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专题11 功和功率及动能定理的理解与应用
目录
题型一 恒力做功的分析和计算................................................................................................................................1
题型二 变力做功的分析和计算................................................................................................................................2
类型1 微元法计算变力做功.............................................................................................................................4
类型2 图像法计算变力做功.............................................................................................................................4
类型3 等效转换法求变力做功.........................................................................................................................6
类型4 平均力法求变力做功.............................................................................................................................7
类型5 应用动能定理求变力做功.....................................................................................................................8
题型三 功率的分析和计算......................................................................................................................................10
类型1 功率的分析和计算...............................................................................................................................10
类型2 功率和功综合问题的分析和计算.......................................................................................................12
题型四 机车启动问题..............................................................................................................................................13
类型1 恒定功率启动.....................................................................................................................................14
类型2 恒加速度启动问题.............................................................................................................................15
题型五 动能定理的理解..........................................................................................................................................18
题型六 动能定理的基本应用..................................................................................................................................19
题型七 动能定理与图像的“数形结合”..............................................................................................................21
类型1 E－x(W－x)图像问题..........................................................................................................................22
k
类型2 F－x图像与动能定理的结合..............................................................................................................23
类型3 其他图像与动能定理的结合...............................................................................................................24
题型八 动能定理在多过程、往复运动问题中的应用..........................................................................................26
类型1 运用动能定理解决多过程问题.........................................................................................................27
类型2 动能定理在往复运动问题中的应用.................................................................................................28题型一 恒力做功的分析和计算
【解题指导】1．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理计算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F ，再用W ＝F lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的
合 合 合
情况。
方法二：先求各个力做的功W、W、W…，再应用W ＝W＋W＋W＋…求合力做的功。
1 2 3 合 1 2 3
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
【例1】质量为1kg的物块仅在水平恒力F作用下由静止沿水平方向做加速运动，已知物
块从静止开始运动了距离L后的4s内前进了16m，且物块从静止开始运动了距离9L后的
4s内前进了32m，则下列说法正确的是（ ）
A．距离L为4m
