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专题24.34 弧长和扇形的面积（直通中考）
【要点回顾】
1. 正 边形的圆心角为 度.
2. 弧长计算公式：在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长计算公式为 .
3. 如果扇形的半径为 ，圆心角为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
4.如果扇形的半径为 ，弧长为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
一、单选题
1．（2023·辽宁大连·统考中考真题）圆心角为 ，半径为3的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中，若 ， ，则扇形 （阴影部
分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川·统考中考真题）如图，半径为 的扇形 中， ， 是 上一点，
， ，垂足分别为 ， ，若 ，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南张家界·统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用
的一种图形．如图，分别以等边 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ， 的半径为 ， ，
则 的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角 中， ，以点
为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，则图中阴影
部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在扇形 中， ， 平分 交
于点D，点C是半径 上一动点，若 ，则阴影部分周长的最小值为（ ）A． B． C． D．
8．（2023·湖北·统考中考真题）如图，在 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在
格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点 外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部
分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，等圆 和 相交于A，B两点， 经过 的圆心
，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形 是边长为 的正方形，曲线
是由多段 的圆心角的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 的圆心依次为 循环，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知扇形的半径为6，面积为 ，则扇形圆心角的度数为
度．
12．（2023·江苏泰州·统考中考真题）半径为 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为
．
13．（2023·吉林·统考中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，
点O是圆心，半径r为 ，点A，B是圆上的两点，圆心角 ，则 的长为 ．
（结果保留 ）
14．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正方形 的边长为2，对角线 相交于点 ，以
点 为圆心，对角线 的长为半径画弧，交 的延长线于点 ，则图中阴影部分的面积为 ．15．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）某款“不倒翁”（如图 ）的主视图是图 ， 分别与
所在圆相切于点A，B，若该圆半径是 ，则主视图的面积为 ．
16．（2023·山东·统考中考真题）如图，正八边形 的边长为4，以顶点A为圆心， 的
长为半径画圆，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
17．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ．
将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的对应点 恰好落在线段 上，则点 的运动路径长
是 cm（结果用含 的式子表示）．
18．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了
计算圆弧长度的“会圆术”，如图． 是以O为圆心， 为半径的圆弧，C是弦 的中点，D在
上， ．“会圆术”给出 长l的近似值s计算公式： ，当 ， 时，．（结果保留一位小数）
三、解答题
19．（2023·江西·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径的 与
相交于点D，E为 上一点，且 ．
（1）求 的长；
（2）若 ，求证： 为 的切线．
20．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，
，E为 的延长线与 的交点．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．21．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在 中， ，点 在 上，以
为圆心， 为半径的半圆分别交 ， 于点 ，且点 是弧 的中点．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
22．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分 交
于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，过点E作 于点M，交 于点G，交 于点N，求 的长．23．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形 内接于 ，在 上取一点E，连接 ，
．过点A作 ，交 于点G，交 于点F，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
24．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，线段 与 相切于点B， 交 于点M，其延长
线交 于点C，连接 ， ，D为 上一点且 的中点为M，连接 ， ．
（1）求 的度数；
（2）四边形 是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；（3）若 ，求 的长．
参考答案
1．C
【分析】根据弧长公式 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此计算即可．解：该扇形的弧长 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了扇形的弧长计算公式 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确
记忆弧长公式是解答此题的关键．
2．B
【分析】根据圆周角定理求得 ，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B.
【点拨】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关
键．
3．B
【分析】连接 ，证明四边形 是正方形，进而得出 ， ，然后根据扇
形面积公式即可求解．
解：如图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，∴图中阴影部分面积 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形 是正方形是解题的关键．
4．B
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式 求解即可．
解：∵等边三角形 的边长为3， ，
∴ ，
∴该“莱洛三角形”的周长 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的
关键．
5．C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到 ，由圆周角定理得到 ，根据弧长的公式
即可得到结论．
解： 四边形 内接于 ， ，
，
，
的长 ．
故选： ．
【点拨】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互
补是解题的关键．
6．C
【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形 和扇形 的面积，再减去 的面积即可得．
解： 是等腰直角三角形，
，
，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：C．
【点拨】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．
7．A
【分析】由于 是定值，只需求解 的最小值即可，作点D关于 对称点 ，连接 、
、 ，则 最小值为 的长度，即阴影部分周长的最小最小值为 ．利用角平分线
的定义可求得 ，进而利用勾股定理和弧长公式求得 和 即可．
解：如图，作点D关于 对称点 ，连接 、 、 ，
则 ， ， ，
∴ ，当A、C、 共线时取等号，此时， 最小，即阴影部分周长
的最小，最小值为 ．
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，又 ，
∴阴影部分周长的最小值为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查弧长公式、勾股定理、角平分线的定义、轴对称性质，能利用轴对称性质求解最短
路径问题是解答的关键．
8．D
【分析】根据网格的特点作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，设 与 相交于点
O，连接 ，则点O是 外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角
形，从而可得 ，然后根据 ，进行计算即可解答．
