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专题22.37 二次函数（全章分层练习）（提升练）
一、单选题
1．（2023·上海·一模）下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知点 ， ， 在抛物线
上，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得
到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·河南·九年级校联考期末）关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．最大值为
C．当 时， 随 的增大而减小 D．与 轴只有一个交点
5．（2023秋·浙江·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数
的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．6．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）已知二次函数 ，当 时，函
数值为 ，当 时，函数值为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）设 ，且函数 与
有相同的最小值u；函数 与 有相同的最大值
v；则 的值（ ）
A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定
8．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线 的图象向左平移 个单位，再向
上平移 个单位，所得图象的解析式为 ，则 ， 的值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．（2021·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考二模）已知抛物线 在坐标系中的位
置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴 上的动点，根据图中提供的信息，以下
结论中不正确的是（ ）
A． B．当 时，y随x的增大而增大
C． 周长的最小值是 ＋3 D． 是 的一个根
10．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作
BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）矩形周长等于40，设矩形的一边长为 ，那么矩形面积 与边
长 之间的函数关系式为 .
12．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如果二次函数 图象对
称轴为直线 ，那么二次函数的最小值是 ．
13．（2021秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 的图像如图所示，
有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ （ 的实数）．
其中正确的结论有 （填序号）
14．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知 ， 是二次函数的图象上两点，当 时，二次函数的值是 ．
15．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线 与
直线 交于 两点，则关于 的不等式 的解集为 ．
16．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）已知关于x的二次函数
的图像与x轴总有交点，则m的取值范围是 ．
17．（2022秋·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面
时，水面宽 ，水面上升 ，水面宽度减少 ．
18．（2023·全国·九年级专题练习）观察规律 ， ， ，…，运用你观
察到的规律解决以下问题：如图，分别过点 （ 1、2、 ）作x轴的垂线，交 的图
象于点 ，交直线 于点 ．则 的值为 ．三、解答题
19．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线 经过点 ，点 ，与y轴
交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使 的面积是 面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：
若不存在，请说明理由．
20．（2022·河北·统考中考真题）如图，点 在抛物线C： 上，且在C的对称轴右
侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 ， ．平移该胶片，使 所在抛物线对应的函数恰为 ．求点 移动的最短路程．
21．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一
款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段
时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件） … 35 40 45 …
每天销售数量y（件） … 90 80 70 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
22．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a≠0）的
图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积
最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
23．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）已知二次函数 与x数轴交于点A、B
（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接 ．
发现：点A的坐标为__________，求出直线 的解析式；
拓展：如图1，点P是直线 下方抛物线上一点，连接 、 ，当 面积最大时，求出P点的
坐标；
探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交 于点E，M是线段 上一动点（M不与B、C
两点重合），连接 ，设M点的横坐标为 ，当m为何值时，四边形 为平行四边形？
24．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发
现了一个有趣的结论：若 ， 是平面直角坐标系内两点， 是 的中点，则有结论， ．这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的
问题．
已知：二次函数 的函数图像上分别有 ， 两点，其中 ， ， 分别在对称轴的异侧，
是 中点， 是 中点．利用阅读材料解决如下问题：
概念理解：
（1）如图1，若 ，求出 ， 的坐标．
解决问题：
（2）如图2，点 是 关于 轴的对称点，作 轴交抛物线于点 ．延长 至 ，使得
．试判断 是否在 轴上，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3， 是一个动点，作 轴交抛物线于点 ．延长 至 ，使得 ．
①令 ，试探究 值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
②在①条件下， 轴上一点 ，抛物线上任意一点 ，连接 ， ，直接写出 的最
小值．
参考答案
1．B【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
解：A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
2．D
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线 ，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的
远近来比较函数值的大小．
解：∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∵点 ， ， ，在抛物线 上，而点 到对称轴的距离
最远， 在对称轴上，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．D
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线 的顶点坐标为 ，则抛物线 向右平移1
个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为 ，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线
的解析式．
解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，∴抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为 ，
∴平移后抛物线的解析式为 ．
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加
下减,，左加右减．
4．D
【分析】根据二次函数的性质求解判断即可．
解：
是直线的对称轴，
故A正确，
最大值为 ，
故B正确，
抛物线单调递减，
故C正确，
，
函数与 轴有两个交点，
故D错误．
故选：D.
