文档内容
专题 22.4 二次函数综合——特殊三角形问题
【典例1】如图，抛物线的顶点坐标为P(2,6)，且与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于
( 10)
点C 0, ，点D为该抛物线的对称轴上的点．
3
（1）求该抛物线的函数表达式和点A的坐标；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点E，使得△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存
在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
( 10)
（1）设抛物线的函数表达式为y=a(x−2) 2+6，将点C 0, 代入，利用待定系数法即可求解，令
3
y＝0即可求得点A的坐标；
（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为F，则F(2,0)，分两种情况：①当点E在x轴上方时，如图点D、E
分别在点D E 的位置，过点E 作E N⊥PF于点N，证明△AFD ≌△D N E (AAS)，得D N＝AF，
1 1 1 1 1 1 1 1
2 8 10
D F＝E N，设D (2,m)，则E (m+2,m+3)，代入y=− x2+ x+ 可得m的值，从而求得E 的坐
1 1 1 1 3 3 3 1
标；②当点E在x轴下方时，如图点D、E分别在点D E 的位置，过点E 作E H⊥PF于点H，同理可得
2 2 2 2
E 的坐标．
2
【解题过程】（1）解：设抛物线的函数表达式为 ，
y=a(x−2) 2+6
( 10) 10
将点C 0, 代入得：4a+6= ，
3 3
2
解得a=− ，
3
2 2 8 10
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+6=− x2+ x+ ，
3 3 3 3
2 8 10
令y=0得：− x2+ x+ =0，
3 3 3
解得x =−1，x =5，
1 2
∴A(5,0)；
（2）解：存在点E，使得△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
记抛物线的对称轴与x轴的交点为F，则F(2,0)，
①当点E在x轴上方时，如图点D、E分别在点D E 的位置，过点E 作E N⊥PF于点N，如图：
1 1 1 1
∵∠AD E =90°，
1 1
∴∠AD F+∠E D N=90°，
1 1 1
∵∠E D N+∠D E N=90°，
1 1 1 1
∴∠AD F=∠D E N，
1 1 1
∵AD =D E ，∠AFD =∠D N E =90°，
1 1 1 1 1 1
∴ △AFD ≌△D N E (AAS)，
1 1 1
∴D N=AF，D F=E N，
1 1 1
∵ A(5,0)，F(2,0)，
∴AF=D N=3，
1
设D (2,m)，则E (m+2,m+3)，
1 12 8 10 2 8 10
将E (m+2,m+3)代入y=− x2+ x+ 得：− (m+2) 2+ (m+2)+ =m+3，
1 3 3 3 3 3 3
3
解得m=−3（舍去）或m= ；
2
(7 9)
∴E , ；
1 2 2
②当点E在x轴下方时，如图点D、E分别在点D E 的位置，过点E 作E H⊥PF于点H，如图：
2 2 2 2
∵∠AD E =90°，
2 2
∴∠AD F+∠H D E =90°，
2 2 2
∵∠H D E +∠H E D =90°，
2 2 2 2
∴∠AD F=∠H E D ，
2 2 2
∵AD =D E ，∠AFD =∠D H E =90°，
2 2 2 2 2 2
∴△AFD ≌△D H E (AAS)，
2 2 2
∴D H=AF，D F=E H，
2 2 2
∵ A(5,0)，F(2,0)，
∴D H=AF=3，
2
设D (2,n)，则E (2−n,n−3)，
2 2
2 8 10 2 8 10
把E (2−n,n−3)代入y=− x2+ x+ 得：− (2−n) 2+ (2−n)+ =n−3，
2 3 3 3 3 3 3
9
解得：n=3（舍去）或n=− ，
2
(13 15)
∴E ,− ．
2 2 2
(7 9) (13 15)
综上所述，E的坐标为 , 或 ,− ．
2 2 2 21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，已知抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；
(3 )
（2）若已知x轴上一点N ，0 ，则在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得△CNQ是直角三角形？
2
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象
限内抛物线上的一个动点．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）是否存在这样的点P，使得S =S ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
△COP △BOP
（3）若点Q是直线BC上一点，是否存在点Q，使得以点A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存
在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，
交直线BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段PQ的最大值；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接QM．是否存在点P，使得△PQM为等腰三角
形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
1
4．（2023春·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=− x+2的图象与x
23
轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x= 对称，且经过A，C两点，与x轴交于
2
另一点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，
并求此时P点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点D，使△ADC是以AC为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交
于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n(k≠0)经过B，C两点，已知A(1，0)，C(0，3)，且BC=5．
（1）试求出点B的坐标．
（2）分别求出直线BC和抛物线的解析式．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2与x
轴交于点A(−1,0)和点B(4,0)，与y轴交于点C，过动点D(0,m)作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线y=ax2+bx−2相交于点E，F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求m的取值范围；
（3）直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不
存在，请说明理由．
7．（2023秋·九年级单元测试）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左
侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x=1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(0,3)．（1）求抛物线的关系式；
（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD=m，△PCD的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式．
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出满足
条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．（2023·辽宁营口·校联考一模）已知直线l与x轴、y轴分别相交于A(1,0)、B(0,3)两点，抛物线
y=ax2−2ax+a+4 (a<0)经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求直线l的函数解析式和抛物线的函数解析式；
（2）在第一象限内抛物线上取点M，连接AM、BM，求△AMB面积的最大值及点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P使△CBP为直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由．
9．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，点A(−2,0)，B(4,0)，C(3,3)均在抛物线
y=ax2+bx+c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交
于点E，F．（1）求抛物线的解析式；
（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．
10．（2023·四川·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B(4,0)
，C(−2,0)两点．与y轴交于点A(0,−2)．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行
1
线交x轴于点D，求与 PK+PD的最大值及此时点P的坐标；
2
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请
求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
11．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(−1,0)、点B(5,0)，交y轴于点
C．（1）求b，c的值．
（2）点 是抛物线上的动点
P(x ,y )(0