解：如图：作 的垂直平分线 ，作 的垂直平分线 ，设 与 相交于点O，连接
，则点O是 外接圆的圆心，
由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加
适当的辅助线是解题的关键．
9．D
【分析】先证明 ，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．
解：如图，连接 ， ，
等圆 和 相交于A，B两点
∵
,
∴
和 是等圆
∵
∴
是等边三角形
∴
∴
, ,
∵
∴．
∴
故选：D．
【点拨】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．
10．A
【分析】曲线 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 ，得到
， ，得出半径，再计算弧长即可．
解：由图可知，曲线 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径 ，
， ， ， ，
， ， ， ，
，
， ，
故 的半径为 ，
的弧长 ．
故选A
【点拨】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式： ，找到每段弧的半径变化规律是解题
关键．
11．60
【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．
解：设扇形圆心角的度数为 ，
，
扇形的半径为6，．
故答案为：60．
【点拨】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ．
12．
【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为 的圆周长的五分之一即可．
解：由题意得，半径为 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为 的圆周长的五分之一，
所以 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
13．
【分析】利用弧长公式 直接计算即可．
解：∵半径 ，圆心角 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式 ，并规范计算是解题的关键．
14．
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形 的面积，然后由勾股定理得出 ，
再由扇形的面积公式求解即可．
解：正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵正方形 的边长为2，
∴
∴阴影部分的面积为扇形 的面积，即 ，
故答案为： ．【点拨】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题
关键．
15．
【分析】根据题意，先找到圆心 ，然后根据 ， 分别与 所在圆相切于点A，B．
可以得到 的度数，然后即可得到优弧 对应的圆心角，再根据主视图的面积为
计算即可．
解：设圆心为O，过O作 ， ， 和 相交于点 ，连接 ，如图，
∵ ， 分别与 所在圆相切于点A，B．
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴优弧 对应的圆心角为 ， ，
∵该圆半径是 ，
∴ ，
∴主视图的面积为
，故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是
解题的关键．
16．
【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可．
解：由题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积 ，正多
边形的每个内角度数为 ．
17．
【分析】由于 旋转到 ，故C的运动路径长是 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．
解：以A为圆心作圆弧 ，如图所示．
在直角 中， ，则 ，
则 ．
∴ ．
由旋转性质可知， ，又 ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．由旋转性质知， ．
故弧 的长度为： ；
故答案为：
【点拨】本题考查了含 角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题
的关键是明确C点的运动轨迹．
18．0.1
【分析】由已知求得 与 的值，代入 得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，
进而即可得解．
解：∵ ，
∴ ，
∵C是弦 的中点，D在 上， ，
∴延长 可得O在 上，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键．19．（1） ；（2）证明见分析
【分析】（1）如图所示，连接 ，先求出 ，再由圆周角定理得到
，进而求出 ，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接 ，先由三角形内角和定理得到 ，则由圆周角定理可得
，再由 是 的直径，得到 ，进而求出 ，进一步推出
，由此即可证明 是 的切线．
（1）解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
∵E为 上一点，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长 ；
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．【点拨】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助
线是解题的关键
．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，根据 是 的外接圆，得到 ，由平行线
的性质，得到 ，即可得证．
（2）连接 ，等边对等角，求出 的度数，圆周角定理求出 度数，得到 为等边
三角形，求出半径和 的度数，利用弧长公式进行计算即可．
解：（1）证明：连接 并延长交 于点 ，
∵ 是 的外接圆，
∴点 是 三边中垂线的交点，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．
熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
21．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）连接 、 ，证出 ，即可得出结论；
（2）根据 ，分别求出 和 即可得出答案．
解：（1）连接 、 ，
，
，
，
，，
点 是弧 的中点，
，
，
，
为半径，
是 的切线；
（2） ， ，
为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
，
，
，
，
．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的
关键是熟练掌握切线的判定定理．
22．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，由 是 的直径可得 ，进而可得 ，再
根据圆周角定理可得 ，进而可证 ， ，即可证明 与 相切；
（2）连接 ， ，先证 是等边三角形，推出 ，再根据圆周角
定理证明 ，进而可得 ，再根据弧长公式即可求解．
解：（1）证明：如图，连接 ，是 的直径，
，
平分 交 于点E，
，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（2）解：如图，连接 ， ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
， 是 的直径，，
．
即 的长为 ．
【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周
角定理是解题的关键．
23．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，再证明 ，
，可得 ，结合 ，从而可得结论；
（2）如图，连接 ， ，过 作 于 ，设 ，在 上取Q，使 ，证明
， ， ，可得 ， ，求解
，而 ，可得 ， ， ，可得
，再求解x，利用 进行计算即可．
（1）解：如图，连接 ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．（2）如图，连接 ， ，过 作 于 ，设 ，在 上取Q，使 ，
∵O为正方形中心，
∴ ， ，而 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
而正方形的边长 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应
用，含 的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（1） ；（2）是菱形，证明见分析；（3） 的长为 ．
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，而 ，可得 ，
再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）先证明 ，即 ，而 ，求解 ，可
得 ，证明 ，可得 ，再证明 ，可得 ，从而可得结论；
（3）如图，连接 ， ，交 于 ，证明 为等边三角形，可得 ，
证明 ， ，求解 ，再利用弧长公式进行计算即可．
（1）解：如图，连接 ，
∵线段 与 相切于点B，
∴ ，而 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）四边形 是菱形，理由如下：
∵ 的中点为M， ，
∴ ，即 ，而 ，∴ ，
∴ ，
∵ 的中点为M， 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
（3）如图，连接 ， ，交 于 ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵菱形 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ 的长为 ．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性
质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作
出合适的辅助线是解本题的关键．