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
5．A
【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定k的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，
结合二次函数图象的开口方向进行判断，即可求解．
解：A、由 图象得： ， ，由 得： ， 抛物线的开口向上，交于
轴负半轴，符合题意，故此项正确；B、由 得： ， 抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由 图象得： ， ， 的图象应交于 轴正半轴，故此项错误；
D、由 得：图象交于 轴的 ，故此项错误；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数
的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
6．B
【分析】分 和 两种情况根据二次函数的对称性确定出 与 的大小关系，然后对各选项分析
判断即可得解．
解：∵
∴令 ，即
∴解得 或
∴二次函数与x轴的交点为 和
∴二次函数的对称轴为 ，
①当 时，二次函数图象开口向上，
∵ ，
∴点 到对称轴 的距离小于点 到对称轴 的距离，
∴ ， 即 ，
∴ ，
无法确定 的正负情况，
② 时，二次函数图象开口向下，∵ ， 如图，
∴点 到对称轴 的距离小于点 到对称轴 的距离，
∴ ， 即 ，
∴ ，
无法确定 的正负情况，
综上所述，正确的是 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二
次项系数a的正负情况分情况讨论．
7．C
【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息 与 有相同的最小值 ； 与 有
相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．
解：∵ ，
，
则 ，得 ①
∵ ，
∴ ，
又∵ ；
则 ，
得 ，②
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 得， ，
解得 或 （舍去），
当 时，
，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，难度较大，解题的关键是将函数的标准形式化为顶点形式．
8．A
【分析】根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得．
解：由 ，
，
，
∵抛物线的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，
∴所得图象的解析式为 ，
即 ，
∴ ， ，
故选： ．
【点拨】此题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．
9．C
【分析】由题意知，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，抛物线过点 ，则
，即 ，可判断A的正误；当 时，y随x的增大而增大，可判断B的正误；点 关于
直线 的对称点为 ，即 是 的一个根，可判断D的正误：当 ， ，即
，如图，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，由题意知， ，当 三点共线时， 的和最小，即 的和最小为 ，由勾股定理得 ，
进而可得 周长的最小值，进而可判断C的正误．
解：由题意知，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，抛物线过点 ，
∴ ，则 ，A正确，故不符合要求；
当 时，y随x的增大而增大，B正确，故不符合要求；
点 关于直线 的对称点为 ，即 是 的一个根，D正确，故不符合要求；
当 ， ，即 ，
如图，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，
由题意知， ，
当 三点共线时， 的和最小，即 的和最小为 ，
由勾股定理得 ，
∴ 周长的最小值 ，C错误，故符合要求；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运
用．
10．C
【分析】设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），即可
求得BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．解：设A（m，m2），则B（m， m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关
键．
11．
【分析】根据矩形的周长、一边长，可得另一边长，根据矩形的面积公式，可得答案．
解：设矩形的一边长为x米，另一边长为（20-x）米，
∴由矩形的面积公式，得
【点拨】本题考查了函数解析式，利用了矩形的面积公式．
12．
【分析】根据二次函数 图象对称轴为直线 ，可以求得 的值，然后将函数解析
式化为顶点式，即可求得函数的最小值．
解： 二次函数 图象对称轴为直线 ，
，解得 ，
，
当 时，y取得最小值，此时 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的性质、最值，解答本题的关键是明确题意，求出 的值，利用二次函数的性质解答．
13．③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向可以得出 ，由抛物线与 轴的交点可以判断 ，由抛物线的对称
轴可以判断 ，再根据抛物线与 轴的交点情况以及抛物线的顶点进行推理即可得到答案．
解：① 二次函数 的图象开口方向向下，与 轴交于正半轴，对称轴为直线
，
，
，
，故①错误，不符合题意；
② 二次函数 的图象与 轴的交点在 的右边，图象开口方向向下，
当 时， ，
，
，故②错误，不符合题意；
③ 二次函数 的图象与 轴的另一个交点在 的右边，图象开口方向向下，
当 时， ，
，故③正确，符合题意；
④由①得： ，
，
由②得： ，
，
，故④正确，符合题意；
⑤ 二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
当 时， 取最大值，最大值为 ，
当 时， ，，故⑤正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符
号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．
14．
【分析】根据二次函数图象的对称性得出 ，然后将其代入函数关系式求得 ．
解：∵ ， 是二次函数 的图象上的两点，
又∵点A、B的纵坐标相同，
∴A、B关于对称轴 对称，
∴
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
15． 或
【分析】根据题意得出：当 时，则 ，进而结合函数图象得出
的取值范围．
解：根据题意得出：
当 时，则 ，
由图象可得：关于 的不等式 的解集为： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
16． 且【分析】根据二次函数 的图像与x轴总有交点，得到
解答即可．
解：∵二次函数 的图像与x轴总有交点，
∴ 且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
17．
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度减少
了多少．
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ，
由题意可得：点 在此抛物线上，
则： ，
解得： ，
∴ ，∵水面上升 ，
∴当 ，即 时，
解得： ，
∴此时水面的的宽度为 ．
∴水面宽度减少了 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的
平面直角坐标系．
18．
【分析】根据图象上的点的特征，求出 ，结合题干得到相应的数字规律，再进行计算
即可．
解：由 ， ， ，…，
可知： ；
∵分别过点 （ 1、2、 ）作x轴的垂线，交 的图象于点 ，交直线
于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴；
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，数字规律探究．解题的关键是抽象概括出数字规律．
19．（1） ；（2）存在， ，
【分析】（1）将点 ，点 ，代入抛物线得 ，求出 的值，进而可得
抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得 ，可得 点坐标，将 代入得， ，可
得 点坐标，求出 的值，根据 可得 ，设 ，则
，求出 的值，进而可得 点坐标．
