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2024-2025 学年九年级数学上学期期末模拟卷 01
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．测试范围：人教版九年级上册+九下相似、锐角三角函数。
4．难度系数：0.52。
第Ⅰ卷
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解： ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．2．抛物线 的顶点坐标是
A． B． C． D．
【分析】依据题意，由抛物线为 ，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意， 抛物线为 ，
顶点为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．
3．用配方法解一元二次方程 时，配方后的方程是
A． B． C． D．
【分析】利用解一元二次方程 配方法，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握解一元二次方程 配方法是解题的关键．
4．如图， 是 的弦，若 的半径 ，圆心 到弦 的距离 ，则弦 的长为A．8 B．12 C．16 D．20
【分析】由垂径定理得到 ，由勾股定理求出 ，即可得到 的长．
【解答】解： ，
，
， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到 ，由勾股定理求出 的长．
5．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
A． 且 B． C． D． 且
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△ ，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得
出结论．
【解答】解： 一元二次方程 有实数根，
△ ，
，
又 ，
，
且 ．
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△ ，
列出关于 的一元一次不等式组是解题的关键．
6．如图， ， 分别是 的切线， ， 分别为切点，点 是 上一点，且 ，则
为A． B． C． D．
【分析】连接 ， ，由圆周角定理知可知 ， 、 分别切 于点 、 ，
利用切线的性质可知 ，根据四边形内角和可求得 ．
【解答】解：连接 ， ；
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解．
7．如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转得到 ，使点 的对应点 恰好落在
边上， 、 交于点 ．若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】由旋转的性质可知， ， ， ， ，因为 ，所以 ， ，由三角形内角和可得， ．所以 ．再由三
角形内角和定理可知， ．
【解答】解：由旋转的性质可知， ， ， ， ，
，
， ，
，
．
．
．
故选： ．
【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出 和 的角度是
解题关键．
8．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：
投篮次数 50 100 150 200 250 300 500
投中次数 28 60 78 104 124 153 252
估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到
A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【解答】解：根据题意得：
，
，
，
，
，
，，
由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.50，
故选： ．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能
单纯的依靠几次决定．
9．如图，在四边形 中， 且 ， 与 交于点 ， ， 分别是 ， 的
中点，则 的面积与四边形 的面积比是
A． B． C． D．
【分析】通过证明 ，可得 ，可求 ，通过证明 ，可得
，即可求解．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
，，
，
的面积与四边形 的面积比 ，
故选： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的
关键．
10．抛物线 交 轴于 ， ，交 轴的负半轴于 ，顶点为 ．下列结论：
① ；
② ；
③若 且 ，则 ；
④当 是等腰直角三角形时，则 ；
⑤若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，则 ．
其中正确的有 个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据图象可知 ， ， ，即可判断①；根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与
轴交于点 、 ，可知二次函数的对称轴为直线 ，可得 与 的关系；将 、 两点代
入可得解析式，即可判断②；利用抛物线的对称性即可判断可判断③；根据图象 ，顶点坐标，判
断④；由题意可知 ， 是抛物线 与直线 的两个交点的横坐标，根据图象即可判断⑤．
【解答】解：①由图象可知 ， ， ，，故①正确；
② 二次函数 与 轴交于点 、 ．
， ，二次函数的对称轴为直线 ，
．
．
， ．
， ．
．
故②不正确；