B．物块从静止开始运动距离9L时，力F对其做的功为18J
C．物块从静止开始运动距离4L时，动量大小为
D．物块从静止开始运动距离4L后的6s末的动能为60J
【变式演练1】如图所示，倾角为 的斜面固定在水平桌面上，用平行斜面向上的推力 将位于斜面底端的滑块推到斜面顶端，推力 做的功至少为 。已知物块与斜面间的
动摩擦因数为 ， ， ，若用水平向左的推力 将物块推到顶
端，推力 做的功至少为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】一质点在恒力F的作用下做直线运动，前一半路程从静止开始在粗糙水平
面上运动，后一半路程进入光滑水平面继续运动，两阶段末速度分别为v、v，所用时间
1 2
分别为t、t，恒力F的冲量分别为I、I，恒力F做的功分别为W、W，则（ ）
1 2 1 2 1 2
A． B． C． D．W = W
2 1
【变式演练3】某人（视为质点）在空乘逃生演练时，从倾斜滑垫上端A点由静止滑下，
经过转折点B后进入水平滑垫，最后停在水平滑垫上的C点，A点在水平地面上的射影为
点，该过程简化示意图如图所示。已知人与倾斜滑垫和水平滑垫间的动摩擦因数均为 ，
、B两点间的距离为 ，B、 两点间的距离为 ，人的质量为 ，重力加速度大小为
，不计人通过转折点B时的机械能损失，下列说法正确的是（ ）A．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量大于
B．人与倾斜滑垫间因摩擦产生的热量为
C．人从A点运动到 点的过程中克服摩擦力做的功为
D．因为倾斜滑垫的倾角未知，所以不能求出人从A点运动到C点的过程中克服摩擦力
做的功
题型二 变力做功的分析和计算
【解题指导】求变力做功的五种方法
方法 以例说法
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩
擦力做功W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f
等效
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝
转换法
F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线
0
与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x
0
平均
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式
值法
得W＝·Δx
应用动
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
能定理 F
W －mgL(1－cos θ)＝0，得W ＝mgL(1－cos θ)
F F类型1 微元法计算变力做功
【例1】水平桌面上，长6m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质
量m=2.0kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运
动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数
μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是
（ ）
A．拉力F对小球做的功为16π（J） B．拉力F对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J） D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【变式演练1】过去人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。假设驴拉磨可以
看成做匀速圆周运动，示意图如图乙所示，驴对磨杆末端的拉力 ，拉力沿圆周切
线方向，磨杆的半径 ，驴拉磨转动一周的时间为7s， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．磨杆上各点的线速度均相等 B．驴转动一周拉力所做的功为1680J
C．驴转动一周拉力的平均功率为480W D．磨杆末端的线速度大小为0.3m/s【变式演练2】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设
在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是（
）
A．重力做功为0 B．悬线的拉力做功为mgL
C．空气阻力做功为 D．摆球克服空气阻力做功为fL
类型2 图像法计算变力做功
【例2】如图甲所示，一物块放置在水平台面上，在水平推力F的作用下，物块从坐标原
点O由静止开始沿x轴正方向运动，F与物块的位置坐标x的关系如图乙所示。物块在
处从平台飞出，同时撤去F，物块恰好由P点沿其切线方向进入竖直圆轨道，随后
恰能从轨道最高点M飞出。已知物块质量 ，物块与水平台面间的动摩擦因数为
，轨道圆心为O，半径为 ，MN为竖直直径， ，重力加速度
，不计空气阻力。求：
（1）水平推力F做的功；
（2）物块运动到P点时的速度大小；
（3）物块在圆轨道上运动时摩擦力做的功。【变式演练1】木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸击对铁钉做功相同。已知钉子所
受阻力与其进入木梁中的深度成正比，木匠砸击4次，就把一枚长为 的钉子全部砸进木
梁，那么他第1锤将铁钉砸进木梁的深度是（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】放在粗糙水平地面上一物体受到水平拉力的作用，在0~6 s内其速度与时间
的关系图象和该拉力的功率与时间的关系图象分别如图甲、乙所示。下列说法中正确的是
（ ）
A．0~6 s内拉力做的功为140 J
B．拉力在0~6 s内做的功与0~2 s内拉力做的功相等
C．物体质量为0.8kg
D．物体在0~2 s内所受的拉力为6 N
类型3 等效转换法求变力做功
【例3】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑
轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W 和W，图中AB＝BC，则 ( )
1 2
A．W>W
1 2
B．W＜W
1 2
C．W＝W
1 2
D．无法确定W 和W 的大小关系
1 2
【变式演练1】如图所示，边长为 、重力为 的均匀正方形薄金属片 ，悬挂在
处的水平光滑轴上，若施力使其 边沿竖直方向，则此力至少做功（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练2】如图所示，某人用定滑轮提升质量为 的重物，人拉着绳从滑轮正下方 高
的 处缓慢走到 处，此时绳与竖直方向成 角，重力加速度为 ，不计绳的质量以及绳
与滑轮间的摩擦。则此过程中人对重物所做的功 是（ ）A． B．
C． D．
类型4 平均力法求变力做功
【例4】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，一轻质弹簧下端固定在斜面
底端挡板上，上端与质量为1kg的小滑块A相连，A上叠放另一个质量为2kg的小滑块B，
弹簧的劲度系数为k=50N/m，初始时系统处于静止状态。现用沿斜面向上的拉力F作用在
滑块B上，使B开始沿斜面向上做加速度大小为2m/s2的匀加速直线运动。重力加速度大小
为10m/s2，不计空气阻力。从开始运动到A、B分离瞬间，拉力F做功为（ ）
A．1.76J B．1.6J C．1.4J D．1.12J
【变式演练1】某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为
（k， 已知），石头沿竖直方向做直线运动，当 时，石头陷入淤泥过程中克服阻力
做的功为（ ）
A． B． C． D．【变式演练2】静止于水平地面上质量为 的物体，在水平拉力 （式中F为力
