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专题21.14 一元二次方程根与系数的关系（分层练习）
一、单选题
1．若 是方程 的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知方程 的两根分别为 、 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2023 D．
3．一元二次方程 有两个实数根a，b，那么一次函数 的图象一定不经过的
象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．一元二次方程 有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大的条件是（ ）
A．a，c异号 B．a，c异号；a，b同号
C．a，c异号；b，c同号 D．b，c异号
5．已知菱形 的对角线 ， 的长度是方程 的两个实数根，则此菱形的面积为
（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
6．已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．若方程 有两个同号不等的实数根，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．如果m，n是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 的值是（ ）
A．16 B．15 C．12 D．9
9．如图，四边形 是边长为5的菱形，对角线 的长度分别是一元二次方程 的
两实数根， 是 边上的高，则 值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
10．已知m，n是方程 的两个根.记 ， ，…，
（t为正整数）．若 ，则t的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD⊥BC，DE＝BE，设BE＝a，AB＝b，AE＝c，则以AD和AC的长为
根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2cx+b2＝0 B．x2﹣cx+b2＝0
C．x2﹣2cx+b＝0 D．x2﹣cx+b＝0
13．如果方程 有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．若a≠b，且 则 的值为（ ）A． B．1 C．.4 D．3
15．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程
同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②
；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
16．若 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值等于___________．
17．已知 是一元二次方程 的两实数根，则 的值是___________．
18．若一元二次方程 的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数 的图象一
定不经过______象限．
19．关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的正根，则 的取值范围是______．
20．菱形的两条对角线长分别是方程 的两实根，则菱形的面积是____．
21．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为____________．
22．已知 ， ，且 ，则 ______．
23．已知 、 是关于x的一元二次方程 的两个实数根．若 ，
则 __________．24．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，则这个直角三角
形斜边的长是______________．
25．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程 的两个根为 ，
则 ________．
26．已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______．
27．关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k=________．
28．若 ，边是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为_________．
29．若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值
为_____．
30．如图， 点是 的边 的中点，且 ，设 ，则 的取值范围是
__________.
三、解答题
31．已知关于 的方程 的一个根为 ，求 的值及另一根．32．已知关于x的一元二次方程 ．
(1) 求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
(2) 设方程的两个根分别为 ，且 ，若 ，求m的值．
33．已知 ．
(1)化简 ；
(2)若 、 是关于 的方程 的两个实数根，求 的值．
34．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 若 ， 满足 ，求m的值．35．关于 的一元二次方程 中， 、 、 是 的三条边，其中
．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是 、 ，且 ，求 ．
36．阅读材料：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ， 则 ， ．
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ， ，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1) 材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，____________．
(2) 类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3) 思维拓展：已知实数 、 分别满足 ， ，且 ．求 的值．
参考答案
1．A
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设 另一个根是a，
，
，故选：A．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，
本题属于基础题型．
2．B
【分析】由题意得 ， ，将代数式变形后再代入求解即可．
【详解】解：∵方程 的两根分别为 、 ，
∴ ， ， ，
∴
∴
．
故选：B．
【点拨】本题考查根的定义及根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，
则 ， ．熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
3．C
【分析】根据根与系数的关系即可求出 与 的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由根与系数的关系可知： ， ，
∴一次函数解析式为： ，
故一次函数的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．
4．B
【分析】设一元二次方程 的两根为 ，根据根与系数的关键得到 ，再根据题意有 ，由此即可得到答案．
【详解】解：设一元二次方程 的两根为 ，
∴ ，
∵一元二次方程 有一正根和一个负根，且负根的绝对值较大，
∴ ，
∴a，c异号；a，b同号，
故选B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程 ，若
是该方程的两个实数根，则 ．
5．A
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到 ，再利用菱形的面积等于对角线长乘积的一
半即可得到答案．
【详解】解：∵ ， 的长度是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴菱形 的面积 ．
故选：A
【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数关系、菱形的面积等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关
系是解题的关键．
6．A
【分析】先将 化简，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到 的值，从而得到答
案．
【详解】解：根据题意可得：
，， 是一元二次方程 的两根，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的
关系，是解题的关键．
7．D
【分析】根据方程有两个同号不等的实数根，得到 ，以及两根之积大于0，列出不等式组进行求解即
可．
【详解】解：∵方程 有两个同号不等的实数根，
∴ ，解得： ；
故选：D．
【点拨】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握方程有两个不相等的实数根， ，以及两
根之积为 是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意可得m，n可以看作一元二次方程 的两根，则 ， ，整理
，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴m，n可以看作一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∵ ，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元
二次方程解的定义以及一元二次方程两根之和为 ，两根之积为 ．
9．B
【分析】根据对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，得到 ，根
据菱形的面积公式得到 ，再根据 得到 ．
【详解】解：∵对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是解题
的关键．
10．B
【分析】由一元二次方程根与系数关系得 ，再计算得 ， ，
…， ，从而得到 ，由题意得 ，求解即可得解．
【详解】解：∵m，n是方程 的两个根，
∴ ，∴ ，
，
…..
