x−5≠0，求出
x−5 5−x 3
增根，进而求出对应的k的值，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根．
【解题过程】
k−1 x
解： =2−
x−5 5−x
去分母，得：k−1=2(x−5)+x，
k+9
解得：x= ，
3
∵解为正数，
∴x>0，
k+9
∴ >0，
3
解得：k>−9，
∵x−5≠0，
∴x≠5，
k+9
∴ ≠5，
3
∴k≠6，
∴k的取值范围是k>−9且k≠6，
故选：C．
1
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知x2−3x+1=0，则x3−5x+
的值为（ ）
x2
A．4 B．5 C．±4 D．±5【思路点拨】
1 1
将x2−3x+1=0，进行变形得到：x2=3x−1，x2−3x=−1，x+ =3，利用整体思想，将x3−5x+
x x2
( 1) 2
变形为： x+ −4，再代值计算即可．
x
【解题过程】
解：∵x2−3x+1=0，
∴x2=3x−1，x2−3x=−1，
1 1
∴x3−5x+ =x(x2−5)+
x2 x2
1
=x(3x−1−5)+
x2
1
=3x2−6x+
x2
1
=2x2−6x+x2+
x2
1
=2(x2−3x)+x2+
x2
1
=−2+x2+
x2
( 1) 2
= x−
x
( 1) 2
= x+ −4；
x
∵x2−3x+1=0，当x=0时，1≠0，方程不成立，
∴x≠0，
1
∴方程两边同除以x得：x−3+ =0，
x
1
∴x+ =3，
x
∴ ( x+ 1) 2 −4=32−4=5，即：x3−5x+ 1 =5；
x x2
故选B．
7．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m(m>1)的正方形
去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m−1)的正方形，两块试验田的小麦都收获了nkg．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为
Pkg/m2和Qkg/m2．则下列说法正确的是（ ）
m+1
A．P>Q B．P=Q C．P<Q D．P是Q的 倍
m−1
【思路点拨】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘
n n
方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到P= ，Q=
，
m2−1 (m−1) 2
P
再计算P−Q和 ，从而可得到正确答案．
Q
【解题过程】
n n
解：根据题意得P= ，Q=
，
m2−1 (m−1) 2
n n n(m−1)−n(m+1) −2
∴P−Q= − = =n⋅ ，
m2−1 (m−1) 2 (m+1)(m−1) 2 (m+1)(m−1) 2
∵m>1，
∴(m+1)(m−1) 2>0，
∴P−Q<0，
即P<Q，所以选项C正确；
P n n n (m−1) 2 m−1
∵ = ÷ = ⋅ = ，
Q m2−1 (m−1) 2 (m+1)(m−1) n m+1
m−1
∴P= Q，所以选项D错误．
m+1
故选：C．
8．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知实数a，b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：①若c≠0，则2a−3ab+2b 1 1 1
=− ；②若a=3，则b+c=6；③若c≠0，则(1−a)(1−b)= + ；④若c=4，则
5a+7ab+5b 12 a b
a2+b2=8．其中正确个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据所给条件，对各项进行变形，利用整体代入、解方程、通分、完全平方式进行计算即可验证．
【解题过程】
解：∵a+b=ab=c
2a−3ab+2b 2(a+b)−3ab −ab 1
∴①当c≠0时， = = =− ，故①结论正确；
5a+7ab+5b 5(a+b)+7ab 12ab 12
②当a=3时，
∴3+b=3b=c
3 9
解得：b= ,c= ，
2 2
3 9
∴b+c= + =6，故②结论正确；
2 2
③∵(1−a)(1−b)=1−(a+b)+ab=1−ab+ab=1，
1 1 a+b
+ = =1
a b ab
1 1
∴(1−a)(1−b)= + ，故③结论正确；
a b
④当c=4，
则a+b=ab=4
∴a2+b2=(a+b) 2−2ab=42−2×4=8 ，故④结论正确；
综上所述，正确的结论有4个；
故选：D．
a b−x
9．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若a=3b且a、b为正整数，当分式方程 − =1的解
2x+3 x−5
为整数时，所有符合条件的b的值和为（ ）
A．277 B．240 C．272 D．256
【思路点拨】
此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把a=3b代入方程，再解方程可得18b−15 195 3
x= =18− ，且x≠− ，x≠5；b≠−10，再分类讨论即可得到答案．
b+10 b+10 2
【解题过程】
a b−x
解：∵ − =1，a=3b，
2x+3 x−5
3b b−x
∴ − =1，
2x+3 x−5
两边都乘以(2x+3)(x−5)，得
3b(x−5)−(2x+3)(b−x)=(2x+3)(x−5)，
18b−15 195 3
解得x= =18− ，且x≠− ，x≠5；b≠−10，
b+10 b+10 2
18b−15 3 18b−15
∴ ≠− 且 ≠5，
b+10 2 b+10
20
解得：b≠ ，b≠5，
11
a b−x
∵正整数b使关于x的分式方程 − =1的解为整数，
2x+3 x−5
∴b+10>10，