③若 且 ，则抛物线上的点 ， ， ， 关于对称轴对称，
，
；故③正确；
④ ， ， 是等腰直角三角形．
．
解得， ．
设点 坐标为 ．
则 ．
解得 ．
点 在 轴下方．
点 为 ．
二次函数的顶点 为 ，过点 ．
设二次函数解析式为 ．．
解得 ．故④正确；
⑤若 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，
则 ， 是抛物线 与直线 的两个交点的横坐标，
由图象可知 ， ．故⑤不正确；
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结
论是否正确．
第Ⅱ卷
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 是关于 的方程 的一个根，则 1 1 ．
【分析】由题意， 是关于 的方程 的一个根，将 代入可得 ，由此变形可得
的值，最后求出结果即可．
【解答】解： 是关于 的方程 的一个根，
，
，
．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．
12．“某种彩票的中奖率为 ，则购买100张这种彩票能中奖”是 随机 （填“随机”“必然”或“不可能” 事件．
【分析】根据事件的可能性大小判断即可．
【解答】解：“某种彩票的中奖率为 ，则购买100张这种彩票能中奖”是随机事件，
故答案为：随机．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，以原点 为位似中心，在原点的异侧按
的相似比将 放大，则点 的对应点 的坐标为 ． ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解： 以原点 为位似中心，在原点的异侧按 的相似比将 放大， 的坐标为 ，
点 的对应点 的坐标为 ， ，即 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
15．如图，在 中， ， ，以 为轴将 旋转一周得到一个圆锥，则该圆
锥侧面展开图的扇形圆心角 的度数是 ．【分析】设 ，根据 ， ，得 ，再根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长
等于圆锥的底面周长即可求出答案．
【解答】解：设 ，则 ，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
15．对于二次函数 ，规定函数 是它的相关函数．已知点 ， 的
坐标分别为 ， ，连接 ，若线段 与二次函数 的相关函数的图象有两个
公共点，则 的取值范围为 或 ．
【分析】首先确定出二次函数 的相关函数与线段 恰好有1个交点、2个交点、3个交点
时 的值，然后结合函数图象可确定出 的取值范围．
【解答】解：二次函数 的相关函数为： ，
如图1所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有1个公共点，所以当 时， ，
即 ，
解得 ，
如图2所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有3个公共点，
抛物线 与 轴交点纵坐标为1，
，
解得 ，
当 时，线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有3个公共点．
如图3所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有3个公共点，
抛物线 经过点 ，
，
如图4所示：线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线 经过点 ，
，
解得： ，
时，线段 与二次函数 的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述， 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象
上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数 的相关函数与线段 恰好有1个交点、2
个交点、3个交点时 的值是解题的关键．
16．如图，在长方形 中， ， ，点 为边 上一点，且 ，点 为边 上动
点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， 与边 交于点 ，连接 ．
（1）当点 与点 重合时， 的面积是 ；
（2）当点 在 边上运动时， 的面积最小值是 ．【分析】（1） 点 与点 重合，则可求 的面积，线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
． ．则 ．即可求出面积．
（2）设 ，故 ．此时 ．则 ， ． 线段
绕点 顺时针旋转 得到线段 ． ， ．再根据等面积法和公式法计算
求值．
【解答】解：（1） 点 与点 重合，则 的面积 ．
长方形 中， ， ，点 为边 上一点，且 ．
．
线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
． ．
则 ．
．
故 的面积 ．
故答案为： ．
（2）根据题意，设 ，
当点 与点 不重合时，
故 ．
此时 ．
则 ， ．
延长 交 延长线于点 ，过点 作 ．
线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
， ．
．
．
．则 ．
根据等面积法，
得：
．
．
则 ．
根据公式法：
．
进行分母有理化， ．
．
整理得： ．
将 代入可得， 有最小值，且为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，解题关键在于利用公式法计算三角形的面积．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4分）解方程： ．
