2025 年秋季九年级开学摸底考试模拟卷 01
数学•全解全析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．下列式子中属于最简二次根式的是（ ）
❑√1
A．❑√27 B．❑√6 C． D．❑√0.1
3
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式的判定．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：A.❑√27=3❑√3，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
B.❑√6符合最简二次根式的条件，故此选项是最简二次根式，符合题意；
❑√1 1
C. = ，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
3 3
√ 1 ❑√10
D.❑√0.1=❑ = ，故此选项不是最简二次根式，不符合题意；
10 10
故选B．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）下列2024年巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴
对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中
心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
1
A．y=2x+5 B．y= +2x C．y=ax2+bx+c D．y=(x+2)(x−3)
x2
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．
二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)且a，b，c为常数的函数，叫做二次函数，再根据定义逐一
进行判断即可．
【详解】解：A项．y=2x+5中没有二次项，不是二次函数，不符题意；
1 1
B项．y= +2x中 是−2次，不是二次项，所以不是二次函数，不符题意；
x2 x2
C项．y=ax2+bx+c中的二次项没有排除a≠0的情况，所以不一定是二次函数，不符题意；
D项．y=(x+2)(x−3)展开后得：y=x2−x−6，符合二次函数定义，符合题意
故答案为：D
4．已知一元二次方程x2−3x−5=0的两根为x ，x ，则x +x −x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2 B．−2 C．8 D．−8
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =3，
1 2
x ⋅x =−5，代入进行计算即可得到答案．
1 2
【详解】解：∵一元二次方程x2−3x−5=0的两根为x ，x ，
1 2
−3 −5
∴x +x =− =3，x ⋅x = =−5，
1 2 1 1 2 1
∴x +x −x x =3−(−5)=3+5=8，
1 2 1 2
故选：C．
5．（23-24七年级上·浙江杭州·开学考试）某次抽奖活动，有60%的获奖机会．王叔叔买了10张奖券，下
列说法正确的是（ ）
A．王叔叔一定能获奖 B．王叔叔一定有6张奖券能够获奖
C．王叔叔有可能一张也不会中奖 D．王叔叔一定不能获奖
【答案】C
【分析】题目主要考查事件发生的可能性，理解题意是解题关键．
【详解】解：有60%的获奖机会表示每张奖券有可能获奖，也有可能不会中奖，
故选：C．
6．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知点(−1,y )，(2,y )，(4,y )都在二次函数
1 2 3
y=ax2−2ax+3a(a≠0)的图象上，当x>2时，y随着x的增大而增大，则y ，y ，y 的大小比较正确的
1 2 3
是（ ）A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
【答案】C
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质等知识点，根据二次函数的解析
式得出图象的对称轴是直线x=1，结合题意得出抛物线开口向上，再将点(−1,y )求得关于对称轴对称的
1
点(3,y )，利用增减性即可得出答案．
1
【详解】解：∵y=ax2−2ax+3a(a≠0)，
−2a
∴图象的对称轴是直线x=− =1，
2a
∵当x>2时，y随着x的增大而增大，
∴a>0，
∴点(−1,y )关于直线x=1的对称点是(3,y )，
1 1
∵2<3<4，
∴y <y <y ，
2 1 3
故选：C．
7．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，⊙O的半径为2，点A是半圆上的一个三等分点，点B是
A´N的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）
❑√2
A．1 B． C．2❑√2 D．❑√3−1
2
【答案】C
【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接OA′，A A′，此时PA+PB是最小值，
证明△OA′B是等腰直角三角形，即可得到答案．
【详解】解：如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接OA′，A A′，
