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第 24 章 圆 章节整合练习（20 个知识点+40 题练
习）
章节知识清单练习
知识点1．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“ O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ⊙
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
知识点2．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
知识点3．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．知识点4．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一
推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形
与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
知识点5．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成
同一条弧所对的圆周角和圆心角．
知识点6．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．知识点7．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r ⊙
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以⇔确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定
该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
⇔ ⇔
知识点8．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不
能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过
一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
知识点9．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在
三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而
一个圆的内接三角形却有无数个．
知识点10．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设 O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和 O相交 d＜r ⊙
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
⊙ ⇔
知识点11．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角
形解决问题．
知识点12．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确
指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
知识点13．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
知识点14．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
知识点15．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
知识点16．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
知识点17．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
π
（2）弧长公式：l＝ （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，
只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
知识点18．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形 ＝ R2或S扇形 ＝ lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影π面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
知识点19．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的
高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧 ＝ •2 r•l＝ rl．
（4）圆锥的全面积：S全 ＝S底+Sπ 侧 ＝ πr2+ rl
π π
（5）圆锥的体积＝ ×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
知识点20．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
章节题型整合练习
一．圆的认识
1．（2024秋•大丰区校级月考）在 中，最长的弦是 ，则 的半径为
A． B． C． D．
2．（2024秋•东海县月考）如图， 是 的直径， 是 上一点， ， 为 延长线上
一点，且 ，求 的度数．
二．垂径定理
3．（2024秋•西平县校级期中）如图， 是 的直径， 于点 ．若 ， ，则
长是A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2024•中山市校级模拟） 与 轴交于点 ， ，与 轴的正半轴交于点 ．若
，则点 的纵坐标为 ．
三．垂径定理的应用
5．（2024秋•邗江区校级月考）高速公路的隧道和桥梁较多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以
为圆心的圆的一部分，路面 米，拱高 米，则此横截面所在圆的半径 米．
6．（2024•旺苍县一模）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之
先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦 长 ，设圆心为 ， 交水面 于点 ，轮子
的吃水深度 为 ，求该桨轮船的轮子直径．四．圆心角、弧、弦的关系
7．（2024•南山区二模）如图，圆 的半径是4， 是弦， 且 是弧 的中点，则弦 的长
为
A． B． C．4 D．6
8．（2024秋•浦东新区期中）如图， ， 是 的两条弦，且 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求半径 的长．五．圆周角定理
