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专题 19.4 一次函数图象中的面积问题
◆ 典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点A(1,0)，B(0,2)，C(−1,−2)，直线AB和直线AC的图象相交
于点A，连接BC．
（1）求直线AB和直线AC的函数表达式；
（2）请直接写出△ABC的面积为___________，在第一象限，直线AC上找一点D，连接BD，当△ABD
的面积等于△ABC的面积时，请直接写出点D的坐标为___________．
（3）点E是直线AB上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接CE，EF，FC，当△CEF是以CE为底边
的等腰直角三角形时，请直接写出△CEF的面积为___________．
【思路点拨】
（1）用待定系数法，即可求解直线AB和直线AC的函数表达式；
（2）先求出直线AC与y轴的交点坐标，再用割补法求△ABC的面积即可；根据△ABD的面积等于
△ABC的面积可得AC=AD，过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，通过证明
△ACF≌△ADG(AAS)，即可得出AF=AG=2,CF=DG=2，即可求出点D的面积；
（3）根据题意，进行分类讨论，当点F在x轴上，点F在y轴上，分别过点E和F作坐标轴的垂线，通过
证明三角形的全等，得出点E和点F的坐标，即可求解．
【解题过程】
（1）解：设直线AB的函数表达式为y =k x+b (k ≠0)，
1 1 1 1
把A(1,0)，B(0,2)代入得：{0=k +b ) {k =−2)
1 1 ，解得： 1 ，
2=b b =2
1 1
∴直线AB的函数表达式为y =−2x+2，
1
设直线AC的函数表达式为y =k x+b (k ≠0)，
2 2 2 2
把A(1,0)，C(−1,−2)代入得：
{ 0=k +b ) { k =1 )
2 2 ，解得： 2 ，
−2=−k +b b =−1
2 2 2
∴直线AC的函数表达式为y =x−1；
2
（2）把x=0代入y =−x−1得：y =−1，
2 2
∴M(0,−1)，
∵A(1,0)，B(0,2)，C(−1,−2)，
∴BM=2−(−1)=3，点A到y轴距离为1个单位长度，点C到y轴距离为1个单位长度，
1 1
∴S =S +S = ×3×1+ ×3×1=3，
△ABC △ABM △BCM 2 2
过点C作CN⊥x轴于点N，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵C(−1,−2)，
∴N(−1,0)，
∴AN=2,CN=2，
设△ABD在AD边上的高为h，
∵S =S ，．
△ABC △ABD
1 1
∴ AC⋅ℎ = AD⋅ℎ，
2 2
∴AC=AD，
在△ACN和△ADG中，{∠DAG=∠CAN
)
∠DGA=∠CNA ，
AC=AD
∴△ACN≌△ADG(AAS)，
∴AN=AG=2,CN=DG=2，
∴D(3,2)．
故答案为：3，(3,2)；
（3）①如图：当点F在x轴负半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设E(a,−2a+2),F(b,0)，
∵△CEF是以CE为底的等腰直角三角形，
∴EF=CF,∠EFC=90°，
∵∠EFQ+∠CFP=90°，∠EFQ+∠FEQ=90°，
∴∠CFQ=∠FEQ，
在△CFP和△FEQ中，
{∠CFQ=∠FEQ
)
∠EQF=∠FPC ，
EF=CF
∴△CFP≌△FEQ(AAS)，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P(−1,0),Q(a,0)，
{ a−b=2 )
∴ ，
|−1−b)=|−2a+2){ a=1 )
解得： ，
b=−1
∴E(1,0),F(−1,0)，
∴EF=2,CF=2,
1
∴S = ×2×2=2；
△CEF 2
②如图：当点F在x轴正半轴上时，过点C作CP⊥x轴于点P，过点E作EQ⊥x轴于点Q，
同理可得：∴△CFP≌△FEQ(AAS)，
∴CP=QF=2,PF=EQ，
∵P(−1,0),Q(a,0)，
{ b−a=2 )
∴ ，
b−(−1)=−2a+2
1
{ a=− )
3
解得： ，
5
b=
3
( 1 4) (5 )
∴E − , ,F ,0 ，
3 3 3
√ (5 1) 2 (4) 2 2❑√13
∴EF=CF=❑ + + = ，
3 3 3 3
1 2❑√13 2❑√13 26
∴S = × × = ；
△CEF 2 3 3 9
③如图：当点F在y轴上时，过点C作CH⊥y轴于点H，过点E作EI⊥y轴于点I，∵点E在直线AB上，点F在x轴上，
∴设E(a,−2a+2),F(0,b)，
同理可得：∴△CFH≌△FEI(AAS)，
∴CH=FI=1,FH=EI，
∵H(0,−2),I(0,−2a+2)，
{b−(−2a+2)=1)
∴ ，
b−(−2)=a
5
{ a= )
3
解得： ，
1
b=−
3
(5 4) ( 1)