的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m）作用下，沿水平方向移动了
。已知重力加速度 ，则在物体移动 的过程中拉力所做的功为（ ）
A． B． C． D．
类型5 应用动能定理求变力做功
在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，可用动能定理，W
＋W ＝mv2－mv2，物体初、末速度已知，恒力做功W 可根据功的公式求出，这样就可
变 恒 2 1 恒
以得到W ＝mv2－mv2－W ，就可以求变力做的功了．
变 2 1 恒
【例5】图1所示是一种叫“旋转飞椅”的游乐项目，将其结构简化为图2所示的模型。长
的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其
中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转
轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角 。将游客和座椅看作一个质点，质量
。不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度 。（ ，
）
（1）当转盘匀速转动时，求游客和座椅做圆周运动
a．向心力的大小 ；
b．线速度的大小v。
（2）求游客由静止到随转盘匀速转动的过程中，钢绳对游客和座椅做的功W。【变式演练1】是利用人体全身的力量，将一定重量的铅球从肩上用手臂推出的田径运动
项目之一。运动员某次投掷铅球时，先将质量为4kg的铅球从地面上捡起，然后将铅球抛
出，铅球出手时距离水平地面的高度为2.25m，出手时的速度方向斜向上与水平面夹角为
37°，铅球落地点到抛出点的水平距离为12m，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，不计空气阻力。则运动员从地面上捡起铅球到将铅球抛出的过程中，运动员对
铅球做的功为（ ）
A．200J B．290J C．110J D．90J
【变式演练2】如图所示，一质量为 的质点在半径为 的半球形容器中（容器固定）由
静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点 时，它对容器的正压力为 。重力加速度为
，则质点自A滑到 的过程中，摩擦力所做的功为（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练3】如图，轻质弹簧上端固定在O点，下端与质量为m的圆环相连，圆环套在
水平粗糙的固定细杆上。现在将圆环从A点静止释放，当圆环运动到B点时弹簧竖直且处
于原长，到达C点时速度减为零；在C点使得圆环获得一个沿杆向左的速度v，其恰好能
回到A点。弹簧始终在弹性限度之内，下列说法正确的是（ ）A．从A到C的过程中，圆环经过B点速度最大
B．从C回到A的过程中，弹力最终做正功
C．从A到C克服摩擦力做功为
D．从A到C弹簧弹性势能减少了
题型三 功率的分析和计算
1．公式P＝和P＝Fv的区别
P＝是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式。
2．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。
3．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝Fv ，其中v 为物体的速度v在力F方向上的分速度。
F F
(3)P＝Fv，其中F 为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
v v
类型1 功率的分析和计算
【例1】一只苹果从楼上某一高度自由下落，苹果在空中依次经过三个完全相同的窗户1、
2、3。图中直线为苹果在空中的运动轨迹。若不计空气阻力的影响，下列说法正确的是（）
A．苹果经过第三个窗户所用的时间最长
B．苹果经过第三个窗户重力做的功最多
C．苹果经过第一个窗户重力做功的平均功率最小
D．苹果经过第一个窗户下端时，重力做功的瞬时功率最大
【变式演练1】一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为 ，喷水速度约为10m/s，水
的密度为 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为（ ）
A．10W B．20W C．100W D．200W
【变式演练2】如图所示，倾角为37º、长度为4m的粗糙固定斜面，一质量为1kg的小物
块从斜面顶端由静止开始下滑至斜面底端，小物块与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速
度g=10m/s2，则（ ）
A．整个过程中重力做功24J
B．整个过程中合外力做功24J
C．整个过程中重力做功的平均功率是24WD．小物块滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是24W
【变式演练2】在距离地面4m的某楼层的墙外侧，以1m/s的速度竖直向上抛出一个质量
为50g的小石子（小石子可看成质点），忽略空气阻力，g取 。求：
（1）石子落地时速度大小v；
（2）石子经过多长时间t落地；
（3）从抛出到落地这段时间内重力做功的平均功率P。
【变式演练3】一质量为0.5kg的质点静止于光滑水平面上，从 时刻开始，受到水平外
力F作用，如图所示。下列判断正确的是（ ）
A．0~2s内外力的平均功率是18W
B．第2s内外力所做的功是36J
C．第4s末外力的瞬时功率最大
D．第1s末与第3s末外力的瞬时功率之比为9:7
类型2 功率和功综合问题的分析和计算
【例2】(多选)运动场上，某同学将篮球竖直向上抛出，到最高点又竖直落回到抛出点，若
篮球所受的空气阻力大小恒定，下列判断正确的是( )
A．篮球上升过程中的加速度大于下降过程中的加速度
B．篮球上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
C．篮球下落到抛出点的速度大小大于篮球抛出时向上的初速度大小
D．篮球上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率【变式演练1】套圈是我国民众喜爱的传统游戏，小孩和大人在同一条竖直线上的不同高
度分别水平抛出相同的圆环，结果恰好都套中前方同一物体，不计空气阻力。若大人和小
孩抛出圆环的高度之比为 ，圆环及被套物体均可视为质点，则下列说法正确的是（
）
A．大人和小孩抛出的圆环初速度之比为1︰
B．大人和小孩抛出的圆环在空中飞行的时间之比为
C．大人和小孩抛出的圆环落地时重力的瞬时功率之比为1︰2
D．大人和小孩抛出的圆环在空中运动过程中动量的变化量之比为1︰
【变式演练2】如图甲质量 的物体在拉力F作用下由静止开始沿着水平路面加速运
动，5s后撤去拉力，物体运动的v-t图像如图乙所示，不计空气阻力， ，求：
（1）摩擦力f，拉力F，分别是多少N？
（2）撤去拉力后的运动过程中，摩擦力对物体做的功？
（3）加速过程中物体所受拉力的平均功率？题型四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像
过程
a＝不变 F不变⇒P＝Fv↑直到P
v↑⇒F＝↓ a＝↓ ⇒
⇒ ＝P ＝Fv
OA 分析 额 1
段 运动
加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，持续时间t＝
0
性质
过程
F＝F
阻
a＝0⇒v
m
＝ v↑⇒F＝↓ a＝↓
⇒ ⇒
AB 分析
段 运动
以v 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
m
性质
F＝F
阻
a＝0⇒以v
m
＝做匀速直
BC段 ⇒
线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v ＝.
