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专题 17.1 运用勾股定理解三角形
◆ 典例分析
【典例1】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为线段BC上一点，连接AD
，
①若BD=1，求AD的长；
②如图2，当AD=BD，作DE平分∠ADC，交AC于E，求AE的长；
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC=6，点D为射线BC上一点，连接AD，将线段
AD绕A点顺时针旋转90°得AF，连接BF，当2CD=BD时，求BF的长．
【思路点拨】
此题重点考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综
合性较强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）①由BC=2AC=4，求得AC=2，则CD=BC−BD=3，而∠C=90°，由勾股定理得
，于是得到问题的答案；
AD=❑√AC2+CD2=❑√13
②设AD=BD=x，则CD=4−x，根据勾股定理求得AD=BD=1.5，作EG⊥AD于G，由角平分线的性
质得EG=EC，证明△DEG≌△DEC(AAS)，得DG=DC=1.5，AG=AD−DG=1，设AE= y，则
5
CE=≥=2−y，在Rt△AGE中，根据勾股定理得AG2+GE2=AE2，求解可得BF= ；
4
（2）由 ，得 ， ，根据勾股定理求得 ，
BC=2AC=6 AC=3 BD=4,CD=2 AD=❑√AC2+CD2=❑√13
4❑√5
AB=❑√AC2+BC2=3❑√5，作DM⊥AB于M，利用三角形面积求得 DM= ，根据勾股定理求得
5AM=❑√AD2−DM2=❑
√
(❑√13) 2 −
(4❑√5) 2
=
7❑√5，作
FN⊥AB
于
N
，证明
△NFA≌△MAD(AAS)
，得
5 5
7❑√5 4❑√5 11❑√5
FN=AM= ，AN=DM= ，进而可得BN=AB−AN= ，根据勾股定理即可求得
5 5 5
BF=❑√FN2+BN2=❑
√ (7❑√5) 2
+
(11❑√5) 2
=❑√34
；当点
D
在点
C
右侧时，根据勾股定理求出
AD=3❑√5
，
5 5
3
CE= ，得到AE=EF，在ED上取点G，使EG=BE，连接AG，可证明△BEF≌△GEA，得到
2
BF=AG，根据勾股定理求出AG=3❑√2，即可求解．
【解题过程】
解：（1）①∵ BC=2AC=4，
∴AC=2，
∵BD=1，
∴CD=BC−BD=3，
∵∠C=90°，
；
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√22+32=❑√13
②设AD=BD=x，则CD=4−x，
在Rt△ACD中，
∵AC2+CD2=AD2，
，
∴22+(4−x) 2=x2
∴x=2.5，
∴CD=1.5，
作EG⊥AD于G，∵DE平分∠ADC,AC⊥BC，
∴EG=EC，∠EDG=∠EDC，∠DGE=∠C=90°，
∴△DEG≌△DEC(AAS)，
∴DG=DC=1.5，
∴AG=AD−DG=1，
设AE= y，则CE=≥=2−y，
∴在Rt△AGE中，AG2+GE2=AE2，
，
∴12+(2−y) 2= y2
5
∴y= ，
4
5
即AE的长为 ；
4
（2）∵ BC=2AC=6，
∴AC=3，
∵ 2CD=BD，
∴BD=4,CD=2，
∵ ∠ACB=90°，
， ，
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√13 AB=❑√AC2+BC2=3❑√5
作DM⊥AB于M，
1 1
∵S = BD⋅AC= AB⋅DM，
△ABD 2 2
1 1
∴ ×4×3= ×3❑√5×DM，
2 2
4❑√5
∴DM= ，
5∴Rt△ADM
中，
AM=❑√AD2−DM2=❑
√
(❑√13) 2 −
(4❑√5) 2
=
7❑√5，
5 5
作FN⊥AB于N，
∴∠FNA=∠AMD=90°，
∵∠NAF+∠NFA=∠NAF+∠MAD=90°，
∴∠NFA=∠MAD，
在△NFA和△MAD中，
{∠NFA=∠MAD
)
∠FNA=∠AMD ，
AF=DA
∴△NFA≌△MAD(AAS)，
7❑√5 4❑√5
∴FN=AM= ，AN=DM= ，
5 5
11❑√5
∴BN=AB−AN= ，
5
∴Rt△BFN
中，
BF=❑√FN2+BN2=❑
√ (7❑√5) 2
+
(11❑√5) 2
=❑√34
．
5 5
当点D在点C右侧时，如图4，
由题得∠EAD=90°
∵2CD=BD，
∴CD=BC=6，
∵∠ACB=∠ACD=90°，
，
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√32+62=3❑√5
设CE=x，∴AE=❑√AC2+CE2=❑√9+x2
1 1
∵ AE⋅AD= ED⋅AC
2 2
，
∴3❑√5×❑√9+x2=3(6+x)
3
∴x= ，
2
3
经检验：x= 是方程的解，
2
3
∴CE= ，
2
3❑√5
∴AE= ，
2
3❑√5
∴EF=AE= ，
2
在ED上取点G，使EG=BE，连接AG，
3 9
∴EG=BC−CE=6− = ，
2 2