∴E ,− ,F 0,− ，
3 3 3
√ (5) 2 ( 4 1) 2 ❑√34
∴EF=CF=❑ + − + = ，
3 3 3 3
1 ❑√34 ❑√34 17
∴S = × × = ；
△CEF 2 3 3 9
{(−2a+2)−b=1)
或∴ ，
−2−b=a
{ a=3 )
解得： ，
b=−5
∴E(3,−4),F(0,5)，
∴EF=CF=❑√32+1=❑√10，1
∴S = ×❑√10×❑√10=5；
△CEF 2
26 17
综上：△CEF的面积为2或 或 或5．
9 9
26 17
故答案为：2或 或 或5．
9 9
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于点A(−6,0)、点B，点P
是直线AB上的一个动点，连接OP．
（1）求不等式kx+3>2的解；
1
（2）若△BOP的面积是△AOB面积的 ，求点P的坐标．
4
【思路点拨】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、两直线围成的图形面积．
1
（1）将A(−6,0)代入y=kx+3，即可求出k= ，再求不等式即可；
2
( 1 )
（2）先求出OA=6,OB=3，从而得出S =9，设点P m, m+3 ，表示出S ，根据△BOP的面
△AOB 2 △BOP1
积是△AOB面积的 ，再求解即可．
4
【解题过程】
（1）解：∵A(−6,0)是直线y=kx+3上的一点，
把x=−6，y=0代入y=kx+3，得−6k+3=0，
1
解得：k= ，
2
1
不等式kx+3>2即为 x+3>2
2
解得：x>−2
不等式kx+3>2的解为x>−2；
1
（2）在y= x+3中，令x=0，解得y=3，
2
∴B(0,3)，
由A(−6,0)
∴OA=6,OB=3；
1
∴S = ×6×3=9，
△AOB 2
( 1 ) 1 1
设点P m, m+3 ，则：S = ×3|m)= ×9，
2 △BOP 2 4
3
解得：m=± ，
2
(3 15) ( 3 9)
∴P , 或P − , ．
2 4 2 4
2．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）在直角坐标系xOy中，直线l ：y=−x+5与x轴、y轴分别交于点
1
A，点B．直线l ：y=mx+m(m>0)与l 交于点E．若点E坐标为(1,n)．
2 1
（1）求E的坐标和m的值；
（2）点P在直线l 上，若S =3，求点P的坐标．
2 △AEP【思路点拨】
本题考查的是一次函数的应用，一次函数的性质以及解含绝对值的方程等知识点．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的横坐标为t，则P(t，2t+2)，过点P作PM∥y轴交直线l 于点M，由此可表示PM的长，
1
根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标．
【解题过程】
（1）解：当x=1时，y=−x+5=4，
∴E(1,4)
将点E的坐标代入y=mx+m得：4=m+m，
解得：m=2；
（2）由（1）知，直线l ：y=2x+2，设点P的横坐标为t，则P(t,2t+2)，
2
过点P作PM∥y轴交直线l 于点M，
1
则M(t,−t+5)，
∴PM=|2t+2−(−t+5)|=)3t−3|，
∵直线l ：y=−x+5与x轴、y轴分别交于点A，点B．
1
∴A(5,0)，
∴S =PM⋅(x −x )=3，
△AEP A E
1
即| |3t−3)⋅(5−1)=3，
2
解得t=1.5或t=0.5，
∴P(1.5,5)或(0.5,3)．
3．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1交x轴于点B，直线
3
y=− x+3分别交x轴y轴于点C和点D，两条直线交于点A．
4（1）求点A的坐标；
（2）在直线CD上求点M，使得S =3S ．
△ABC △MAB
【思路点拨】
本题主要考查了直线围成的图形面积，求两直线的交点坐标：
（1）联立两直线解析式求出对应的x、y的值即可得到答案；
（2）分当点M在点A下方时，当点M在点A上方时，两种情况求出S 与S 的关系进而得到y 与
△MBC △ABC M
y 的关系，从而求出y ，进而求出点M的坐标即可．
A M
【解题过程】
8
{ y=− 3 x+3) { x= 7 )
（1）解；联立 4 ，解得 ，
15
y=x+1 y=
7
(8 15)
∴点A的坐标为 , ；
7 7
（2）解：如图，当点M在点A下方时，
∵S =3S ，
△ABC △MAB
2
∴S = S ，
△MBC 3 △ABC
1 1
∵S = BC⋅y ，S = BC⋅y ，
△ABC 2 A △MBC 2 M
1 2 1
∴ BC⋅y = × BC⋅y
2 M 3 2 A
2
∴y = y ，
M 3 A(8 15)
∵A , ，
7 7
2 10
∴y = y = ，
M 3 A 7
3 10 44
在y=− x+3中，当y= 时，x= ，
4 7 21
(44 10)
∴点M的坐标为 ， ；
21 7
如图，当点M在点A上方时，
∵S =3S ，
△ABC △MAB
