文档内容
专题 2.3 轴对称全章十七类必考点
【人教版】
【考点1 生活中的轴对称现象】..............................................................................................................................2
【考点2 轴对称图形的判断】..................................................................................................................................3
【考点3 镜面对称】..................................................................................................................................................4
【考点4 轴对称性质】..............................................................................................................................................5
【考点5 折叠问题】..................................................................................................................................................6
【考点6 设计轴对称图形】......................................................................................................................................8
【考点7 坐标系中的轴对称变换】........................................................................................................................10
【考点8 线段垂直平分线的性质运用】................................................................................................................15
【考点9 等腰三角形的性质（等边对等角）】...................................................................................................17
【考点10 等腰三角形的性质（三线合一）】.....................................................................................................18
【考点11 判定等腰三角形的个数】......................................................................................................................20
【考点12 等腰三角形的判定与性质综合】.........................................................................................................22
【考点13 等边三角形的性质】..............................................................................................................................24
【考点14 等边三角形的判定】..............................................................................................................................26
【考点15 等边三角形的判定与性质综合】.........................................................................................................28
【考点16 含30°角的直角三角形】.......................................................................................................................30
【考点17 最短路径问题】......................................................................................................................................32
【考点1 生活中的轴对称现象】
【必备知识】
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
【必刷题型】
1．（2024•南昌模拟）如图，一张台球桌的桌面长为2.84m，宽为1.42m，一个台球在桌面的一个角落，将
该球按如图所示的45°角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球
桌角落的一个球袋．则该球（入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋•寻乌县期末）如图，弹性小球从点 P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反
弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为
M，……；第2024次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
3．（2023秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后
击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点2 轴对称图形的判断】
【必备知识】
轴对称图形的概念：
（1）如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直
线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对
称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
【必刷题型】
1．（2024春•大东区期末）在回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
2．（2023秋•姜堰区月考）五个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，直角三角形，其中
一定是轴对称图形的个数为 ．
3．（2024春•鄄城县期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，
对称轴最多的是 ．
4．（2024春•南岸区期末）如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三
角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 个．
【考点3 镜面对称】
【必备知识】
镜面对称：
（1）有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在
镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
（2）镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每
一对对应点的对称轴．
（3）关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就
是镜面反射的结果．
【必刷题型】
1．（2022秋•惠民县期末）如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（ ）A．3：55 B．8：05 C．3：05 D．8：55
2．（2023秋•京山市期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应
该是（ ）
A．21：05 B．20：15 C．20：12 D．21：50
3．（2023春•邯郸月考）小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的
是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024秋•姜堰区校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是
．
【考点4 轴对称性质】
【必备知识】
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
【必刷题型】
1．（2024•邱县二模）如图，点O为∠ABC内部一点，且OB＝2，E、F分别为点O关于射线BA，射线
BC的对称点，当∠ABC＝90°时，则EF的长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2024•丛台区校级二模）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝0.6．若点P关
于直线l，m的对称点分别是点P ，P ，则P ，P 之间的距离可能是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024•阜阳三模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝ ，边CD上的点B′与点B关于对
角线AC对称，则∠ACB的度数为（ ） α
1 1
A．90°− α B．90°+ α C．180°﹣2 D．45°+2
2 2
α α
4．（2023秋•庄浪县期末）如图，∠AOB内一点P，P ，P 分别是P关于OA、OB的对称点，P P 交OA
1 2 1 2
于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P P 的长为（ ）
1 2
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点5 折叠问题】
【必备知识】
折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边
和对应角相等．
在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关
