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专题 03 功能与动量中的图像
目录
一.动能定理与图像结合问题的分析方法.........................................................................................................1
二.机车启动中的图像.......................................................................................................................................11
三.功能关系中的图像问题...............................................................................................................................20
四.a-x图像在功能关系中的应用.....................................................................................................................25
五.动量中的图像...............................................................................................................................................28
一.动能定理与图像结合问题的分析方法
(1)首先看清楚所给图像的种类(如v-t图像、F-x图像、E-x图像等)。
k
(2)挖掘图像的隐含条件——求出所需要的物理量，如由v-t图像所包围的“面积”求位移，由F-x图像所包
围的“面积”求功；由E-x图像的斜率求合外力等。
k
(3)分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。
(4)动能定理与图象结合问题
力学中四类图象所围“面积”的意义
【典例分析1】（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）质量相等的A、B两物体静止在同
一水平面上，分别受水平拉力F、F 的作用从同一位置开始运动，经过时间t和3t分别撤去F 和F，如图
1 2 1 2
是两物体运动的 图像，下列说法正确的是（ ）A．物体A、B的位移大小之比是4∶5
B．在2t~3t之间的某一时刻B能追上A
C．F 和F 对A、B两物体的冲量之比是4∶5
1 2
D．F 和F 对A、B两物体的做功之比是5∶3
1 2
【答案】C
【详解】A．根据 图像与横轴围成的面积表示位移，可知物体A、B的位移大小分别为
，
则有
故A错误；
B．根据 图像可知，一开始物体A的速度大于B的速度，且 内物体A的位移大于物体B的位移，
可知在 时刻，物体A仍在物体B的前方，故B错误；
C．根据 图像的斜率表示加速度，可知两物体减速过程的加速度大小相等，由于两物体的质量相等，
则两物体受到的摩擦力相等，对物体A、B分别由动量定理可得
，
可得F 和F 对A、B两物体的冲量之比为
1 2
故C正确；
D．对物体A、B分别由动能定理可得
，
可得F 和F 对A、B两物体的做功之比为
1 2
故D错误。
故选C。
【典例分析2】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）质量为m的物体甲从零时刻起中静止开始所
受的合力F随时间t的关系图像如图甲所示，质量为m的物体乙零时刻从坐标原点处从静止开始所受的合
力F随位移x的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）A． 关系图像与横轴所围成的面积表示物体速度的变化量
B． 时刻物体甲的动能为
C． 关系图像与横轴所周成的面积表示物体速度的变化量
D．物体乙在坐标 处，动量为
【答案】D
【详解】A． 关系图像与横轴所围成的面积表示物体受到的冲量，即
故A错误；
B．物体在 的过程根据动量定理
解得
所以 时刻物体甲的动能为
故B错误；
C． 关系图像与横轴所周成的面积表示物体在这段距离内力F做的功，即
故C错误；D．物体从0至 处的过程根据动能定理
解得
所以物体乙在坐标 处，动量为
故D正确。故选D。
【典例分析3】．（2024·四川南充·统考一模）质量为2kg的物体与水平地面的动摩擦因数为0.1，在水平
拉力F的作用下由静止开始运动，拉力F做的功W和物体的位移s之间的关系如图所示，重力加速度
，物体从静止到位移为9m的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．物体一直做匀加速直线运动 B．拉力F的平均功率为6.75W
C．摩擦力做的功为18J D．拉力F的最大瞬时功率为12W
【答案】B
【详解】A．根据
可得 图像的斜率表示拉力F，由图可知在 处，水平拉力F发生改变，根据牛顿第二定律
在 处，加速度发生了改变，故A错误；
B．由图像可得，当位移为9m时，拉力F做的功为27J，物体从开始运动到 处，做匀加速直线运动，
此时拉力F为5N，则解得
根据
得加速度时间为
末速度为
物体从 到 过程中，物拉力为2N，则
即物体从 到 做匀速直线运动，运动的时间为
拉力F作用的总时间为
拉力F的平均功率为
故B正确；
C．摩擦力做的功为
故C错误；
D．根据
可得，当物体速度最大和拉力最大时，功率最大，即故D错误。
故选B。
【典例分析4】（2023·四川德阳·统考一模）随着技术的不断进步和成本的不断降低，无人机快递物流将会
