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专题 8.8 实际问题与二元一次方程组（1）（知识梳理与考点分类
讲解）
【知识点一】常见的一些等量关系（一）
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
利润
利润率= 100%
进价
5.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
【知识点一】实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起
来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程
两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
特别提醒：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是
否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【考点目录】
【考点1】和差倍分问题； 【考点2】产品配套与分配问题；
【考点3】工程问题; 【考点4】行程问题;
【考点5】方案问题; 【考点6】几何图形问题.
【考点1】和差倍分问题；
【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种
型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型
的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？
【答案】（1）A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元；（2）一共需要
4600元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，根据A型机器人模型单价比B
型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元
列出方程组求解即可；
（2）根据（1）所求分别求出两种机器人的费用，然后求和即可得到答案．
（1）解：设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元．
由题意得， ，
解得： ，
答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元．
（2）解： 元
答：一共需要4600元．
【变式1】（23-24八年级上·广西玉林·期末）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵
树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找到等量关系是解题的关键．
解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，
由题意可得： ，
故选：D．
【变式2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）顺风旅行社组织200人到花果岭和云水涧旅游，
到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，则到云水涧旅游的人数为 ．
【答案】67
【分析】设到云水涧旅游的人数为 ，到花果岭的人数为 ，根据题意，列出二元一次方程组，进行
求解即可．
解：设到云水涧旅游的人数为 ，到花果岭的人数为 ，由题意，得：
，
解得： ；
∴到云水涧旅游的人数为 ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出二元一次方程组，是解题的关
键．
【考点2】产品配套与分配问题；
【例2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）一方有难，八方支援．甘肃省临夏州积石山县地震牵动亿万国人的心，众多企业伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往灾区，2辆小货车
与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪
几种租车方案？
【答案】（1）1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资；（2）共有
3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租
用1辆小货车，7辆大货车
【分析】本题考查的是二元一次方程组与二元一次方程的正整数解的应用，理解题意，确定相等关系
是解本题的关键．
（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，利用“2辆小货车与3
辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件”，再建立方程
组解题即可；
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，利用“3100件物资需要再次运往灾区，准备同时租用这两种
货车，每辆均全部装满货物”建立二元一次方程求解即可．
（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得： ，
解得： ，
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得： ，
∴ ，
又∵a，b均为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
【变式1】（22-23七年级下·四川广安·期末）某种仪器由1个 部件和2个 部件配套构成，每名工
人每天可以加工50个 部件或60个 部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的 部件
和 部件配套？设安排 名工人加工 部件，安排y名工人加工 部件，则可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设安排 名工人加工 部件，安排y名工人加工 部件，根据“仪器由1个 部件和2个 部
件配套构成，每名工人每天可以加工50个 部件或60个 部件，现有72名工人”，即可列出二元一次方
程组．
解：设安排 名工人加工 部件，安排y名工人加工 部件，
根据题意得： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
【变式2】（2023七年级下·浙江·专题练习）用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，
制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b张正方形纸板，若做出竖式纸盒x个，
横式纸盒y个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a，b的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据盒子的结构确定等量关系是解题的关键；由题意列
出方程组可求解．解：根据题意得： ，
①+②得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【考点3】工程问题；
【例3】（23-24八年级上·贵州毕节·阶段练习）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长350米的河边
道路整治任务由 ， 两个工程队先后接力完成， 工程队每天整治15米， 工程队每天整治10米，共
用时30天．
（1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲： 乙：
根据甲、乙两位同学所列的方程组，请分别指出其中未知数 表示的意义：
甲： 表示_________________；
乙： 表示_________________．
（2）从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，将其补全，并利用此方程组求出 ， 两个工程队分
别整治河边道路多少米．
【答案】（1） 工程队工作的天数； 工程队整治的河边道路总长度；（2）任选一组求解（答案不
唯一），具体见分析
【分析】
本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，读懂题意，理解所设未知数，找到
等量关系列方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
（1）根据题意，结合题中所给方程组即可得到答案；
（2）根据题意，补全甲、乙两位同学所列的方程组，利用二元一次方程组的解法求解即可得到答案．
（1）解：由题意，结合题中所给方程组可知：
工程队工作的天数； 工程队整治的河边道路总长度；
故答案为： 工程队工作的天数； 工程队整治的河边道路总长度；（2）解：①若补全甲的方程组： ，解此方程组得 ，
， ，
答： 两个工程队分别整治河边道路150米和200米；
②若补全乙的方程组： ，解此方程组得 ，
答： 两个工程队分别整治河边道路150米和200米．
【变式1】（21-22八年级上·四川巴中·期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从
城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30
小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机
组数为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