系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为
x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股
定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
【必刷题型】
1．（2023秋•广水市期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折
痕为DE．如果∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA′＝ ，那么下列式子中正确的是（ ）
α β θ
A． ＝2 + B． ＝ +2
C．θ＝ α+ β D．θ＝α180°β﹣ ﹣
2．（2θ024•α威β海一模）如图，在△ABC中，∠BAD＝θ30°，将△αABDβ 沿AD折叠至△ADB'，∠ACB＝2 ，连
接B'C，B'C平分∠ACB，则∠AB'D的度数是（ ） α
α α
A．60°+ B．60°+ C．90°− D．90°﹣
2 2
α α
3．（2024春•孝感期末）如图，在三角形ABC中，点D，E是边AC上两点，点F在边AB上，将三角形
BDC沿BD折叠得三角形BDG，DG交AB于点H，将三角形EFA沿EF折叠恰好得到三角形EFH，且HE∥BD．下列四个结论：
①EF⊥AB；
②∠EHD＝∠HED；
③∠A＝∠ADH；
④∠EHD＝2∠HBD；
⑤若4∠ABC＝3∠AHD，则∠ABD＝4∠ABG．
其中，一定正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2023秋•广汉市期末）如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接
BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB
的度数是 ．
5．（2023秋•浑江区期末）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF
折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数 （用含m的代数式表示）．
【考点6 设计轴对称图形】
【必备知识】
用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得
到不同的图案．【必刷题型】
1．（2024•石家庄校级模拟）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为 1个单位长度的等边三角形组
成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分
合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024秋•姜堰区校级月考）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格
中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有 种．
3．（2024秋•广陵区校级月考）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中
三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四
角形涂上阴影．（注：所画的4个图形不能重复）
4．（2024春•白银期末）在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方
形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
5．（2023春•成县期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．
（1）如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
（2）如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．（3）如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
【考点7 坐标系中的轴对称变换】
【必备知识】
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
【必刷题型】
1．（2024•洪山区校级二模）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣m+1）与点B（n+1，0）关于y轴对称，
则代数式m2+n2的值为 ．
【分析】直接利用关于y轴对称的性质得出关于m，n的方程组进而得出m，n的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（2，﹣m+1）与点B（n+1，0）关于y轴对称，
∴n+1＝﹣2，﹣m+1＝0，
解得：m＝1，n＝﹣3
∴m2+n2＝1+9＝10，
故答案为：10．
2．（2023秋•商城县期末）在平面直角坐标系中，若点 A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于x轴对
称，则点P（n，m）位于第 象限．
【分析】根据点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于x轴对称，可得1+m＝﹣3，1﹣n＝﹣2，进一
步求出点P坐标，即可确定答案．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于x轴对称，
∴1+m＝﹣3，1﹣n＝﹣2，
解得m＝﹣4，n＝3，
∴点P坐标为（3，﹣4）在第四象限，
故答案为：四．3．（2023秋•寻乌县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，
4）均在小正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C （点A、B、C的对应点分别为A 、B 、C ）．
1 1 1 1 1 1
（2）在第二象限内的格点上找点D，连接AD，DB，使得∠ADB＝45°，并写出点D的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到点A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）利用正方形的对角线平分一个内角可得点D．
【解答】解：（1）如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（2）如图，点D的坐标为（﹣1，2）．4．（2023秋•旌阳区期末）如图：在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，
2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）方格纸中画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）直接写出A 、B 、C 的坐标．A （ ）、B （ ）、C （ ）；
1 1 1 1 1 1
（3）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于y轴对称，直接写出m＝ 、n＝ ．
【分析】（1）根据轴对称性质直接作图即可得到答案；
（2）根据图形，结合坐标与图形直接写出坐标即可得到答案；
（3）根据平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特征即可得到答案．
【解答】解：（1）如图所示：，
∴△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）由图可知A （1，﹣4）、B （4，﹣2）、C （3，﹣5），
1 1 1
故答案为：（1，﹣4）、（4，﹣2）、（3，﹣5）；
（3）∵点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于y轴对称，
{m−1=2)
∴ ，
3=n+1
{m=3)
解得 ，
n=2
故答案为：3，2．
5．（2023秋•江陵县期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣2，1），C
（﹣4，3）．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）已知△ABC与△A B C 关于y轴对称，△A B C 与△A B C 关于x轴对称，请在坐标系中画出
1 1 1 1 1 1 2 2 2
△A B C 和△A B C ；
1 1 1 2 2 2
（3）在y轴有一点P，使得△PA B 周长最短，请画出点P的位置（保留画图的痕迹）．
1 2【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A 、B 、C 的坐标，再描点得到△A B C ；然后利用关于x
1 1 1 1 1 1
轴对称的点的坐标特征得到A 、B 、C 的坐标，再描点得到△A B C ；
2 2 2 2 2 2
（3）由于A B 为定值，则PA +PB 的值最小时，△PA B 周长最短，利用点A与点A 关于y轴对称得
1 2 1 2 1 2 1
到PA＝PA ，所以PA +PB ＝PA+PB ＝AB ，根据两点之间线段最短得到此时PA +PB 的值最小．
1 1 2 2 2 1 2
1 1 1
【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×3− ×2×2− ×1×3− ×3×1＝4；
2 2 2
故答案为：4；
（2）如图，△A B C 和△A B C 为所作；
1 1 1 2 2 2
（3）如图，点P为所作．
6．（2023秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（﹣1，
2）．
（1）在图中作出△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的图形△A B C ；
1 1 1（2）若点P坐标为（﹣4，2），直接写出点P关于直线m对称的点的坐标；
（3）若点M（a，b），直接写出点M关于直线m对称的点的坐标．
【分析】（1）作出点A、B、C关于直线x＝1的对称点A 、B 、C ，再顺次连接即可；
1 1 1
（2）根据轴对称的性质即可得出答案；
（3）根据轴对称的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所作；
1 1 1
（2）点P坐标为（﹣4，2），点P关于直线m对称的点的坐标为（6，2）；
（3）点M（a，b），点M关于直线m对称的点的坐标（1+1﹣a，b），即（2﹣a，b）
【考点8 线段垂直平分线的性质运用】
【必备知识】
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相
等．③
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【必刷题型】
1．（2023秋•安顺期末）如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且