∵ A A′ MN A
点 与 关于 对称，点 是半圆上的一个三等分点，
∴∠AON=∠A′ON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧A´N的中点，∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=OB=2，
∴A′B=❑√OA′2+OB2=2❑√2，
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2❑√2，
故选：C．
【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、
圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明∠A′OB=90°是解题关键．
8．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水
温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若在水温为20℃时
接通电源，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温上升过程中，y与x的函数关系式是y=8x+20
C．若上午8点在水温为20℃时接通电源，则可以保证当天上午9:30能用到不低于80℃的水泡茶
D．一个加热周期的时间为20min
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运
用所学知识解决问题是解题的关键．
100−20
因为开机加热时，饮水机每分钟上升10°C，所以开机加热到100°C，所用时间为 =8min，即
10
可判断A；利用点(8，100)，可以求出反比例函数解析式，令y=20，则x=40，求出每40分钟，饮水机
重新加热，即可判断D；若上午8点在水温为20℃时接通电源，则当天9:20时第二个周期结束，根据剩余
时间计算即可判断C；将(8，100)代入y=8x+20，即可判断B．
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10°C，
100−20
∴水温从20°C加热到100°C，所需时间为： =8min，故A选项说法不正确，不合题意；
10
∴(8,100)在反比例函数图象上，
k
设反比例函数解析式为y= ，
x
代入点(8,100)可得，k=800，800
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y= ，
x
800
在y= 中，令y=20，则x=40，
x
即：每40分钟，饮水机重新加热，故D选项说法不正确，不符合题意；
若上午8点在水温为20℃时接通电源，
则当天9:20时第二个周期结束，
此时距9:30还有10分钟，
∵10>8
800
∴把x=10代入y= ，得：y=80，
x
即：9:30时的水温为80℃，故C选项说法正确，符合题意；
将(8,100)代入y=8x+20
可得100≠84+20，故B选项说法不正确，不合题意；
故选：C．
9．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数y=a(x+1)(x−m)（a为非零常数，1<m<2），
当x<−1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
1
①若x>2时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点(0,1)，则− <a<0；③若(−2023,y )，
2 1
(1 ) (1 )
(2023,y )是函数图象上的两点，则y <y ；④若图象上两点 ,y ， +n,y 对一切正数n，总有
2 1 2 4 1 4 2
3
y >y ，则 ≤m<2．
1 2 2
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析
式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，1<m<2)，
∴当y=0时，x =−1，x =m，x <x ．
1 2 1 2
又∵当x<−1时，y随x的增大而增大，
∴a<0，开口向下．
∴当x>2>x 时，y随x的增大而减小，故①正确；
2
−1+m
又∵对称轴为直线x= ，1<m<2，
2
−1+m 1
∴0< < ．
2 2
若(−2023,y )，(2023,y )是函数图象上的两点，2023离对称轴近些，
1 2又抛物线开口向下，
则y <y ，故③正确；
1 2
(1 ) (1 )
若图象上两点 ,y ， +n,y 对一切正数n，总有y >y ，1<m<2，
4 1 4 2 1 2
又该函数与x轴的两个交点为(−1,0)，(m,0)，
−1+m 1
∴0< ≤ ．
2 4
3
解得1<m≤ ，故④错误；
2
∵二次函数y=a(x+1)(x−m)(a为非零常数，1<m<2)，当x<−1时，y随x的增大而增大，
∴a<0．
若图象经过点(0,1)，则1=a(0+1)(0−m)，得1=−am．
∵a<0，1<m<2，
1
∴−1<a<− ，故②错误；
2
∴①③正确；②④错误，
故选：B．
10．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，C点是线段AB上一动点，分别以AC，BC为边向上作