逐渐普及，无人机配送将在未来重塑物流行业。某次无人机载重测试，无人机在8个相同旋转叶片的带动
下竖直上升，其动能E 随位移x变化的关系如图所示。已知无人机及其载重总质量为m=10kg，重力加速
k
度大小为10m/s2，不计空气阻力，此过中无人机（ ）
A．0~5m加速阶段，每个叶片提供的升力大小为8N
B．5m~10m减速阶段，每个叶片提供的升力大小为6N
C．0~10m的上升过程中，无人机及其载重的机械能增加了320J
D．5m~10m的上升过程中，无人机受到的升力的平均功率为144W
【答案】D
【详解】A．根据 的图像可得，在0~5m加速阶段，由动能定理可得
即图像的斜率的大小表示合外力的大小，则由图像可得
设每个叶片提供的升力大小为 ，则由牛顿第二定律有
解得
故A错误；
B．5m~10m减速阶段，同理可知，图线斜率的绝对值表示合外力的大小，设此阶段升力的大小为 ，合外力为 ，则由牛顿第二定律有
解得
故B错误；
C．0~10m的上升过程中，无人机及其载重的机械能增加量等于升力所做的功，而在整个上升过程中，升
力做功为
则可得机械能的增加量
故C错误；
D．设5m~10m的上升过程中无人机的加速度大小为 ，则由牛顿第二定律有
解得
上升到5m时的速度设为 ，则
解得
5m~10m的上升过程中所用的时间为
5m~10m的上升过程中升力所做的功为
则该过程中无人机受到的升力的平均功率为
故D正确。故选D。
【典例分析5】（2023·云南·校联考模拟预测）跳台滑雪运动员在助滑段加速后，从起跳区a位置处水平飞
出，落在着陆区内的b点，不计空气阻力，如图所示。 、 、 、 分别表示运动员在空中的重力势能、
动能、机械能、重力的功率，用t表示运动员在空中的运动时间，则下列图像中可能正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A．运动员在空中做平抛运动，下落的高度为
以b为零势能点，则有
故A错误；
B．根据动能定理有可得
故B正确；
C．平抛过程中只受重力，故机械能守恒， 图线应为横线，故C错误；
D．运动员沿竖直方向上的速度为
则重力的功率
故D错误。
故选B。
【典例分析6】（2023下·浙江·高二校联考期末）一起重装置把静置于地面上的重物竖直向上提升的过程
中，功率随时间变化的P-t图像如图所示。在t=1s时，重物上升的速度达到最大速度的一半，在t=3s时，
达到最大速度 。在t=6s时，重物再次匀速上升，取 ，不计一切阻力。下列说法正确
的是（ ）
A．重物的质量为4kg
B．在t=1s时，重物加速度大小
C．0～6s时间内，重物上升的高度h=85m
D．在4～6s时间内，重物做加速度逐渐增大的减速运动
【答案】C
【详解】A．在t=3s时，重物达到最大速度 ，此时牵引力大小等于重力，则有解得
A错误；
B．在t=1s时，重物上升的速度达到最大速度的一半，此时的牵引力大小为
由牛顿第二定律可得
解得
B错误；
C．在t=6s时，重物再次匀速上升，由题图可知，此时重物的速度
在0~1s时间内，重物做匀加速直线运动，重物上升的高度
在1~3s时间内，重物做加速度逐渐减小的加速运动，由动能定理可得
代入数据解得
在3~4s时间内，重物做匀速直线运动，上升的高度则有
在4~6s时间内，重物做加速度逐渐减小的减速直线运动，由动能定理可得
代入数据解得可得0～6s时间内，重物上升的高度
C正确；
D．重物速度最大时，牵引力大小等于重力，4s后功率减小到一半，到t=6s时，重物速度从最大20m/s减
小到10m/s，此时t=4s时的牵引力
此时牵引力小于重力，加速度方向向下，重物做减速运动，在t=6s时，速度是10m/s，此时牵引力
此时牵引力等于重力，加速度是零，因此在4～6s时间内，重物做加速度逐渐减小的减速运动，D错误。
故选C。
二.机车启动中的图像
模型一 以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
模型二 以恒定加速度启动
(1)动态过程(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
机车启动a-1/v图像和F-1/v图像问题
恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像
由F－F＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；
f
F ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力
f
减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
P
①斜率k＝②纵截距b=－③横截距=
③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v；
0
④C点横坐标对应运动的最大速度1/v ，此时牵引力等于阻
m
力。
【典例分析1】（2024·江苏南通·统考一模）一辆轿车在平直公路上由静止开始匀加速运动，达到额定功率
后保持功率不变，最终做匀速运动．轿车在行驶过程中受到的阻力恒定，关于轿车的速度 ，功率 随时
间 的变化规律正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】AB．设汽车的额定功率为P，所受恒定阻力为 ，牵引力为 ，匀加速结束时的速度为 ，由于
汽车开始做匀加速直线运动，设其加速度为 ，则根据速度与时间的关系可得
当汽车的匀加速阶段结束，其速度还未达到最大值，此时根据
结合牛顿第二定律
可知，速度将继续增大，而牵引力将减小，则加速度将减小，即此后汽车将做加速度逐渐减小的加速运动，
直至牵引力等于阻力时，加速度减小为0，速度达到最大值 ，而速度—时间图像的斜率表示加速度，因
此可知该图像第一阶段为倾斜的直线，第二阶段为斜率逐渐减小的向下弯曲的曲线，故AB错误；
