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专题 03 功能与动量中的图像
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一.动能定理与图像结合问题的分析方法.........................................................................................................1
二.机车启动中的图像.......................................................................................................................................11
三.功能关系中的图像问题...............................................................................................................................20
四.a-x图像在功能关系中的应用.....................................................................................................................25
五.动量中的图像...............................................................................................................................................28
一.动能定理与图像结合问题的分析方法
(1)首先看清楚所给图像的种类(如v-t图像、F-x图像、E-x图像等)。
k
(2)挖掘图像的隐含条件——求出所需要的物理量，如由v-t图像所包围的“面积”求位移，由F-x图像所包
围的“面积”求功；由E-x图像的斜率求合外力等。
k
(3)分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量。
(4)动能定理与图象结合问题
力学中四类图象所围“面积”的意义
【典例分析1】（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）质量相等的A、B两物体静止在同
一水平面上，分别受水平拉力F、F 的作用从同一位置开始运动，经过时间t和3t分别撤去F 和F，如图
1 2 1 2
是两物体运动的 图像，下列说法正确的是（ ）A．物体A、B的位移大小之比是4∶5
B．在2t~3t之间的某一时刻B能追上A
C．F 和F 对A、B两物体的冲量之比是4∶5
1 2
D．F 和F 对A、B两物体的做功之比是5∶3
1 2
【典例分析2】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）质量为m的物体甲从零时刻起中静止开始所
受的合力F随时间t的关系图像如图甲所示，质量为m的物体乙零时刻从坐标原点处从静止开始所受的合
力F随位移x的关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A． 关系图像与横轴所围成的面积表示物体速度的变化量
B． 时刻物体甲的动能为
C． 关系图像与横轴所周成的面积表示物体速度的变化量
D．物体乙在坐标 处，动量为
【典例分析3】．（2024·四川南充·统考一模）质量为2kg的物体与水平地面的动摩擦因数为0.1，在水平
拉力F的作用下由静止开始运动，拉力F做的功W和物体的位移s之间的关系如图所示，重力加速度
，物体从静止到位移为9m的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．物体一直做匀加速直线运动 B．拉力F的平均功率为6.75W
C．摩擦力做的功为18J D．拉力F的最大瞬时功率为12W
【典例分析4】（2023·四川德阳·统考一模）随着技术的不断进步和成本的不断降低，无人机快递物流将会逐渐普及，无人机配送将在未来重塑物流行业。某次无人机载重测试，无人机在8个相同旋转叶片的带动
下竖直上升，其动能E 随位移x变化的关系如图所示。已知无人机及其载重总质量为m=10kg，重力加速
k
度大小为10m/s2，不计空气阻力，此过中无人机（ ）
A．0~5m加速阶段，每个叶片提供的升力大小为8N
B．5m~10m减速阶段，每个叶片提供的升力大小为6N
C．0~10m的上升过程中，无人机及其载重的机械能增加了320J
D．5m~10m的上升过程中，无人机受到的升力的平均功率为144W
【典例分析5】（2023·云南·校联考模拟预测）跳台滑雪运动员在助滑段加速后，从起跳区a位置处水平飞