∴b+10=13或15或39或65或195，
即b=3或5或29或55或185，
其中b=5不符合题意，
∴3+29+55+185=272，
故选C．
3x+5 x+3
{ ≤ )
4 2
10．（23-24八年级上·山东泰安·期中）若关于的不等式组 无解，且关于y的分式方程
1 x+a
x+ >
2 2
5−ay 3
−1= 有整数解，则满足条件的整数a的值为（ ）
2−y y−2
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
【思路点拨】
本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进
而解决此题．
【解题过程】3x+5 x+3
{ ≤ )
4 2 { x≤1 )
解：解不等式组 ，得 ，
1 x+a x>a−1
x+ >
2 2
∵不等式组无解，
∴a−1≥1，
∴a≥2，
5−ay 3
分式方程 −1= ，
2−y y−2
方程的两边同时乘(y−2)，
得，ay−5−y+2=3，
整理得，(a−1)y=6，
6
∴y= ，
a−1
∵方程有整数解，
∴a−1=±1或±2或±3或±6，
∴a=2或a=0或a=3或a=−1或a=4或a=−2或a=7或a=−5，
∵a≥2，y≠2，
∴a≠4，
∴a=2或a=3或a=7，
故选：D．
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
2 mx 5
11．（22-23八年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为
x−2 x2−4 x+2
．
【思路点拨】
分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【解题过程】
解：（1）x=−2为原方程的增根，此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(−2+2)−2m=5×(−2−2)，
解得m=10；
（2）x=2为原方程的增根，
此时有2(x+2)+mx=5(x−2)，即2×(2+2)+2m=5×(2−2)，
解得m=−4．
（3）方程两边都乘(x+2)(x−2)，
得2(x+2)+mx=5(x−2)，
化简得：(m−3)x=−14．
当m=3时，整式方程无解．
综上所述，当m=10或m=−4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或−4或3．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，
且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ．
【思路点拨】
本题考查的是分式方程的应用，设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．由甲、
乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，再建立方程组即可．
【解题过程】
解：设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．
(1 1) 13 3
由题意得，10 + = + ，
x y x y
7 3
∴ = ，
y x
x 3
∴ = ，
y 7
1 1 y 7
∴ : = = ，
x y x 3
7
∴甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ．
3
7
故答案是：
3
13．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足a+b+c=0．则
(a−b b−c c−a)( c a b )
+ + + + = ．
c a b a−b b−c c−a【思路点拨】
用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合a+b+c=0化简，所得三部分合并再化
简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得．
【解题过程】
(a−b b−c c−a) c (b−a)(b+a−c) c 2c2
解：∵ + + =1+ × =1+ ，
c a b a−b ab a−b ab
(a−b b−c c−a) a 2a2 (a−b b−c c−a) b 2b2
同理， + + =1+ ， + + =1+ ，
c a b b−c bc c a b c−a ac
2c2 2a2 2b2 2(a3+b3+c3)
∴原式=1+ +1+ +1+ =3+ ，
ab bc ac abc
又(a+b) 3=(−c) 3，即a3+3a2b+3b2a+b3=−c3，
则a3+b3+c3=−3ab(a+b)=−3ab(−c)=3abc，
2×3abc
故原式=3+ =9．
abc
故答案为：9．
2b−1 2a−1
14．（2024八年级·全国·竞赛）若实数a、b、 、 都是整数，且a>1,b>1，则a+b=
a b
．
【思路点拨】
本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键．利用已知条件建立分式方程，并全
面地进行分类讨论即可得出．
【解题过程】
2a−1 2a−1 1
解：当a=b时， = =2− ，
a b a
∵a>1，
1
∴2− 不是整数，与题设矛盾，
a
∴a≠b，
2b−1 2a−1
令 =m①， =n②，
a b
由题设m、n为正整数，设m>n，
am+1
由①得b= ，
2
代入②，整理得(4−mn)a=n+2，
∴4−mn是正整数，
∴mn=1或2或3，
又∵m>n，
∴m=2，n=1或m=3，n=1，
当m=2，n=1时，
3
由①②解得，a=2，b= （不合题意，舍去），
2
当m=3，n=1时，
由①②解得，a=5，b=3，
∴a+b=8．
故答案为：8.