正方形ACEF和正方形CBGD，连接BE，AD，延长AD交BE于点N，过点N作NQ⊥AB，点M为线段
AB的中点，记MQ的长为x，QN的长为y，点C在运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
x
A．x2+ y2 B．xy C．x2−y2 D．
y
【答案】A
【分析】连接MN，证明△ACD≌△ECB(SAS)，继而证明∠ANE=∠ANB=90°，利用斜边上的中线等
于斜边的一半，可判定A正确；利用三角形面积不是定值，角不是定角，其正切函数也变化，表示变量，
解答即可．
【详解】解：连接MN，
∵四边形ACEF，四边形BCDG是正方形，
∴CA=CE，CD=CB，∠ACD=∠ECB=90°，
在△ACD和△ECB中，{
CA=CE
)
∵ ∠ACD=∠ECB
CD=CB
∴△ACD≌△ECB(SAS)，
∴∠CAD=∠CEB，
∵∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠CEB+∠CDA=90°，
∴∠CEB+∠EDN=90°，
∴∠ANE=∠ANB=90°，
∵点M为线段AB的中点，
1
∴MN= AB，
2
∵NQ⊥AB，
∴∠NQM=90°，
∴NQ2+MQ2=M N2，
1
∴x2+ y2= AB2
，
4
∵AB是定值，
故x2+ y2是定值，
故A符合题意；
∵xy=2S ，
△MNQ
且x,y都随点C的变化而改变，不是定值；
故B不符合题意；
x
根据题意，得tan∠MNQ= ，
y
而∠MNQ不是定角，
故D不符合题意；
根据题意，得x2−y2=x2− (1 AB2−x2) =2x2− 1 AB2
，而x不是定值，
4 4
故C不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正切函数，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正切函数是解题的关
键．
二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分．
11．已知某多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形是 边形．
【答案】十
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形外角和为360度，据此可求出边数，即可确定答
案．
360°
【详解】解： =10，
36°
∴这个多边形的边数为10，即这个多边形是十边形，
故答案为：十．
12．已知a+b=3+❑√2,a−b=3−❑√2，求代数式2a2−2b2的值是 ．
【答案】14
【分析】根据2a2−2b2=2(a2−b2)，整体代入计算即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：∵a+b=3+❑√2,a−b=3−❑√2，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2=(3+❑√2)(3−❑√2)=32−(❑√2) 2=7
∴2a2−2b2=2(a2−b2)=14，
故答案为：14．
13．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图象过(−1,4)，对称轴直线x=2，那么这个二
次函数的图象一定经过除(−1,4)外的另一点，这点的坐标是 ．
【答案】(5,4)
【分析】本题考查了二次函数图象的对称性．先确定点(−1,4)关于直线x=2的对称点的坐标为(5,4)，然后
根据抛物线的对称性求解．
【详解】解：点(−1,4)关于直线x=2的对称点的坐标为(5,4)，
所以根据对称性，二次函数的图象一定还过点(5,4)，
故答案为：(5,4)．
14．某市举办的朗诵比赛，由5名评委给选手打分（百分制，分数均为整数），比赛结果的评价规则为：
平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．下面是5名评委给进入决赛的
甲、乙、丙三位选手的打分表：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94 m若方差 s2 <s2 <s2 ，且丙在三位选手中的排序居中，表中m的值为 ．
乙 甲 丙
【答案】92
【分析】本题考查了平均数和方差，先求出甲、乙的平均分，再根据评价规则解得即可求解，理解题意是
解题的关键．
93+90+92+93+92
【详解】解：甲的平均分= =92，方差为
5
1
×[(90−92) 2+2×(92−92) 2+2×(93−92) 2)=1.2，
5
91+92+92+92+92 1
乙的平均分= =91.8，方差为 ×[(91−91.8) 2+4×(92−91.8) 2)=0.16，
5 5
∵方差s2 <s2 <s2
，丙在三位选手中的排序居中，
乙 甲 丙
1
∴91.8≤ ×(90+94+90+94+m)≤92，
5
解得：91≤m≤92，
当m=91时，
90+94+90+94+91
丙的平均分= =91.8，方差为
5
1
×[2×(90−91.8) 2+2×(94−91.8) 2+(91−91.8) 2)=3.36>0.16，
5
此时乙在三位选手中的排序居中，不合题意舍去，
当m=92时，
90+94+90+94+92 1
丙的平均分= =92，方差为 ×[2×(90−92) 2+2×(94−92) 2+(92−92) 2)=3.2>1.2，