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ， ，
∵t为正整数，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，分式化简求值，熟练掌握解一元二次方
程和一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
11．D
【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降
次的方法即可求得结果的值．
【详解】∵a与b是方程 的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵ ，同理：
∴故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行
整式的运算是解题的关键．
12．A
【分析】根据题意，先要表示出AD、AC的长，AD=AE-DE，然后利用等腰三角形的性质证出DE=BE=CE，则
AC=AE+CE，求出AD、AC之后，根据韦达定理判断以它们的长为根的一元二次方程．
【详解】解：∵AB⊥BE，BD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°，
在Rt△ABE中，a2+b2＝c2，
∵DE＝BE＝a，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∴CE＝BE＝a，
∴AC＝AE+CE＝c+a，
∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2，
∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0．
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用数
形结合的方法，先表示出线段长度再根据韦达定理判断原方程．
13．D
【分析】先将无理方程化为一元二次方程，根据根的判别式可求得 ，再根据根与系数关系可求得
，由此可得p的取值范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，∵方程有两个不同的实数解，
∴ ，
解得： ．
又∵方程的两根 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数
的算术平方根是非负数，得出 ，从而根据根与系数关系得出 ．
14．B
【详解】解：由 得：
∴
又由 可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点拨】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．
15．D
【分析】设方程 的两根为x 、x ，方程 同的两根为y 、y ．①根据方程解
1 2 1 2
的情况可得出x •x =2n＞0、y •y =2m＞0，结合根与系数的关系可得出x +x =-2m、y +y =-2n，进而得出这
1 2 1 2 1 2 1 2
两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将
（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y +1）（y +1）-1、
1 2
2n-2m=（x +1）（x +1）-1，结合x 、x 、y 、y 均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出
1 2 1 2 1 2
结论．【详解】设方程 的两根为x 、x ，方程 同的两根为y 、y ．
1 2 1 2
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x •x =2n＞0，y •y =2m＞0，
1 2 1 2
∵x +x =-2m，y +y =-2n，
1 2 1 2
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y •y =2m，y +y =-2n，
1 2 1 2
∴2m-2n=y •y +y +y =（y +1）（y +1）-1，
1 2 1 2 1 2
∵y 、y 均为负整数，
1 2
∴（y +1）（y +1）≥0，
1 2
∴2m-2n≥-1．
∵x •x =2n，x +x =-2m，
1 2 1 2
∴2n-2m=x •x2+x +x =（x +1）（x +1）-1，
1 1 2 1 2
∵x 、x 均为负整数，
1 2
∴（x +1）（x +1）≥0，
1 2
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点拨】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数
的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
16．2035
【分析】由 ， 是方程 的两个实数根，可得 ， ，则，而 ，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
．
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记
根与系数的关系是解本题的关键．
17．
【分析】先根据根与系数的关系得到 ，再根据完全平方公式的变形
，求出 ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，对于一元二次方程，若 是该方程的两个实数根，则 ．
18．第二
【分析】根据根与系数的关系可得出 、 ，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次
函数 的图象经过的象限，此题得解．
【详解】解： 方程 的两个实数根分别是 、 ，
、 ，
则一次函数的解析式为 ，
， ，
该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：第二．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数
图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
19．
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数得关系解答即可．
【详解】由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的正根，
∴ ，
解得：
∴ 的取值范围是：
故答案为：
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．25【分析】设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，再根据菱
形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
∵菱形的两条对角线长分别是方程 的两实根，
∴ ，
∴菱形的面积 ．
故答案为：25．
【点拨】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一
半是解题的关键．
21．5
【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出 ， ，再将其代入整理后
的代数式计算即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，即： ，
∴ ，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了一元二次方程的解．
22．
【分析】根据 ，把方程 两边同时除以 ，然后把 ， 看成 的两个