出，落在着陆区内的b点，不计空气阻力，如图所示。 、 、 、 分别表示运动员在空中的重力势能、
动能、机械能、重力的功率，用t表示运动员在空中的运动时间，则下列图像中可能正确的是（
）
A． B．
C． D．【典例分析6】（2023下·浙江·高二校联考期末）一起重装置把静置于地面上的重物竖直向上提升的过程
中，功率随时间变化的P-t图像如图所示。在t=1s时，重物上升的速度达到最大速度的一半，在t=3s时，
达到最大速度 。在t=6s时，重物再次匀速上升，取 ，不计一切阻力。下列说法正确
的是（ ）
A．重物的质量为4kg
B．在t=1s时，重物加速度大小
C．0～6s时间内，重物上升的高度h=85m
D．在4～6s时间内，重物做加速度逐渐增大的减速运动
二.机车启动中的图像
模型一 以恒定功率启动
(1)动态过程
(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
模型二 以恒定加速度启动
(1)动态过程(2)这一过程的P－t图象、v－t图象和F－t图象如图所示：
机车启动a-1/v图像和F-1/v图像问题
恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像
由F－F＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动；
f
F ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力
f
减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动；
P
①斜率k＝②纵截距b=－③横截距=
③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v；
0
④C点横坐标对应运动的最大速度1/v ，此时牵引力等于阻
m
力。
【典例分析1】（2024·江苏南通·统考一模）一辆轿车在平直公路上由静止开始匀加速运动，达到额定功率
后保持功率不变，最终做匀速运动．轿车在行驶过程中受到的阻力恒定，关于轿车的速度 ，功率 随时
间 的变化规律正确的是（ ）
A． B．C． D．
【典例分析2】（2024上·江苏苏州·高三统考期末）如图所示，某机车在运动过程中的 图像，已知其
在水平路面沿直线行驶，规定初速度 的方向为正方向，已知机车的质量为5t，运动过程中所受阻力恒定
为 。下列说法正确的是（ ）
A．该机车做匀加速直线运动
B．该机车的加速度大小为
C．该机车在前3秒的位移是24m
D．零时刻机车的牵引力的功率为
【典例分析3】（2024下·高三课时练习）汽车以恒定加速度启动后，最终以额定功率在平直公路上行驶。
汽车所受牵引力与速度倒数的关系如图所示，已知汽车的质量为m=2×103 kg，汽车运动过程中所受阻力恒
定，下列说法正确的是（ ）
A．汽车匀加速过程中能达到的最大速度为15 m/s
B．汽车做匀加速直线运动的时间为4 sC．汽车做匀加速直线运动的加速度为1 m/s2
D．汽车的额定功率为80 kW
【典例分析4】（2024上·河北·高三校联考期末）电动车被认为是新型节能环保的交通工具。在检测某款
电动车性能的实验中，质量为m的电动车由静止开始沿平直公路行驶，受到的阻力大小恒定，电动车的输
出功率随速度的变化关系如图所示，电动车速度从v达到最大速度2v所用时间为t，则以下说法正确的是
（ ）
A．电动车先做匀加速运动后做匀速运动
B．电动车速度为v时加速度大小为
C．电动车速度从0到v所用时间为
D．电动车速度从0到2v的过程中，位移大小为
【典例分析5】（2023上·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）一辆小轿车在平直路面上以恒
定功率加速，其加速度a和速度的倒数 的关系如图所示。已知轿车的总质量为1500kg，其所受的阻力不
变，则轿车（ ）
A．速度随时间均匀增大
B．小轿车做变加速运动
C．所受阻力大小为2.88×103ND．电动机输出功率为104kW
【典例分析6】.（2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习）发展新能源汽车是我国当前一项重大国家战略。
假设有一辆纯电动汽车质量m=1.6×103kg，汽车沿平直的公路从静止开始启动，汽车启动后的速度记为v，
牵引力大小记为F， 图像如图所示， 表示最大速度，ab平行于v轴，bc反向延长线过原点。已知
汽车运动过程中受到的阻力大小恒定，bc段汽车运动的时间为8s。下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受阻力为5000N
B．汽车从a到b持续的时间为32s
C．汽车能够获得的最大速度为12.5m/s
D．汽车从b到c过程中运动的位移为88.75m
三.功能关系中的图像问题
E -x图像 E -x图像 E-x图像 E-t图像
