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专题7.13 平面直角坐标系（全章分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（19·20七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知点A（1，2a（1），B（（a，a（3），若线段AB//x轴，
则三角形AOB的面积为（ ）
A．21 B．28 C．14 D．10.5
2．（19·20七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知点A（3a，2b）在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x
轴、y的距离分别为（ ）
A．3a，（2b B．（3a，2b C．2b，（3a D．（2b，3a
3．（19·20七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P（y
1
（1，（x（1）叫做点P的友好点，已知点A 的友好点为A，点A 的友好点为A，点A 的友好点为A，这
1 2 2 3 3 4
样依次得到各点．若A 的坐标为（（3，2），设A（x，y），则x（y的值是（ ）
2020 1
A．－5 B．－1 C．3 D．5
4．（18·19七年级下·湖北武汉·期中）若点 到两坐标轴的距离相等，则点 的坐标
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．（18·19九年级下·浙江杭州·期末）已知点 位于第二象限，并且 ，a，b均为整数，
则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6．（23·24七年级上·河南郑州·期中）如图，将一枚跳棋放在七边形 的顶点A处，按顺时
针方向移动这枚跳棋10次．移动规则是（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，
跳棋停留在D处）．按这样的规则，在这10次移动中，跳棋不肯停留的顶点是（ ）
A． B． C． D．7．（17·18八年级下·全国·课时练习）佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍，又向右平移2个单位长度，
若想变回原来的图案，需要变化后的图案上各点坐标（ ）
A．纵坐标不变，横坐标减2
B．纵坐标不变，横坐标先除以2，再均减2
C．纵坐标不变，横坐标除以2
D．纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2
8．（19·20八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 的坐标
为 .将 先绕点 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点 的对应点
坐标是（ ）
A． B． C．（3,2） D．（2,2）
9．（17·18七年级上·湖南邵阳·期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，
y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5）
C．1，（3，4） D．3，（3，2）
10．（22·23七年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头
所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 ，…，则点
的坐标是（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（19·20八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把
等边 ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边
AB△C的顶点C的坐标为 ．
△
12．（18·19七年级下·福建莆田·期末） 如图，在平面直角坐标系中，已知长方形ABCD的顶点坐标：
A（-4，-4），B（12，6），D（-8，2），则C点坐标为 ．
13．（19·20七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（m，7），
三角形ABC的面积为14，则m的值为 ．
14．（19·20七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知 ， ，第四象限的点 到 轴的距离为 ，若 ， 满足 ，则 点坐标为 ； 与 轴的交点坐标
为 ．
15．（20·21八年级上·广东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，
平移线段 至线段 ，点 在四边形 内，满足 ， ，则点 的坐标
为 ．
16．（21·22七年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，
点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB
上的一动点，则MN+NP的最小值为 ．
17．（21·22七年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，A（ ，4），B（ ，3），C（1，
0）， ．（1）三角形ABC的面积为 ；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为 ．
18．（22·23七年级下·湖北荆州·期中）已知点 ，其中 ， ， ，且
、 、 、 均为整数，那么在平面直角坐标系中点 的可能位置共有 个.
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（22·23七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，若
点C在y轴右侧， 轴且 ．
（1）求点C的坐标；
（2）在图中画出 ，并求 的面积：
（3）若点P在x轴上运动，连接AP，当线段AP长度最小时，点P的坐标为_____依据是_______．20．（8分）（22·23七年级下·湖北恩施·期中）在平面直角坐标系 中，已知 ，
线段 通过平移至线段 ，点 与点 对应，如图所示．
（1）求 的坐标；
（2）求 ；
（3）点 为 轴上的点，当 时，求点 的坐标．
21．（10分）（22·23七年级下·全国·课时练习）如图，将直角三角形 放在平面直角坐标系中，
轴， 轴，点 ． 若 ，求点 的坐标．22．（10分）（23·24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，
， ．
（1）点C落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，则 ， ；
（2）在平面坐标系中画出 ；
（3）若 边上任意一点 平移后对应点 ，在平面直角坐标系中画出平移后
的 ．
23．（10分）（22·23七年级下·吉林·期末）如图，四边形 是长方形，边 在 轴上，
轴． 已知点 坐标为 ，点 坐标为 ． 动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线
向终点 运动，设点 的运动时间为 ．
（1）点 坐标为 ；
（2）连接 ，当直线 将长方形 的面积分为 的两部分时，求 的值；
（3）连接 ， ，直接写出三角形 的面积为3时，点 的坐标．24．（12分）（23·24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形 是长方形，点 ， 分
别在边 和 上， ， ， ，
（1） ______， ______．
（2）设 的面积为 ，用含 的式子表示S．
（3）在（2）的条件下，当 的情况下，动点 从 出发沿线段 运动，速度为每秒 个
单位长度 运动时间为 求 为何值时 的面积与 面积相等？
参考答案：
1．D
【分析】根据线段AB∥x轴求得a的值后即可确定点A和点B的坐标，从而求得线段AB的长，利用三
角形的面积公式求得三角形的面积即可．
解：∵AB∥x轴，∴2a+1=a-3．解得a=-4．
∴A（1，-7），B（4，-7）．
∴AB=3．
过点O作OC⊥AB交BA的延长线于点C，则OC=7．
∴△ABC的面积为： ．
故答案为：D.