实数根，最后利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：由题意知： ， ，
把 变形为 ，
∵ ， ，且 ，，∴把 ， 看成 的两个实数根，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练的掌握根与系数的关系是解题的关键．
23．2
【分析】根据根与系数的关系得 、 ，再代入到 即 中解方程
可得 的两个值，根据根的判别式进行取舍．
【详解】解：∵ 、 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ， ，即：
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、解方程、根的判别式等知识点，根据根与系数的关
系得到此方程的两根和与两根积是解题的关键．
24．
【分析】根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，可直接设出
，根据韦达定理和勾股定理求解即可．
【详解】设两条直角边的长分别是 ，
∴ ，
∴ ，∴直角三角形斜边的长是 ．
故答案为：
【点拨】此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关
系为 ．
25．
【分析】由根与系数的关系得 ， ，所以
，则
，然后代入即可求解．
【详解】由根与系数的关系得 ， ，
∴ ，
则 ，
∴
．
故答案为： ．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，关键是根据一元二次方程根与系数的关系
求出一般形式再进行代入求值．
26．
【分析】根据已知判断出m，n是方程 的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ，
∴m，n是方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是
方程 的两实数根是解题的关键．
27．2
【分析】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x、x，根据根与系数的关系可求出x+x=k，
1 2 1 2
x•x=-2k．再利用完全平方式可知 ，即可得到方程 ，解出方程．
1 2
再利用根的判别式求出k的取值范围，舍去不合题意的解即可．
【详解】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x、x，
1 2
则x+x=k，x•x=-2k．
1 2 1 2
∵原方程两实数根的平方和为12，
∴ ，
∴ ，即 ．
解得： ， ．
∵方程有两实数根，
∴ ，即 ，
∴ 或 ．
∴ 舍去．综上 ．
故答案为：2．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式和根与系数
的关系的公式是解答本题的关键．
28．2024
【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案．
【详解】解： 是一元二次方程 的两个实数根，
【点拨】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解．
29．
【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．
【详解】设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，
依题意可得
x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，
∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，
设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，m＜9，
根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，
①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2
∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；
②a为斜边时，c2+b2＝a2，
42+（6﹣a）2＝a2，a＝ ，b＝6﹣a＝ ，
∴m＝ab＝ =
故答案为 ．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的综合运用，先由根与系数的关系得到另外两边的关系，再结合
勾股定理列出方程。本题的关键是分类讨论。
30．
【分析】根据“ 点是 的边 的中点，且 ”得出AB的长度以及△ABC是直角三角形，
设出AC和BC的值，得到一个一元二次方程，根据根的判别式求出x的取值范围，即可得出答案.
【详解】∵ 点是 的边 的中点，且
∴AB=4，△ABC是直角三角形
故x=AC+BC>AB=4
令AC=a，BC=b
∴
∴
∴a，b是关于y的一元二次方程 的两个实数根
∴
即： .
综上所述，x的取值范围是： .
【点拨】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．解题时，还利用了一元二次
方程的根与系数的关系这一知识点．.
31．方程的另一根为 ，m的值为2
【分析】设另一根为t，根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，解二元一次方程组即可．【详解】解：设另一根为t，由题意得 ，
∴ ，
∴方程的另一根为 ，m的值为2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与
系数的关系是解本题的关键．
32．(1)见解析 (2) 或
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式 ，即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到 ，解方程即
可求解．
【详解】（1）解：
∴
．
∴不论 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵ 的两个根分别为 ，且 ，
∴ ，
∵
∴
即∴
解得： 或
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， ( 为常数)
的根的判别式 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数
根；当 时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程
的两根， ， ，掌握以上知识是解题的关键．
33．(1) (2)27
【分析】（1）根据
，进行化简即可；
（2）由题意知 ， ，根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：
∴ ；
（2）解：由题意知 ， ，
∴ ，
∴ 的值为27．
【点拨】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系等知识．解题的关键在
于对知识的熟练掌握与灵活运用．
34．(1) (2)
【分析】（1）根据原方程有两个实数根 ， ，可得 ，从而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ，再分两种情况讨论即可.【详解】（1）解：
，
∵原方程有两个实数根，∴ ，
解得： ；
故原方程有两个实数根时， .
（2）解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：
， ，
当 时，据题意可得 ，
解得
则 ，∴ ，
当 时，据题意可得 ，
解得 ，∵ ，∴应舍去，
综上可知：m的值为 .
