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专题22.36 二次函数（全章分层练习）（基础练）
一、单选题
1．函数 是关于 的二次函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，点 ， ， 都在函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线 ，若点 都在该抛物线上，则 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
4．把抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为
（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数 的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定
7．已知二次函数 （ 为常数）的图象与 轴有交点，且当 时， 随 的
增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．8．某种品牌的服装进价为每件 元，当售价为每件 元时，每天可卖出 件，现需降价处理，且
经市场调查：每件服装每降价 元，每天可多卖出 件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价 元，每
天售出服装的利润为 元，则 与 的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，抛物线 （ ）与x轴交于点 ，其对称轴直线 ，结合图象给出下
列结论：
① ；② ；
③当 时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数 与一次函数 的图象如图所示，点 的纵坐标满足
，且m，n都为整数，则这样的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题11．将抛物线 向上平移3个单位长度后，经过点 ，则 的值是 ．
12．将二次函数 化成 的形式，则 ．
13．设 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为
．（用＜连接）
14．将抛物线 沿 轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ；
15．已知二次函数 ，当 时， 的取值范围为 ．
16．已知抛物线 的图象如图所示，则一元二次方程 的根情况是
．
17．一种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是 ．若这种礼炮在升空到最高
点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s．
18．请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式： ．
解：令 ，解得 ， ，则抛物线 与x轴的交点坐标为 和 ．画出
二次函数 的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当 或 时函数的图象位于x轴的上方，此时 ，即 ，所以一元二
次不等式 的解集为 或 ．这一过程中渗透了转化的思想和数形结合的思想．
那么不等式 的解集是 ．三、解答题
19．已知，如图，二次函数 的图像与 轴交于A， 两点，与 轴交于点 ，且经
过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求 的面积，写出 时 的取值范围．
20．如图，利用函数 的图像，解决下列问题：
（1）方程 的解是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；（3）当 时，x的取值范围是 ．
（4）当 时，y的取值范围是 ；
21．如图，二次函数 的图象过 ， 两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接 ，求 的面积．22．某体育用品商店销售一款排球，进价为20元/个，销售过程中发现，每天的销量 （个）与销售
单价 （元）之间的关系可以近似地看作一次函数 ．
（1）销售单价定为多少元时，每天可获利336元？
（2）写出每天获得的利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式，并求体育用品商店日销售
的最大利润．
23．一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式： （不计空气阻力），其中 是物体距
离地面的高度， 是初速度， 是重力加速度（g取 ），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器
（发射器的高度忽略不计）将一个小球以 的初速度从地面竖直向上抛．
（1）当小球的高度为 米时，求时间 的值；
（2）小球的高度能达到 米吗？请作出判断，并说明理由．
24．如图1，抛物线 分别交 轴于 ， 两点，且与 轴交于点 ．（1）求抛物线的表达式及顶点 的坐标．
（2）如图2，将该抛物线绕点 旋转 ．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为 ，且与 轴的右侧交于点 ，顺次连接 ， ， ， ，求四边形
的面积．
参考答案
1．C
【分析】由二次函数的定义可知 且 然后可求得m的取值．
解： 函数 是关于 的二次函数，
且 ，
解得 ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．
2．D
【分析】根据题目中的抛物线，可以得到函数图象的开口方向，对称轴，然后根据二次函数的性质，
即可得到 、 、 的大小关系，从而可以解答本题．
解：∵抛物线 ，∴该抛物线开口向上，对称轴是y轴，点距离对称轴越远则函数值越大．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
3．D
【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∵点 都在该抛物线上， ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．
4．C
【分析】根据二次函数图像平移特征判断即可．
解：将 先向右平移2个单位长度得到函数的表达式为 ，再向上平移3个单位长度得到
的函数表达式为 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律是解题的关键．
5．D
【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通
过函数系数对比，即可得到答案．
解：A选项中， 开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，而 函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
∴A选项不符合题意；
B选项中， 开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
∴B选项不符合题意；
C选项中， 开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
∴C选项不符合题意；
D选项中， 开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的
性质，从而完成求解．
6．B
【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答．
解：令 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数 的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程的判别式，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程的解的问题．
7．D
【分析】先求出二次函数对称轴为直线 ，且二次函数开口向上，再由增减性得到 ，进一步
根据二次函数与x轴有交点，得到 ，由此可得 ．
解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数对称轴为直线 ，且二次函数开口向上，
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，
∵二次函数与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系等等，熟知二次函数
的相关知识是解题的关键．
8．A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为 元，每天可卖出 件，利用
每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且
日销售量为整数，即可得出x的取值范围．
解：设每件服装降价x元，每件的销售利润为 元，每天可卖出 件，每天售出
服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，∴ ，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为 （ ，x为偶数）．
故选：A．
【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数
关系式是解题的关键．
9．C
【分析】根据抛物线的开口方向、与 轴的交点判断出a，c的符号，再结合对称轴分别判断即可．
解：抛物线开口向上，因此 ，
与 轴交于负半轴，因此 ，故 ，所以①正确；
当 时，图象在x轴上，对称轴为直线 ，
则当 时，图象在x轴上，
即 时， ，所以②错误；
由图可知： 时， 随 的增大而增大，所以③正确；
∵抛物线与 轴有两个不同交点，
∴关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，共3个，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
10．D
【分析】首先联立求出二次函数与一次函数的交点坐标，然后根据点 的纵坐标满足 ，
且m，n都为整数得到 ，然后分别代入 ， ， 求解即可．
解：联立二次函数 与一次函数
得，
解得 ，
∵ 的纵坐标满足 ，且m，n都为整数，
∴ ，∴当 时， ，
∴点P的坐标为 或 ；
∴当 时， ，
∴点P的坐标为 或 或 ；
∴当 时， ，
∴点P的坐标为 或 ．
综上所述，这样的点P可以为 或 或 或 或 或 或 ，共7个，
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出二次函数与一次函数的交点
坐标．
11．1
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点 代入，得到 ，最后变形
代入即可.