M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
2．（2023秋•大足区期末）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若
∠BOC＝130°，则∠GOF的度数为（ ）
A．115° B．130° C．140° D．150°
3．（2023秋•中江县期末）如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交
点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（ ）
A．160° B．140° C．130° D．125°
4．（2024秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 ；
（2）若∠MCN＝ ，则∠MFN的度数为 ；（用含 的代数式表示）
（3）连接FA、FBα、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的α周长为16cm，求FC的长．
5．（2024春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点
E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数．
【考点9 等腰三角形的性质（等边对等角）】
【必备知识】
等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
【必刷题型】
1．（2024秋•杨浦区校级月考）若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数
是 ．
2．（2024秋•金堂县校级月考）等腰三角形中，两腰上的高所在的直线所形成的锐角为35°，则等腰三角
形的底角为 ．
3．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰
三角形，那么它的最大内角可能是 ．
4．（2024秋•新会区校级月考）如图，若B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED
＝EF，∠A＝20°，则∠FED＝ ．5．（2023秋•宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等
腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝ °．
6．（2023秋•松滋市期中）在△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）如图1，若点D在CB延长线上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE的
度数为 ；
（2）如图2，若点D、E均在BC上，且BE＝BA，CD＝CA，求∠DAE的度数．
【考点10 等腰三角形的性质（三线合一）】
【必备知识】
三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当
成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【必刷题型】
1．（2024秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D和E是△ABC内的两点，AD平分
∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BC＝4，BE＝2.5，则DE的长为 ．2．（2023春•金沙县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
点C沿EF折叠后与点O重合，若∠CEF＝50°，则∠ABC的度数是 ．
3．（2023秋•安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于
点F．
1
（1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE= ∠C；
2
（2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数．
4．（2023春•金沙县期末）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝4，G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平
分线AD于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F交AC的延长线于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求AE的长．5．（2024秋•重庆校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，E是CB上一
点，且CE＝AC，EF⊥CD，垂足为F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GD⊥GF．
6．（2023秋•延边州期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC
中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 ；
【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的
中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；
【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中
线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为 ．
【考点11 判定等腰三角形的个数】
【必备知识】
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线
④判定定理在同一个三角形中才能适用．【必刷题型】
1．（2024秋•望城区校级月考）如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，A、B是格点，以A、B、C为
等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
2．（2024春•中原区校级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取
一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．（2024春•金水区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE垂直平分AB，垂足为D，交AC
于点E，延长DE交BC延长线于点F，连接AF、BE．图中等腰三角形共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023秋•淮南期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线
将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条180
5．（2024•杭州模拟）已知顶角为36°，90°，108°， °四个等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰
7
三角形每个都分割成两个小的等腰三角形．那么这四个等腰三角形里有几个等腰三角形可以用两条直线
把这个等腰三角形分割成三个小的等腰三角形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点12 等腰三角形的判定与性质综合】
【必刷题型】
1．（2023秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，
连接BD．
（1）求证：△ABD为等腰三角形．
（2）若∠BDC＝20°，求∠ADC的度数．
2．（2023秋•玉山县期末）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂
线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．
求证：（1）△APM是等腰三角形；
（2）PC＝AN．
3．（2023秋•宜城市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．过
点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形；
（3）若BC＝m，CD＝n，求BE的长（用含m，n的式子表示）．4．（2023秋•桐城市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，填空∠B＝ °，∠C＝ °；
（2）若M为线段BD上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
5．（2023秋•海淀区校级期中）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点
A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD＝2AC．
6．（2024春•武侯区校级月考）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，
且∠A＝∠BCE＝∠D，连接BE．（1）求证：△BCE是等腰三角形；
（2）如图①，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于
F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；
（3）在如图②，若∠ACB＝90°，AC＝BC，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′交CE于F，
交CD于G，若AC＝a，AB＝b（b＞a＞0），求线段CG的长度．
【考点13 等边三角形的性质】
【必备知识】
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
【必刷题型】
1．（2023秋•梨树县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，…在射线OM上，△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，若OA ＝2，则△A B A 的
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1 6 6 7
边长为（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
2．（2024春•江北区校级期末）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上方，满足BC＝BD，∠ABD的角
平分线交CD的延长线于点E，若∠CBD＝ ，则∠E的度数为（ ）
α1 1
A．30°+ B．60°− α C．60° D．30°+ α