4
∴S = S ，
△MBC 3 △ABC
1 1
∵S = BC⋅y ，S = BC⋅y ，
△ABC 2 A △MBC 2 M
1 4 1
∴ BC⋅y = × BC⋅y
2 M 3 2 A
4
∴y = y ，
M 3 A
(8 15)
∵A , ，
7 7
4 20
∴y = y = ，
M 3 A 7
3 20 4
在y=− x+3中，当y= 时，x= ，
4 7 21
( 4 20)
∴点M的坐标为 ， ；
21 7
(44 10) ( 4 20)
综上所述，点M的坐标为 , 或 , ．
21 7 21 7
1
4．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，已知一次函数y=kx+b经过点(2,8)，与一次函数y=−x−
2
交于点A(m,1)（1）求一次函数y=kx+b的表达式．
{kx−y=−b
)
（2）请直接写出方程组 1 的解．
x+ y=−
2
（3）求三角形ABD的面积．
【思路点拨】
本题考查了待定系数法，图象法解二元一次方程组，直线围成三角形的面积；
1
（1）由y=−x− 经过A(m,1)可求出A的坐标，将A、B的坐标代入解析式，即可求解；
2
{
y=2x+4
)
（2）原方程组可整理为 1 ，用图象法即可求解；
y=−x−
2
1 ( 1 ) 1
（3）由y=2x+4得D(−2,0)，由y=−x− 得B − ,0 ，由S = y ⋅BD即可求解；
2 2 △ABD 2 A
掌握待定系数法，用图象法解二元一次方程组是解题的关键．
【解题过程】
1
（1）解：∵ y=−x− 经过A(m,1)，
2
1
∴ −m− =1，
2
3
解得：m=− ，
2
( 3 )
∴ A − ,1 ，
2
{
2k+b=8
)
∴ 3 ，
− k+b=1
2{k=2)
解得： ，
b=4
∴ y=2x+4；
1 ( 3 )
（2）解：∵一次函数y=2x+4与一次函数y=−x− 交于点A − ,1 ，
2 2
{kx−y=−b
)
∵ 1 ，
x+ y=−
2
{
y=2x+4
)
∴ 1 ，
y=−x−
2
1 ( 3 )
∵一次函数y=2x+4与一次函数y=−x− 交于点A − ,1 ，
2 2
{ x=− 3 )
∴原方程组的解为 2 ；
y=1
（3）解：由y=2x+4得
当y=0时，2x+4=0，
解得：x=−2，
∴D(−2,0)，
1
由y=−x− 得，
2
1
当y=0时，−x− =0，
2
1
解得：x=− ，
2
( 1 )
∴B − ,0 ，
2
1 3
∴BD=− −(−2) = ，
2 2
1
∴S = y ⋅BD
△ABD 2 A
1 3
= ×1×
2 2
3
= ．
45．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线AB:y=−2x+b与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交于点
1
B．直线CD:y=− x+3与直线AB交于点D，与y轴交于点C．
3
（1）求b的值及点B的坐标．
（2）求△BCD的面积．
5
（3）连接AC，在x轴上有一点E，使得△ABC的面积等于△BDE面积的 ．直接写出此时点E的坐
12
标．
【思路点拨】
（1）根据直线与x轴的交点可求得b的值，进而得到解析式，即可求得点的坐标；
（2）根据两个直线的解析式联立求得交点坐标D，以及点C的坐标，△BCD的面积以BC为底，以点D的
横坐标的绝对值为高，即可求得面积；
（3）先求出△ABC的面积，根据两个三角形面积之间的关系求得△BDE面积，然后设出AE的长，根据
面积分割法列得等式，求解即可，注意分情况讨论．
【解题过程】
（1）解：∵直线AB:y=−2x+b与x轴交于点A(−1,0)，
∴0=2+b，
解得：b=−2，
∴直线AB:y=−2x−2，
令x=0，解得y=−2，
∴B(0,−2)；
1
（2）解：∵直线CD:y=− x+3与直线AB交于点D，
3
{ y=− 1 x+3) {x=−3)
∴ 3 ，解得 ，
y=4
y=−2x−2∴D(−3,4)，
∵直线CD与y轴交于点C，
∴令x=0，解得y=3，
∴C(0,3)，
即BC=|y )+ y =2+3=5，
B C
1 1 15
∴S = ×BC×|x )= ×5×3= ；
△BDC 2 D 2 2
（3）解：由（1）（2）可得A(−1,0)，B(0,−2)，C(0,3)，
1 1 5
∴S = ×BC×|x )= ×5×1= ，
△ABC 2 A 2 2
5
∵△ABC的面积等于△BDE面积的 ，
12
5 5 5 12
∴S = ÷ = × =6，
△BDE 2 12 2 5
设AE=d，
1 1
则S =S +S = ×AE×y + ×AE×|y )=6，
△BDE △ADE △AEB 2 D 2 B
1 1
即 ×d×4+ ×d×2=6，
2 2
解得：d=2，
∵A(−1,0)，点E在x轴上，
当点E在点A左侧时，点E的横坐标为：−1−2=−3，此时点E(−3,0)，
当点E在点A右侧时，点E的横坐标为：−1+2=1，此时点E(1,0)，
∴点E的坐标为(−3,0)或(1,0)．