m
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v
＝<v ＝.
m
(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F x＝ΔE.此式经常
阻 k
用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．类型1 恒定功率启动
【例1】我国新能源汽车领先全球，2024年3月，小米第一台汽车XiaomiSU7正式上市，
其技术领先且价格符合大众消费，一辆小米新能源汽车在平直公路上行驶，汽车的质量为
，发动机的额定功率为 ，设汽车在行驶过程中受到的阻力大小
恒为 。如果汽车从静止开始以额定功率启动，则（ ）
A．汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后做加速度减小的加速运动
B．汽车在行驶过程中所能达到的最大速度
C．若汽车以不同的恒定功率启动所能达到的最大速度相同
D．若汽车到达最大速度的时间为t，则这段时间内的位移
【变式演练1】如图甲所示，一物体置于倾角 的足够长光滑斜面上，电动机通过跨
过定滑轮的轻绳牵引物体沿斜面上升。启动电动机后，在 时间内物体运动的 图
像如图乙所示，其中除 时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线， 后电动机
的输出功率保持不变。已知物体的质量为 ，不计一切阻力，重力加速度g取 。
则（ ）A． 内电动机的输出功率不变
B． 内电动机牵引力逐渐变大
C． 内电动机牵引力大小为
D． 后电动机的输出功率为
【变式演练2】高铁已成为中国的“国家名片”，截至2022年末，全国高速铁路营业里程
4.2万千米，位居世界第一。如图所示，一列高铁列车的质量为m，额定功率为 ，列车以
额定功率 在平直轨道上从静止开始运动，经时间t达到该功率下的最大速度，设高铁列
车行驶过程所受到的阻力为 ，且保持不变．则（ ）
A．列车在时间t内可能做匀加速直线运动
B．如果改为以恒定牵引力启动，则列车达到最大速度经历的时间一定大于t
C．列车达到的最大速度大小为D．列车在时间t内牵引力做功为
【变式演练3】比亚迪E-SEED概念车是基于人类未来发展而倾力打造的一款全新型纯电动
汽车，其中“E-SEED”五个英文字母分别代表：电动、运动、体验、环保和装置，蕴含着比
亚迪绿色环保的设计理念。为了获取该款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽
车由静止沿光滑平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，
额定功率为 ，汽车在行驶过程中所受阻力恒为车重的K倍，在 时刻汽车刚好获得最大
速度。则下列说法正确的是（ ）
A．在t~t 时间内汽车做匀速直线运动
1 2
B．在0~t 时间内汽车平均功率为
1
C．在0~t 时间内汽车发动机所做的功为
2
D．在t 时刻汽车的运动速度为
2
类型2 恒加速度启动问题
【例2】如图1所示，在倾角 的斜面顶端平台固定一电动机，现工人师傅将质量
的货物放置在斜面底端，开动电动机使其保持功率不变，货物在绳子的拉力作用
下从静止开始沿斜面向上运动，经过 后货物开始做匀速直线运动，在 时，突然
电动机转轮卡壳不动（绳子的拉力瞬间变为零），货物又向上运动一段时间后停在斜面上，货物运动的 图像如图2所示。已知重力加速度g取 ，下列说法正确的是
（ ）
A．货物与斜面之间的动摩擦因数为
B．电动机的额定功率为2000W
C．货物在斜面上一共前进了6m
D．当货物加速到1m/s时，其加速度大小为
【变式演练1】近年来，国产新能源汽车技术进步明显，比亚迪秦 搭载第五代DM
技术的混动“双引擎”小汽车在实测中，百公里油耗小于2.5L，综合续航里程超过
2300km，续航实现了巨幅提升，远超传统燃油车。若质量 的“双引擎”小汽车，
当行驶速度 时靠电动机输出动力；当行驶速度在 范围内
时靠汽油机输出动力，同时内部电池充电；当行驶速度 时汽油机和电动机同时
工作，这种汽车更节能环保。若该小汽车在一条平直的公路上由静止启动，汽车的牵引力
F随运动时间t变化的图像如图所示，若小汽车行驶过程中所受阻力恒为1250N。已知汽车
在 时刻第一次切换动力引擎，以后保持恒定功率行驶至第 时刻。下列判断正确的是（
）A． 阶段汽车的加速度为
B．汽车第一次切换动力引擎时刻
C．电动机输出的最大功率为90kW
D． 时刻后若要继续加速将是“双引擎”同时工作模式
【变式演练2】我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35
万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数
的关系图像。若汽车质量为 ，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒
定，最大车速为30m/s，则（ ）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为
D．汽车在车速为5m/s时，功率为【变式演练3】北京冬奥会期间奥运场馆和运动员村之间首次大规模使用氢能源汽车作为
主要交通工具。在一次测试中，某款质量 的氢能源汽车沿平直公路从静止开始做
直线运动，其 图像如图所示。汽车在 时间内做匀加速直线运动， 时刻的瞬时速
度为 ， 内汽车保持额定功率不变， 内汽车做匀速直线运动，最
大速度 ，汽车从 末开始关闭动力减速滑行， 时刻停止运动。已知汽车的额
定功率为 ，整个过程中汽车受到的阻力大小不变。
（1）求 和 为多少？
（2）求汽车在 内通过的距离x。
题型五 动能定理的理解
1．两个关系
(1)数量关系：合力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是
合力做的功。
(2)因果关系：合力做功是引起物体动能变化的原因。
2．标量性
动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题。当然动
能定理也就不存在分量的表达式。【例1】随着高铁时代的到来，人们出行也越来越方便，高铁列车在启动阶段的运动可看
作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列车的动能( )
A．与它所经历的时间成正比
B．与它的位移成正比
C．与它的速度成正比
D．与它的加速度成正比
【变式演练1】(多选)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．
电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由 v 增大到v 时，上升高度为
1 2
H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( )
A．对物体，动能定理的表达式为W＝mv2－mv2，其中W为支持力做的功
2 1
B．对物体，动能定理的表达式为W ＝0，其中W 为合力做的功
合 合
C．对物体，动能定理的表达式为W－mgH＝mv2－mv2，其中W为支持力做的功
2 1
D．对电梯，其所受的合力做功为Mv 2－Mv 2
2 1
【变式演练2】下列说法正确的有（ ）
A．若运动物体所受的合外力为零，则物体的动能一定保持不变
B．若运动物体所受的合外力不为零，则物体的动能一定发生变化
C．若运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零
D．若运动物体的动能发生变化，则该物体所受合外力一定不为零【变式演练3】关于动能定理，下列说法中正确的是（ ）
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．动能定理既适用于直线运动，又适用于曲线运动
C．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
D．动能定理既适用于恒力做功，又适用于变力做功
题型六 动能定理的基本应用
1．应用流程
2．注意事项
(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的
物体为参考系。
(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程
的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。
(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能
定理。
(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后
根据结果加以检验。
【例1】如图所示，运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上滑行，在不与其他冰
壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置，按比赛规则，冰壶投出后，可以用毛刷在其
滑行前方来回摩擦冰面，减小冰壶与冰面间的动摩擦因数以调节冰壶的运动，将冰壶的运
动简化为直线运动且不考虑冰壶的转动．已知未摩擦冰面时，冰壶与冰面间的动摩擦因数为0.02.重力加速度g取10 m/s2.
(1)运动员以3.6 m/s的水平速度将冰壶投出，未摩擦冰面的情况下，求冰壶能在冰面上滑行
的最大距离s；
(2)设未摩擦冰面时，冰壶与冰面间的动摩擦因数为 μ，摩擦冰面后二者之间的动摩擦因数
变为kμ，其中0<k<1，若运动员仍以某一水平速度将冰壶投出，设运动过程中，冰壶运动
中累计滑过被毛刷摩擦过的冰面长度为L，求与未摩擦冰面相比，冰壶运动可以多滑行的
距离Δs.