CD．根据
而汽车在匀加速阶段
可得
而
即在匀加速阶段有
式中 ，则可知在汽车匀加速阶段汽车的功率与时间成正比，即此图像为过原点的一条倾斜直线，
而匀加速结束后，汽车的功率达到额定值，此后功率不变，其图像与时间轴平行，故C正确，D错误。
故选C。【典例分析2】（2024上·江苏苏州·高三统考期末）如图所示，某机车在运动过程中的 图像，已知其
在水平路面沿直线行驶，规定初速度 的方向为正方向，已知机车的质量为5t，运动过程中所受阻力恒定
为 。下列说法正确的是（ ）
A．该机车做匀加速直线运动
B．该机车的加速度大小为
C．该机车在前3秒的位移是24m
D．零时刻机车的牵引力的功率为
【答案】D
【详解】根据匀变速直线运动的位移与时间关系
则 的关系式为
AB． 图像的斜率为初速度v，则
0
纵轴截距为 ，则
即a与v 反向，所以该机车做匀减速直线运动，故AB错误；
0
C．该机车速度减为0所用的时间为t，则
解得
该机车在前3秒的位移是前2.5s内的位移，则
故C错误；
D．根据牛顿第二定律可知
解得
所以零时刻机车的牵引力的功率为
故D正确。
故选D。
【典例分析3】（2024下·高三课时练习）汽车以恒定加速度启动后，最终以额定功率在平直公路上行驶。
汽车所受牵引力与速度倒数的关系如图所示，已知汽车的质量为m=2×103 kg，汽车运动过程中所受阻力恒
定，下列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速过程中能达到的最大速度为15 m/s
B．汽车做匀加速直线运动的时间为4 s
C．汽车做匀加速直线运动的加速度为1 m/s2
D．汽车的额定功率为80 kW【答案】D
【详解】D．由图可知，汽车的额定功率
P=Fv=4×103×20W=8×104W
故D正确；
C．当汽车速度为v =20m/s时，由平衡条件可得
m
汽车刚启动时所受牵引力为F'=8×103N，由牛顿第二定律可得汽车做匀加速直线运动的加速度为
故C错误；
A．汽车匀加速运动过程中的最大速度
故A错误；
B．汽车做匀加速直线运动的时间为
故B错误。
故选D。
【典例分析4】（2024上·河北·高三校联考期末）电动车被认为是新型节能环保的交通工具。在检测某款
电动车性能的实验中，质量为m的电动车由静止开始沿平直公路行驶，受到的阻力大小恒定，电动车的输
出功率随速度的变化关系如图所示，电动车速度从v达到最大速度2v所用时间为t，则以下说法正确的是
（ ）
A．电动车先做匀加速运动后做匀速运动
B．电动车速度为v时加速度大小为C．电动车速度从0到v所用时间为
D．电动车速度从0到2v的过程中，位移大小为
【答案】C
【详解】A．根据P=Fv，由P—v图像可知，在第一个阶段斜率不变，故牵引力不变，所以加速度不变，
电动车先做匀加速直线运动。当速度达到v，电动车达到额定功率，第二阶段功率恒定，速度继续增大，
牵引力减小，故加速度减小，则电动车在做加速度减小的加速运动，A错误；
B．当牵引力和摩擦力相等时，电动车速度达到最大，所以阻力
电动车速度为v时，加速度为
B错误；
C．电动车速度从0到v所用时间为
C正确；
D．电动车在第一个阶段
代入得
第二阶段，电动车功率恒定，根据动能定理知
总位移为
D错误；故选Ｃ。
【典例分析5】（2023上·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）一辆小轿车在平直路面上以恒
定功率加速，其加速度a和速度的倒数 的关系如图所示。已知轿车的总质量为1500kg，其所受的阻力不
变，则轿车（ ）
A．速度随时间均匀增大
B．小轿车做变加速运动
C．所受阻力大小为2.88×103N
D．电动机输出功率为104kW
【答案】B
【详解】CD．设小轿车的功率恒为P，所受 阻力恒为 ，则由牛顿第二定律有
变式可得
结合其图像可得
，
解得
，
故CD错误；
B．根据以上分析可得变加速运动，因此可知，小轿车做变加速运动，速度随时间不是均匀增大的，故A错误，B正确。
故选B。
【典例分析6】.（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）发展新能源汽车是我国当前一项重大国家战略。
假设有一辆纯电动汽车质量m=1.6×103kg，汽车沿平直的公路从静止开始启动，汽车启动后的速度记为v，
牵引力大小记为F， 图像如图所示， 表示最大速度，ab平行于v轴，bc反向延长线过原点。已知
汽车运动过程中受到的阻力大小恒定，bc段汽车运动的时间为8s。下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受阻力为5000N
B．汽车从a到b持续的时间为32s
C．汽车能够获得的最大速度为12.5m/s
D．汽车从b到c过程中运动的位移为88.75m
【答案】CD
【详解】A．在c点，有
则根据图像可得
故A错误；
B．根据图象可知汽车从a到b做匀加速直线运动，在b点，由图可知牵引力与末速度分别为
，
根据
且可得汽车从a到b持续的时间为
t=16 s
故B错误；
C．根据
整理得
bc反向延长过原点O，可知该过程保持额定功率恒定，在b点有
汽车能够获得的最大速度为
故C正确；
D．bc段，汽车做加速度减小的加速运动。根据动能定理
联立解得
l＝88.75 m
故D正确。
故选CD。
三.功能关系中的图像问题
E -x图像 E -x图像 E-x图像 E-t图像
K P
E E E E
K ① P ① ① ①
- - - -
- - - -
- ② - ② - ② - ②
- - - -
O O O O
x x x t
[来源:学科网]
斜率：合外力 斜率：对应的保守力 斜率：除重力、弹力以 斜率：功率
外的力
①合外力沿+x方向 ①保守力沿-x方向
①沿+x方向②沿-x方向
②合外力沿-x方向 ②保守力沿+x方向【典例分析1】（2023·吉林·统考二模）如图甲所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，一木块以一定
