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第十四章 整式的乘法与因式分解
14．1 整式的乘法
14．1．1 同底数幂的乘法
学习目标：1．理解并掌握同底数幂的乘法法则．
2．能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算．
3．通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升自身的推理能力．
重点：掌握同底数幂的乘法法则．
难点：运用同底数幂的乘法法则进行相关计算．
自主学习
一、知识链接
忆一忆、填一填
1．用科学记数法表示下列各数：（1）10000=_______；（2）1亿=___________．
2．计算：（1）-2×(-2)=_________；（2）(-3)×3×(-1)×(-7)=__________．
归纳：几个不是0的数相乘，负因数的个数是______数时，积是正数；负因数的个数是
_______时，积是负数（填“奇”或“偶”）．
3．an表示______个a相乘，这种运算叫做______，其结果叫做______，其中a叫做
______，n是________，即
____个a
课堂探究
一、要点探究
探究点1：同底数幂相乘
互动探究： 神威·太湖之光超级计算机是世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次(1017次)的
超级计算机．它工作103 s可进行多少次运算？
问题1：怎样列式？
问题2：在103中，10，3分别叫什么？表示的意义是什么？
问题3：观察算式1017×103，两个因式有何特点？
要点归纳：把形如____________这种运算叫做同底数幂的乘法．问题4：根据乘方的意义，想一想如何计算1017 ×103？
1017 × 103 = 10( )
____个10 ____个10 ____个10
试一试：根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1） 25×22=2 ( )；（2）a3·a2=a ( )；（3）5m×5n =5 ( )．
猜一猜：am·an =a ( )．
证一证：
要点归纳：同底数幂的乘法法则：am·an =_________(m、n都是正整数)．
同底数幂相乘，底数______，指数______．
注意：条件：①乘法；②底数相同．
结果：①底数不变；②指数相加．
练一练：
（1）105×106= ；（2）a7·a3= ；
（3）x5·x7= ；（4）(-b)3·(-b)2= ．
比一比：
类比同底数幂的乘法公式am·an =am+n(m、n都是正整数)，a·a6·a3 =_________．
想一想：
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母表示am·an·ap
等于什么呢？
要点归纳：am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数)．练一练：下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正．
（1）b3·b3=2b3； （2）b3+b3=b6；
（3）a·a5·a3=a8； （4）(-x)4·(-x)4=(-x)16．
典例精析
例1：计算：
（1）x2·x5； （2）a·a6；
（3）(-2) × (-2)4 × (-2)3； （4）xm·x3m+1．
例2：计算：
（1）(a+b)4·(a+b)7；
（2）(y－x)2·(y－x)5；
（3）(m－n)3·(m－n)5·(m－n)7．
方法总结：公式am·an = am+n中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其
他式子．当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．
(a－b)n =
探究点2：同底数幂乘法法则的逆用
想一想：am+n可以写成哪两个因式的积？
填一填：若xm =3 ，xn =2，那么，
（1）xm+n =_____×_____=_____×_____ =_____；
（2）x2m =_____×_____=_____×_____ =_____；
（3）x2m+n =_____×_____=_____×_____ =_____．
典例精析
例3：（1）若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值；
（2）已知23x＋2＝32，求x的值．
方法总结：（1）关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求式子转化为几个已知因式的乘积
的形式，然后再求值．
（2）关键是将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答．
二、课堂小结当堂检测
1．下列各式的结果等于26的是( )
A．2+25 B．2·25 C．23·25 D．0.22·0.24
2．下列计算结果正确的是( )
A．a3·a3=a9B．m2·n2=mn4C．xm·x3=x3m D．y·yn=yn+1
3．计算：
（1）xn+1·x2n=_______； （2）(a－b)2·(a－b)3=_______；
（3）－a4·(－a)2=_______； （4）y4·y3·y2·y =_______．
4．填空：
（1）x·x2·x( )=x7；（2）xm·( )=x3m；（3）8×4=2x，则x=( )．
5．计算下列各题：
（1）(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3； （2）(a－b)3·(b－a)4；
（3）(－3)×(－3)2 ×(－3)3； （4）－a3·(－a)2·(－a)3．
6．（1）已知xa=8，xb=9，求xa+b的值；
（2）已知an－3·a2n+1=a10，求n的值；
（3）3×27×9 = 32x－4，求x的值．参考答案
自主学习
一、知识链接
忆一忆、填一填
1．（1）1×104 （2）1×108
2．（1）4 （2）-63
归纳 偶 奇
3．n 乘方 幂 底数 指数 n
课堂探究
一、要点探究
探究点1：同底数幂相乘
问题1 1017×103
问题2
问题3 观察可以发现，1017和103这两个因式底数相同，是同底数的幂的形式．
要点归纳 1017×103
问题4 17 3 17+3 20
试一试 （1）7 （2）5 （3）m+n
猜一猜 m+n
证一证 m n m+n m+n
要点归纳 m+n 不变 相加
练一练 （1）1011 （2）a10 （3）x12 （4）(－b)5
比一比 a10
想一想 am·an·ap=am+n+p
练一练 解：（1）× b6 （2）× 2b3 （3）× a9 （4）× (－x)8
典例精析
例1 解：（1）x2·x5=x2+5=x7.
（2）a·a6=a1+6=a7.
（3）(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.
（4）xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1．
例2 解：（1）(a+b)4·(a+b)7=(a+b)4+7=(a+b)11.
（2）(y－x)2(y－x)5=(y－x)2+5=(y－x)7．
（3）(m－n)3·(m－n)5·(m－n)7=(m－n)3+5+7=(m－n)15.
探究点2：同底数幂乘法法则的逆用
想一想 am+n= am·an
填一填
（1）xm xn 3 2 6
（2）xm xm 3 3 9
（3）x2m xn 9 2 18典例精析
例3 解：（1）2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120.
（2）∵23x＋2＝32＝25，∴3x＋2＝5，∴x＝1．
当堂检测
1．B 2．D
3．（1）x3n+1 （2）(a－b)5 （3）－a6 （4）y10
4．（1）4 （2）x2m （3）5
5．解：（1）(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；
（2）(a－b)3·(b－a)4=(a－b)7；
（3）(－3)×(－3)2 ×(－3)3=36；
（4）－a3·(－a)2·(－a)3=a8．
6．解：（1）xa+b=xa·xb=8×9=72；
（2）n－3+2n+1=10，∴ n=4；
（3）3×27×9 =3×33×32=32x－4，∴2x－4=6，∴x=5．