∵∠BEF=∠GEA，
在△BEF和△GEA中，
{
BE=EG
)
∠BEF=∠GEA ，
EF=AE
△BEF≌△GEA，
∴BF=AG，
9 3
∵CG=EG−CE= − =3，
2 2
，
∴AG=❑√AC2+CG2=❑√32+32=3❑√2
∴BF=AG=3❑√2，
综上所述，BF的长为❑√34或3❑√2．
◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在△ABC中，CA=CB=8，AB=6，∠C<90°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，连结DF，DE．已知点B和点E关于直线DF对称．若ED=CD，则CE
的长为（ ）
23 9 21 11
A． B． C． D．
4 2 4 2
2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在等边△ABC中，点M在线段AB上，AM=2，BM=1
，则以线段AM，BM，CM的长为边组成的三角形面积为（ ）
❑√3 ❑√3 3
A． B． C． D．1
2 3 4
3．（2024·江苏扬州·二模）如图，在△ABC中，若∠A−∠C=90°，AB=1，BC=3，则AC的值为
（ ）
4 3 5 5
A． ❑√10 B． ❑√10 C． ❑√2 D． ❑√5
5 5 3 4
4．（2024·安徽合肥·一模）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，点P为AC边上一动
点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
3 3 3
A．3❑√6 B． ❑√5 C． ❑√6 D．
2 2 2
5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD=8，则CM+MN的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
6．（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动
点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，MN的长为（ ）
A．6 B．12❑√3−18 C．18❑√3−18 D．12
7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，P是斜边AB的中点，
1
∠DPE交边AC、BC于点D、E，连接DE，且∠DPE=90°，若CE= BE，AC=4，则△DPE的面积
3
是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，
AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①∠BDE=90°；②
；③ ④ ，其中，正确的个数是（ ）
BD=CE ∠ACE+∠DBC=30° BE2=2(AD2+AB2)−CD2A．1 B．2 C．3 D．4
9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，AD=3，点
M，N分别在边BC，CD上，当∠AMN+∠ANM=120°时，△AMN的周长最小，则它的周长的最小值
为 ．
10
10．（24-25七年级上·重庆开州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，B=30°，CD= ，AD
3
平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD、AC上的动点，则EC+EF的最小值为 ．
11．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在△ABC中，AB=8，∠B=22.5°，∠C=45°，则
△ABC的面积是
12．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D、
E分别是AB，BC上动点，且AD=BE，连接CD，AE，则CD+AE的最小值是 ．13．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在△ABC中，AD为中线，点F在AD上，满足
2
AF=BD=6，连接BF并延长交AC于点E，若AE=EF，DF= AF，则AC的长为 ．
3
14．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E在△ABC外，
∠DAE=150°，CE∥BD，BD=3，CE=5，则DE= ．
15．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，DC=DA，
∠D=60°，AB=2，将四边形ABCD折叠，使点D和点B重合，折痕为EF，则EF的长为 ．
16．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，AD平分
∠BAC，连接CD，把△ADC沿CD折叠，AC落在CE处，交AB于F，恰有CE⊥AB．若BC=14，