【变式演练1】质量为m的物体，在水平面上以初速度v 开始滑动，经距离d时，速度减
0
为 。物体与水平面各处的动摩擦因数相同，则（ ）
A．物体与水平面间的动摩擦因数为
B．克服摩擦力做的功为
C．物体再前进 便停止
D．要使物体前进总距离为2d，其初速度应为
【变式演练2】清沙是夏季海滩非常流行的娱乐项目。如图所示某滑沙项目滑道倾角30°，
人和装备总质量为50kg的滑沙爱好者从距滑道底端高12m的起点由静止开始下滑，下滑过
程中所受阻力大小为重力的 ，g取 。求：
（1）下滑过程中阻力对滑沙爱好者做功 ；
（2）滑沙爱好者到达滑道底端时的速度大小v。【变式演练3】桌面，两物块质量分别为 、 且 ，则（ ）
A．物块A惯性大，滑行距离大
B．物块B阻力小，滑行距离大
C．两物块滑行的时间相等
D．两物块克服阻力做功相等
题型七 动能定理与图像的“数形结合”
1．解决图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义．
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式．
(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、
截距、图线的交点、图与坐标轴围成的面积等所表示的物理意义，分析解答问题，或者利
用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量．
2．图像所围“面积”和图像斜率的含义类型1 E －x(W－x)图像问题
k
【例1】如图甲所示，一质量为1kg的滑块（视为质点）以某一初速度冲上足够长的固定
斜面，以斜面底端为位移的起点，滑块在斜面上运动的动能 随位移x变化的关系如图乙
所示。取重力加速度大小 。下列说法正确的是（ ）
A．斜面倾角的正弦值为0.5
B．滑块上滑过程克服摩擦力做的功为20J
C．滑块与斜面间的动摩擦因数为0.25
D．滑块返回斜面底端时，滑块所受重力的功率为12W
【变式演练】如图1所示，水平面上一质量为2kg的木箱在水平向右的力 的作用下向右移动4m的距离后，在另一水平力 作用下，又匀速运动4m的距离到达斜面底端，
撤去外力，木箱冲上倾角为37°的斜面，斜面和水平面间通过光滑小圆弧轨道（未画出）
连接。在木箱从静止开始运动到斜面上最高点的过程中，其动能随运动路程变化的图像如
图2所示。已知木箱与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取 ，
。下列说法正确的是（ ）
A． 的大小为4N
B．木箱在斜面上能到达的最大高度为1.8m
C．木箱返回水平面后向左运动的最大距离为1.8m
D．整个运动过程中，木箱克服摩擦力做的功为36J
类型2 F－x图像与动能定理的结合
【例2】如图甲所示，在倾角 的光滑固定斜面上有一劲度系数 的轻质弹
簧，弹簧下端固定在垂直于斜面的挡板上，弹簧上端栓接一质量 的物体，初始时物
体处于静止状态。取 。
(1)求此时弹簧的形变量 ；
(2)现对物体施加沿斜面向上的拉力 ，拉力 的大小与物体的位移 的关系如图所示，设
斜面足够长；
①写出物体的速度 与位移 的关系式；②若物体位移为0.1 时撤去拉力 ，求此后物体沿斜面上滑的最大距离 。（结果保留
两位有效数字）
【变式演练1】如图1所示，一质量为0.4kg的小物体静止在水平台面上，在水平推力 的
作用下从坐标原点 开始沿 轴运动， 与物体坐标 的关系如图2所示。在 时撤去
力 ，同时物体从平台飞出。物体与水平台面间的动摩擦因数为 ，重力加速度 取
10m/s2，不计空气阻力。求：
（1） 时，物体的加速度大小 ；
（2）从坐标原点到 处，水平推力所做的功 ；
（3）物体即将离开平台时力 的功率 。
【变式演练2】如图1所示，一轻弹簧竖直固定于水平桌面上，另一相同的弹簧下端与光
滑固定斜面底端的挡板相连，物体P、Q分别从两弹簧上端由静止释放，加速度a与弹簧
压缩量x的关系分别如图2中实线、虚线所示。则（ ）A．光滑斜面的倾角为37°
B．P、Q向下运动达到最大速度时两弹簧的压缩量之比为
C．P、Q的质量之比为
D．P、Q向下运动过程中的最大速度之比为
类型3 其他图像与动能定理的结合
【例3】如图1所示，一倾角 的斜面体固定在水平地面上（斜面足够长、带一定滑
轮），物块A放在斜面上的O点，用跨过轻质定滑轮的轻绳与物块B连接，B离滑轮足够
远。A、B的质量分别为 、 。运动过程中A与O点的距离设为x，A与
斜面间的动摩擦因数μ与x的关系如图2。重力加速度g取 ，现将A、B由静止释放。
求：
（1）当x为多大时物块A的速度最大；
（2）物块A在斜面上滑行的最大位移 。【例4】如图甲所示，长度 的水平传送带 顺时针匀速转动，其右端与一半径
的竖直光滑半圆弧轨道相切于Q点。质量为 的小物块以初速度
冲上传送带的左端P点，在传送带上向右运动后进入圆弧轨道。图乙给出在传
送带以不同速率运行时，小物块第一次在圆弧轨道上所能到达的最大高度h与传送带的转
动速率 的关系，其中 段为直线， 段为曲线。小物块可视为质点，与传
送带间的动摩擦因数 ，重力加速度g取 。求：
（1） 时，小物块第一次到达Q点的速度大小；
（2）乙图中B点的坐标 ；
（3）乙图中D点对应的 ；