5 5
此时丙在三位选手中的排序居中，
故m=92，
故答案为：92．
15（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：
AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知
DE=12,EF=8，点M在以半径为4的⊙D上运动，则M F2+MG2的最大值为 ．
【答案】464
【分析】本题考查了一点到圆上一点的最值、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出
MN的最大值是解题的关键．
设GF的中点为N，连接MN、DM，根据题意可得，M F2+MG2=2M N2+2GN2，由此可以判定M F2+MG2的最大值，即当MN的值最大时，M F2+MG2的值最大，进行求解即可．
【详解】解：设GF的中点为N，连接MN、DM，如图：
1 1
则DM=4，GN= GF= DE=6，
2 2
根据题意可得，M F2+MG2=2M N2+2GN2=2M N2+72，
∴当MN的值最大时，M F2+MG2的值最大，
又∵点M在以半径为4的⊙D上运动，
∴MN的最大值=DN+4，
由勾股定理可得：DN=❑√GN2+GD2=❑√62+82=10，
∴MN的最大值为14，
∴M F2+MG2的最大值为=2M N2+72=2×142+72=464．
故答案为：464．
16．如图，已知四边形ABFE是一个矩形，它由正方形ACDE、正方形BCMN和矩形DMNF拼合而成，
若两个正方形的面积之和为34，矩形CDFB是面积为15的长方形，则矩形ABFE的面积为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了完全平方公式化简计算，一元二次方程的几何应用，正确建立方程是解题的关键．
{x2+ y2=34)
设正方形ACDE、正方形BCMN的边长分别为x,y，根据题意得到方程组 ，根据完全平方
xy=15
{x+ y=8)
公式将其转化为 ，再由代入消元法得到一元二次方程y2−8 y+15=0，再求解即可．
xy=15
【详解】解：设正方形ACDE、正方形BCMN的边长分别为x,y，
{x2+ y2=34)
由题意得： ，
xy=15
∴(x+ y) 2=x2+ y2+2xy=34+15×2=64，
∴x+ y=8（舍负），{x+ y=8)
∴ ，
xy=15
整理得：y2−8 y+15=0
解得：y=3或y=5（不合题意），
∴x=5，
∴矩形ABFE的面积为x(x+ y)=(5+3)×5=40，
故答案为：40．
三、解答题：本题共8小题，17-21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分．
17．计算
(1)(4❑√6−6❑√2)÷2❑√2；
(2)(❑√2−1) 2 −❑√3×(❑√6+❑√3)．
【答案】(1)2❑√3−3
(2)−5❑√2
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算和二次根式的除法计算，熟知二次根式的相关计算法则是解
题的关键．
（1）直接根据二次根式的除法计算法则求解即可；
（2）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：(4❑√6−6❑√2)÷2❑√2
=4❑√6÷2❑√2−6❑√2÷2❑√2
=2❑√3−3；
（2）解：(❑√2−1) 2 −❑√3×(❑√6+❑√3)
=2−2❑√2+1−❑√18−3
=2−2❑√2+1−3❑√2−3
=−5❑√2．
18．解方程：
(1)x(x−4)+5(x−4)=0；
(2)x2+4x−1=0．
【答案】(1)x =4，x =−5
1 2
(2)x =−2+❑√5，x =−2−❑√5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）x(x−4)+5(x−4)=0(x−4)(x+5)=0
x−4=0或x+5=0
解得x =4，x =−5；
1 2
（2）x2+4x−1=0
x2+4x=1
x2+4x+4=5
(x+2) 2=5
x+2=±❑√5
解得x =−2+❑√5，x =−2−❑√5．
1 2
19．已知二次函数y=−x2+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）．
(1)求b，c的值．
(2)求该二次函数图象的顶点坐标．
{b=2)
【答案】(1)
c=3
(2)（1，4）
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c
的值；
（2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标．
{0=9+3b+c)
【详解】（1）解：将（3，0），（0，3）代入二次函数解析式得： ，
3=c
{b=2
)
解得： ；
c=3
（2）二次函数解析式为y=−x2+2x+3=−（x−1）2+4，
则顶点坐标为（1，4）．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题
的关键．
k
20．如图，等腰直角三角形ABC的三个顶点坐标A(1,3)，B(3,1)，C(3,3)，反比例函数y= (x>0)的
x
图象经过点C．(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的两个点，再画出反比例函数位于第一象限的图象．
