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2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 01
数学•全解全析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
❑√1
A．❑√27 B．❑√6 C． D．❑√0.1
3
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式的判定．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：A.❑√27=3❑√3，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
B.❑√6符合最简二次根式的条件，故此选项是最简二次根式，符合题意；
❑√1 1
C. = ，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
3 3
√ 1 ❑√10
D.❑√0.1=❑ = ，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
10 10
故选B．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴
对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中
心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
1
A．y=2x+5 B．y= +2x C．y=ax2+bx+c D．y=(x+2)(x−3)
x2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)且a，b，c为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一
进行判断即可．
【详解】解：A项．y=2x+5中没有二次项，不是二次函数，不符题意；
1 1
B项．y= +2x中 是−2次，不是二次项，所以不是二次函数，不符题意；
x2 x2
C项．y=ax2+bx+c中的二次项没有排除a≠0的情况，所以不一定是二次函数，不符题意；
D项．y=(x+2)(x−3)展开后得：y=x2−x−6，符合二次函数定义，符合题意
故答案为：D
4．已知一元二次方程x2−3x−5=0的两根为x ，x ，则x +x −x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2 B．−2 C．8 D．−8
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =3，
1 2
x ⋅x =−5，代入进行计算即可得到答案．
1 2
【详解】解：∵一元二次方程x2−3x−5=0的两根为x ，x ，
1 2
−3 −5
∴x +x =− =3，x ⋅x = =−5，
1 2 1 1 2 1
∴x +x −x x =3−(−5)=3+5=8，
1 2 1 2
故选：C．
5．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）某次抽奖活动，有60%的获奖机会．王叔叔买了10张奖券，下
列说法正确的是（ ）
A．王叔叔一定能获奖 B．王叔叔一定有6张奖券能够获奖
C．王叔叔有可能一张也不会中奖 D．王叔叔一定不能获奖
【答案】C
【分析】题目主要考查事件发生的可能性，理解题意是解题关键．
【详解】解：有60%的获奖机会表示每张奖券有可能获奖，也有可能不会中奖，
故选：C．
6．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点(−1,y )，(2,y )，(4,y )都在二次函数
1 2 3
y=ax2−2ax+3a(a≠0)的图象上，当x>2时，y随着x的增大而增大，则y ，y ，y 的大小比较正确的
1 2 3
是（ ）A．y 2时，y随着x的增大而增大，
∴a>0，
∴点(−1,y )关于直线x=1的对称点是(3,y )，
1 1
∵2<3<4，
∴y 8
800
∴把x=10代入y= ，得：y=80，
x
即：9:30时的水温为80℃，故C选项说法正确，符合题意；
将(8,100)代入y=8x+20
可得100≠84+20，故B选项说法不正确，不合题意；
故选：C．
9．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数y=a(x+1)(x−m)（a为非零常数，12时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点(0,1)，则− y ，则 ≤m<2．
1 2 2
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析
式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，12>x 时，y随x的增大而减小，故①正确；
2
−1+m
又∵对称轴为直线x= ，1y ，10.16，
5
此时乙在三位选手中的排序居中，不合题意舍去，
当m=92时，
90+94+90+94+92 1
丙的平均分= =92，方差为 ×[2×(90−92) 2+2×(94−92) 2+(92−92) 2)=3.2>1.2，
5 5
此时丙在三位选手中的排序居中，
故m=92，
故答案为：92．
15（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：
AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知
DE=12,EF=8，点M在以半径为4的⊙D上运动，则M F2+MG2的最大值为 ．
【答案】464
【分析】本题考查了一点到圆上一点的最值、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出
MN的最大值是解题的关键．
设GF的中点为N，连接MN、DM，根据题意可得，M F2+MG2=2M N2+2GN2，由此可以判定M F2+MG2的最大值，即当MN的值最大时，M F2+MG2的值最大，进行求解即可．
【详解】解：设GF的中点为N，连接MN、DM，如图：
1 1
则DM=4，GN= GF= DE=6，
2 2
根据题意可得，M F2+MG2=2M N2+2GN2=2M N2+72，
∴当MN的值最大时，M F2+MG2的值最大，
又∵点M在以半径为4的⊙D上运动，
∴MN的最大值=DN+4，
由勾股定理可得：DN=❑√GN2+GD2=❑√62+82=10，
∴MN的最大值为14，
