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专题 19.3 一次函数中的平移、对称与旋转
◆ 典例分析
【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，A(0,3a)、B(−4a,0)，△AOB的面积为6．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将线段AB向右平移m个单位，再向下平移m个单位后得到线段A B ，若△A OB 的面积
1 1 1 1
为4，求m的值；
（3）如图3，将线段AB平移得到线段CD，点B与点C对应，且C(0,n)，且−3＜n＜0，连BD交y轴
AO−OC
于F，求 的值．
OF
【思路点拨】
（1）根据题意得a>0，OA=3a，OB=4a，再由三角形面积即可求解；
（2）设A B 与y轴交于点D，分两种情况，①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质得
1 1
3
A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，再由待定系数法求得直线AB的解析式为y= x+3，进而求得
1 1 4
( 3 ) 3 7
D 0,− m+3−m ，OD=− m+3−m=− m+3，再根据三角形面积列方程求解即可；②当点D在
4 4 4
( 3 ) ( 7 ) 7
y轴负半轴时，同①得D 0,− m+3−m ， OD=− − m+3 = m−3，再根据三角形面积列方程求
4 4 4
解即可；
（3）证△ABF≌△CDF（ASA），得AF=CF，AO−OC=2OF，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵A(0,3a)、B(−4a,0)，
∴a>0，OA=3a，OB=4a，1 1
∴S = OA⋅OB= ×3a⋅4a=6，
△AOB 2 2
∴a=1或−1（舍），
∴A(0,3)、B(−4,0)．
（2）解：设A B 与y轴交于点D，分两种情况：
1 1
①如图2，当点D在y轴正半轴时，
由平移的性质可知，A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，
1 1
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{ b=3 )
把A(0,3)、B(−4,0)代入得： ，
−4k+b=0
{ k= 3 )
解得： 4 ，
b=3
3
∴直线AB的解析式为y= x+3，
4
3
设线段AB向右平移m个单位所得的直线的解析式为y= x+c，与x轴的交点坐标为(−4+m,0)，
4
3
则 ×(−4+m)+c=0，
4
3
解得：c=− m+3，
4
3 3
∴y= x− m+3，
4 4
3 3 ( 3 )
∴直线y= x− m+3与y轴的交点为 0,− m+3 ，
4 4 4
∵线段AB再向下平移m个单位后得到线段A B ，
1 1
( 3 )
∴D 0,− m+3−m ，
43 7
∴OD=− m+3−m=− m+3，
4 4
1( 7 ) 1( 7 )
∴S = − m+3 ⋅m+ − m+3 ⋅(4−m)=4，
△A 1 OB 1 2 4 2 4
4
解得：m= ．
7
②如图2-1，当点D在y轴负半轴时，
由平移的性质可知，A (m,3−m)、B (−4+m,−m)，
1 1
( 3 )
由①得：D 0,− m+3−m ，
4
( 7 ) 7
∴OD=− − m+3 = m−3，
4 4
1(7 ) 1(7 )
∴S = m−3 ⋅m+ m−3 ⋅(4−m)=4，
△A 1 OB 1 2 4 2 4
20
解得：m= ；
7
4 20
综上所述，m的值为 或 ；
7 7
（3）解：由平移的性质得：AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCF，∠ABF=∠CDF，
在△ABF和△CDF中，
{∠BAF=∠DCF
)
AB=CD ，
∠ABF=∠CDF
∴△ABF≌△CDF（ASA），
∴AF=CF，
∴AO−OC=AF+OF−(CF−OF)=AF+OF−CF+OF=2OF，
AO−OC 2OF
∴ = =2，
OF OFAO−OC
即 的值为2．
OF
◆ 学霸必刷
1．（2025·广东汕头·一模）若直线y=2x+b与直线y=kx+3关于直线y=−x对称，则k、b值分别为
（ ）
1 1 1 1
A．k= 、b=6 B．k= 、b=3 C．k=− 、b=6 D．k=− 、b=3
2 2 2 2
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线y=kx（k为常数且k≠0）经过点(−2,−4)，将直线y=kx向
上平移3个单位长度后得到直线l:y=kx+b（k,b为常数且k≠0)，则下列关于直线l:y=kx+b的说法正确
的是（ ）
A．l与y轴的交点坐标是(3,0)
B．若 两点在 上，且 ，则
A(x ,y ),B(x ,y ) l x y
1 1 2 2 1 2 1 2
C．点(−2,1)在l上
D．l经过第一、二、三象限
3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中， ▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，
且点C(3,0),B(4,2)，直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形OABC的面
积平分时向下平移的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
2
4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线
3
段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）( 5 ) ( 3 )
A．(−3,0) B．(−6,0) C． − ,0 D． − ,0
2 2
5．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）已知在平面直角坐标系中，直线
l :y=kx+b(k、b为常数,且k≠0)经过(−1,2)、(1,8)两点，将直线l 向下平移2个单位长度得到直线l ，
1 1 2
下列关于直线l 的说法中，正确的是（ ）
2
A．与坐标轴围成的三角形面积为1 B．不经过第四象限
C．经过坐标原点 D．当x=2时，y的值为7
6．（2023·福建·一模）如图，△ABC的顶点A(−8,0)，B(−2,8)，点C在y轴的正半轴上，AB=AC，
将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为（ ）
(7 ) (7 )
A． ,6 B．(3,6) C． ,6 D．(4,6)
4 2
7．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平
移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为(0,2)或(1,0)；再如：平移两次后点P的坐标为(0,4)或
(1,2)或(2,0)．点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超
过56，则n的值是（ ）
A．50或56 B．40或46 C．38或44 D．39或42
8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线y=x+2关于x轴对称，则一次函数
