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专题24.3 圆及其基本概念（直通中考）
【要点回顾】
【知识点1】圆的定义
(1) 定义1：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋
转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作
“⊙O”，读作“圆O”．
(2) 定义2：平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.定长为半径，定点叫圆心。
【知识点2】与圆有关的基本概念
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；
直径：经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径；
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.无特殊说明时，弧指的是劣弧.
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【知识点3】点和圆的位置关系
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆上 d=r； 点在圆内 dr.
一、单选题
1．（2021·上海·统考中考真题）如图，已知长方形 中， ，圆B的半径为1，圆A
与圆B内切，则点 与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
2．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）已知锐角 ，如图，按下列步骤作图：①在 边取一
点 ，以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，连接 ．②以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，连接 ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与
正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
5．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ．以点 为圆心，
为半径作圆，当点 在 内且点 在 外时， 的值可能是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022·西藏·统考中考真题）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C， ，OC＝ OD，
则∠ABD的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
7．（2021·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上
一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（
）
A．2 B． C．3 D．
8．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知
， ，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
9．（2022·青海·统考中考真题）如图所示， ， ，以点A为圆心，AB长为半径画弧
交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）A． B． C． D．
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如
《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．
日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东
西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．
（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取
点A，B，使 ；（3）连接 ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以
上作图顺序，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，弦 半径 ，则 的
度数为 ．
12．（2021·湖南娄底·统考中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 ．已知 ，则 与 的大小关系是 ．
13．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在 轴正半
轴上，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 轴正半轴于点 ，则点 的坐标为 ．
14．（2023·黑龙江·统考中考真题）在 中， ，点 是斜边 的中点，把
绕点 顺时针旋转，得 ，点 ，点 旋转后的对应点分别是点 ，点 ，连接 ，
，在旋转的过程中， 面积的最大值是 ．
15．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图， 、 是 的半径，点C在 上， ，
，则 ．
16．（2021·湖北十堰·统考中考真题）如图，在 中， ，点P是平面
内一个动点，且 ，Q为 的中点，在P点运动过程中，设线段 的长度为m，则m的取值范
围是 ．17．（2021·青海·统考中考真题）点 是非圆上一点，若点 到 上的点的最小距离是 ，最大距
离是 ，则 的半径是 ．
18．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，在 中， ， ，以点A为圆心，
长为半径画弧，交 延长线于点D，过点C作 ，交 于点 ，连接BE，则 的值
为 ．
19．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）如图，正方形 的边长为10，点G是边 的中点，点E
是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ．当 最小时， 的长是
．
20．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正
方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则
线段CF长的最小值为 ．21．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形 中， ，动点 在矩形的边上沿
运动．当点 不与点 重合时，将 沿 对折，得到 ，连接 ，则在
点 的运动过程中，线段 的最小值为 ．
三、解答题
22．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图， 为 的直径，点 在 上， 与 交于点
， ，连接 ．求证：
（1） ；
（2）四边形 是菱形．
23．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，在 中， ，点 、 在 上， ，
过 、 、 三点作 ，连接 并延长，交 于点 ．(1) 求证： ；
(2) 若 ， ， ，求 的半径长．
24．（2022·重庆·统考中考真题）在 中， ， ，D为 的中点，E，F
分别为 ， 上任意一点，连接 ，将线段 绕点E顺时针旋转90°得到线段 ，连接 ，
．
(1) 如图1，点E与点C重合，且 的延长线过点B，若点P为 的中点，连接 ，求 的长；
(2) 如图2， 的延长线交 于点M，点N在 上， 且 ，
求证： ；
(3) 如图3，F为线段 上一动点，E为 的中点，连接 ，H为直线 上一动点，连接 ，将
沿 翻折至 所在平面内，得到 ，连接 ，直接写出线段 的长度的最小
值．参考答案：
1．C
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
解：
∵圆A与圆B内切， ，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5∵ <5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点拨】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是
关键
2．B
【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD= ，
同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
解：∵以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40︒，
∴∠ODC=∠OCD= ，
∵以 为圆心， 长为半径画 ，交 于点 ，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40︒，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70︒=40︒+∠CDE，
∴∠CDE=30︒，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角
形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
3．C
【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，再根据等腰三角形的性质求解，即可．
解：∵ ，∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OA=OB，
∴ =∠OBA=（180°-120°）÷2=30°，
故选C．
【点拨】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．
4．B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可
求解．
解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积= =2x2，
∴9πx2÷2x2= ，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【点拨】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的
面积，是解题的关键．
5．C
【分析】先利用勾股定理可得 ，再根据“点 在 内且点 在 外”可得 ，由此即
可得出答案．
解： 在 中， ， ， ，
，
点 在 内且点 在 外，
，即 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
6．D
【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质
结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和
求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．
解：如图：连接OB，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝ OD，
∴OC＝ OB．
∵OC⊥AB，
∴ ,
∴∠OBC＝30°．
∵ ，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故选D．
【点拨】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，
三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键．
7．A
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，3为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段长即可．
解：连接AM，如图所示：