【点拨】本题目考查了点与坐标的对应关系，根据 AB∥x轴求得a的值是解题的关键.
2．C
【分析】应先判断出点A的横纵坐标的符号，进而判断点A到x轴、y轴的距离．
解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是-3a；
故答案为C．
【点拨】本题主要考查点的坐标的几何意义，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值，到y轴的距离就是
横坐标的绝对值．
3．C
【分析】列出部分An点的坐标，根据坐标的变化寻找规律，规律和A 的坐标结合起来，即可得出
2020
答案．
解：∵设A（x，y），
1
∴A（y－1，－x－1），
2
∴A（－x－1－1，－y＋1－1），
3
即A（－x－2，－y），
3
∴A（－y－1，x＋2－1），
4
即A（－y－1，x＋1），
4∴A（x＋1－1，y＋1－1），
5
即A（x，y）与A 相同，
5 1
可以观察到友好点是4个一组循环的，
∵2020÷4＝505，
∴A （（3，2）与A 是相同的，
2020 4
，
解得 ，
∴x＋y＝1＋2＝3；
故选：C．
【点拨】本题考查了规律型中点的坐标变化，解题的关键是找出变化的规律，规律找到之后即可解答
本题．
4．D
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
解： 点 到两坐标轴的距离相等，
，
或 ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ；
故选： ．
【点拨】本题考查了点的坐标的表示，依据题意列出绝对值方程是解题的关键，难点在于绝对值方程
的求解．
5．B
【分析】根据第二象限的点的特点可知 ，即可得 ， ，计算可得
；a，b均为整数，所以 或 ；据此分别可求出A点的坐标，即可得本题答案．
解：∵点 位于第二象限，
∴ ，
∴ ， ，∴
∴ ，
∵a，b均为整数，
∴ 或 ，
当 时， ， ；
当 时， ， 或 或 或 ；
综上所述，满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标的符号特点，
是解决本题的关键．
6．C
【分析】本题考查了图形的规律变化问题， 设顶点 分别是第0，1，2，3，
4，5，6格，那么第一次跳一步到2号位置上，第二次跳两步跳到4号位置上，第三次跳三步跳到了5号位
置上，依此类推可知：棋子移动了k次后走过的总格数是 ，讨论k的取值，
找出不可能停棋的格子即可，根据棋子跳的总路程得到落脚处是解决本题的难点．
解：设顶点 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
∵棋子移动了k次后走过的总格数是 ，
∴这时S是整数，且使 ，分别取 时， ，是按照： 循
环的，
故第2，4，5格没有停棋，
即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：C．
7．D
解：图案横向拉长2倍就是纵坐标不变，横坐标乘以2，又向右平移2个单位长度，就是纵坐标不变，
横坐标加2，应该利用逆向思维纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2．故选：D．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移
加，下移减
8．D
【分析】先求出A点绕点 顺时针旋转90°后所得到的的坐标 ，再求出 向右平移3个单位长度后
得到的坐标 ， 即为变换后点 的对应点坐标.
解：将 先绕点 顺时针旋转90°，得到点坐标为 （-1,2）,再向右平移3个单位长度，则 点
的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点 的对应点坐标是 （2,2）.
【点拨】本题考查点的坐标的变换及平移.