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0
转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得： ，
可得 或 ，
解得： ， ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，
右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．（4分）在下面的网格（每个小正方形的边长为 中按要求画出图形并解答：
（1）试在图中作出 以 为旋转中心，沿顺时针方向旋转 后的图形△ ，并求出线段 在
旋转过程中所扫过的面积；
（2）作出 关于原点 对称的△ ，并直接写出点 的坐标 ．
【分析】（1）根据旋转的性质作图可得△ ；利用扇形面积公式计算扇形 的面积即可．
（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求．
，扇形 的面积为 ，
即线段 在旋转过程中所扫过的面积为 ．
（2）如图，△ 即为所求．
由图可得，点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查作图 旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、
扇形面积公式是解答本题的关键．
19．（6 分）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度 ．他们的身高分别是 ，
，小明在距离树 的 处 ，看树的顶端 的视线为 ，原地再
看爸爸的头部，视线为 ，爸爸经过移动调整位置，当 时爸爸停止移动，这时测得 ．
已知点 ， ， 在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度 ．
【分析】过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，则 ，证明 ，可得，求得 ，进而可求得 ．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，则 ，
， ， ，
四边形 ，四边形 是矩形．
， ， ，
，
，
，
，
，即 ，
解之，得 ．
，
答：树的高度 为10.3米．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
20．（6分）二次函数 的图象如图所示，其中图象与 轴交于点 和点 ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）直接写出不等式 的解集．【分析】（1）由图可知，二次函数的图象过点 ， ，利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）结合图象可得答案．
【解答】解：（1）由图可知，二次函数的图象过点 ， ，
将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
二次函数的解析式为 ．
（2）由图可得，不等式 的解集为 或 ．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组 、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求二次
函数解析式、二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
21．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞
溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是 ：盐酸（呈酸性）， ：
硝酸钾溶液（呈中性）， ：氢氧化钠溶液（呈碱性）， ：氢氧化钾溶液（呈碱性）．
（1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是多少？
（2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰
好都变红色的概率是多少？【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1） 酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，
小周将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠
溶液（呈碱性）和氢氧化钾溶液（呈碱性）变红，
结果变红的概率： ；
（2）列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色 ， 共2种结果，
所以两瓶溶液恰好都变红色的概率 ．
【点评】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的
关键．
22．（10分）如图，现有长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 为 ，围成中间隔有一道
篱笆的长方形花圃 ．设 的长为 米．
（1）若要围成面积为 的花圃，则 的长为多少米？
（2）当 的长为多少米时，长方形花圃 的面积最大？最大面积为多少？
【分析】（1）设 为 米，则 为 ，利用长方体的面积公式列方程，即可求出 即 的长．
（2）根据题意得 ，再配方变为顶点式，根据 的取值范围求得围成的花圃的最大面积．
【解答】解（1）设 米，根据题意得： ，
解得： ， ，
又 ，
，
舍去，
，
答： 的长为6米；
（2）根据题意得： ，
，
，且 在对称轴直线 右侧，
随 的增大而减小，
当 时， 有最大值， ，
答：当 的长为5米时，长方形花圃 的面积最大，最大面积为45平方米．