1 1 1
15．（2023·湖北荆门·一模）已知a>0,S = ,S =−S −1,S = ,S =−S −1,S = ,…．即当n为
1 a 2 1 3 S 4 3 5 S
2 4
1
于1的奇数时，S = ；当n为大于1的偶数时，S =−S −1．计算S +S +S +⋯+S 的结果为
n S n n−1 1 2 3 2022
n−1
．
【思路点拨】
先找到规律S 的值每6个一循环，再求出S +S +S +S +S +S =−1，由2022=337×6，可得
n 1 2 3 4 5 6
S +S +S +⋯+S =−1×337=−337．
1 2 3 2022
【解题过程】
1
解：S = ，
1 a
1 1+a
S =−S −1=− −1=− ，
2 1 a a
1 a
S = =− ，
3 S a+1
2
a 1
S =−S −1= −1=− ，
4 3 a+1 a+1
1
S = =−(a+1)，
5 S
4S =−S −1=(a+1)−1=a，
6 5
1 1
S = = ，
7 S a
6
…，
∴S 的值每6个一循环，
n
∵S +S +S +S +S +S
1 2 3 4 5 6
1 1+a a 1
= − − − −(a+1)+a
a a a+1 a+1
−a a+1
= − −a+1+a
a a+1
=−1−1+1
=−1，
∵2022=337×6，
∴S +S +S +⋯+S =−1×337=−337，
1 2 3 2022
故答案为：−337．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（23-24八年级下·江苏扬州·期中）计算：
2x y
（1） + ；
2x−y y−2x
−m2n −6xy
（2） ⋅ ；
3x 5mn2
a+3 a2+3a
（3） ÷ ；
1−a a2−2a+1
( 2x ) x2−x
（4） −1 ÷ ．
x+1 x2+2x+1
【思路点拨】
本题主要考查了分式的混合计算，分式的乘除法计算，分式的加法计算：
（1）根据同分母分式减法计算法则求解即可；（2）根据分式乘法计算法则求解即可；
（3）把除法变成乘法后约分化简即可；
（4）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可．
【解题过程】
2x y
（1）解： +
2x−y y−2x
2x y
= −
2x−y 2x−y
2x−y
=
2x−y
=1；
−m2n −6xy
（2）解： ⋅
3x 5mn2
2my
= ；
5n
a+3 a2+3a
（3）解： ÷
1−a a2−2a+1
a+3 a(a+3)
= ÷
1−a (a−1) 2
a+3 (a−1) 2
= ⋅
1−a a(a+3)
1−a
= ；
a
( 2x ) x2−x
（4）解： −1 ÷
x+1 x2+2x+1
2x−x−1 x(x−1)
= ÷
x+1 (x+1) 2
x−1 (x+1) 2
= ⋅
x+1 x(x−1)x+1
= ．
x
17．（4分）（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）解下列分式方程：
x−2 16
（1） −1= ；
x+2 x2−4
1 1 1 1 1
（2） + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
【思路点拨】
此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键：
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1并检验即可求得方程的解．
（2）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键
在于充分利用运算规律计算．
【解题过程】
解：（1）去分母，得(x−2) 2−(x2−4)=16，
去括号，得x2−4x+4−x2+4=16，
移项，得−4x=16−4−4，
合并同类项，得−4x=8，
系数化为1，得x=−2，
检验：当x=−2时，(x+2)(x−2)=0，
∴分式方程无解．
1 1 1 1 1
（2） + + + =
3x 15x 35x 63x x+1
1 (1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 3 15 35 63 x+1
1 ( 1 1 1 1 ) 1