（1）解：∵抛物线 过点 ，点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ．（2）解：存在．
∵ ，
∴ ，
将 代入得， ，
∴ ，
又∵B（2，-3），
∴BC//x轴，
∴ 到线段 的距离为1， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，由题意可知点P在直线BC上方，
则 ，
整理得， ，
解得 ，或 ，
∴ ， ，
∴存在点P，使 的面积是 面积的4倍，点P的坐标为 ， ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等
知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20．（1）对称轴为直线 ， 的最大值为4， ；（2）5
【分析】（1）由 的性质得开口方向，对称轴和最值，把 代入 中
即可得出a的值；
（2）由 ，得出抛物线 是由抛物线C： 向左平
移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点 移动的最短路程．解：（1） ，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，有最大值，即 的最大值为4，
把 代入 中得：
，
解得： 或 ，
∵点 在C的对称轴右侧，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ 是由 向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为 ，
∴ 移动的最短路程为5．
【点拨】本题考查二次函数 的图像与性质，掌握二次函数 的性质以及
平移的方法是解题的关键．
21．（1）y＝﹣2x+160；（2）销售单价应定为50元；（3）当销售单价为54元时，每天获利最大，
最大利润1248元
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系
数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，
可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由
二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得： ，
解得 ，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x＝50，x＝60，
1 2
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点拨】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关
系式和一元二次方程．
22．（1） ；（2）（-2，-4）；（3）P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），
，
【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入 ，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为： ，直线AB平移后的关系式为： ，当其与抛物
线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为： ，将A
（-4,0）代入 得，解得： ，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设
PB所在直线解析式为： ，将B（0，-4）代入 得， ，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为： ，由于PA所在直线斜率为： ，PB在直线斜率为：
， =-1，则此时P点坐标为： ， ．
（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入 ，
得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数解析式为： ．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离
最大，此时△ABD的面积最大，
∵ 时， ， ，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为： ，
将A（-4,0），B（0，-4），代入 ，
得： ，
解得： ，
∴直线AB关系式为： ，
设直线AB平移后的关系式为： ，
则方程 有两个相等的实数根，即 有两个相等的实数根，
∴ ，
即 的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得， ，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为： ，
将A（-4,0）代入 得， ，
解得： ，
∴PA所在直线解析式为： ，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时， ，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为： ，
将B（0，-4）代入 得， ，
∴PA所在直线解析式为： ，
∴当x=-1时， ，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为： ，
∴PA所在直线斜率为： ，PB在直线斜率为： ，
∵PA⊥PB，
∴ =-1，
解得： ， ，∴P点坐标为： ，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5）， ， 时，△PAB为直角三角
形．
【点拨】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关
键．
23．发现： ，直线 的解析式为 ；拓展： ；探究：当 时，四边形
为平行四边形
【分析】发现：令 代入求解可得A、B坐标，然后令 可得C点的坐标，进而利用待定系数法
可求直线解析式；
拓展：过点P作 轴，交 于点H，设点 ，则有 ，然后可
得 ，进而根据铅垂法可进行求解；
探究：由抛物线解析式可得对称轴为直线 ，则有 ，根据拓展可知
，然后根据平行四边形的性质可得 ，进而求解即可．
解：发现：令 时，则 ，
解得： ，
令 时，则有 ，
∴ ， ， ，
设直线 的解析式为 ，则有：
，
解得： ，∴直线 的解析式为 ；
拓展：过点P作 轴，交 于点H，如图所示：
设点 ，则有 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且函数 开口向下，
∴当 时， 的面积最大，此时点 ；
探究：由抛物线解析式 可知对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
由题意知 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），∴当 时，四边形 为平行四边形．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
24．（1） ； ；（2） 是在 轴上，理由见分析；（3）①是， ；②
【分析】（1）直接根据中点坐标公式求解即可；
（2）先根据题意以及坐标与图形性质分别求出点A、C、D、E、F坐标，进而可得结论；
（3）①利用中点坐标公式和坐标与图形性质，结合已知可求得 ， ，进而可得到
，可得结论；
②根据题意和两点之间线段最短可知，当点G、H、F共线时， 最小，最小值为 的长度，
利用两点坐标距离公式和二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵ ， ， 是 中点，
∴ ， ，
；
， ， 是 中点
， ，
；
（2）解： 是在 轴上，理由如下：
，点 是 关于 轴的对称点，
，
是 中点， 是 中点，
，则 ；
轴交抛物线于点 ，
，把 代入 得， ， ，
， ，
轴，且 ，
是在 轴上；
（3）解：① ， ， 是 中点，
；
是 中点，
；
轴交抛物线于点 ，
，
把 代入 得， ，
轴交抛物线于点 ．延长 至 ，使得 ，
， ，
，即 ，
， ，
，
点 在 上， ，
，轴， ，
即 ， ， ，
综上 是一个定值 ；
②∵ 是 轴上一点， 是抛物线上任意一点， ，
∴当点G、H、F共线时， 最小，最小值为 的长度，
∵ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 最小，最小值为 ，
此时， 最小为 ，
故 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了中点坐标公式、坐标与图形性质、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式、
两点之间线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