【变式演练1】某实验小组对两辆新能源汽车在同一水平直轨道上进行了对比实验，其速
度大小v随时间t的变化关系如图所示，已知两汽车所受摩擦力大小为其重力的k倍且恒定，B车实验中变速阶段加速度的大小相同，A车的质量为B车质量的1.5倍，汽车运动距离相
等，不计空气阻力。则（ ）
A．摩擦力做功之比等于
B．汽车运动时间之比等于
C．汽车牵引力所做的功之比等于
D．汽车输出的最大功率之比小于
【变式演练2】如图甲所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，其中斜面的长度为l，一
0
质量为m可视为质点的物块从静止开始由斜面体的顶端A滑到底端B，物块与斜面体之间
的动摩擦因数μ随下滑距离x的变化规律如图乙所示。重力加速度为g。则下列说法正确的
是（ ）
A．物块克服滑动摩擦力做的功为
B．物块克服滑动摩擦力做的功为
C．物块在B点的速度大小为
D．若物块在沿斜面体向上的外力作用下，由B点缓慢移动到A点，外力做功题型八 动能定理在多过程、往复运动问题中的应用
1．运用动能定理解决多过程问题，有两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功
情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理
各个击破．
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个
运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，
大大简化运算．
2．全过程列式时要注意
(1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关．
(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积．
类型1 运用动能定理解决多过程问题
【例1】某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ=37°的光滑直轨道AB，半径R=1m的光
滑圆弧轨道BCD，长度L=1.25m、倾角为θ、动摩擦因数μ=0.75的直轨道DE和半径为
1
R、圆心角为θ的光滑圆弧管道EF组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平
面上紧靠着质量m=0.5kg的滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量
m=0.5kg的小物块a从轨道AB上高为h=0.8m处静止释放，经圆弧轨道BCD滑上轨道DE。
小物块a可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
（1）求小物块经过C点时，轨道对小物块弹力的大小；
（2）求小物块a在DE上经过的总路程s；
（3）若h=2.15m，小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数为μ=0.25，则滑块至少多长才能
2使小物块不脱离滑块？（小物块a运动到滑块b右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞）
【【变式演练1】一篮球质量为m＝0.60kg，一运动员使其从距地面高度为h=1.8m处由静
1
止自由落下，反弹高度为h=1.2m，若使篮球从距地面h=1.5m的高度由静止下落，并在开
2 3
始下落的同时运动员向下拍球，球落地后反弹的高度也为1.5m，该篮球每次与地面碰撞前
后的动能的比值K不变，重力加速度大小g取10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）比值K的大小；
（2）运动员拍球过程中对篮球所做的功。
【变式演练2】如图甲所示，一质量 的小物块，放置在光滑的水平台面上，在水平
推力F的作用下，物块从坐标原点O由静止开始沿x轴运动，F与物块的位置坐标x的关
系，如图乙所示。物块在 处从平台边缘A点飞出，同时撤去F，物块到达斜面顶端
B点时恰能沿斜面BC下滑，斜面的高度 ，倾角 ，小物块沿斜面运动到底
端C点后，立即无速度损失地滑上水平地面CD，随后小物块从D点冲上半径 的
光滑圆形轨道内侧。已知小物块与斜面BC间的动摩擦因数 ， ，
，重力加速度 ，不计空气阻力。则：
（1）小物块从A点飞出的速度为多少？
（2）若水平地面CD光滑，圆形轨道最低点D对小物块的支持力大小为多少？
（3）若水平地面CD粗糙，且动摩擦因数与斜面BC相同。现要使小物块经过D点后不脱
离半圆形轨道，则CD段距离的范围为多少？类型2 动能定理在往复运动问题中的应用
1．往复运动问题：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，
描述运动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定．
2．解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，
运用牛顿运动定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的