9．D
解：依题意可得：
∵AC∥x，
∴y=2，
根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值=5﹣2=3，此时点C
的坐标为（3，2），
故选D．
【点拨】本题考查已知点求坐标及如何根据坐标描点，正确画图即可求解．
10．D
【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，先根据 ，可得 ，再根据
，即可推出 的坐标，找到某种循环规律之后，可以得解．
解：由图可得 ， ，，
，
，
故选：D．
11．（-2018, ）
【分析】先求出C点坐标，然后求出点C翻转、平移一次后得到的结果 ，再求出点 翻转、平移一
次后得到的结果 ，…找出规律，最后算出翻转2020次得到的结果 .
解：由题意，可利用勾股定理求出等边三角形的高为 ，得到C点坐标为 ，翻
转，平移一次为
翻转，平移两次为 ，
翻转，平移三次为
…
故C点翻转，平移n次的坐标为
当n=2020时， ，故答案为（-2018, ）
【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2020次
这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．
12．（8，12）
【分析】设点C的坐标为（x，y），根据矩形的对角线互相平分且相等，利用中点公式列式计算即可
得解．
解：设点C的坐标为（x，y），
根据矩形的性质，AC、BD的中点为矩形的中心，
所以， = ，= ，
解得x=8，y=12，
所以，点C的坐标为（8，12）．
故答案为：（8，12）．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，以及中点公
式．
13．m=4或
【分析】点C在直线y=7上，根据点C的不同位置，结合图形，用含m的代数式表示出三角形ABC的
面积，得到关于m的方程，解方程求解即可.
解：如图1，
当点C在y轴右侧时，
∴ ，
∴ ，
解得：m=4；
当点C在y轴左侧，线段ED上（不含E点）时，此时m<0，∴
∴
解得：m=4；
∵m<0，
∴不合题意.
当点C在E点左侧时，m<0
∴
∴ ，
解得：m= ；综上：m=4或 .
故答案为：m=4或 .
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系下的面积问题，做这类题时，一定要把图画出来，利用数形结
合的思想解决，对于多种情况的问题，还要注意分类讨论.
14．
【分析】根据 和二次根式有意义的条件，得到c的值，再根据第四
象限的点 到 轴的距离为 得到C点的坐标；再把BC直线方程求解出来，即可得到答案．
解：∵ ，
根据二次根式的定义得到： ，
∴c=2，
∴ 并且 ，
即 ，
∴ ，
又∵第四象限的点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
故 点坐标为 ，
又∵ ，∴B点坐标为 ， 点坐标为 ，
设BC直线方程为：y=kx+b，
把B、C代入直线方程得到 ，
当x=0时， ，
故 与 轴的交点坐标为 ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，解题的关键是正确求解c的值
和m的值，解题时应灵活运用所学知识．
15．
【分析】根据题意画出图形，设 ，利用平移的性质及已知点的坐标可求出 ， ， ，
的长，利用三角形的面积公式分别求出 ， ， 的面积，再根据 ，
可求出 与 的关系式，从而可得到点 的坐标，再根据 ，
建立关于 的方程组，解方程组求出 的值，即可得到点 的坐标．
解：如图，
设 ，∵ ， ， ，
∵平移线段 至线段 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵
，
∵ ，∴
∴ ，∴点
∵ ，
∴
∵ 解之：
∴点
【点拨】本题主要考查了坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，根
据题意画出图形是解题的关键．
16．
【分析】连接AM，根据点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），得到OA=4，OB=3，
OM=3，过M作MP⊥AB于P交OA于N，则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，根据三角
形的面积公式即可得到结论．
解：连接AM，
∵点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），∴OA=4，OB=3，OM=3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，
∵ ， BM=6，OA=4，AB=5，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂线段最短的应用，坐标与图形性质，三角形的面积公式，正确的作出图形是解题
的关键．
17． 5 /
【分析】（1）过 分别作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，交点 ，根据题意分别求得
的坐标，然后根据 ，即可求解．
（2）设 ，则 ，根据平移可得 向下移动 个单位，向右移动 个单位，得到
，即 ，求得 ，根据三角形面积求得 ，即可求解．
解：（1）过 分别作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，交于点 ，如图，∵A（ ，4），B（ ，3），C（1，0），
∴ ，
， ，
∴ ，
，
，
故答案为：5；
（2） ，设 ，则 ，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴ 向下移动了 个单位，向右移动了 个单位，