⋅ + + + = ，
x 1×3 3×5 5×7 7×9 x+1
1 ( 1 1 1 1 1 1 1) 1
1− + − + − + − = ，
2x 3 3 5 5 7 7 9 x+1
1 ( 1) 1
1− = ，
2x 9 x+1
1 8 1
⋅ = ，
2x 9 x+1
4 1
= ，
9x x+19x=4x+4，
5x=4，
4
x= ，
5
4
检验：x= 是原分式方程的解，
5
4
∴原方程的解为x= ．
5
( 8 ) a2+2a+1 a
18．（4分）（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值： +a−3 ÷ − ，
a+3 a+3 a+1
{a−1≤−2
)
其中a为不等式组 a 1 的整数解．
−2≤ −
2 4
【思路点拨】
先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解
一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定a值，最后代入求解即可．
【解题过程】
( 8 ) a2+2a+1 a
解： +a−3 ÷ −
a+3 a+3 a+1
8+(a−3)(a+3) (a+1) 2 a
= ÷ −
a+3 a+3 a+1
(a+1)(a−1) a+3 a
= × −
a+3 (a+1) 2 a+1
a−1 a
= −
a+1 a+1
1
=− ；
a+1
{a−1≤−2
)
a 1 ，
−2≤ −
2 4
解a−1≤−2，得，a≤−1，
a 1
解−2≤ − ，得，a≥−3.5，
2 4
∴−3.5≤a≤−1，∴整式解为−3，−2，−1，
∵a+3≠0，a+1≠0，
∴a≠−3，a≠−1，
∴a=−2，
1
当a=−2时，原式 =− =1．
(−2)+1
19．（6分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天
比原计划多生产50个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务：工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线
共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总
数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【思路点拨】
（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产
24000 24000+300
(24000+300)个零件所用的时间”可列方程 = ，解出x即为原计划每天生产的零件个
x x+50
24000
数，再代入 即可求得规定天数；
x
（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“(5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生
4000
产的零件个数)×(规定天数−2)=零件总数24000个”可列方程[5×20×(1+20%)× +4000]
y
×(10−2)=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数．
【解题过程】
（1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得，
24000 24000+300
= ，
x x+50
解得x=4000，
经检验，x=4000是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷4000=6(天)．
答：原计划每天生产零件4000个，规定的天数是6天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，4000
[5×20×(1+20%)× +4000] ×(6−2)=24000,
y
解得，y=240．
经检验，y=240是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为240人．
a2−1 ( a )
20．（6分）（23-24八年级下·福建泉州·期中）若 A= ⋅ 1− .