K P
E E E E
K ① P ① ① ①
- - - -
- - - -
- ② - ② - ② - ②
- - - -
O O O O
x x x t
[来源:学科网]
斜率：合外力 斜率：对应的保守力 斜率：除重力、弹力以 斜率：功率
外的力
①合外力沿+x方向 ①保守力沿-x方向
①沿+x方向②沿-x方向
②合外力沿-x方向 ②保守力沿+x方向
【典例分析1】（2023·吉林·统考二模）如图甲所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，一木块以一定
的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如
图乙所示，则下列说法正确的是（ ）A．木块上滑过程中，重力势能增加了4E
0
B．木块受到的摩擦力大小为
C．木块的重力大小为
D．木块与斜面间的动摩擦因数为
【典例分析2】（2024上·湖北·高三校联考期末）空间中有水平方向上的匀强电场，一质量为m、带电荷
量为q的微粒在竖直平面内运动，其电势能和重力势能随时间的变化如图所示，则该微粒（ ）
A．一定带正电
B．0～3s内静电力做的功为－9J
C．运动过程中动能不变
D．0～3s内除静电力和重力外所受其他力对微粒做的功为12J
【典例分析3】．（2024上·广东潮州·高三统考期末）如图甲所示是某游乐场的一部直道滑梯，质量为20
千克的儿童在长为5米的滑梯顶端从静止开始沿滑梯下滑，经过3秒到达滑梯底端，其重力势能随下滑距
离 的变化如图乙所示，取滑梯底部为零势能面， ， ，重力加速度取 ，则
（ ）甲 乙
A．儿童下滑时加速度的大小约为
B．儿童与滑梯间的动摩擦因数为0.7
C．滑梯与水平面的夹角 为
D．儿童下滑过程中机械能减小
【典例分析4】（2024·河南郑州·统考一模）一台起重机将放在地面上的一个箱子吊起。箱子在起重机钢绳
的作用下由静止开始竖直向上运动，不计空气阻力。运动过程中箱子的机械能E与其位移x的关系图像如
图所示，其中 过程的图线为直线， 过程的图线为曲线。由图像可知（ ）
A． 过程箱子的加速度可能等大
B． 过程中箱子的动能一直增加
C． 过程中箱子所受拉力不变
D． 过程中起重机的输出功率一直增大四.a-x图像在功能关系中的应用
如果物体做匀加速直线运动时，其 a-x 图象如图 1 所示，由匀变速直线运动的位移与速度的关系
v2 −v2 =2ax
0 可知，初速度的平方与末速度的平方的差值等于a-x图线与坐标轴围的面积的2倍。我们借
助这个推导思想，把变加速直线运动的a-x图象的位移x分成无限多等份，如图2所示，在每一等份位移
中的运动就可以认为物体在做匀加速直线运动，设位移被分成n等份，每一等份的位移为Δx，第n等份的
加速度、末速度分别为a、v，则对每一等份位移有：
n n
v2 −v2 =2a Δx
第一等份： 1 0 1
v2 −v2 =2a Δx
第二等份： 2 1 2
v2 −v2 =2a Δx
第三等份： 3 2 3
… …
v2 −v2 =2a Δx
第n等份： n n-1 n
v2 −v2 =2 a Δx+a Δx+a Δx+...a Δx)
则n个等式左右分别相加可得 n 0 1 2 3 n ，即末速度的平方减初速度的平
（
方等于a-x图线与坐标轴围的面积的2倍。
变加速直线运动,初速度的平方与末速度的平方的差值等于a-x图线与坐标轴围的面积的2倍。或者说a-x
图线与坐标轴围的面积与质量的成绩表示合力所做的功。
【典例分析1】（2024·四川成都·统考二模）如图（a），倾角为θ的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且
下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点
过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图（b）。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为
g。下列判定正确的是（ ）A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在x=x 处，滑块的机械能最大
2
C．在x～x 和x～x 两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
1 2 2 3
D．在x～x 和x～x 两段过程中，a-x图线斜率的绝度值均等于
1 2 2 3
【典例分析2】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下
运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，
改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星