的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如
图乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．木块上滑过程中，重力势能增加了4E
0
B．木块受到的摩擦力大小为
C．木块的重力大小为
D．木块与斜面间的动摩擦因数为
【答案】C
【详解】A．机械能的变化量等于重力势能变化量和动能变化量的和，则
解得
故A错误；
B．木块上滑过程中，机械能的变化量等于摩擦力所做的功，则
解得故B错误；
C．重力所做的功等于重力势能变化量，则
解得
故C正确；
D．滑动摩擦力为
解得
故D错误。
故选C。
【典例分析2】（2024上·湖北·高三校联考期末）空间中有水平方向上的匀强电场，一质量为m、带电荷
量为q的微粒在竖直平面内运动，其电势能和重力势能随时间的变化如图所示，则该微粒（ ）
A．一定带正电
B．0～3s内静电力做的功为－9J
C．运动过程中动能不变
D．0～3s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12J
【答案】BC
【详解】A．由于不清楚电场强度的方向，故无法确定微粒的电性，故A错误；
B．由题图可知，0～3s内电势能增加9J，则0～3s静电力做的功为－9J，故B正确；
C．由题图可知，电势能均匀增加，即静电力做的功与时间成正比，说明微粒沿静电力方向做匀速直线运动，同理，沿重力方向也做匀速直线运动，则微粒的合运动为匀速直线运动，所以运动过程中速度不变，
动能不变，故C正确；
D．由功能关系可知，0～3s内重力势能与电势能共减少6J，又微粒的动能不变，故0～3s内除静电力和重
力外所受其他力对微粒做的功为6J，故D错误。
故选BC。
【典例分析3】．（2024上·广东潮州·高三统考期末）如图甲所示是某游乐场的一部直道滑梯，质量为20
千克的儿童在长为5米的滑梯顶端从静止开始沿滑梯下滑，经过3秒到达滑梯底端，其重力势能随下滑距
离 的变化如图乙所示，取滑梯底部为零势能面， ， ，重力加速度取 ，则
（ ）
甲 乙
A．儿童下滑时加速度的大小约为
B．儿童与滑梯间的动摩擦因数为0.7
C．滑梯与水平面的夹角 为
D．儿童下滑过程中机械能减小
【答案】ACD
【详解】A．根据图像可知，下滑距离为5m，根据
可得，加速度
故A正确；
BC．根据题意
解得所以滑梯与水平面的夹角 为 ，根据
解得
故B错误C正确；
D．儿童下滑过程中克服阻力做功，机械能减小，故D正确。
故选ACD。
【典例分析4】（2024·河南郑州·统考一模）一台起重机将放在地面上的一个箱子吊起。箱子在起重机钢绳
的作用下由静止开始竖直向上运动，不计空气阻力。运动过程中箱子的机械能E与其位移x的关系图像如
图所示，其中 过程的图线为直线， 过程的图线为曲线。由图像可知（ ）
A． 过程箱子的加速度可能等大
B． 过程中箱子的动能一直增加
C． 过程中箱子所受拉力不变
D． 过程中起重机的输出功率一直增大
【答案】AC
【详解】A．箱子在起重机钢绳的作用下由静止开始竖直向上运动，根据
可知，图像斜率代表拉力， 过程图像斜率不同，拉力不同，重力不变，如果合力大小可能相同，则加速度可能等大，故A正确；
B． 过程中斜率减小，拉力减小，如果拉力小于重力，则箱子的动能减小，故B错误；
C． 过程中斜率不变，箱子所受拉力不变，故C正确；
D．由于物体在x～x 内图象的斜率的绝对值不变，故物体所受的拉力保持不变。如果拉力等于物体所受
1 2
的重力，则物体做匀速直线运动，起重机的输出功率不变，故D错误。
故选AC。
四.a-x图像在功能关系中的应用
如果物体做匀加速直线运动时，其 a-x 图象如图 1 所示，由匀变速直线运动的位移与速度的关系
v2 −v2 =2ax
0 可知，初速度的平方与末速度的平方的差值等于a-x图线与坐标轴围的面积的2倍。我们借
助这个推导思想，把变加速直线运动的a-x图象的位移x分成无限多等份，如图2所示，在每一等份位移
中的运动就可以认为物体在做匀加速直线运动，设位移被分成n等份，每一等份的位移为Δx，第n等份的
加速度、末速度分别为a、v，则对每一等份位移有：
n n
v2 −v2 =2a Δx
第一等份： 1 0 1
v2 −v2 =2a Δx
第二等份： 2 1 2
v2 −v2 =2a Δx
第三等份： 3 2 3
… …
v2 −v2 =2a Δx
第n等份： n n-1 n
v2 −v2 =2 a Δx+a Δx+a Δx+...a Δx)
则n个等式左右分别相加可得 n 0 1 2 3 n ，即末速度的平方减初速度的平
（
方等于a-x图线与坐标轴围的面积的2倍。
变加速直线运动,初速度的平方与末速度的平方的差值等于 a-x图线与坐标轴围的面积的2倍。或者说a-x
图线与坐标轴围的面积与质量的成绩表示合力所做的功。【典例分析1】（2024·四川成都·统考二模）如图（a），倾角为θ的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且
下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点
过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图（b）。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为
g。下列判定正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在x=x 处，滑块的机械能最大
2
C．在x～x 和x～x 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
1 2 2 3