∴M F2+MG2的最大值为=2M N2+72=2×142+72=464．
故答案为：464．
16．如图，已知四边形ABFE是一个矩形，它由正方形ACDE、正方形BCMN和矩形DMNF拼合而成，
若两个正方形的面积之和为34，矩形CDFB是面积为15的长方形，则矩形ABFE的面积为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了完全平方公式化简计算，一元二次方程的几何应用，正确建立方程是解题的关键．
{x2+ y2=34)
设正方形ACDE、正方形BCMN的边长分别为x,y，根据题意得到方程组 ，根据完全平方
xy=15
{x+ y=8)
公式将其转化为 ，再由代入消元法得到一元二次方程y2−8 y+15=0，再求解即可．
xy=15
【详解】解：设正方形ACDE、正方形BCMN的边长分别为x,y，
{x2+ y2=34)
由题意得： ，
xy=15
∴(x+ y) 2=x2+ y2+2xy=34+15×2=64，
∴x+ y=8（舍负），{x+ y=8)
∴ ，
xy=15
整理得：y2−8 y+15=0
解得：y=3或y=5（不合题意），
∴x=5，
∴矩形ABFE的面积为x(x+ y)=(5+3)×5=40，
故答案为：40．
三、解答题：本题共8小题，17-21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分．
17．计算
(1)(4❑√6−6❑√2)÷2❑√2；
(2)(❑√2−1) 2 −❑√3×(❑√6+❑√3)．
【答案】(1)2❑√3−3
(2)−5❑√2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算和二次根式的除法计算，熟知二次根式的相关计算法则是解
题的关键．
（1）直接根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（2）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：(4❑√6−6❑√2)÷2❑√2
=4❑√6÷2❑√2−6❑√2÷2❑√2
=2❑√3−3；
（2）解：(❑√2−1) 2 −❑√3×(❑√6+❑√3)
=2−2❑√2+1−❑√18−3
=2−2❑√2+1−3❑√2−3
=−5❑√2．
18．解方程：
(1)x(x−4)+5(x−4)=0；
(2)x2+4x−1=0．
【答案】(1)x =4，x =−5
1 2
(2)x =−2+❑√5，x =−2−❑√5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）x(x−4)+5(x−4)=0(x−4)(x+5)=0
x−4=0或x+5=0
解得x =4，x =−5；
1 2
（2）x2+4x−1=0
x2+4x=1
x2+4x+4=5
(x+2) 2=5
x+2=±❑√5
解得x =−2+❑√5，x =−2−❑√5．
1 2
19．已知二次函数y=−x2+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）．
(1)求b，c的值．
(2)求该二次函数图象的顶点坐标．
{b=2)
【答案】(1)
c=3
(2)（1，4）
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c
的值；
（2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标．
{0=9+3b+c)
【详解】（1）解：将（3，0），（0，3）代入二次函数解析式得： ，
3=c
{b=2
)
解得： ；
c=3
（2）二次函数解析式为y=−x2+2x+3=−（x−1）2+4，
则顶点坐标为（1，4）．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题
的关键．
k
20．如图，等腰直角三角形ABC的三个顶点坐标A(1,3)，B(3,1)，C(3,3)，反比例函数y= (x>0)的
x
图象经过点C．(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的两个点，再画出反比例函数位于第一象限的图象．
(3)若将等腰直角三角形ABC向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点恰好都在反
比例函数的图象上，请直接写出满足条件的m，n的值．
9
【答案】(1)y=
x
(2)见解析
(3)m=n=−2+❑√10
【分析】本题考查了反比例函数的图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题
的关键．
（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据描点法即可作图；
（3）先表示出平移后的顶点A、B的对应点，再代入反比例函数解析式即可求解．
k
【详解】（1）解：反比例函数y= (x>0)的图象经过点C(3,3)，
x
∴k=3×3=9，
9
∴反比例函数解析式为y= ；
x
( 9) ( 9)
（2）解：如图，描出M 2, ，N 4, 两点，
2 4
图象如图所示：（3）解：∵A(1,3)，B(3,1)，
∴向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点分别为(1+n,3+m)，(3+n,1+m)，
9
将点(1+n,3+m)，(3+n,1+m)代入y= ，
x
{(1+n)(3+m)=9①)
则：
(3+n)(1+m)=9②
由①−②得m=n，
将m=n代入①，整理得：n2+4n−6=0，
解得：n=−2+❑√10或n=−2−❑√10（舍），
∴m=n=−2+❑√10．
21．香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
风味 偏甜 适中 偏酸
含量/
71.2 89.8 110.9
(mg/100mL)
已知1−5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占40%．
(1)求表格中的a，b值；
(2)求出售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数和中位数；
(3)从适中风味香醋中随机抽取一瓶，求抽到玻璃瓶装香醋的概率．【答案】(1)18；20
(2)众数为110.9；中位数为89.8
38
(3)
55
【分析】本题考查条形统计图，求中位数和众数，概率计算等知识，审清题意读懂统计图是解题的关键．
（1）根据总瓶数乘以“偏酸”的占比求出“偏酸”的数量，再减去玻璃瓶装数即可求出a，根据题意可知
15+b+17+38+a+42=150，代入a的值，即可求出b；