球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
五.动量中的图像
1.F-t图像的面积表示力的冲量。
2.P-t、I-t图像的斜率表示物体受到的合力
【典例分析1】（2024上·湖南益阳·高三统考期末）一质量 的物体在合力F的作用下从静止沿直线
运动，F随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．第6s末物体的速度大小为3m/s
B．第3s末至第6s末合力对物体的冲量为-3kg·m/s
C．第3s末合力的瞬时功率为4W
D．第4s内与第5s内物体的动量增加量相等
【典例分析2】（2024·河南·统考一模） 粒子 以一定的初速度与静止的氧原子核 发生正碰。
此过程中， 粒子的动量 随时间 变化的部分图像如图所示， 时刻图线的切线斜率最大。则（ ）
A． 时刻 的动量为
B． 时刻 的加速度达到最大
C． 时刻 的动能达到最大
D． 时刻系统的电势能最大
图1
一、单选题1．（2023下·安徽马鞍山·高三安徽省当涂第一中学校考期中）某踢出的足球在空中运动的轨迹如图所示，
足球可视为质点，空气阻力不计。用v、E、E、P分别表示足球的竖直分速度大小、机械能、动能、重力
y k
的瞬时功率大小，用t表示足球在空中运动的时间，下列图像中可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·河南南阳·高三统考期末）一物体做直线运动，其动量随时间变化的p-t图像如图所示。下列
描述此物体动能一时间（ ）图像中可能正确的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023下·山西运城·高一康杰中学校考阶段练习）一提升装置把静置于地面上的重物竖直向上提升的过
程中，提升装置功率随时间变化的P-t图像如图所示。在 时，重物上升的速度达到最大速度的一半，
在 时，达到最大速度 。在 时，重物再次匀速上升，取 ，不计一切阻力。
下列说法正确的是（ ）
A．在 s时间内，重物做加速度逐渐减小的加速运动
B．在 时，重物的加速度大小
C．在 时，重物的速度大小
D．在 时间内，重物上升的高度
4．（2023上·浙江·高二校联考开学考试）如图甲所示，将一轻弹簧放在倾角为45°的固定斜面上，弹簧的
下端固定。把物体P靠近弹簧的上端放在斜面上，P由静止沿斜面向下运动，物体的加速度a与弹簧的压
缩量x间的关系如图乙中实线所示。把物体P换成物体Q，完成同样的过程，其a-x关系如图乙中虚线所
示，已知物体P与斜面间的动摩擦因数是物体Q与斜面间动摩擦因数的0.6倍。下列说法正确的是（
）A．P与斜面间的动摩擦因数为 B．Q与斜面间的动摩擦因数为
C．P的质量是Q的6倍 D．P的质量是Q的 倍
5.（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）“科技让生活更美丽”，自动驾驶汽车呈现出接近实
用化的趋势。图1为某型无人驾驶的智能汽车的测试照，为了增加乘员乘坐舒适性，程序设定汽车制动时
汽车加速度大小随位移均匀变化。某次测试汽车“a-x”关系图线如图2所示，汽车制动距离即12m。则关
于该次测试，下列判断中正确的是（ ）
A．汽车做匀减速直线运动
B．汽车开始制动时的速度大小为
C．汽车开始制动时的速度大小为
D．此车制动时间为
6．（2023湖北·校联考模拟预测）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，质量为m的小
球，从弹簧上端静止下落。若以小球开始下落的位置为坐标原点，建立竖直向下坐标轴Ox，小球下落至最
低点过程中的a－x图像如图乙所示（图中标示坐标值 、 、 、g均为已知量），不计空气阻力，重力
加速度为g。则（ ）
A．弹簧的劲度系数B．弹簧的最大弹力
C．小球向下运动过程中最大加速度
D．小球向下运动过程中最大速度
7．（2023·辽宁沈阳·辽宁实验中学校考模拟预测）如图甲所示，一小物块在水平向右的推力F作用下从A
点由静止开始向右做直线运动，力F的大小随时间变化的规律如图乙所示，钢块的质量 ，与台面
间的动摩擦因数 ， 。则小物块在 时刻的速度（ ）
A． B． C． D．
8.（2023上·北京海淀·高三统考期中）在 时刻，将一物体（可视为质点）竖直向上抛出。以抛出点为
坐标原点、竖直向上为正方向，忽略空气阻力，图中能正确反映该物体的动量p随时间t、动能E 随位移x
k
变化的图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题9．（2024·广东茂名·统考一模）某品牌电动汽车在平直公路上由静止开始启动，若启动过程中加速度传感
器测量到汽车加速度随时间变化的规律如图所示，汽车后备箱中水平放置一质量 的物块，与汽车
始终相对静止，重力加速度g取 ，下列说法正确的是（ ）
A．第 末，汽车的速度为
B．第 末，汽车的速度为
C．前 内，汽车对物块的作用力做功大小为