D．在x～x 和x～x 两段过程中，a-x图线斜率的绝度值均等于
1 2 2 3
【答案】AD
【详解】A．由图可知，当小球下落到x 时，加速度为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为
2
，则有
解得
A正确；
B．对小滑块和弹簧组成的系统进行分析，由于只有重力和弹力做功，则系统机械能守恒，当弹簧的弹性
势能最小，小滑块的机械能最大，故当小滑块下落到 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，为最小，则此时小滑块的机械能最大，B错误；
C．由图可知，x～x 的距离差小于x～x 两的距离差，可得弹簧弹性势能的增量不相等，C错误；
1 2 2 3
D．在x～x 的过程中，重力大于弹力，根据牛顿第二定律有
1 2
又由A项可知
联立解得
由图可知，当 时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值；
在 过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律有
又
联立解得
由图可知，当 时
联立解得即为该段图线的斜率绝对值，故可得在x～x 和x～x 两段过程中，a-x图线斜率的绝度值均等于 ，
1 2 2 3
D正确。
故选AD。
【典例分析2】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下
运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，
改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星
球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【答案】AC
【解析】设P、Q的质量分别为m 、m ；M、N的质量分别为M 、M ，半径分别为R 、R ，密度分别为
P Q 1 2 1 2
ρ 、ρ ；M、N表面的重力加速度分别为g 、g.在星球M上，弹簧压缩量为0时有m g ＝3m a ，所以g ＝
1 2 1 2 P 1 P 0 1
3a ＝G，密度ρ ＝＝；在星球N上，弹簧压缩量为0时有m g ＝m a ，所以g ＝a ＝G，密度ρ ＝＝；因
0 1 Q 2 Q 0 2 0 2
为R＝3R，所以有ρ＝ρ，选项A正确．当物体的加速度为0时有m g＝3m a＝kx，m g＝m a＝2kx，
1 2 1 2 P 1 P 0 0 Q 2 Q 0 0
解得m ＝6m ，选项B错误．根据ax图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，
Q P
E ＝m ax ，E ＝m ax ，所以E ＝4E ，选项C正确．根据运动的对称性可知，Q下落时弹簧的最
kmP P 0 0 kmQ Q 0 0 kmQ kmP
大压缩量为4x，P下落时弹簧的最大压缩量为2x，选项D错误．
0 0
五.动量中的图像
1.F-t图像的面积表示力的冲量。
2.P-t、I-t图像的斜率表示物体受到的合力
【典例分析1】（2024上·湖南益阳·高三统考期末）一质量 的物体在合力F的作用下从静止沿直线
运动，F随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．第6s末物体的速度大小为3m/s
B．第3s末至第6s末合力对物体的冲量为-3kg·m/s
C．第3s末合力的瞬时功率为4W
D．第4s内与第5s内物体的动量增加量相等
【答案】AC
【详解】A．由 图像的面积表示冲量，由动量定理可得
解得6s末物体的速度大小为
故A正确；
B．第3s末至第6s末合力对物体的冲量为图像围成的三角形的面积，有
即冲量为正的，而不是-3kg·m/s，故B错误；
C．对前3s由动量定理有
则第3s末合力的瞬时功率为
故C正确；
D．第4s内与第5s内合外力的冲量为因冲量不相等，则第4s内与第5s内物体的动量增加量不相等，故D错误。
故选AC。
【典例分析2】（2024·河南·统考一模） 粒子 以一定的初速度与静止的氧原子核 发生正碰。
此过程中， 粒子的动量 随时间 变化的部分图像如图所示， 时刻图线的切线斜率最大。则（ ）
A． 时刻 的动量为
B． 时刻 的加速度达到最大
C． 时刻 的动能达到最大
D． 时刻系统的电势能最大
【答案】AB
【详解】A． 粒子与氧原子核组成的系统动量守恒， 时刻 的动量为
故A正确；
B． 时刻图线的切线斜率最大，则 粒子的动量变化率最大，根据
可知 粒子的速度变化率最大，即加速度最大，即 粒子受到的电场力最大，则氧原子核受到的电场力也最大， 的加速度达到最大，故B正确；
C． 时刻， 粒子速度为零，由图可知 时刻后， 粒子反向运动，系统动量守恒，可知在 时刻之后，
的动量达到最大， 的速度达到最大， 的动能达到最大，故C错误；
D． 时刻，氧原子核受到的电场力最大， 粒子与氧原子核的距离最近，系统的电势能最大，故D错误。
故选AB。
图1
一、单选题
1．（2023下·安徽马鞍山·高三安徽省当涂第一中学校考期中）某踢出的足球在空中运动的轨迹如图所示，
足球可视为质点，空气阻力不计。用v、E、E、P分别表示足球的竖直分速度大小、机械能、动能、重力
y k
的瞬时功率大小，用t表示足球在空中运动的时间，下列图像中可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A．足球做斜抛运动，在竖直方向上做加速度为g的匀变速直线运动，上升阶段，有下降阶段为
可知速度与时间成一次函数关系，图线是一条倾斜直线。故A错误；
B．依题意，空气阻力不计，足球只受重力作用，机械能守恒，E不变。故B错误；
C．取初始位置为零势能面，踢出时竖直方向速度为 ，根据机械能守恒可得
解得
即该图线为开口向上的抛物线。故C正确；