(3)若将等腰直角三角形ABC向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点恰好都在反
比例函数的图象上，请直接写出满足条件的m，n的值．
9
【答案】(1)y=
x
(2)见解析
(3)m=n=−2+❑√10
【分析】本题考查了反比例函数的图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题
的关键．
（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据描点法即可作图；
（3）先表示出平移后的顶点A、B的对应点，再代入反比例函数解析式即可求解．
k
【详解】（1）解：反比例函数y= (x>0)的图象经过点C(3,3)，
x
∴k=3×3=9，
9
∴反比例函数解析式为y= ；
x
( 9) ( 9)
（2）解：如图，描出M 2, ，N 4, 两点，
2 4
图象如图所示：（3）解：∵A(1,3)，B(3,1)，
∴向上平移m个单位，再向右平移n个单位后，顶点A、B的对应点分别为(1+n,3+m)，(3+n,1+m)，
9
将点(1+n,3+m)，(3+n,1+m)代入y= ，
x
{(1+n)(3+m)=9①)
则：
(3+n)(1+m)=9②
由①−②得m=n，
将m=n代入①，整理得：n2+4n−6=0，
解得：n=−2+❑√10或n=−2−❑√10（舍），
∴m=n=−2+❑√10．
21．香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
风味 偏甜 适中 偏酸
含量/
71.2 89.8 110.9
(mg/100mL)
已知1−5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占40%．
(1)求表格中的a，b值；
(2)求出售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数和中位数；
(3)从适中风味香醋中随机抽取一瓶，求抽到玻璃瓶装香醋的概率．【答案】(1)18；20
(2)众数为110.9；中位数为89.8
38
(3)
55
【分析】本题考查条形统计图，求中位数和众数，概率计算等知识，审清题意读懂统计图是解题的关键．
（1）根据总瓶数乘以“偏酸”的占比求出“偏酸”的数量，再减去玻璃瓶装数即可求出a，根据题意可知
15+b+17+38+a+42=150，代入a的值，即可求出b；
（2）根据众数和中位数的定义的求解即可；
（3）根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵1−5月共售出香醋150瓶，其中“偏酸”的占比为40%，
∴偏酸的总瓶数为150×40%=60(瓶)，
由题意，得：a+42=60，即a=18，
∵由总瓶数，得：15+b+17+38+a+42=150，且a=18，
解之，得：b=20，
∴a=18，b=20；
（2）∵在玻璃瓶装数量中：含量71.2偏甜的出现20瓶(次)，含量89.8适中的出现38瓶(次)，含量110.9
偏酸的出现42瓶(次)．
∵110.9出现了42次，次数最多，
∴该众数为110.9；
由题意可知，总瓶数为：20+38+42=100，
∴由中位数的定义可知，按大小顺序排列，其第50、51瓶的平均值，即为该中位数
又∵前20瓶为71.2，21−58瓶为89.8，
∴其中位数为89.8
（3）∵适中风味总瓶数为17+38=55，
又∵玻璃瓶装38瓶，
38
∴由概率的定义，得：适中风味中抽到玻璃瓶装的概率为
55
22．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°．以AC为直径的⊙O
交BC于点D，交BA的延长线于点E，连结CE，DE．
(1)求∠DEC的度数．
(2)若DE=6，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)∠DEC=60°
(2)4π−3❑√3
【分析】本题考查圆周角的性质，等腰三角形性质，等边三角形判定及扇形面积和三角形面积计算，解题
的关键是利用直径所对圆周角是直角，以及结合已知角度和边长关系进行推导计算．
（1）根据圆的直径所对圆周角∠AEC=90°，再结合已知的AB=AC，∠B=30°，得到
∠ACB=∠B=30°，再由圆周角∠AED=∠ACD=30°，最后求出∠DEC相应角度；
（2）通过作OM⊥CD，垂足为M．则DM=CM，利用角度和边长关系判断出三△DEC是等边三角形，
进而分别计算扇形面积和三角形面积，最后得出阴影部分面积．
【详解】（1）解：∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠ACB=∠B=30°，
∴∠AED=∠ACD=30°，
∴∠DEC=60°．
（2）解：作OM⊥CD，垂足为M．则DM=CM，
∵∠EAC=∠B+∠ACB=60°
，
∴∠EDC=60°．而∠DEC=60°，
∴△DEC是等边三角形．
∴DM=CM=3，OC=2❑√3，
120 ❑√3
∴阴影部分的面积= π×(2❑√3) 2 − ×(2❑√3) 2=4π−3❑√3．
360 4
23．（19-20九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC
的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．