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵在矩形ABCD中，AC＝ ，
AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点拨】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识
点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
8．C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解 ，再求解 ，从
而可得 ，再利用周角的含义可得 ，从而可得答案．
解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数20°．
故选：C．
【点拨】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，
掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
9．C
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
解：∵ ，
∴OA= ，
∵ ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴ ，
∴ ，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
10．A
【分析】证明 ，可得 ，结合 ，C为 的中点，可
得 ．
解：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，C为 的中点，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟
记等腰三角形的性质是解本题的关键．
11．100°/100度
【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三
角形内角和定理求出∠AOC的度数．
解：∵ ，
∴∠OCA=∠BOC=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案为：100°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟
知相关知识是解题的关键．
12．
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 ，当
时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作 ，
当 时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
13．
【分析】连接 ，先根据点 的坐标可得 ，再根据等腰三角形的判定可得 是等腰三角
形，然后根据等腰三角形的三线合一可得 ，由此即可得出答案．
解：如图，连接 ，点 的坐标为 ，
，
由同圆半径相等得： ，
是等腰三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），
又 点 位于 轴正半轴，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形
的三线合一是解题关键．
14． /
【分析】过点A作 交 的延长线于点G，求出 ，然后由旋转的性质可知点
F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线 的距离最大，
求出距离的最大值，然后计算即可．
解：如图，在 中， ， ，点 是斜边 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
过点A作 交 的延长线于点G，
∴ ，
又∵在旋转的过程中，点F在以A为圆心 的长为半径的圆上运动， ，∴点F到直线 的距离的最大值为 ，（如图，G、A、F三点共线时）
∴ 面积的最大值 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了含 直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本
性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线 距离的最大值是解答本题的关键．
15．25
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据
等腰三角形的性质计算．
解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案为：25．【点拨】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等
于180°是解题的关键．
16． ≤m≤
【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形
的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解．
解：作AB的中点M，连接CM、QM．
在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
在直角△ABC中，AB＝ ，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝ AB＝5．
∵Q是BP的中点，M是AB的中点，
∴MQ＝ AP＝ ．
∴在△CMQ中，5− ≤CQ≤ ＋5，即 ≤m≤ ．
故答案是： ≤m≤ ．
【点拨】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．
17． 或
【分析】分点 在 外和 内两种情况分析；设 的半径为 ，根据圆的性质列一元一次方
程并求解，即可得到答案．解：设 的半径为
当点 在 外时，根据题意得：
∴
当点 在 内时，根据题意得：
∴
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
18． ．
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出
AF=CF= ，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得， ， （不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出
辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
19．
【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模
型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得
到结论．解：①分析所求线段 端点： 是定点、 是动点；②动点 的轨迹：正方形 的边长为10，
点E是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，连接 ，则 ，因此动点
轨迹是以 为圆心， 为半径的圆周上，如图所示：
③最值模型为点圆模型；④ 最小值对应的线段为 ；⑤求线段长，连接 ，如图所示：
在 中， ，正方形 的边长为10，点G是边 的中点，则 ，根
据勾股定理可得 ，
当 三点共线时， 最小为 ，
接下来，求 的长：连接 ，如图所示
根据翻折可知 ，设 ，则根据等面积法可知
，即整理得 ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问
题的相关模型是解决问题的关键．
20．
【分析】如图，由EG＝2，确定 在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明
（SAS）， 可得 可得当 三点共线时， 最短，则 最短，再利用勾
股定理可得答案．
解：如图，由EG＝2，可得 在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，
∴
∴
∵DE=DF，
∴ （SAS），
∴
∴当 三点共线时， 最短，则 最短，
∵ 位BC 中点，
∴
此时此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利
用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
21． /
【分析】根据折叠的性质得出 在 为圆心， 为半径的弧上运动，进而分类讨论当点 在 上时，
当点 在 上时，当 在 上时，即可求解．
解：∵在矩形 中， ，
∴ ， ，
如图所示，当点 在 上时，
∵
∴ 在 为圆心， 为半径的弧上运动，
当 三点共线时， 最短，
此时 ，
当点 在 上时，如图所示，此时
当 在 上时，如图所示，此时
综上所述， 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解
题的关键．
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；
（2）首先根据平行四边形的判定证明四边形 是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四
边形是菱形即可证明．
解：（1）在 和 中，
∵ ，
∴ ；（2）∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ∥ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的基础知识，掌握全等三角形的判定
和特殊平行四边形的判定是解题的关键．
23．(1)见分析；(2) 的半径为5
【分析】（1）连接 、 、 、 ，先证明 ，得到 ，再由 ，
可得 垂直平分 ，即 ，
（2）设求 的半径为 ，由（1）可知 为 中点，则 ，利用勾股定理求出
，再求出 ， ， ，由勾股定理建立方程 ，解得 ，则
的半径为5．
解：（1）证明：连接 、 、 、 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，即 ，（2）解：设求 的半径为 ，
由（1）可知 ，
∴ 为 中点， 为 中点，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ， ，
∵
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径为5．
【点拨】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，
勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)2；(2)见分析；(3)
【分析】（1）根据已知条件可得 为 的中点，证明 ，进而根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半即可求解；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ， ，
可得 ，进而根据 ， 即可得出结论，
（3）根据（2）可知 ，当点 在线段 上运动时，点 在平行于 的线段上运动，根
据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解．
解：（1）如图，连接将线段 绕点E顺时针旋转90°得到线段 ，
是等腰直角三角形，
P为FG的中点，
，
，
，
，D为 的中点， ，
， ，
，
在 中， ；
（2）如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，在 与 中，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
,
，
，
，
，
；
（3）由（2）可知 ，
则当点 在线段 上运动时，点 在平行于 的线段上运动，
将 沿 翻折至 所在平面内，得到 ，
E为 的中点，
，，
则点 在以 为圆心 为半径的圆上运动，当 三点共线时， 最小，
如图，当 运动到与 点重合时， 取得最小值， ．
如图，当点 运动到与 点重合时， 取得最小值，
此时 ，则 ．
综上所述， 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的
性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键．