b+1 a+1
（1）化简A；
（2）若 b=a+2，且 b≥2，求A的最小值；
6b+4
（3）若a， b为正整数， 且 B= ，当A，B均为正整数时，求a−b的值．
2a+3
【思路点拨】
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
4
（2）把b=a+2代入A，得到A=1− ，再根据b≥2得到a+3≥3，然后即可求解；
a+3
（3）由题意可得A·B<3，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解．
【解题过程】
(a+1)(a−1) 1
（1）解：原式= ⋅
b+1 a+1
a−1
=
b+1
a−1
（2）解：由（1）得：A=
b+1
a−1 a+3−4 4
把b=a+2代入得：A= = =1−
a+3 a+3 a+3
∵b≥2
∴a≥0
∴a+3≥3
4 4
∴ ≤
a+3 3
4 4 1
∴1− ≥1− =−
a+3 3 3
1
∴A的最小值为− ；
3
（3）∵A，B均为正整数a−1 6b+4 a−1 6b+6 a−1 6(b+1)
∴A·B= ⋅ < ⋅ = ⋅ =3
b+1 2a+3 b+1 2a−2 b+1 2(a−1)
当A·B=1时，
a−1 11
{ =1 ) { a= )
b+1 4
，解得：
6b+4 3
=1 b=
2a+3 4
当A·B=2时
a−1 a−1
{
b+1
=1 ) {
b+1
=2 )
{a=7)
{a=8
)
或 ，解得： 或 5
6b+4 6b+4 b=5 b=
=2 =1 2
2a+3 2a+3
经检验，是原方程的解
∵a， b为正整数，
{a=7)
∴
b=5
∴a−b=7−5=2
21．（6分）（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察：
1 1
同学们，在学习中，你会发现“x+ ”与“x− ”有着紧密的联系，请你认真观察等式：
x x
( x+ 1) 2 =x2+2+ 1 ， ( x− 1) 2 =x2−2+ 1 ．
x x2 x x2
用数学的思维思考并解决如下问题：
( 1) 2 ( 1) 2
（1）填空： a+ − a− =______；
a a
（2）计算：
( 1) 2 1
①若 a+ =20，求a− 的值；
a a
1
②若a2+a−1=0，求a+ 的值；
a
|1) |1)
③已知 −a=1，求 +a的值．
a a
【思路点拨】
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
(a±b) 2=a2±2ab+b2
（1）根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；
( 1) 2 1
（2）①先利用完全平方公式变形求出 a− =16，然后求出a− 的值即可；
a a
1 ( 1) 2
②先将a2+a−1=0两边都除以a，得a− =−1，然后求出 a+ =5，再求出结果即可；
a a
1 1
③分两种情况：当 >0时，当 <0时，求出结果即可．
a a
【解题过程】
( 1) 2 ( 1) 2
（1）解： a+ − a−
a a
=a2+2+ 1 − ( a2−2+ 1 )
a2 a2
1 1
=a2+2+ −a2+2+
a2 a2
=4；
故答案为：4．
( 1) 2 ( 1) 2
（2）解：①∵ a− = a+ −4=20−4=16，
a a
1
∴a− =±4．
a
1
②将a2+a−1=0两边都除以a，得a− =−1．
a
∴ ( a+ 1) 2 = ( a− 1) 2 +4=(−1) 2+4=5，
a a
1
∴a+ =±❑√5．
a
1 |1) 1 1
③当 >0时，此时a>0，则 −a= −a=1，得a− =−1，
a a a a
∵ ( a+ 1) 2 = ( a− 1) 2 +4=(−1) 2+4=5，
a a
1
∴a+ =±❑√5．
a
∵a>0，1
∴a+ =❑√5；
a
|1) 1
∴ +a= +a=❑√5，
a a
1 |1) 1 1
当 <0时，此时a<0，则 −a=− −a=1，得a+ =−1，
a a a a
∵ ( a− 1) 2 = ( a+ 1) 2 −4=(−1) 2−4=−3<0，故舍去．
a a
|1)
综上， +a的值为❑√5．
a
22．（8分）（23-24八年级下·江苏盐城·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变
甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度．
b
（1）若a克糖水中含b克糖（a>b>0），则该糖水的甜度为 ，若再加入m克（m>0）糖，此时糖水的
a
甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示）
请用分式的相关知识验证所得不等式；
【数学思考】（2）若b>a>0，m>0，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子．
【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为v 、v ，水
1 2
流速度为v (v >v >v >0)，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为t 、t ，请
0 1 2 0 1 2
利用（1）（2）中探究的结论，比较t 、t 的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由．
1 2
【思路点拨】
b+m b