D．前 内，汽车对物块的最大摩擦力为
10．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）质量为1kg的物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，
其加速度随时间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．第1s内，质点的动能增加量为3J
B．第2s内，合外力所做的功为
C．第2s末，合外力的瞬时功率为3W
D．0~2s内，合外力的平均功率为
11．（2023上·山西吕梁·高三统考期中）跳台滑雪运动起源于19世纪的挪威，1924年跳台滑雪被列为冬
奥会项目。在2022北京冬奥会中我国首座跳台滑雪场馆“雪如意”惊艳亮相。跳台由助滑道、起跳区、着
陆坡、停止区组成。运动员从起跳区水平起跳后在空中运动的速度变化量 、重力的瞬时功率P、动能 、
机械能E，运动员在空中的运动时间t，设起跳处为零势能参考面，不计运动员空气阻力，下列图像中可能
正确的是（ ）A． B．
C． D．
12．（2024上·广东汕头·高三统考期末）电动汽车能实现更准确的运动控制，有一辆电动汽车由静止启动
并沿直线运动，其速度与时间图像（v—t图）如图所示，OA段为直线，AB段为曲线， 时刻以后的图像
是与时间轴平行的直线，则下列选项中正确的是（ ）
A． 时间内，汽车的牵引力等于B． 时刻后，电动汽车的功率可能保持不变
C． 时间内，电动汽车的平均速度大小为
D． 时刻后，电动汽车的牵引力与阻力大小相等
13．（2024上·山东泰安·高三统考期末）如图所示，是小朋友非常喜欢的一款电动玩具小车，我们可以通
过玩具小车在水平面上的运动来研究功率问题。已知小车质量为m，小车刚达到额定功率开始计时，且此
后小车保持功率不变，小车的v-t图象如图甲所示，t₀时刻小车的速度达到最大速度的 倍，小车速度由v₀
增加到最大值的过程中，小车的牵引力F与速度v的关系图象如图乙所示，运动过程中小车所受阻力恒定，
下列说法正确的是（ ）
A．小车的额定功率为
B．小车的最大速度为
C．小车速度达到最大速度的一半时，加速度大小为
D． 时间内，小车运动的位移大小为
14．（2024上·黑龙江鸡西·高三统考期末）一辆机车在水平路面上从静止开始启动做直线运动，其加速度
随时间变化的图像如图所示。已知机车的质量 ，机车前进过程中所受阻力大小恒定，
时机车达到额定功率 ，之后保持该功率不变，下列说法正确的是（ ）A．机车所受到的阻力大小为
B．0~40s内牵引力做功为
C．机车的最大速度为80m/s
D．机车从开始运动到达到最大速度所需要的时间可能为200s
15．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考阶段练习）在距地面高d处由静止释放一小球，小
球向下运动过程中受到的阻力不能忽略，以地面为重力势能的零势能面，物体的机械能E随小球到地面的
高度h的变化关系图像如图所示，图中纵坐标 b、c为已知数据，重力加速度为g。根据图像判断下列说法
正确的是（ ）
A．小球的质量等于
B．当 时，小球的动能等于
C．运动过程中小球受到的阻力大小恒为
D．小球运动的加速度等于
16．（2023上·天津河西·高三统考期末）如图所示，轻质弹簧下端固定在粗糙斜面底端，一小物块从斜面
顶端由静止滑下并压缩弹簧，弹簧始终处于弹性限度内，则物块下滑过程中，物块的动量p、重力势能
E、弹簧的弹力F、弹性势能E随时间t或位移x的关系图像可能正确的是 （ ）
pA． B．
C． D．
17．（2023上·山东青岛·高三校考期末）如图甲，物块a连接有轻弹簧静止于水平面上，物块b以一定初
速度向左运动，通过弹簧与a发生相互作用。对于a、b两物块在相互作用过程中动量p随时间t的变化关
系图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块a的质量大于物块b的质量
B．乙图中的图线交点时刻弹簧压缩量最大
C．a、b两物块在相互作用过程中总动量保持不变
D．乙图中的图线交点时刻物块b的速度大于物块a的速度
18．（2023上·福建·高三福建师大附中校考期中）如图所示，连接有轻弹簧的物块a静止于光滑水平面上，
物块b以一定初速度向左运动．下列关于a、b两物块的动量P随时间t的变化关系图象，合理的是（
）A．
B．
C．
D．
19．（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）如图1所示，一质量为0.4kg的小物体静止在水平台面上，
在水平推力 的作用下从坐标原点 开始沿 轴运动， 与物体坐标 的关系如图2所示。在 时撤
去力 ，同时物体从平台飞出。物体与水平台面间的动摩擦因数为 ，重力加速度 取10m/s2，不计空气
阻力。求：
（1） 时，物体的加速度大小 ；
（2）从坐标原点到 处，水平推力所做的功 ；
（3）物体即将离开平台时力 的功率 。