AD=17，则EF= ．17．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点D为AC上
一动点，连接BD，在BD上取点E，使BE=AD，连接CE，则CE+BD的最小值是 ．
18．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点
D，点E是△ABC内一点，连接AE、BE、DE，若∠BED=45°，DE=❑√2，DC=❑√5，则AE的长为
．
19．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在直角△ABC中，AB=BC，点D是边AC上一动点，
以BD为直角边作等腰直角△DBE，DE交BC于点F，连接CE．过点B作BQ⊥DE于点P，交CD于点Q
，下面结论中正确的序号有 ．
①△ABD≌△CBE；②AD2+CQ2=DQ2；③当AD:DC=1:2，S +S =S ；④当CD=BC
△BEC △DCE △DBE
时，BD:EF=❑√2+1．20．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若
点P从点 A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，设运动时间为t秒(t>0)．
（1）将△ABC沿过点 P的直线折叠，使点A与点 B 重合，求出此时t的值．
（2）问：当t为何值时，△ABP为等腰三角形？
（3）现将其△ABC沿着直线BP翻折，请直接写出：当t为何值时，点 C翻折后的对应点C′恰好落在直线
AB上．
21．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，若动点
P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）当t=__________时，PA=PB．
（2）当t=________时，△ BCP为等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出
发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ ABC的周长分成相等
的两部分？
22．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上，点F在射线AD
上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA=∠BAC=α．
（1）如图1，当α=65°时，∠ABE=15°时，求∠BAE的大小；
（2）当α=90°，AB=AC=8时，
①如图2，连接BF，当BF=BA，求CF的长；
②若AD=5❑√2，求AE的长．
23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别取点E，F，使
AE=CF，连结BE，AF相交于点P．（1）求∠BPF的度数．
（2）若∠CBE=45°，PF=2，求BF的长．
（3）如图2，连结CP，若∠BPC=90°，AB=7，求BP的长．
24．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，且
与AC相交于点D．过A作AH⊥BC于H，AH交BD于E，过C作CF⊥BD交BD的延长线于F，交BA
的延长线于M．
（1）求证：∠AED=∠ADE；
（2）若BD=2，求AF的长；
AE
（3）如图2，连接FH连交AC于G，求 的值．
DG
25．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点N，∠BAC=∠BDC，∠BCD−∠DBC=2∠ABD．
（1）求证：AB=AC；
（2）如图2，当∠BAC=90°时，过点A作AE⊥AD，交BD于点E，求∠AED的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点E为BD中点，点F为BC上一点，连接EF、AF，
∠CAF=2∠DBC，AF+EF=3，求四边形ABCD的面积．
26．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC
，MN是过点A的直线，过点C作CD⊥直线MN于点D，连接BD．
（1）求∠ADB的度数；
（2）如图1，可得线段AD，BD，CD的数量关系为__________；将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的
位置，线段AD，BD，CD的数量关系是否发生变化，请说明理由．
27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的中线AD和高线AE
．（1）在图1中，若AB=15，AC=13，BC=14，BE=a，分别求出a，BD2+AD2的值；
（2）①如图1，猜想AB2+AC2和BD2+AD2之间的关系，并证明你的结论；
②如图2，∠MON=45°，点P是边OM上一动点，点Q是边ON上一点，且OQ=8，则OP2+PQ2的最
小值为________．
28．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，作BC的中点D，过D作
