文档内容
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证
明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作
图问题.
难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
自主学习
一、知识链接
1.说一说什么是轴对称图形？
2.你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有什么发现？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：垂径定理及其推论
说一说 (1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
(2) 你是怎么得出结论的？
问题 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为P.你能发现图中有那些相等的线
段和劣弧? 为什么?归纳总结：垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两
条弧.
推导格式：∵ CD 是直径，CD⊥AB，∴ AP=BP， ，
.
想一想 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
归纳总结：可运用垂径定理的几种常见图形
典例精析
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm.
例2 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
思考探索 如果把垂径定理的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？
①过圆心(是直径)；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？证明举例 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD平分弦AB于点E.
(1) CD⊥AB吗？为什么？
(2) 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么?
归纳总结：垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
例3 已知：⊙O中弦AB∥CD，求证： .
归纳总结：
M
C D
A B A B
O E O O
A B
C D
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助
线，为应用垂径定理创造条件.
探究点2：垂径定理的实际应用
问题 (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国
古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
练一练：如图a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为
.归纳总结：
弓形中的重要数量关系
弦长a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d + r = h
三、课堂小结
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
内容
一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直
径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两
推论
个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”).
垂径定理
两条辅助线：连半径，作弦心距
辅助线
基本图形及变式 构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
图形
当堂检测
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 cm.
2.⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°则弦AC= cm.
3.(分类讨论题)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN
和EF之间的距离为 .
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求
证：四边形ADOE是正方形．5.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC和
BD有什么关系？为什么？
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=
600 m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
拓展提升
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
为 .
参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫
轴对称图形.2. 解：能；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
课堂探究
二、要点探究
探究点1：
说一说 （1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．（2）用折叠的
方
法.
问题 解：线段: AP=BP，劣弧: ， .理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，弧AC和弧BC，弧AD与弧
BD重合．
想一想 解：（1）是. (2)不是，因为没有垂直. (3) 是. （4）不是，因为CD没有过圆
心.
例 1 16 解析：连接 OA，∵ OE⊥AB， ∴
∴AB=2AE=16cm.
例2 解: 连接OA，∵ CE⊥AB于D，∴
设OC=x，则OD=x-2，
根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得 x=5.即半径OC的长为5cm.
思考探索 解：可以.
证明举例 解：（1）CD⊥AB. 连接AO，BO，则AO=BO，又∵AE=BE，∴△AOE≌△BOE
(SSS)，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得 = ， =
.
例3
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则
（垂直平分弦
∴
的直径平分弦所对的弧） .
探究点2：
问题 解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交 于点 C，交AB于点D，
则 CD = 7.2 m. 由垂径定理，得AD= AB=18.5m，设⊙O的半径为R.在Rt△AOD中，AO
= R，=R-7.23. AD = 18.5. 由勾股定理，得
OD , .解得
R≈27.3(m).即主桥拱半径约为27.3m.
练一练 2cm或12cm
当堂检测
1. 5 2. 3. 14cm或2cm
4. 证明：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC,∴∠OEA=∠ODA=∠EAD=90°.∴四边形ADOE为矩形，
AE= AC,AD= AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.
5. 解：AB=CD. 过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴ AE－CE＝BE－DE即
AC＝BD.
6. 解:连接 OC.设这段弯路的半径为 R m,则 OF=(R-90) m. ∵OE⊥CD，CF= CD=
600=300( ) 根据勾股定理，得
m
解得R=545.∴这段
弯路的半径为545 m.
拓展提升 3≤OP≤5.