【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记概念并灵活运用是解本题的关键.
35．(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的 ，再根据 、 、 是 的三条边，结合
，即可解答。
（2）根据韦达定理得 ， ，再用完全平方公式化简得 ，代入
即可解答。
【详解】（1）解：关于 的一元二次方程 去括号，整理为一般形式为：，
，
、 、 是 的三条边，其中 ，
，
，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个根是 、 ，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当 ，方
程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根是解题的关键．36．(1) ； ； (2) ； (3)-1
【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）由题意得出 、 可看作方程 ，据此知 ， ，将其代入计算可得；
（3）把 变形为 ，据此可得实数 和 可看作方程 的两根，继
而知 ， ，进一步代入计算可得．
【详解】（1） ， ；
故答案为 ； ；
（2） ， ，且 ，
、 可看作方程 ，
， ，
；
（3）把 变形为 ，
实数 和 可看作方程 的两根，
， ，．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式
的混合运算顺序和运算法则．
参考答案：
1．B
【分析】根据一元二次方程的定义即可求得 的值．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 ，常数项为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∵关于 的方程 是一元二次方程，∴ ,
∴ ，
∴ ；
故选 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识．根据一元二次方程的一般形式：
是常数且 中， 叫二次项， 叫一次项， 是常数项，其中 ， ， 分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程 ，
则该方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3．D
【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到 ，再由 进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
4．C
【分析】利用表中数据得到 ，于是可判断x在
范围内取某一个值时， ，所以得到一元二次方程 的一解的取值范围．
【详解】解：∵当 时 ，当 时 ，
∴当x在 中取一个值时， ，
∴一元二次方程 的某一个解的取值范围是 ．故答案为：C．
【点拨】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
5．D
【分析】根据分式的混合运算化简，然后根据一元二次方程方程的根的定义，得出 ，代入化
简结果即可求解．
【详解】解：
，
∵ 是方程 的根．
∴ ，
∴原式 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．
6．B
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方
程，由这四个条件判断即可．
【详解】解：A、 分母中有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、 是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、 化简为： ，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、 含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
7．C
【分析】首先把方程化成一般形式 ，然后再确定二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解： ，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式 ．其中 叫做二次项系数； 叫做
一次项系数； 叫做常数项．
8．A
【分析】将 带入 ，得到一个关于m的方程，求出m的值，再根据一元二次
方程的定义，排除不符合题意的m的值。
【详解】解：将 带入 得： ，
解得： 或 ；
∵原方程为一元二次方程，
∴ ，即 ，
∴
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关内容，并
灵活运用．
9．B【分析】利用a是关于x的一元二次方程 的根得到 ，进
而判断出 ，同理判断出 ，即可得出结论．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程 的根，
，
，
，
，
同理： ，
，
,
故选：B．
【点拨】此题考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出 是解题的关键．
10．B
【分析】根据方程根的定义，把 代入方程 中得到 ，即
，整体代入 即可得到答案．
【详解】解：根据题意，把 代入方程 中，
，即 ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，将 代入方程 中得到
是解决问题的关键．
11．C
【分析】根据一元二次方程的定义可得 =2，且a+1≠0，解方程即可；．
【详解】解：由题意得 =2，且a+1≠0，，
解得：a=±1，因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，
即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
12．C
【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可．
【详解】解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，
∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，
∴a+b=k，ab=18，
∵a，b，k均为整数，
∴a=±1，b=±18，k=±19；
a=±2，b=±9，k=±11；
a=±3，b=±6，k=±9；
故k的值共有6个，
故选C．
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，是基础知识要熟练掌握．
13．C
【分析】当 时，方程无解，可知 ，方程两边都除以x，得 ，根据 可得 的范围，
从而得到缩小的x的范围，进一步根据 ，再得到缩小的 的范围，进而可确定x的更小范围．
【详解】解：将 代入方程得 ，
∴x≠0，
∴原方程可化为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．
14．C
【分析】先化简 ，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b
的值，再代入计算即可．
【详解】解： = = 1．
∵方程x2+ax+b=0的一根是 ，
∴ + +b=0．
∴ ．
∴ ．
∵ 、 是整数，
∴
解得
∴ = = ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程
组是解题关键．
15．D【分析】先解分式方程，求得a的值，再由方程 有解得a的取值范围，则可求得a的值，可
求得答案．
【详解】解分式方程 可得x=4- ，x≠2，
∵a使得关于x的分式方程 有正整数解，
∴a的值为0、2、6，
方程 ，
当a=0时，方程有实数解，满足条件，
当a≠0时，则有 ≥0，即16+8a≥0，解得a≥-2且a≠0，
∴满足条件的a的△值为-2，0、2、6，共4个，
故选：D．
【点拨】本题主要考查方程的解，求得a的整数值是解题的关键．
16．
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式： （a，b，c是常数且 ）特别要注意
的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，bx叫一次项， 是常数
项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
17．
【分析】将 代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得 的值．
【详解】解：根据题意，将 代入方程可得 ，
解得： 或 ，