(1)证明：▱ECFG是菱形；
(2)若∠ABC=120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
(3)若∠ABC=90°，AB=6，AD=8，M是EF的中点，求DM的长．【答案】(1)见解析
(2)∠BDG=60°
(3)DM=5❑√2
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得
∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，从而可得∠CEF=∠CFE，再根据等腰三角形的判定可得
CE=CF，然后根据菱形的判定即可得证；
（2）先证出△BEG≌△DCG，根据全等三角形的性质可得BG=DG，∠BGE=∠DGC，再证出
△CEG和△BDG是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得；
（3）先证出四边形ECFG为正方形，根据正方形的性质可得∠CFE=45°，再根据等腰直角三角形的判
1
定与性质求出DF=AD=8，从而可得CE=CF=2,MF= EF=❑√2，然后过M作MH⊥CF于H，根据
2
勾股定理求出MH,FH的长，从而可得DH的长，最后在Rt△DMH中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°，
由（1）知，四边形ECFG是菱形，
1
∴CE=≥¿，∠BCG= ∠BCF=60°，EG∥DF，
2
∴CG=≥=CE，∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=∠BCF=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG(SAS)，
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=≥=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG=60°．
（3）解：∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，AB=6，
∴四边形ABCD是矩形，AB=DC=6，
∴BC⊥CD， AD⊥CD，
又由（1）可知，四边形ECFG为菱形，
∴四边形ECFG为正方形．
∴∠CFE=45°，
∴Rt△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=8，
∴CE=CF=DF−CD=2，
∴EF=❑√CE2+CF2=2❑√2，
∵M是EF的中点，
1
∴MF= EF=❑√2，
2
如图，过M作MH⊥CF于H，
∴△MHF是等腰直角三角形，
∴MF=❑√M H2+FH2=❑√2FH=❑√2MH=❑√2，
∴FH=MH=1，
∴DH=DF−FH=7，在Rt△DMH中，DM=❑√DH2+M H2=❑√72+12=5❑√2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练
掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．
24．已知抛物线y=−x2+bx−3（b为常数）．
(1)若该函数的图象经过(1,0)
①求该二次函数的表达式；
②将该二次函数的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的
顶点恰好落在直线y=x−3上，求m的值；
(2)若点P(n,a)，Q(n+2,a)，M(−2,t)都在这个二次函数图象上，且−3<t<a，求n的取值范围．
【答案】(1)①y=−x2+4x− 3②m=2
(2)n<−4
【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合．
（1）①利用待定系数法即可求解；
②新抛物线顶点坐标为(2+m,1)，将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1=2+m−3，即可求解；
（2）根据对称性求出b和n的关系，将P和Q的坐标代入，求出t，a的表达式，在根据−3<t<a求解n
的取值范围即可．
【详解】（1）解：①∵y=−x2+bx−3
把(1,0)代入
∴0=−1+b−3
∴b=4．
∴y=−x2+4x−3；
②∵y=−x2+4x−3
=−(x2−4x+4)+1
=−(x−2) 2+1
∵将该二次函数的图象向右平移m个单位．
∴y=−(x−2−m) 2+1
∴顶点(2+m,1)
∵新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y=x−3上，
∴1=2+m−3
∴m=2．
（2）解：∵y=−x2+bx−3经过P(n,a),Q(n+2,a)
n+n+2
∴对称轴直线x= =n+1，
2
当x=0时，y=−3，
则抛物线过点(0,−3)，由对称性得，抛物线过点(2n+2,−3)，
（I）情况1：对称轴在y轴左侧，且点M在对称轴左侧，
∵−3<t<a
可得2n+2<−2<n，
{n>−2)
解得 ，
n<−2
∴n不存在．
情况2：对称轴在y轴左侧，且点M在对称轴右侧，
∵−3<t<a
可得n<n+2<−2，
解得n<−4．
（II）对称轴在y轴右侧，点M只能在对称轴左侧，
此时t<−3，与−3<t<a矛盾．
∴n不存在．
∴综上n<−4．