【点评】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系，列出方程，再求解，本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．
23．（10分）【问题提出】
（1）如图1， 为 的弦，在 上找一点 并画出，使点 到 的距离最大；（不需要说明理
由）
【问题探究】
（2）如图2，在扇形 中，点 为扇形所在圆的圆心，点 为 上一动点，连接 ， ， 与
交于点 ，若 ， ，求 的最大值；
【问题解决】
（3）某公园有一圆形水池 （如图 ， 、 是水池上的两座长度相等的小桥，且 ，
现规划人员计划再修建两座小桥 和 ，桥的入口 在水池边上（即点 在 上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形 面积最大，已知 ，修建小桥的成本为100元 ，
当四边形 的面积最大时，求修建 和 两座小桥的总成本．
【分析】（1）过点 作 的垂线，交优弧于点 ，点 即为所求；
（2） ，当 最小时， 最大，求出此时的 ， 即可解答；
（3）当 经过圆心时，四边形 的面积最大，求出此时的 和 即可解答．
【解答】解：（1）过点 作 的垂线，交优弧于点 ，点 即为所求；
（2）过点 作 交 于点 ，
， 是半径，不会随着点 的运动而改变，
当 有最小值时， 有最大值，
即当 时， 最小，此时 最大，
，
，，
，
的最大值为4；
（3）当 经过圆心时，四边形 面积最大，
根据垂径定理可得 ， ，
，
，
，
由勾股定理可得 ，
解得 ，
修建 和 两座小桥的总成本为： （元 ．
【点评】本题考查垂径定理定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
24．（12分）已知抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．
（1）直接写出 ， ， 三点的坐标；
（2）如图1，点 为直线 下方抛物线上一点， 于点 ，求 的最大值；
（3）如图 2， 、 是抛物线上异于 ， 的两个动点，若直线 与直线 的交点始终在直线
上，求证：直线 必经过一个定点，并求该定点坐标．【分析】（1）令 和 ，解方程可求解；
（2）过点 作 轴于 ，交 于点 ，利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，设
，则 ，则 ，再证得 ，可得
，得出 ，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（ 3 ） 设 点 ， ， ， ， 直 线 ， 直 线 ， 直 线
，将点 、 的坐标代入可得： ， ，联立直线 与抛物线的解析式可得
出 ， ，同理： ， ，进而可得： ，
，根据直线 与直线 的交点始终在直线 上，可得 ，
，即直线 ，故直线 恒过定点 ．
【解答】（1）解：对于 ，令 ，则 ，
， ，
点 ，点 ，令 ，则 ，
点 ；
（2）解：过点 作 轴于 ，交 于点 ，如图
设直线 的解析式为 ，
将点 ， 代入 得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，
轴，
轴，
，
，
，
，， ，
， ，
，
，
，
当 时， 最大为 ；
（3）证明：如图2，设点 ， ， ， ，
直线 ，直线 ，直线 ，
将点 代入直线 的解析式得： ，
将点 代入直线 的解析式得： ，
联立直线 与抛物线的解析式得： ，
整理得： ，
则 ， ，
同理： ， ，， ，
， ，
，
，
联立直线 与直线 的解析式得： ，
解得： ，
直线 与直线 的交点始终在直线 上，
，
化简得： ，
，
直线 ，
不论 为何值，均有 时， ，
即：直线 恒过定点 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函
数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的极值，相似三角形的判定与性质等知识，利
用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
25．（12分）已知 是四边形 的对角线， ．点 沿 运动，
到达点 时停止运动．点 在线段 运动，且始终保持 ．射线 交线段 于点 ．（1）如图1，当点 在线段 上时；
①求证： ；
②若 ，求 的度数；
（2）如图2，若点 在线段 上； 是线段 中点，在图2中，仅用无刻度直尺在线段 上作出点
；
（3）请求出点 运动的路径长．
【分析】（1）①可证明 ，从而 ；
②设 ，可表示出 ，在 中，由三角形内角和定理列
出 ，进而求得结果；
（2）作出点 关于 的对称点 ，进而得出点 ；
（3）可推出 ，从而点 在 的垂直平分线上运动，当点 从点 运动到点 时，点 的运动
路径是 ， ；可推出 ，从而点 、 、 、 共圆，
所以点 在等边三角形 的外接圆上 运动，当点 从 运动到点 时，点 运动的路径是 ，根
据弧长公式，进一步得出结果．
【解答】（1）①证明： ， ， ，
，
；
②解：设 ，
由（1）知： ，
，
，，
，
，
在 中，由三角形内角和定理得，
，
，
；
（2）解：如图1，
（Ⅰ）连接 ，交 于点 ，
（Ⅱ）连接 ，并延长 ，交 于点 ，
（Ⅲ）作射线 ，交 于点 ，
则点 就是所求作的点；
（3）解：如图2，
当点 在 上时，
由（1）知： ，
，
，
，
，，
点 在 的垂直平分线上运动，
当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径是 ， ，
如图3，
，
，
，
，
，
点 、 、 、 共圆，
点 在等边三角形 的外接圆上 运动，
当点 从 运动到点 时，点 运动的路径是 ，
连接 ， ，作 于点 ，
，
，
，
，
点 运动的路径长为： ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，弧长
公式等知识，解决问题的关键是分类讨论，找出点 的运动路径．