D．根据
结合A选项分析可知，该图线仍然为一条倾斜的直线。故D错误。
故选C。
2．（2023下·河南南阳·高三统考期末）一物体做直线运动，其动量随时间变化的p-t图像如图所示。下列
描述此物体动能一时间（ ）图像中可能正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据
可得
故选C。
3．（2023下·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）一提升装置把静置于地面上的重物竖直向上提升的过
程中，提升装置功率随时间变化的P-t图像如图所示。在 时，重物上升的速度达到最大速度的一半，
在 时，达到最大速度 。在 时，重物再次匀速上升，取 ，不计一切阻力。
下列说法正确的是（ ）
A．在 s时间内，重物做加速度逐渐减小的加速运动B．在 时，重物的加速度大小
C．在 时，重物的速度大小
D．在 时间内，重物上升的高度
【答案】D
【详解】A．在0~1s时间内，功率P均匀增大，拉力F不变，则提升装置的功率
由图可知重物做加速度不变的匀加速上升运动，故A错误；
B．在t=3 s时，达到最大速度 后重物做匀速运动，则有
可得
m=2 kg
在t=1s时，重物的加速度
其中
解得
即在t=1s时，重物的加速度大小 ，故B错误；
C．在t=6s时，重物再次匀速上升，由
可得
故C错误；
D．在 s时间内重物做匀加速运动，则有在1~3s时间内，重物做加速度减小的加速运动，则有
可解得
在3~4s时间内，重物做匀速运动，则有
在4~6s时间内，重物做加速度逐渐减小的减速运动，则有
解得
重物在0~6s时间内，重物上升的高度为
故D正确。
故选D。
4．（2023上·浙江·高二校联考开学考试）如图甲所示，将一轻弹簧放在倾角为45°的固定斜面上，弹簧的
下端固定。把物体P靠近弹簧的上端放在斜面上，P由静止沿斜面向下运动，物体的加速度a与弹簧的压
缩量x间的关系如图乙中实线所示。把物体P换成物体Q，完成同样的过程，其a-x关系如图乙中虚线所
示，已知物体P与斜面间的动摩擦因数是物体Q与斜面间动摩擦因数的0.6倍。下列说法正确的是（
）A．P与斜面间的动摩擦因数为 B．Q与斜面间的动摩擦因数为
C．P的质量是Q的6倍 D．P的质量是Q的 倍
【答案】B
【详解】刚开始下滑时，物体受到重力，斜面对物体的支持力和摩擦力，根据牛顿第二定律，对P
m gsinθ-μ m gcosθ=m •3a
P P P P 0
对Q
m gsinθ-μ m gcosθ=m a
Q Q Q Q 0
P运动x 时，加速度为零，则
0
m gcosθ-μ m cosθ-kx=0
P P P 0
Q下滑2x 时，加速度为零，则
0
m gsinθ-μ m gcosθ-k•2x=0
Q Q Q 0
联立并代入数据解得
故B正确，ACD错误。
5.（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）“科技让生活更美丽”，自动驾驶汽车呈现出接近实
用化的趋势。图1为某型无人驾驶的智能汽车的测试照，为了增加乘员乘坐舒适性，程序设定汽车制动时
汽车加速度大小随位移均匀变化。某次测试汽车“a-x”关系图线如图2所示，汽车制动距离即12m。则关
于该次测试，下列判断中正确的是（ ）
A．汽车做匀减速直线运动
B．汽车开始制动时的速度大小为C．汽车开始制动时的速度大小为
D．此车制动时间为
【答案】C
【详解】A．汽车制动过程，由图2可知其加速度a随位移x均匀增大，做加速度逐渐增大的减速运动，故
A错误；
BC．根据匀变速运动的速度位移公式
汽车做非匀变速运动，运用“微元法” ，可知“ ”图线与x轴所围图形的“面积”即“速度平方变
化量的一半”。可知，汽车制动中
可得汽车制动时的初速度大小为
故B错误，C正确；
D．刹车过程中最大加速度为 ，如果一直以最大加速度刹车，所用的时间为
实际加速度逐渐增大的，所以刹车制动时间一定大于 ，故D错误。
故选C。
6．（2023湖北·校联考模拟预测）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，质量为m的小
球，从弹簧上端静止下落。若以小球开始下落的位置为坐标原点，建立竖直向下坐标轴Ox，小球下落至最
低点过程中的a－x图像如图乙所示（图中标示坐标值 、 、 、g均为已知量），不计空气阻力，重力
加速度为g。则（ ）A．弹簧的劲度系数
B．弹簧的最大弹力
C．小球向下运动过程中最大加速度
D．小球向下运动过程中最大速度
【答案】D
【详解】A．结合图乙可知，小球下落的加速度为零时则有
解得弹簧的劲度系数为
故A错误；
B．小球向下运动过程中弹簧最大弹力为
故B错误；
C．小球向下运动过程中最大加速度为
故C错误；
D．设小球向下运动过程中最大速度 ，根据动能定理可知整理可得
结合 图像围成的面积，可知
解得小球向下运动过程中最大速度为
故D正确；
故选D。
7．（2023·辽宁沈阳·辽宁实验中学校考模拟预测）如图甲所示，一小物块在水平向右的推力F作用下从A
点由静止开始向右做直线运动，力F的大小随时间变化的规律如图乙所示，钢块的质量 ，与台面
间的动摩擦因数 ， 。则小物块在 时刻的速度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】物体受到的最大静摩擦
推力F与t的关系为
当推力F大于最大静摩擦时，物体开始运动
解得内，物块根据动量定理可得
，推力F的冲量为
解得
故ABC错误，故D正确。
故选D。
8.（2023上·北京海淀·高三统考期中）在 时刻，将一物体（可视为质点）竖直向上抛出。以抛出点为
坐标原点、竖直向上为正方向，忽略空气阻力，图中能正确反映该物体的动量p随时间t、动能E 随位移x
k