的表达式为 ．
9．（23-24八年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，与y轴交于
点B(0,3)，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长
度得到的直线l恰好经过点D．若OD=2，则a的值为 ．10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，等腰△ABC在第一象限，且AC∥x
轴，直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被△ABC截得的线段长度n与直线在x
轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么△ABC的面积为
11．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴正半
轴上，点A在点B的左侧，直线y=kx经过点D(1,2)和点P，且OP=2❑√5，将直线y=kx沿y轴向下平移得
到y=kx+b，若点P落在矩形ABCD的内部（不含边界），则b的取值范围是 ．
3
12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x−3与x轴交于点A，与y
5
轴交于点B，将△AOB沿x轴向左平移2个单位得到△A′O′B′，则图中阴影部分的面积为 ．
13．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为4，点C的坐
标为(−1,0)，将直线y=−x+5向下平移m个单位长度后，与正方形ABCD有且只有一个交点，则m的值为 ．
14．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与坐标轴分别交于A，
B两点，将直线AB绕点A逆时针方向旋转45°，则旋转后的直线与x轴的交点坐标为 ．
7
15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线l ：y= x+4与直线l ：y=−x−8交
1 5 2
于点A，直线l 与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l 与y轴交于点D．将直线l 向上平移6个单位得到
1 2 2
直线l ，直线l 与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线l ，若点M为垂线l 上的一个动点，点N为x轴上的
3 3 4 4
一个动点，当CM+MN+NA的值最小时，此时点M的坐标为 ．
1
16．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知一次函数y= x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、点
2
B．
（1）在直角坐标系中画出该函数的图象；
1
（2）在同一坐标系中，画出直线y= x+2关于y轴对称的直线；
2
（3）求出这条对称直线的函数关系式．17．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是由
1
y=− x的图象向上平移2个单位得到的，并且与y轴交于点A．
2
（1）求一次函数y=kx+b(k≠0)的解析式；
（2）若函数y=ax(a≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)相交于点P，且△POA的面积为2，求a的值．
4
18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=− x+4分别交x轴、y
3
轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且∠APB=45°，求点P的坐标；19．（24-25八年级上·广东茂名·期末）阅读材料：
通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数
的表达式．有这样一个问题：如图1，直线l 的表达式为y=−2x+4，直线l 与x轴、y轴交于A、B两点，
1 1
若直线l 与直线l 关于y轴对称，求直线l 的表达式．下面是小明的解题思路．
2 1 2
第一步：求出直线l 与x轴的交点A的坐标为(2,0)，与y轴的交点B的坐标为(0,4)；
1
第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l ；
1
第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标为(−2,0)；
第四步：由点B(0,4)，点C(−2,0)，利用待定系数法，可得直线l 的表达式y=2x+4．
2
（1）参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线y=−x+2关于y轴对称的直线的表达式为________；
（2）如图2，若过点(−1,0)且平行于y轴的直线叫做直线x=−1，直线l 与直线y=−2x+4关于直线
3
x=−1对称，求直线l 的表达式；
3
（3）如图3，直线l 与直线y=−2x+4关于直线y=x对称，求直线l 的表达式．
4 4
20．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，直角三角板AOB如图所示在平面直角坐标系内，
∠B=30°，O为坐标原点，作AH⊥x轴， AO=10，若∠AOH=30°．（1）点A的坐标为___________；OB=___________；
（2）求边AB所在直线的表达式；
（3）直线y=mx+n自与直线AB重合的位置向下平移，当其平分三角形AOB面积时，直接写出直线
y=mx+n的表达式．
21．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(12,0),K(4,0)，过点A的
直线y=kx−4交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线y=2x+b交于点M．
（1）试判断△AMN的形状，并说明理由．
（2）将AN所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括
l与直线AN重合），在直线MK上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存
在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．❑√3 4❑√3
22．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l ∶y=− x+ 与x
2 3 3
轴交于点B ，与直线l ∶y=kx+b交于点C，C点到x轴的距离CD为2❑√3，直线l 交x轴于点
1 1
A，∠CAB=60∘ ．
（1）求直线l 的函数表达式；
1
（2）如图2，点P为线段AB上一点，将△ACP沿CP折叠后，点A恰好落在BC 边上，求P点坐标；
（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60∘，得到△BGH，使点A与点H对应，点C与点G对应，
将△BGH沿着直线BC平移，点M为直线AC上的动点，是否存在以C、O、M、G为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点M的坐标； 若不存在，请说明理由．