∴ 向下移动 个单位，向右移动 个单位，得到 ，即 ，
如图，过点 作 轴，于点 ，则 ，
过点 作 轴交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意 是 沿 方向平移得到的，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
18．
【分析】先根据 ， ， 、 、 、 均为整数，得 ，
，再根据 ，分类讨论即可．
解：∵ ， 、 、 、 均为整数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 或 或 或 ，
当 时，9个，
当 或 或 或 或 或2或3时， （个），当 时，9（个），
∴共有 （个），
故答案为 ．
【点拨】本题考查了绝对值的性质，不等式的意义，分类讨论的思想方法，运用分类讨论的思想方法
是本题的关键．
19．（1） ；（2）见分析， 的面积6；（3）见详解
【分析】（1）因为 轴，点C与点 纵坐标相等，点C在y轴右侧，且 ，即可求出横坐
标；
（2）利用三角形面积求解即可；
（3）利用“垂线段最短”，解答即可．
（1）解： 轴， ，点C在y轴右侧，且 ．
∴点C的坐标为： ；
故答案为： ；
（2）如图：
的面积：（3）
当线段AP长度最小时，点P的坐标为 ，依据是直线外一点与直线上各点连线中垂线段最短．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形性质，解答本题的关键是准确作图．
20．（1）点 的坐标为 ；（2） ；（3）点 的坐标为 或
【分析】（1）由点 与点 对应可确定平移，由平移即可确定点D的坐标；
（2）利用割补思想，即所求三角形面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积即可；
（3）设点 ，由面积关系建立方程即可求得x的值，从而求得点E的坐标．
（1）解：由题意知：平移为向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，点C按此平移方式得
点 的坐标为
（2）解： ；
（3）解：设点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，点的平移，求网格中三角形的面积等知识，根据两对应点的坐标确
定平移是解题的关键．设点E的坐标，根据面积关系建立方程是本题的难点．
21． 或 ， 或
解： 轴，∴点 的横坐标为2．
轴，∴点 的纵坐标为1．
设点 、点 的坐标分别为 ，
． 解得 或 ．
或 ．
． 解得 或6．
或 ．
22．（1） ， ；（2）画图见分析；（3）画图见分析
【分析】本题考查作图-平移变换，坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据题意，结合y轴上点的坐标特征可得答案．
（2）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可．
（3）由题意可知， 是向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到的 ，根据平
移的性质作图即可．
（1）解：∵点C落在y轴正半轴，且到原点的距离为3，
∴ ， ．
（2）如图， 即为所求．（3）∵点 平移后对应点 ，
∴ 是向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到的 ．
如图， 即为所求．
23．（1） ；（2） 或 ；（3）满足条件的点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）利用矩形的性质求出 ， ，可得结论；
（2）分两种情形：如图1中，当点 在线段 上时，如图2中，当点 在线段 上时，分别构建
方程求解；
（3）当点 与 重合时， 的面积为3，此时 ，过点 作 交 于点 ，此时
， 的面积为3，求出 坐标即可．
（1）解： 四边形 是矩形， ， ，
， ，
，
故答案为： ；
（2）解：如图1中，当点 在线段 上时，由题意， ，
，
．
如图2中，当点 在线段 上时，
由题意， ，
，
．
综上所述，满足条件的 的值为 或 ；
（3）解：如图3中，当点 与 重合时， 的面积为3，此时 ，
过点 作 交 于点 ，此时 ， 的面积为3，
，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分
类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
24．（1） ， ；（2） ；（3）当 或 秒时， 的面积与 面积相等．
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性即可求解；
（2）根据面积公式即可求得 ；
（3）分当点 在 上和点 在 上，两种情况利用一元一次方程，分类讨论求解即可．
（1）解：∵
∴ ， ，
解得 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴
，
∴ ；
（3）解：由 得 ，∴ ，
当点 在 上时，
∵ ， ， 的面积与 面积相等，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 秒时， 的面积与 面积相等，
当点 在 上时，
∵ ， ， 的面积与 面积相等，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 秒时， 的面积与 面积相等，
综上所述，当 或 秒时， 的面积与 面积相等．
【点拨】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，熟练掌
握算术平方根的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用是解题的关键．