（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较 与 的大小即可；
a+m a
b+m b
（2）利用作差法比较 与 的大小即可；
a+m a
（3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可．
【解题过程】
b
解：（1）∵a克糖水中含b克糖（a>b>0），则该糖水的甜度为 ，
a
b+m
∴再加入m克（m>0）糖，此时糖水的甜度为 ，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．
a+mb+m b
∵ −
a+m a
ab+am ab+bm
= −
a(a+m) a(a+m)
m(a−b)
= ，
a(a+m)
∵a>b>0，m>0，
∴a−b>0，m(a−b)>0，a(a+m)>0，
m(a−b)
∴ >0，
a(a+m)
b+m b
∴ > ，
a+m a
b+m b
∴由此我们可以得到一个不等式 > ，
a+m a
b b+m b
故答案为： ， > ；
a a+m a
b+m b
（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为： < ，理由如下：
a+m a
b+m b
∵ −
a+m a
ab+am ab+bm
= −
a(a+m) a(a+m)
m(a−b)
= ，
a(a+m)
∵b>a>0，m>0，
∴a−b<0，m(a−b)<0，a(a+m)>0，
m(a−b)
∴ <0，
a(a+m)
b+m b
∴ < ；
a+m a
（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，
∵v (v >v >v >0)，
0 1 2 0
∴v −v >0,v −v >0，
1 0 2 0v +v v v −v v
由（2）得
1 0< 1
，
1 0> 1
，
v +v v v −v v
2 0 2 2 0 2
v +v v −v
∴
1 0< 1 0
，
v +v v −v
2 0 2 0
v +v v +v
∴ 1 0 < 2 0 ，
v −v v −v
1 0 2 0
v +v v +v
∵t = 1 0 ，t = 2 0 ，
1 v −v 2 v −v
1 0 2 0
∴t <t ，甲船先返回A港，
1 2
当甲、乙两船返航时为顺流航行时，
∵v (v >v >v >0)，
0 1 2 0
∴v −v >0,v −v >0，
1 0 2 0
v +v v v −v v
由（1）得
2 0> 2
，
2 0< 2
，
v +v v v −v v
1 0 1 1 0 1
v +v v −v
∴
2 0> 2 0
，
v +v v −v
1 0 1 0
v −v v −v
∴
1 0> 2 0
，
v +v v +v
1 0 2 0
v −v v −v
∵t = 1 0 ，t = 2 0 ，
1 v +v 2 v +v
1 0 2 0
∴t >t ，乙船先返回A港，
1 2
综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，t <t ，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，
1 2
t >t ，乙船先返回A港．
1 2
23．（8分）（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即
1 1 1 1 1
A−B=AB，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如 与 ．因为 − =
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2)1 1 1 1 1
， × = ．所以 是 的“可存异分式”．
x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+2 x+1
1 1
（1）填空：分式 ________分式 的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
x+2 x+3
x
（2）分式 的“可存异分式”是________；
x−4
2x+3
（3）已知分式 是分式A的“可存异分式”．
3x+3
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
n+2 m−1
（4）若关于x的分式 是关于x的分式 的“可存异分式”，求6n2+19n+534的值．
mx+m2+n mx+n2
【思路点拨】
（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可；
x x x
（2）设 的“可存异分式”为N，根据定义得出 −N= ×N，利用分式混合运算法则求出
x−4 x−4 x−4
N即可；
（3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可；
②根据整除的定义进行求解即可；
m−1 m−1
（4）设关于x的分式 的“可存异分式”为M，求出M= ，根据关于x的分式
mx+n2 m−1+mx+n2
n+2 m−1 { m−1=n+2 )
是关于x的分式 的“可存异分式”，得出 ，求出
mx+m2+n mx+n2 m−1+mx+n2=mx+m2+n
11
{ m= )
6
，代入求值即可．
7
n=−
6
【解题过程】
1 1 −1
（1）解：∵ − = ，
x+3 x+2 (x+2)(x+3)
1 1 1
× = ，
x+3 x+2 (x+2)(x+3)1 1 1 1
∴ − ≠ × ，
x+2 x+3 x+2 x+3