9．（2024•鸠江区一模）如图所示，点 、 、 都在 上，若 ， ，则
A． B． C． D．
10．（2024•益阳三模）如图， 是 的直径， ，点 在 上， ， 为 的
中点， 是直径 上一动点，则 的最小值是 ．
六．圆内接四边形的性质
11．（2024•雨花台区模拟）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ．若
，则 的度数是 ．12．（2024秋•阜宁县校级月考）如图， ， ， ， 是 上的四个点， ，
交 于点 ．
（1）判断△ 的形状，证明你的结论；
（2）①若 是 的中点，求证： ；
②若点 在 上移动，判断 是否成立，证明你的结论．
七．点与圆的位置关系
13．（2024•高邮市校级模拟）已知 的半径是6，点 是平面内一点且 ，则点 与 的位置关
系是
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定
14．（2024秋•西湖区校级月考）如图，在三角形 中， ， ， ， 是高线，
是中线．
（1）以点 为圆心，3为半径作圆 ，则点 ， ， 与圆 的位置关系如何？
（2）若以点 为圆心作圆 ，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆 的
半径 的取值范围？八．确定圆的条件
15．（2024秋•高邮市校级月考）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④
长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2023秋•海州区校级期中）不在同一条直线上的 个点确定一个圆．
九．三角形的外接圆与外心
17．（2024秋•武进区校级月考）如图， 是 的外接圆， ， 是 的中点，连接 并
延长交 于点 ，连接 ，则 的度数为 ．
18．（2024秋•建邺区校级月考）如图， 是等腰△ 的外接圆， ， ．求的半径．
一十．直线与圆的位置关系
19．（2024秋•渝中区校级月考）已知 的半径为3，圆心 到直线的距离为2，则 与直线的位置关
系是
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离
20．（2024•惠阳区校级三模）如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ， ，
弦 于 ，点 是 延长线上一点，且 ，连接 ．
（1）填空： ；
（2）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）取 的中点 ，连接 ，求图中阴影部分的面积．一十一．切线的性质
21．（2024秋•江北区校级月考）如图， 与 相切于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 ，
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
22．（2024•鼓楼区校级模拟）如图， 的直径是 ， 、 是它的两条切线， 与
相切于点 ，并与 、 分别相交于 、 两点，设 ， ，则 与 的函数解析式为
．一十二．切线的判定
23．（2022秋•无为市期末）如图，已知 的半径为1，圆心 在抛物线 上运动，当 与
轴相切时，请写出所有符合条件的点 的坐标为 ．
24．（2024秋•盐都区期中）如图，在四边形 中， ， 相交于点 ，且 ，经过
， ， 三点的 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： 是 的切线．一十三．切线的判定与性质
25．（2023秋•龙岩期末）如图， 是 的外接圆， 是 延长线上一点，连接 ， ， ，
且 ，点 是 中点， 的延长线交 于点 ，则下列结论：① ；②
垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．其中正确的结论是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
26．（2024•青秀区校级三模）如图， 为 的直径，过圆上一点 作 的切线 交 的延长线
于点 ，过点 作 ， 交 于点 ，连接 ．
（1）求证：直线 与 相切；
（2）若 ， ，求 的长．一十四．切线长定理
27．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形 是 的外切四边形，且 ， ，则四边形
的周长为
A．44 B．42 C．46 D．47
28．（2023秋•玉环市校级期中）如图所示，过半径为 的 外一点 引圆的切线 ， ，连接
交 于 ，过 作 的切线，交 ， 分别于 ， ，如果 ， ，则△
的周长 ； 的度数 ．一十五．三角形的内切圆与内心
29．（2024秋•泰兴市校级月考）如图，点 是△ 的内心，若 ，则 ．
30．（2024秋•秦淮区校级月考）如图， △ 中， ， ， ， ， 是△
的内切圆，求 的半径 （用含 、 、 的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于 的方程 ．
解得 （结果用含 、 、 的代数式表示）．
小辰同学由切线长定理，可以构建关于 的方程 ．
解得 （结果用含 、 、 的代数式表示）．
（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．一十六．正多边形和圆
31．（2023秋•德宏州期末）如图，正六边形 内接于 ，半径为6，则这个正六边形的边心距
为
A．4 B． C． D．
32．（2024秋•台江区校级月考）如图，正方形 内接于 ， 是 的中点，连接 ， ，
．求证： ．
一十七．弧长的计算33．（2024秋•梁溪区校级月考）若某圆弧所在圆的直径为2，弧所对的圆心角为 ，则这条弧长为
A． B． C． D．
34．（2024秋•青秀区校级月考）若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为 ，则这条弧长为
．
一十八．扇形面积的计算
35．（2024秋•东城区校级月考）半径为4的圆中，圆心角为 的扇形面积为 ．
36．（2024•泗水县二模）如图，在正方形网格中，点 ， ， ， 均在格点上，过 ， ， 的弧交
于点 ，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 （结果保留
一十九．圆锥的计算
37．（2023秋•滨湖区期末）用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于
A．3 B．5 C． D．
38．（2024•邹城市一模）如图，从一个半径为 的圆形铁片中剪出一个圆心角为 的扇形，再将剪下
的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 ．
二十．圆柱的计算39．（2023•兴义市校级模拟）一个圆柱的侧面展开正好是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是
A． B． C． D．
40．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积为 ．