变化的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】AB．一物体（可视为质点）竖直向上抛出，以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，则速度为
则动量公式为故A正确，B错误；
CD．竖直上抛运动加速度恒定向下，则速度位移公式为
动能公式为
故CD错误。
故选A。
二、多选题
9．（2024·广东茂名·统考一模）某品牌电动汽车在平直公路上由静止开始启动，若启动过程中加速度传感
器测量到汽车加速度随时间变化的规律如图所示，汽车后备箱中水平放置一质量 的物块，与汽车
始终相对静止，重力加速度g取 ，下列说法正确的是（ ）
A．第 末，汽车的速度为
B．第 末，汽车的速度为
C．前 内，汽车对物块的作用力做功大小为
D．前 内，汽车对物块的最大摩擦力为
【答案】BCD
【详解】AB．根据图像面积可知第 末，汽车的速度为
第 末，汽车的速度为
故A错误，B正确；
C．根据图像， 末汽车速度为 ，由动能定理，汽车对物块做功为故C正确；
D．a最大为 ，由 代入数据可得最大摩擦力为8N，故D正确。
故选BCD。
10．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）质量为1kg的物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，
其加速度随时间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．第1s内，质点的动能增加量为3J
B．第2s内，合外力所做的功为
C．第2s末，合外力的瞬时功率为3W
D．0~2s内，合外力的平均功率为
【答案】BCD
【详解】A．由图像可知，在第1s内加速度恒定，由
解得第1s末的速度为
第1s内质点的动能增加量
故A错误；
B．由图像可知，在第2s内加速度恒定，由
解得第2s末的速度为
第2s内质点合外力所做的功为故B正确；
C．由牛顿第二定律可知，第2s末合外力大小为
则第2s末合外力的瞬时功率
故C正确；
D．由动能定理可知，质点在0~2s内合外力做的功
则0~2s内合外力的平均功率
故D正确。
故选BCD。
11．（2023上·山西吕梁·高三统考期中）跳台滑雪运动起源于19世纪的挪威，1924年跳台滑雪被列为冬
奥会项目。在2022北京冬奥会中我国首座跳台滑雪场馆“雪如意”惊艳亮相。跳台由助滑道、起跳区、着
陆坡、停止区组成。运动员从起跳区水平起跳后在空中运动的速度变化量 、重力的瞬时功率P、动能 、
机械能E，运动员在空中的运动时间t，设起跳处为零势能参考面，不计运动员空气阻力，下列图像中可能
正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】A．运动员从起跳区水平起跳后做平抛运动，在空中只受到重力，加速度为重力加速度，根据加
速度定义式有
可知 图像为一条过原点的倾斜直线，故A错误；
B．运动员从起跳区水平起跳后在竖直方向做自由落体运动，则有
重力的瞬时功率为
可知 图像为一条过原点的倾斜直线，故B正确；
C．运动员从起跳区水平起跳后运动员的速度为
运动员的动能为
可知 图像为抛物线的一部分，顶点在纵轴的正半轴，故C正确；
D．运动员从起跳区水平起跳后在空中只受到重力，机械能守恒，可知 图像为平行于横轴的一条直线，
故D正确。
故选BCD。
12．（2024上·广东汕头·高三统考期末）电动汽车能实现更准确的运动控制，有一辆电动汽车由静止启动并沿直线运动，其速度与时间图像（v—t图）如图所示，OA段为直线，AB段为曲线， 时刻以后的图像
是与时间轴平行的直线，则下列选项中正确的是（ ）
A． 时间内，汽车的牵引力等于
B． 时刻后，电动汽车的功率可能保持不变
C． 时间内，电动汽车的平均速度大小为
D． 时刻后，电动汽车的牵引力与阻力大小相等
【答案】BD
【详解】A．由图像可知0～t 时间内，汽车的加速度
1
根据牛顿第二定律知
F－f＝ma
则牵引力
A错误；
B．电动汽车受力分析，有
据题意AB段速度增大，加速度减小，可知，电动汽车的功率可能保持不变，B正确；C．若连接A点与B点，汽车做匀加速直线运动，平均速度为
图像中图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移，可知t～t 时间内，汽车做变加速直线运动，位移
1 2
大于做匀变速直线运动的位移，所以平均速度大小
C错误；
D．t 时刻以后的v－t图是与时间轴平行的直线，则说明该段时间汽车做匀速直线运动，有
2
D正确。
故选BD。
13．（2024上·山东泰安·高三统考期末）如图所示，是小朋友非常喜欢的一款电动玩具小车，我们可以通
过玩具小车在水平面上的运动来研究功率问题。已知小车质量为m，小车刚达到额定功率开始计时，且此
后小车保持功率不变，小车的v-t图象如图甲所示，t₀时刻小车的速度达到最大速度的 倍，小车速度由v₀
增加到最大值的过程中，小车的牵引力F与速度v的关系图象如图乙所示，运动过程中小车所受阻力恒定，
下列说法正确的是（ ）
A．小车的额定功率为
B．小车的最大速度为
C．小车速度达到最大速度的一半时，加速度大小为
D． 时间内，小车运动的位移大小为
【答案】CD【详解】A．根据题意可知，当 时，有 ，由公式 ，可得
故A错误；
B．当小车以最大速度匀速运动时
且
根据
即
可得
故B错误；
C．由A、B选项可知
则根据公式 ，可得小车速度达到最大速度的一半时，此时的牵引力
又
根据牛顿第二定律 ，可得解得
故C正确；
D．在 时间内，位移为 ，根据动能定理
解得
故D正确。
故选CD。
14．（2024上·黑龙江鸡西·高三统考期末）一辆机车在水平路面上从静止开始启动做直线运动，其加速度
随时间变化的图像如图所示。已知机车的质量 ，机车前进过程中所受阻力大小恒定，
时机车达到额定功率 ，之后保持该功率不变，下列说法正确的是（ ）
A．机车所受到的阻力大小为
B．0~40s内牵引力做功为