初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化．
【例2】如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道 的下端与光滑的圆弧轨道 相
切于B，C是最低点，圆心角 ，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R，现有一个
质量为m可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，物体恰好到达斜面顶端
A处。已知 距离为 ，物体与斜面 之间的动摩擦因数 。重力加速度为g。
（取 ， ），求：
（1）物体第一次到达C点时的速度大小和受到的支持力大小；
（2）斜面 的长度L；
（3）若 可变，求 取不同值时，物块在斜面上滑行的路程s。【变式演练1】滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。
如图所示是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆
心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8m，一运动员从轨道
上的A点以3m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经
CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量
为60kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度分别为h和H，且 ， ，
g=10m/s2。求：
（1）运动员从A运动到达B点时的速度大小 和在空中飞行的时间 ；
（2）轨道CD段的动摩擦因数 、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力；
（3）通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时的速
度大小；如不能，则最后停在何处？
【变式演练2】如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道 组成，左侧为半径
的光滑圆弧轨道 ，轨道上端点B和圆心O的连线与水平方向的夹角a，下端点
与粗糙水平轨道 相切， 为倾角 的粗糙倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E
点处的挡板上。现有质量为 的小滑块P（视为质点）从空中的A点以
的初速度水平向左抛出，经过 后恰好从B点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道
运动到C点之后继续沿水平轨道 滑动，经过D点后沿倾斜轨道向上运动至F点（图中
未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知 ，滑块与轨道 、 间的动摩擦
因数为 ，各轨道均平滑连接，不计其余阻力， 。求：
（1） 连线与水平方向的夹角 的大小；（2）小滑块P到达与O点等高的 点时对轨道的压力；
（3）弹簧的弹性势能的最大值；
（4）试判断滑块返回时能否从B点离开，若能，求出飞出时对B点的压力大小；若不能，
判断滑块最后位于何处。
【变式演练3】如图所示，是一游戏装置的简化示意图，在同一竖直平面内的轨道
由四分之一光滑圆弧轨道 、粗糙的水平轨道 、光滑圆弧轨道 、粗糙
斜轨道 组成，圆弧 分别与直轨道 、 相切。斜轨道 的倾角 ，底
端 处有一弹性挡板。一质量 的滑块（比圆管内径稍小）从A点正上方的 点
无初速释放，滑块通过圆弧的最高点 时对轨道没有任何作用力，滑块运动到 点（
点为四分之一圆弧轨道 的圆心， 点为圆弧轨道 的圆心，且两圆心 和 在同
一水平高度）碰撞弹性挡板后被等速反弹。已知滑块与水平轨道 和斜轨道 间的动
摩擦因数均为 ，两圆弧轨道的半径均为 ，重力加速度 ，
， ，不计空气阻力，滑块可视为质点。求：
（1）滑块经过 点时的速度大小 ；
（2）滑块经过 点时，圆弧轨道对滑块的支持力大小 ；
（3）滑块释放点 与 面间的高度差 ；
（4）滑块在斜轨道 上运动的总路程s。【变式演练4】如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直 圆轨道相切于B点，右
端与倾角为30°的光滑斜面轨道在C点平滑连接（即物体经过C点时速度的大小不变），
斜面顶端固定一轻质弹簧，质量为2kg的滑块（可视为质点）从圆弧轨道的A点由静止释
放（AO半径与竖直方向夹角为60°），经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹
簧压缩至D点。已知光滑圆轨道的半径R=1m，水平轨道BC长为0.5m，滑块与轨道BC间
的动摩擦因数 ，光滑斜面轨道上CD长为0.6m， 取 ，求：
（1）滑块第一次经过圆轨道上B点时对轨道的压力大小 ；
（2）整个过程中弹簧具有最大的弹性势能 ；
（3）滑块在水平轨道BC上运动的总路程s和总时间 （结果可以保留根号）。