（2）根据众数和中位数的定义的求解即可；
（3）根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵1−5月共售出香醋150瓶，其中“偏酸”的占比为40%，
∴偏酸的总瓶数为150×40%=60(瓶)，
由题意，得：a+42=60，即a=18，
∵由总瓶数，得：15+b+17+38+a+42=150，且a=18，
解之，得：b=20，
∴a=18，b=20；
（2）∵在玻璃瓶装数量中：含量71.2偏甜的出现20瓶(次)，含量89.8适中的出现38瓶(次)，含量110.9
偏酸的出现42瓶(次)．
∵110.9出现了42次，次数最多，
∴该众数为110.9；
由题意可知，总瓶数为：20+38+42=100，
∴由中位数的定义可知，按大小顺序排列，其第50、51瓶的平均值，即为该中位数
又∵前20瓶为71.2，21−58瓶为89.8，
∴其中位数为89.8
（3）∵适中风味总瓶数为17+38=55，
又∵玻璃瓶装38瓶，
38
∴由概率的定义，得：适中风味中抽到玻璃瓶装的概率为
55
22．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°．以AC为直径的⊙O
交BC于点D，交BA的延长线于点E，连结CE，DE．
(1)求∠DEC的度数．
(2)若DE=6，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)∠DEC=60°
(2)4π−3❑√3
【分析】本题考查圆周角的性质，等腰三角形性质，等边三角形判定及扇形面积和三角形面积计算，解题
的关键是利用直径所对圆周角是直角，以及结合已知角度和边长关系进行推导计算．
（1）根据圆的直径所对圆周角∠AEC=90°，再结合已知的AB=AC，∠B=30°，得到
∠ACB=∠B=30°，再由圆周角∠AED=∠ACD=30°，最后求出∠DEC相应角度；
（2）通过作OM⊥CD，垂足为M．则DM=CM，利用角度和边长关系判断出三△DEC是等边三角形，
进而分别计算扇形面积和三角形面积，最后得出阴影部分面积．
【详解】（1）解：∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠ACB=∠B=30°，
∴∠AED=∠ACD=30°，
∴∠DEC=60°．
（2）解：作OM⊥CD，垂足为M．则DM=CM，
∵∠EAC=∠B+∠ACB=60°
，
∴∠EDC=60°．而∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形．
∴DM=CM=3，OC=2❑√3，
120 ❑√3
∴阴影部分的面积= π×(2❑√3) 2 − ×(2❑√3) 2=4π−3❑√3．
360 4
23．（19-20九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC
的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
(1)证明：▱ECFG是菱形；
(2)若∠ABC=120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
(3)若∠ABC=90°，AB=6，AD=8，M是EF的中点，求DM的长．【答案】(1)见解析
(2)∠BDG=60°
(3)DM=5❑√2
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得
∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，从而可得∠CEF=∠CFE，再根据等腰三角形的判定可得
CE=CF，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）先证出△BEG≌△DCG，根据全等三角形的性质可得BG=DG，∠BGE=∠DGC，再证出
△CEG和△BDG是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得；
（3）先证出四边形ECFG为正方形，根据正方形的性质可得∠CFE=45°，再根据等腰直角三角形的判
1
定与性质求出DF=AD=8，从而可得CE=CF=2,MF= EF=❑√2，然后过M作MH⊥CF于H，根据
2
勾股定理求出MH,FH的长，从而可得DH的长，最后在Rt△DMH中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°，
由（1）知，四边形ECFG是菱形，
1
∴CE=≥¿，∠BCG= ∠BCF=60°，EG∥DF，
2
∴CG=≥=CE，∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=∠BCF=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG(SAS)，
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=≥=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG=60°．
（3）解：∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，AB=6，
∴四边形ABCD是矩形，AB=DC=6，
∴BC⊥CD， AD⊥CD，
又由（1）可知，四边形ECFG为菱形，
∴四边形ECFG为正方形．
∴∠CFE=45°，
∴Rt△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=8，
∴CE=CF=DF−CD=2，
∴EF=❑√CE2+CF2=2❑√2，
∵M是EF的中点，
1
∴MF= EF=❑√2，
2
如图，过M作MH⊥CF于H，
∴△MHF是等腰直角三角形，
∴MF=❑√M H2+FH2=❑√2FH=❑√2MH=❑√2，
∴FH=MH=1，
∴DH=DF−FH=7，在Rt△DMH中，DM=❑√DH2+M H2=❑√72+12=5❑√2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练
掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．
24．已知抛物线y=−x2+bx−3（b为常数）．
(1)若该函数的图象经过(1,0)
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的
顶点恰好落在直线y=x−3上，求m的值；
(2)若点P(n,a)，Q(n+2,a)，M(−2,t)都在这个二次函数图象上，且−3−2)
解得 ，
n<−2
∴n不存在．
情况2：对称轴在y轴左侧，且点M在对称轴右侧，
∵−3