，即 ，．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不
能为 ，难度不大．
18．
【分析】根据一元二次方程的定义得出 且 ，再求出 即可．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出 且 是
解此题的关键．
19．
【分析】由 得 ，利用整体代入即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式和整体代入是解题的关键．
20．
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得 ， ，然后代入式子求值即可．【详解】解：由题意知， ， ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
21．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可设： ，
将 代入 ，得
，
∴ ，
故该方程为： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
22．-3
【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二
次项系数不等于零，即可确定m的值．
【详解】解：∵该方程为一元二次方程，
∴m2−7＝2，
解得m＝±3；
当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；
∴m＝-3，
故答案为：-3．
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键
是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
23．3【分析】将 代入 求得x的值即可．
【详解】解：将 代入 可得：
所以 ，解得 或
由 ，则 ．
故答案为3．
【点拨】本题主要考查了方程的根，使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根．
24．4
【分析】根据方程的解的定义把 代入一元二次方程 ，得到 ，然后将其整体代
入所求的代数式进行求值．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用．
25．1
【分析】根据一个根是 ，代入方程，得到 ， 等式，再由 ， 是整数，即可求出
的值．
【详解】∵ ，
∴把 代入方程有 ，
整理得 ，
∵ ， 是整数，
∴ ，解得 ，
∴ ．
故答案为：1
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，由 ， 是整数就可以求出 ， 的值．
26．-1
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0
代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．
【详解】解：把x=0代入(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0中得：
m2－1＝0
解得：m=1或m=-1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1，
故答案为：-1．
【点拨】此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题过程中要注意一元二次方程的系数
不能等于0．
27．0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3
个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【详解】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t ）2 0，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
28．【分析】由方程根的定义可得 ，变形为 ．再将 等号两边同
时乘 并变形得 ，代入 逐步化简即可．
【详解】∵ 是方程 的一个根．
∴ ，即 ．
将 等号两边同时乘 得：
，即 ．
∴ ．
故答案为：-2021．
【点拨】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键．
29． ； ；
【分析】将 因式分解求得 ，则 可化简得 ，根据 ，
为有理数，可得 ， 也为有理数，故当 时候，只有 ， ，
据此求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴∵ ， 为有理数，
∴ ， 也为有理数，
故当 时候，只有 ， ，
∴ ， ，
故答案是： ， ；
【点拨】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数
的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
30．x =3，x =-8
1 2
【分析】将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解
之可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x =5，x =-6，
1 2
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x =3，x =-8，
1 2
故答案为：x =3，x =-8
1 2
【点拨】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行
简便计算．
31．
【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解： 是一元二次方程，
， ，
解得： ， ，
，
原不等式变为： ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定
义求出m的值．
32． 二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得 ，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的
定义求解．
【详解】去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 ，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程一般式： ，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫
常数项．
33． ，3
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：
，
∵a是方程 的一个根，
∴ ，
即 ．
∴原式 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关
键．
34．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把 代入方程即可得出答案；
（2）把 代入方程即可得出答案；（3）把 代入方程即可得出答案．
【详解】（1）解：把 代入方程 得： ，
∴ ， ， 之间的关系是： ；
（2）把 代入方程 得： ，
∴ ， ， 之间的关系是： ；
（3）把 代入方程 得： ，
∴常数项 ．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根，掌握这个概念是关键．
35．(1)m＝3
(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
【详解】（1）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，
解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或 ，
解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，
当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
36．（1） ；（2） ，
【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程
即可.
【详解】解： 化简，得
．
方程 是关于 的一元二次方程，得
，解得 ，
当 时，方程 是关于 的一元二次方程；
由一次项系数为零，得 ．
则原方程是 ，即 ．
因式分解得 ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一
次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