【答案】B
【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小
时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程
组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于
x的一元一次方程，解之可得出结论．
解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，
依题意，得 ，
解得： ，
∵5ax=30a+5a，
∴x=7．
答：要同时开动7台机组．
故选：B．
【点拨】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为
180米的河道整治任务，由 、 两个工程小组先后接力完成， 工程小组每天整治12米， 工程小组每天整治8米，共用时20天，设 工程小组整治河道 米， 工程小组整治河道 米，依题意可列方程组
．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和 、 两个工程队共
用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
解：设 工程小组整治河道 米， 工程小组整治河道 米，
依题意可得： ．
故答案为： ．
【考点4】行程问题；
【例4】（23-24八年级上·广东梅州·期中）根据题意列出方程组．
（1）甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两
人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一
笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程
是关键．
（1）设乙的速度为 米 分，则甲的速度为 米 分，环形场地的周长为 米，根据环形问题的数量
关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程 慢者走的路程 环形周长建立方程即可求解；
（2）由题意可知鸡与笼的总数是不变的，由此可得两个等量关系式：即每笼放4只时，笼中鸡的总数
鸡的总数；当笼中放5只鸡时，（笼的总数 鸡的总数．
（1）解：设乙的速度为 米 分，则甲的速度为 米 分，环形场地的周长为 米，由题意，得
；
（2）解：设笼的总数为 ，鸡的总数为 只，根据题意可得：则 ．
【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）甲、乙两地相距 千米，小轿车从甲地出发，
小时后，大客车从乙地出发，相向而行．又经过 小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行 千米．
设大客车每小时行 千米，小轿车每小时行 千米，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程 大客车行驶的路程 千米，小轿车的速
度 大客车的速度 千米，据此即可求得答案．
解：题目中存在两个等量关系：小轿车行驶的路程 大客车行驶的路程 千米，小轿车的速度 大
客车的速度 千米，设大客车每小时行 千米，小轿车每小时行 千米，可得
故选：B．
【点拨】本题主要考查实际问题与二元一次方程组，能根据题目中的等量关系得到二元一次方程组是
解题的关键．
【变式2】（23-24七年级下·全国·随堂练习）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、
沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请
你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少
才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风
速是 里/分．
【答案】50
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据速度×时间=路程列方程组即可．
解：设孙悟空的速度是x里/分，风速是y里/分，
依题意，得 ，解得 ，
故风速是50里/分，
故答案为：50．【考点5】方案问题；
【例5】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格
如表：
型号 A B C
单价/元 6 000 4 000 2 500
已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计
出几种不同的购买方案供该校选择．
【答案】有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购
进B型电脑7台和C型电脑29台
【分析】
此题考查了二元一次方程组解决方案问题的运用，在解答时要考虑三种情况及题中的整数性，结合等
量关系：单价×数量=总价．列方程组求解．
分三种情况进行计算：一是购买 ，A的单价×数量+B的单价×数量 ；二是购买
，A的单价×数量+C的单价×数量 ；三是购买 ，B的单价×数量+C的单价×数
量 ．求出三种情况的解就可以求出结论．
解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：
（1）只购进A型电脑和B型电脑，
则
解得 （不符合题意，舍去）
（2）只购进A型电脑和C型电脑，
则 ，解得 ，
（3）只购进B型电脑和C型电脑，
则 解得
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．
【变式1】（22-23九年级下·河北衡水·期中）糖葫芦一般是用竹签穿上山楂，再蘸以冰糖制作而成，
现将一些山楂分别穿在若干根竹签上．如果每根竹签穿5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签穿8个
山楂，还剩余7根竹签．设竹签有 根，山楂有 个，则下列说法错误的是（ ）
A．用含 的代数式表示 可以是 B．依据题意可得方程组
C．竹签有22根 D．山楂有104个
【答案】C
【分析】设竹签有 根，山楂有 个，根据“如果每根竹签穿5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根
竹签穿8个山楂，还剩余7根竹签”列方程组求解即可．
解：由题意，得 ，故B正确；
由①，得 ，故A正确；
解方程组得 ，故C错误，D正确．
故选C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，
并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
【变式2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）学校开展以环保为主题的演讲活动，计划拿出120元
钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），用来奖励表现突出的学生．已知甲种奖品每件15元，
乙种奖品每件10元，则购买方案有 种．
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买 件甲种奖品， 件乙种奖品，根据总价二单价 数量，列出二元一次方程，求出正整数解，
即可得出结论．
解：设购买 件甲种奖品， 件乙种奖品，
依题意得： ，又∵ 均为正整数，
或 或 ，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
【考点6】几何图形问题.
【例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长
方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔
4m的路，设计方案如图所示．
（1）求每个大棚的长和宽；
（2）现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过 优惠500元；方案二是每平方
米70元，超过 优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？
【答案】（1）每个大棚的长为14m，宽为8m
（2）选择方案二更优惠
解：（1）设每个大棚的长为am，宽为bm．
根据题意，得 解得
故每个大棚的长为14m，宽为8m．
（2）大棚的面积为 ．
方案一： （元）；
方案二： （元）．
， 选择方案二更优惠．
【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）在长方形 中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．48 B．72 C．36 D．24
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形的长、宽分别为 ， ，根据图示可以列出方程组，然后解方程组即可求出小长方形的面
积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
解：设小长方形的长、宽分别为 ，
依题意得 ，
解之得 ，
∴小长方形的长、宽分别为 ，
∴
．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，图案由全等的4个长方形
纸片摆成的．若点 ，则点B的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，结
合点B所在的象限，即可得出结论．
解：设小长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意得： ，
解得： ，
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