解：∵抛物线 向上平移3个单位长度后经过点 ，
∴点 向下平移3个单位长度后得到的点 在抛物线 的图象上，
故 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式.
12．【分析】将二次函数 的右边配方即可化成 的形式．
解：根据题意得：
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了配方法将二次函数的一般式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．
13．
【分析】根据 的开口方向以及对称轴的位置即可判断．
解：∵抛物线 的开口向上，且对称轴为 ，
∴ 离对称轴最近， 值最小， 离对称轴最远， 值最大，
∴ ，
∴故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中 变化时，抛物线的开口方向以及
对称轴的位置对 的影响是解题的关键．
14．
【分析】根据抛物线沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数可直接得出答案．
解：∵将抛物线 沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数，
∴得到的新的抛物线的解析式是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标
变为相反数是解答此题的关键．
15． /
【分析】先求出二次函数的对称轴，再利用二次函数的增减性即可得出结论．解： ，
该抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的增减性，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减
性．
16．有两个相等的实数根
【分析】根据图象中二次函数的最小值为 ，可得 的根的情况．
解：由图象可知，二次函数 最小值为 ，
一元二次方程 有两个相等的实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
17．6
【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解．
解：由题意可得： ，
∵
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当 时，升到最高点．
故答案为：6．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．
【分析】根据题干所给的解一元二次不等式的方法即可解答．解：由题干及图象可知：
当 时函数的图象位于x轴的下方，此时 ，即 ，所以一元二次不等式
的解集为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，运用转化的思
想和数形结合的思想结合交点直观求解集是解题关键．
19．（1） ；（2）顶点坐标是 ，对称轴是 ；（3） 的面积为21，
时， 的取值范围是 ．
【分析】（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．
解：（1）∵二次函数 的图像经过点 、 ，
∴ ，
解这个方程组，得 ，
∴该二次函数的解析式是 ；
（2） ，
∴顶点坐标是 ；
对称轴是 ；
（3）∵二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
∴ ，解这个方程得： ， ，
即二次函数 与 轴的两个交点的坐标为 ， ．
∴ 的面积 ．
由图像可得，当 时， ，
故 时， 的取值范围是 ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配
方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．
20．（1） ， ；（2） （ 也对）；（3） 或 ；（4）
【分析】（1）由抛物线与 轴的交点坐标可得答案；
（2）求出二次函数的对称轴，然后根据其开口方向可得答案；
（3）由抛物线经过点 及抛物线的对称性求解即可；
（4）求出二次函数的顶点坐标得出其最小值，然后将 代入函数解析式即可得出其最大值，从而
得解．
（1）解：由函数图像可知抛物线经过点 ，
∴ 是方程的解，
故答案为： ， ；
（2）抛物线的对称轴为 ，
∴当 或 时y随x的增大而减小，
故答案为： （ 也对）；
（3）由图像可知抛物线经过点 ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴抛物线经过点 ，
∴ 或 时， ，
故答案为： 或 ；（4）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴函数的最小值为 ，
将 代入 得 ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键时掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数
与方程及不等式的关系．
21．（1）这个二次函数的解析式为 ；（2）
【分析】（1）把 ， 代入 得到方程组，解方程组后即可得到二次函数的
解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴，得到点C的坐标，进一步求得 的面积即可．
解：（1）把 ， 代入 ，
得： ，
解得 ．
故这个二次函数的解析式为 ．
（2）∵该抛物线对称轴为直线 ，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴、三角形的面积等知识， 求出二次函数解析式是解题的关键．
22．（1）销售单价定为32元时，每天可获利336元；（2）日销售最大利润为375元
【分析】（1）根据总利润 每件的利润 销量，列出方程，即可求解；
（2）根据总利润 每件的利润 销量，列出函数关系式，即可求解．
（1）解：依题知，得 ．
整理方程，得 ．
解得 ， ．
，
，不合题意，舍去．
答：销售单价定为32元时，每天可获利336元．
（2）解： ，
即 ．
，
∴抛物线的开口向下．
∴当 时，w的值随着x值的增大而增大．
，
∴当 时， ．
答：日销售最大利润为375元．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系
是解题的关键．
23．（1）小球的高度为 米时，所用时间为 或 ；（2）小球的高度不能达到 米．理由见
分析
【分析】（1）把 ，代入所给关系式求出二次函数解析式，再 代入解析式求t的值
即可；
（2）把 代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可．（1）解：把 代入 得：
，
当 时， ，
即 ，
解得： ．
答：小球的高度为 米时，所用时间为 或 ；
（2）解：小球的高度不能达到 米，
理由如下：
把 代入 得：
，
∴ ，
∵ ，
∴ 无实数解，
∴小球的高度不能达到 米．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
24．（1） ， ；（2）① ；②
【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为 ，将点 代入即可求
解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点 的坐标；
（2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为 ，可知 为顶点 和
的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点 的坐标，由
的坐标，图形结合得 ，由此即可求解．
（1）解：由题意可设二次函数的表达式为 ，将点 代入得 ，
∴二次函数表达式为 ，
∴顶点 的坐标为 ．（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为 ，
∵ 为顶点 和 的中点，即 ， ，
∴点 的坐标为 ，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
∴ ，
故旋转后的抛物线表达式为 ；
②由①得 点坐标为 ，
∵ ， 点关于点 对称，
∴ 点坐标为 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，点 到 轴的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋
转的性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键．