C．机车的最大速度为80m/s
D．机车从开始运动到达到最大速度所需要的时间可能为200s
【答案】AB
【详解】A．在 时机车的速度则根据
解得
选项A正确；
B．0~40s内做匀加速运动，则牵引力
位移
牵引力做功为
选项B正确；
C．当机车速度最大时
可得机车的最大速度为
v =60m/s
m
选项C错误；
D．假设机车从t=40s后做加速度均匀减小的加速运动，则速度从20m/s到达60m/s时用时间t＇满足，结
合图像
解得t＇=160s
此时机车从开始运动到达到最大速度所需要的时间为200s；而机车从t=40s后的加速度不是均匀减小，则
从开始运动到达到最大速度所需要的时间大于200s，选项D错误。
故选AB。
15．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）在距地面高d处由静止释放一小球，小
球向下运动过程中受到的阻力不能忽略，以地面为重力势能的零势能面，物体的机械能E随小球到地面的
高度h的变化关系图像如图所示，图中纵坐标 b、c为已知数据，重力加速度为g。根据图像判断下列说法
正确的是（ ）
A．小球的质量等于
B．当 时，小球的动能等于
C．运动过程中小球受到的阻力大小恒为
D．小球运动的加速度等于
【答案】AD
【详解】A．在距地面高d处小球的机械能与重力势能相等，则有
解得小球的质量为
故A正确；
C．小球克服阻力做的功等于小球机械能的减少，则有
图象的斜率绝对值表示阻力大小，则阻力的大小为故C错误；
B．小球释放到当 过程中，根据动能定理可得
代入值计算可得
故B错误；
D．根据牛顿第二定律有
代入m和f可得加速度为
故D正确。
故选AD。
16．（2023上·天津河西·高三统考期末）如图所示，轻质弹簧下端固定在粗糙斜面底端，一小物块从斜面
顶端由静止滑下并压缩弹簧，弹簧始终处于弹性限度内，则物块下滑过程中，物块的动量p、重力势能
E、弹簧的弹力F、弹性势能E随时间t或位移x的关系图像可能正确的是 （ ）
p
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】A．物块沿斜面下滑时，合外力先不变，接触弹簧后所受的合外力先逐渐减小，当向上的弹力和
向上的摩擦力之和等于重力沿斜面向下的分量时，此时合力为零；然后继续向下运动时合力向上变大，在最低点时合力最大；因p-t图像的斜率
由图像可知，斜率先不变、后减小，再反向增加，可知图像A正确；
B．根据
可知重力势能随x线性减小，选项B正确；
C．物块接触弹簧之前，弹簧弹力为零；接触弹簧之后，弹簧弹力随位移x按线性增加，则选项C错误；
D．物块接触弹簧之前，弹簧弹性势能为零；接触弹簧之后，弹簧弹性势能随x逐渐变大，但是图像为开
口向上的抛物线形状，则选项D错误。
故选AB。
17．（2023上·山东青岛·高三校考期末）如图甲，物块a连接有轻弹簧静止于水平面上，物块b以一定初
速度向左运动，通过弹簧与a发生相互作用。对于a、b两物块在相互作用过程中动量p随时间t的变化关
系图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块a的质量大于物块b的质量
B．乙图中的图线交点时刻弹簧压缩量最大
C．a、b两物块在相互作用过程中总动量保持不变
D．乙图中的图线交点时刻物块b的速度大于物块a的速度
【答案】ACD
【详解】C．由图乙可知，任意时刻a、b两物块的动量之和均相等，因此a、b两物块在相互作用过程中
总动量保持不变，故C正确；
A．由图乙可知稳定后b物块动量大小 是b物块初始动量大小 的一半，即稳定后a物块动量大小 是b物块稳定后动量大小 的三倍，即
根据能量守恒可得
根据
可得
故
故A正确；
BD．乙图中的图线交点时刻a、b两物块的动量相等，由A选项分析可知，物块a的质量大于物块b的质
量，因此乙图中的图线交点时刻物块b的速度大于物块a的速度，只有a、b两物块速度相等时弹簧压缩量
才最大，故B错误，D正确。
故选ACD。
18．（2023上·福建·高三福建师大附中校考期中）如图所示，连接有轻弹簧的物块a静止于光滑水平面上，
物块b以一定初速度向左运动．下列关于a、b两物块的动量P随时间t的变化关系图象，合理的是（
）
A．B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】b与弹簧接触后，压缩弹簧，b做减速动，a做加速运动，且在运动过程中系统的动量守恒，如果
b的质量较小，可能出现b反弹的现象，出现图像B的运动过程；如果ab两球的质量相等，则可以出现D
的运动过程；如果a的质量很小，可能出现A的运动过程，故ABD合理；b与弹簧接触后，弹力慢慢增大，
然后再减小，故两物体的加速度一定先增大后减小，故C不合理；故选ABD．
【点睛】本题考查含有弹簧问题的动量守恒定律的应用，要注意正确分析弹簧弹力的性质，从而确定运动
过程，注意考虑多种可能性．
19．（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）如图1所示，一质量为0.4kg的小物体静止在水平台面上，
在水平推力 的作用下从坐标原点 开始沿 轴运动， 与物体坐标 的关系如图2所示。在 时撤
去力 ，同时物体从平台飞出。物体与水平台面间的动摩擦因数为 ，重力加速度 取10m/s2，不计空气
阻力。求：
（1） 时，物体的加速度大小 ；
（2）从坐标原点到 处，水平推力所做的功 ；
（3）物体即将离开平台时力 的功率 。【答案】（1） ；（2）44J；（3）
【详解】（1）由图2， 图像知，在0~2m，F与x函数
当 时，代入得
在0~2m运动过程中，滑动摩擦力为
物体受到的合外力为
由牛顿第二定律知，物体的加速度为
（2）由题知，力F在作用过程中变化，所以图线与横轴所围成的面积即为力F做的功，则由数学关系
（3）设物体离开平台时瞬时速度为v
根据能量守恒定律有
代入得
离开平台时F=16N，则功率为
2代入得