1 1
∴分式 不是分式 的“可存异分式”；
x+2 x+3
故答案为：不是．
x x x
（2）解：设 的“可存异分式”为N，则 −N= ×N，
x−4 x−4 x−4
( x ) x
∴ +1 N= ，
x−4 x−4
x ( x )
∴N= ÷ +1
x−4 x−4
x 2x−4
= ÷
x−4 x−4
x x−4
= ⋅
x−4 2x−4
x
= ．
2x−4
x
故答案为： ．
2x−4
2x+3
（3）①∵分式 是分式A的“可存异分式”，
3x+3
2x+3 2x+3
∴A− =A× ，
3x+3 3x+3
(
2x+3) 2x+3
∴A 1− = ，
3x+3 3x+3
2x+3
(
2x+3)
∴A= ÷ 1−
3x+3 3x+3
2x+3 3x+3−2x−3
= ÷
3x+3 3x+3
2x+3 3x+3
= ⋅
3x+3 x
2x+3
= ；
x
2x+3 3
②∵整数x使得分式A的值是正整数，A= =2+ ，
x x
∴x=1时，A=5，x=3时，A=3，
x=−3时，A=1，
∴分式A的值是1，3，5；
m−1
（4）解：设关于x的分式 的“可存异分式”为M，则：
mx+n2
m−1 m−1
−M= ×M，
mx+n2 mx+n2
m−1 ( m−1 )
∴M= ÷ +1
mx+n2 mx+n2
m−1 mx+n2
= ⋅
mx+n2 m−1+mx+n2
m−1
=
，
m−1+mx+n2
n+2 m−1
∵关于x的分式 是关于x的分式 的“可存异分式”，
mx+m2+n mx+n2
{ m−1=n+2 )
∴ ，
m−1+mx+n2=mx+m2+n
{ m−n=3 )
整理得： ，
(m+n)(m−n)+n−m+1=0
11
{ m= )
6
解得： ，
7
n=−
6
∴6n2+19n+534
( 7) 2 ( 7)
=6× − +19× − +534
6 6
49 133
= − +534
6 6
=520．
24．（9分）（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程
a 1 a
+1=b的解是x= 成立，那么我们就把实数a,b组成的数对[a,b)称为关于x的分式方程 +1=b的一
x a+b x
个“关联数对”．2 1 1
例如：a=2,b=−5使得关于x的分式方程 +1=−5的解是x= =− 成立，所以数对[2,−5)就是
x 2+(−5) 3
a
关于x的分式方程 +1=b的一个“关联数对”．
x
a
（1）判断下列数对是否为关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不
x
是，打“×”．
①[−1,−1)（ ）；②[3,4)（ ）；
③[2,−5)（ ）； ④[1,1)（ ）；
a
（2）若数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，求n的值；
x
a
（3）若数对[m−k,k)（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，且关于x的
x
−2m
方程kx−m+1= x有整数解，求整数m的值．
m+1
【思路点拨】
本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定
义是解题的关键．
（1）根据“关联数对”定义分别判断即可；
（2）根据“关联数对”定义计算即可；
（3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可．
【解题过程】
1 1
（1）解：当a=−1，b=−1时，分式方程为− +1=−1，x= ，
x 2
1 1 1
∵ =− ≠ ，
−1−1 2 2
a
∴①[−1,−1)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
3
当a=3，b=4时，分式方程为 +1=4，
x
解得：x=1，
1 1
∵ = ≠1，
3+4 7a
∴②[3,4)不是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
2
当a=2，b=−5时，分式方程为 +1=−5，
x
1
解得x=− ，
3
1 1
∵ =− ，
2+(−5) 3
a
∴③[2,−5)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
1
当a=1，b=1时，分式方程为 +1=1，
x
此方程无解，
a
∴④[1,1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”；
x
故答案为：①×；②×；③√；④×．
a
（2）解：∵数对[n❑ 2−3,−n❑ 2)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
x
n2−3
∴ +1=−n2，
x
3−n2
解得：x= ，
n2+1
1 3−n2
∴ = ，
n2−3−n2 n2+1
解得n=±❑√5；
a
（3）解：∵数对[m−k，k](m≠−1且m≠0，k≠1)是关于x的分式方程 +1=b的“关联数对”，
x
m−k 1 1
∴ +1=k，x= = ，
x m−k+k m
∴m(m−k)+1=k，
m2+1
解得k= ，
m+1
−2m
∵kx−m+1= x可化为k(m+1)x−m(m+1)+(m+1)=−2mx，
m+1∴(m+1) 2x=(m+1)(m−1)，
m−1 m+1−2 2
解得：x= = =1− ，
m+1 m+1 m+1
∵方程有整数解，
∴整数m+1=±1,±2，即m=0,−2,1,−3，
又m≠0，k≠1，
∴m+1≠m2+1
∴m=−2,−3．