2 2
α
3．（2023秋•邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻
折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝ 84 °
．
4．（2023秋•黄山期末）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝40°，则∠1+∠2＝ 14 0 °．
5．（2023秋•铁岭县期末）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC
延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 2 ．
6．（2023秋•农安县校级期末）如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形
ACD，连接BD、CE，相交于O．
（1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由；
（2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由．7．（2024春•砀山县月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰
1 1 1
的距离分别为 r
1
，r
2
，腰上的高为 h，连接 AP，则S△ABP +S△ACP ＝S△ABC ，即：
2
AB•r
1
+
2
AC•r
2
=
2
AB•h，∴r +r ＝h（定值），即PE+PF为定值．
1 2
（1）深入探究
将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，
PF⊥AC，PM﹣ ⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明；
（2）理解与应用
当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间
又有怎样的关系，并说明理由．
【考点14 等边三角形的判定】
【必备知识】
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三
个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
【必刷题型】
1．（2023春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC
于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．2．（2023秋•藁城区期末）如图，△ABC中，AB＝BC，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，若BD＝
ED，求证：△ABC是等边三角形．
3．（2023春•宽甸县期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，
且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．
求证：△BCD是等边三角形．
4．（2023春•宣汉县校级期末）在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位
长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运
动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【考点15 等边三角形的判定与性质综合】
【必刷题型】
1．（2023秋•朔州期中）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．
（1）请说出AD＝BE的理由；
（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；
（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
2．（2023春•东源县期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、
N分别是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
3．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ＝ DB
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE ＝
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解
答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长
为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
4．（2023•灯塔市一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于
点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，
MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线
于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．【考点16 含30°角的直角三角形】
【必备知识】
含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
【必刷题型】
1．（2024春•威海期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点
D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（ ）
3 5
A．3 B． C．2 D．
2 2
2．（2023秋•庆阳期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E是AC的中点，连接
DE并延长交AB于点F，且CE＝CD，若EF＝2，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2023秋•琼山区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝
60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若2DG＝AD，则DF＝
．4．（2024春•顺德区期末）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O
在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为 ．
5．（2022秋•枣阳市期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于
点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，AB＝16，求MH的长．
6．（2023秋•铜官区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°
角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使
DE始终与AB垂直．
（1）求证：△BDF是等边三角形；
（2）求AD﹣CF的值．7．（2023 秋•顺庆区校级期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 的中点，DE⊥AB 于点 E，
DF⊥BC于点F，且DE＝DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD＝CG．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF＝3，求CG的长．
【考点17 最短路径问题】
【必备知识】
（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即
为
所求的位置．
点A，点B分别是直线l异侧的两个点,在l上找到一个点C，使CA+CB最小，这时点C是直线l与AB的
交点，如图1所示.
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称
点，
连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
点A ，点B分别是直线l同侧的两个点，在l上找到一个点C,使CA+CB最小.这时先作点A关于直线l的
对称点A'，则点C是直线l与A'B的交点；或者先作点B关于直线l的对称点B'，则点C是直线l与直线
AB'的交点，如图2所示.【必刷题型】
1．（2024秋•望城区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，
P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 ．
2．（2023秋•黑龙江期末）如图，点 E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为
C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为
．
3．（2024春•西平县期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分
∠BAC，N是AC上一动点（不与A，C重合），M是AD上一动点（不与A，D重合），则CM+MN的
最小值为 ．
4．（2023秋•凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝105°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一个点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝ °．
5．（2024春•开江县期末）如图，锐角∠MON 内有一定点A，连结AO，点B、C分别为OM、ON边上的
动点，连结AB、BC、CA，设∠MON＝ （0°＜ ＜90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC＝
．（用含 的代数式表示） α α
α
6．（2024•乐山模拟）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为
BC上一点，且BN＝MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 ．
7．（2023秋•绥中县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°．BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，
BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP+PQ取得最小值时，BQ的长是 ．