∠EDF=90°，分别交AB、AC于E、F，我们称△≝¿为等腰△ABC的“内接直角三角形”．设BE=a，
CF=b．
（1）如图①，当∠A=90°时，若a=2，b=1时，求内接直角三角形DEF的斜边EF的长；
（2）如图②，当∠A=90°时，若E、F分别在BA、AC的延长线上，则内接直角三角形DEF的斜边满
足：EF2= ；（用含a，b的式子表示）
（3）拓展延伸：如图③，当∠A=60°时，EF与a，b还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结
论；若不满足，请探索EF与a，b满足的数量关系式，并证明你的结论．29．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在△ABC中，∠CAB=45°，AC=14，AB=6❑√2．
（1）如图1，求BC的长；
（2）如图2，BM⊥AB，与AC交于点M，点D为AC边上一点，连接BD，E是AB右侧一点，且
BD⊥BE，BD=BE，连接DE、AE，F是DE的中点．探究AD、AE和BF之间的数量关系并证明；
（3）如图3，动点P由点C出发以每秒1个单位的速度在射线CB上匀速运动，同时动点D也从C出发，在
射线CA上以每秒1个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒（t>0），当点B到直线PD的距离等于6
时，求t的值．30．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=90°，等腰直角
△CDE绕直角顶点C在△ABC所在的平面内转动，连接AD，BE，AE
（1）探究BE与AD的数量关系并证明；
（2）若BE=2DE，则当点B，E，D三点共线时，求CE的长；
（3）若CE=2❑√2，则当△ADE是以AE为腰的等腰三角形时，连接BD，并求BD的长．31．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AM
，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O．
（1）∠AOB的度数为 °．
（2）求点O到AB边的距离及△AON的面积．
（3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长．32．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，垂足为H，AD=6，CD=8
，求BD的长度？
（3）如图3，∠BAC=90°，∠ADB=45°，AD=❑√2，BD=4，则BC的长度？33．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，过点B作直线l
，点M在直线l上，连接CM、AM，且CM=BC，过C点作CN⊥AM交AM于点N．
（1）如图1，请问∠ACN和∠MCN有怎样的数量关系，并证明；
（2）如图2，直线CN交直线l于点H，求证：❑√2CH=HB+HM；
（3）已知BC=4，在直线l绕点B旋转的过程中，当∠CBM=15°时，请直接写出MH的长度．（注：在
直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）34．（24-25八年级上·重庆·期末）在△ABC中．
（1）如图1，若∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=10且△ABD的面积为15，求CD的
长；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，点D为边AC上的一点，点M为边BC的中点，点H为边BD上的一
点，连接HM与AH且∠AHM=120°，求证AH⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=6，线段DN在直线AC上移动，点N在点D的上方且DN=2，将
线段BN绕点B顺时针旋转60°到BQ，当MQ取最小值时，求△MDN的周长．35．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知△ABC为等边三角形，点D是边AC上一动点，连接BD，将
△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E．
（1）如图1，若BE⊥BC，CD=2，求线段BE的长；
AE
（2）如图2，连接AE，若DE所在直线与BC垂直，求 的值；
CD
（3）如图3，过点A的直线l∥BC，射线DE与直线l交于点F，若AB=6，EF=1，求线段CD的长．36．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图1，在等边△ABC中，点E是AC边上一动点（点E不与A，C
重合），连接BE，过点A作AH⊥BE于点H，将线段AH绕点A逆时针旋转60°得到线段AK，连接HK
，CK．
（1）若BH=❑√3，求线段CK的长；
（2）如图2，连接CH，延长KH交BC于点D，当KD取最大值时，求证：AE=CD；
（3）在（2）的条件下，当KD取最大值时，连接DE，将△CDE绕C点旋转，连接AD，BE，分别取AD
，BE的中点M，N，连接MN，若△ABC的边长为4，当点D落在直线AC上时，直接写出MN长．
