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专题6.13 实数（全章直通中考）（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·四川雅安·统考中考真题）在0， ， ，2四个数中，负数是（ ）
A．0 B． C． D．2
2．（2023·四川德阳·统考中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2023·江苏徐州·统考中考真题） 的值介于（ ）
A．25与30之间 B．30与35之间 ．35与40之间 D．40与45之间
5．（2023·江苏扬州·统考中考真题）已知 ，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021上·重庆·八年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，数轴上表示实数 的点可能是
（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
7．（2019·山东滨州·统考中考真题）若 与 的和是单项式，则 的平方根为（ ）．
A．4 B．8 C．±4 D．±8
8．（2020·四川巴中·统考中考真题）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则
log 8＝3．运用以上定义，计算：log 125﹣log 81＝（ ）
2 5 3
A．﹣1 B．2 C．1 D．449．（2024·全国·七年级竞赛）已知 是有理数，且 ，则 的值为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式： ，第 个单项
式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023·湖北武汉·统考中考真题）写出一个小于4的正无理数是 ．
12．（2015上·江苏盐城·八年级阶段练习）计算： = ．
13．（2021上·浙江衢州·七年级统考期末）计算： ﹣1＝ ．
14．（2015上·江苏盐城·八年级统考期末）比较大小： 2（填“ ”、“ ”或“ ”）．
15．（2013·福建南平·中考真题）计算： ．
16．（2023·山东滨州·统考中考真题）一块面积为 的正方形桌布，其边长为 ．
17．（2011·江苏徐州·八年级统考期中） 的平方根是 ．
18．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，将面积为7的正方形 和面积为9的正方形 分
别绕原点O顺时针旋转，使 ， 落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·江苏苏州·统考中考真题）计算： ．
20．（8分）（2012·福建莆田·中考真题）
计算：
21．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）
计算：
22．（10分）（2019·广西防城港·统考中考真题）计算： ．
23．（12分）（2023·陕西咸阳·统考二模）对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数
字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如∶对于三位数 ，则 是
“极差数”；对于三位数 ，则 是“极差数”．求证：任意一个“极差数”一定能被11整除．
24．（12分）（2023·安徽宣城·安徽省宣城市第三中学校考模拟预测）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明．
参考答案：
1．C
【分析】根据负数的定义∶ 比0小的数叫做负数，即可得出答案．
解：0既不是正数也不是负数， 是负数， 和2是正数，
故选：C．
【点拨】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号是负数是解题的关键．
2．B
【分析】根据无理数的定义判断即可．
解：0， ， 为有理数， 为无理数．
故选：B．
【点拨】本题考查了无理数的概念即无限不循环小数为无理数，掌握其概念是解题的关键．初中范围
内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；以及像 ……，等有这样规律的数．
3．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
解： ，故选：A．
【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0
的平方根是0；负数没有平方根．
4．D
【分析】直接利用二次根式的性质得出 的取值范围进而得出答案．
解：解∶∵ ．
∴ 即 ，
∴ 的值介于40与45之间．
故选D．
【点拨】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．
5．C
【分析】由 ， ，进行判断即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
6．B
【分析】根据先估算 的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
解：∵
∴ ，即 ，
∴数轴上表示实数 的点可能是Q，
故选：B．
【点拨】本题考查无理数的大小估算，推出 介于哪两个整数之间是解题的关键．
7．D
【分析】根据单项式的定义可得 和 是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即可.解：由 与 的和是单项式，得
．
，64的平方根为 ．
故选D．
【点拨】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数.
8．A
【分析】先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log 125=3，log 81=4，再计算出所求式子的
5 3
值即可．
解：∵53=125，34=81，
∴log 125=3，log 81=4，
5 3
∴log 125﹣log 81，
5 3
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点拨】本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定
义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运
算．
9．C
【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是将 变形为
，得出 ， ，求出 ， ，即可得出答案．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
10．C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为 ，字母为 ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．解：按一定规律排列的单项式： ，第 个单项式是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
11． （答案不唯一）
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
解：∵ ，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
12．4
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个
数的算术平方根，由此即可求出结果．
解：原式= =4．
故答案为4．
【点拨】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
13．1
【分析】先计算算术平方根，然后计算减法．
解：原式=2-1=1．
故答案是：1．
【点拨】本题考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个
正数x叫做a的算术平方根．
14．
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键．
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．15．3
【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定
义计算可得．
解： ∵33=27，
∴ ．
故答案为3．
【点拨】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键．
16． / 米
【分析】由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案．
解：一块面积为 的正方形桌布，其边长为 ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解
本题的关键．
17．±2
解：∵
∴ 的平方根是±2．
故答案为±2．
18．
【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可．
解：∵正方形 的面积为7，正方形 的面积为9
∴ ，
即 ，
∴故答案为：
【点拨】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．
19．9
【分析】先计算绝对值，算术平方根，乘方运算，再合并即可．
解：
．
【点拨】本题考查的是实数的混合运算，熟记算术平方根的含义，乘方与绝对值的含义是解本题的关
键．
20．3
【分析】解：原式＝2＋2－1＝3
解：请在此输入详解！
21．
【分析】根据求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法进行计算即可求解．
解：
【点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握求一个数的绝对值，二次根式的性质，有理数的乘法
是解题的关键．
22．13.
【分析】分别运算每一项然后再求解即可.
解：
．
【点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.
23．证明见分析．
【分析】设出任意一个“极差数”的形式，根据定义即可求证．
解：证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，∵ ，
∴ ，
∴ 能被11整除，
∴任意一个“极差数”一定能被11整除
【点拨】本题考查数字类型的材料问题．旨在考查学生的信息处理能力．
24．（1） ；（2） ，证明见分析
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明
猜想．
（1）解：第5个等式： ，
故答案为： ；
（2）猜想：第n个等式为 ，
证明：等式左边 ，
等式右边 ，
∴等式左边 等式右边，即 ．
【点拨】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写
出相应的等式和猜想，并证明．