6．（2024·河北·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y=2x+1与y轴交于点A，直线l 与y
1 2
轴，x轴交于点B，点C，l 与l 交于点D(1,m)，连接OD，已知OC的长为4．
1 2（1）求点D的坐标及直线l 的解析式；
2
（2）求△AOD的面积；
（3）若直线l 上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P的坐标．
2
【思路点拨】
本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算．
（1）把D(1,m)代入y=2x+1，即可求出坐标，再根据点D(1,3)和C(4,0)用待定系数法即可求出函数解
析式；
（2）先求出A(0,1)，再根据图象即可求解；
（3）设P(m,−m+4)，根据S =S −S 或S =S −S 即可求解；
△ADP △ADB △ABP △ADP △ABP △ADB
【解题过程】
（1）解：∵y=2x+1，
∴将点D(1,m)代入得y=2+1=3，
∴D(1,3)；
∵OC的长为4，
∴C(4,0)，
设直线l 的解析式为y=kx+b，
2
将点D(1,3)和C(4,0)代入得：
{ 3=k+b )
，
0=4k+b
{k=−1)
解得： ，
b=4
故直线l 的解析式为y=−x+4；
2
（2）令x=0，得y=2x+1=1，
∴A(0,1)，
1 1 1
∴S = ⋅AO⋅x = ×1×1= ．
△AOD 2 D 2 2
1
（3）根据题意得：S =S = ，
△ADP △ADO 2
设P(m,−m+4)，
令x=0，得y=−x+4=4，
∴B(0,4)，
如图：1 1
∴S =S −S = ×(4−1)×(1−m)= ，
△ADP △ADB △ABP 2 2
2
解得：m= ，
3
1 1
或S =S −S = ×(4−1)×(m−1)= ，
△ADP △ABP △ADB 2 2
4
解得：m= ，
3
(2 10) (4 8)
故P , 或P , ．
3 3 3 3
7．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，一次函数y =2x−2的图象与y轴交于点A，一次函数y
1 2
的图象与y轴交于点B(0,6)，点C为两函数图象的交点，且点C的横坐标为2．
（1）求一次函数y 的函数解析式；
2
（2）求△ABC的面积；
（3）问：在坐标轴上，是否存在一点P，使得S =2S ？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，
△ACP △ABC
请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形面积，以及分类讨论的数学思
想，熟练掌握待定系数法和分类讨论是解题的关键．
（1）求出C的坐标，然后利用待定系数法即可解决问题；（2）求得A点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）分两种情况，利用三角形面积公式即可求得．
【解题过程】
（1）把x=2代入y =2x−2得y=2，
1
∴C(2,2)，
设y =kx+b(k≠0),
2
把B(0,6)，C(2,2)代入可得
¿，解得：¿
∴y =−2x+6．
2
（2）∵一次函数y =2x−2的图象与y轴交于点A，
1
∴A(0,−2)，
1
∴S = ×(6+2)×2=8；
△ABC 2
（3）存在，理由如下：
∵S =2S =2×8=16，
△ACP △ABC
∴S =16，
△ACP
1 1
当P在y轴上时， |AP|·x =16，即 |AP|×2=16，
2 C 2
∴|AP|=16，
∵A(0,−2)，
∴点P的坐标为(0,14)或(0,−18)，
当P在x轴上时，设直线y =2x−2与x轴交于点D，
1
∴D(1,0)，
1 1
∴S =S +S = |PD|·|y |+ |PD|·|y |=16，
△ACP △PCD △ADP 2 C 2 A
1
∴ |PD|×(2+2)=16，
2∴|PD|=8，
∵D(1,0)，
∴点P的坐标为(−7,0)或(9,0)，
综上，在坐标轴上,存在一点P,使得S =2S ，点P的坐标为(0,14)或(0,−18)或(−7,0)或(9,0)．
△ACP △ABC
8．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴，y轴分别交
于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B(6,0)．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）直线AC上有一个点P，过P作x轴的垂线交直线BC于点Q，当PQ=OB时，求出点P的坐标．
【思路点拨】
本题考查了求直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，点在函数图像上的坐标特点，注意分
类讨论．
（1）首先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）求出△ABC的面积；设G(m,−m+6)，(0
