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27.2.4 相似三角形的应用列举
基础篇
一、单选题：
1．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为 光
源，到屏幕的距离为 ，且幻灯片中图形的高度为 ，则屏幕上图形的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，先证明 ，再根据“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”求出
的长即可．
【详解】解：如图，由题意得 ， ，
，
光源到幻灯片的距离为 光源，到屏幕的距离为 ，
点A到 的垂线段的长为 ，点A到 的垂线段的长为 ，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用“相似三角形对应边上的高的比等于相似
比”是解答此题的关键．2．如图，小明在A时测得某树的影长为 ，B时又测得该树的影长为 ，若两次日照的光线互相垂直，
则树的高度为（ ） ．
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得 ，进而可得 ，即 ，代入数
据可得答案．
【详解】解：根据题意，作 ，树高为 ，且 ；
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 （负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
3．如图，身高为 的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影 由B到A走去，当走到C点时，
他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 ， ，于是得出树的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵小明与大树都与地面垂直，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是
解题的关键．
4．如图，小明间学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF
保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边 ， ，测得边DF
高地面的高度 ， ，则树高AB长（ ）A．6.6m B．36m C．20.6m D．21.6m
【答案】A
【分析】先判定 和 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 的长，再加上
即可得解．
【详解】解：
，
，即 ，
解得： ，
m，
m，
（m），
即树高6.6m.
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出
和 相似是解题的关键．
5．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光
线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD
＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
A．8m B．9m C．16m D．18m
【答案】A【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三
角形的性质即可求得CD的长．
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射
问题是关键．
6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口 处立一根垂直于
井口的木杆 ，从木杆的顶端 处观察井水水岸 处，视线 与井口的直径 交于点 ，如果测得
米， 米， 米，那么 的长为（ ）
A．2米 B．3米 C． 米 D． 米
【答案】B【分析】由已知可知CD与AB平行，所以可利用 解决．
【详解】解： （米），
∴AB∥DC．
（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实
际问题中发现问题、解决问题是关键．
7．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步
有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点从点
A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的
树木，则正方形城池的边长为（ ）步．
A．100 B．150 C．200 D．300
【答案】D
【分析】设正方形城池的边长为x步，则 ，证明 ，利用相似比求出x即
可．
【详解】解：设正方形城池的边长为x步，则
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ 或 （舍去），
即正方形城池的边长为300步．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段
长．
8．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶
端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离 为1.6米，凉亭顶端离地
面的距离 为1.9米，小明到凉亭的距离 为2米，凉亭离城楼底部的距离 为38米，小亮身高为
1.7米．那么城楼的高度为（ ）
A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米
【答案】B
【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．
【详解】解：过点A作 于点M，交CD于点N，由题意得，AN=2，CN=1.9-1.6=0.3，MN=38，
（米）
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，是重要考点，构造直角三角形是解题关键．
二、填空题：
9．如图，铁道口的栏杆短臂长为1米，长臂长为16米．当短臂端点下降0.5米时，长臂端点升高
_______________米．
【答案】8
【分析】首先根据 ， ，可得 ，进而可得 ，再代入
相应数据可得 长．
【详解】解：如图，， ，
，
∴ ，
由题意可知， 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 米．
答：长臂端点应升高了8米．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．
10．如图，长梯斜靠在墙壁上，梯脚距离墙 米，梯上点 距离墙 米， 的长为 米，则梯子
的长为______米．
【答案】 ## ##
【分析】由 可得到 ，进而利用相似三角形的对应边成比例可得到梯子 的长；
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得： ；
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木
杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得 米， 米、
米，那么 ______米．
【答案】7.8
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD//AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴ ，
∴ ，
∴AC=7.8(米)，
故答案为：7.8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的
关键．
12．如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是0.8m，同一时刻测量树高时发现树的影子有
一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为1.2m，地面上的影长为2.6m，请你帮算一下，树
高是______m．【答案】4.45
【分析】在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影
子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【详解】解：如图，
设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 ，
则 ，
解得：BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56（m），
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得： ，
∴解得：x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故答案为：4.45．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子
的比值相同．
13．如图，已知三角形铁皮 的边 ， 边上的高 ，要剪出一个正方形铁片
，使 、 在 上， 、 分别在 、 上，则正方形 的边长 ________．【答案】
【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF， AGF∽△ABC，
△
∴ ，
设正方形的边长为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
14．如图，路灯距地面 ，身高 的小明从点 处沿 所在的直线行走 到点 时，人影长度变短
______．【答案】
【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【详解】解：设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴ ， ，
则 ，
∴x＝ a；
，
∴y＝ a−3.5，
∴x−y＝3.5，
故变短了3.5米．
故答案为： ．
【点睛】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．
三、解答题：
15．小明将一圆柱形器皿放置在水平桌面上，AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，CD＝4，在距离水平桌面为6处有一点光源P（ 垂直于水平桌面，且 ＝6），圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所
示，点D的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A的投影为点 ．已知点 、B，C，
在同一条直线上，求圆柱形器皿在桌面上的投影 的长．
【答案】圆柱形器皿在桌面上的投影 的长为9
【分析】由题意得 ，再根据对应边之比等于对应边高上的比进行求解得出 ，
代入数据即可求解出结果．
【详解】解：由题意，则 ．
由相似三角形对应边上的高的比等于相似比，得
，即 ．
∴ ．
答：圆柱形器皿在桌面上的投影 的长为9
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
16．周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量银川北塔湖边北塔的高度．测量方案如下：首先，在
处竖立一根高 的标杆 ，发现地面上的点 、标杆顶端 与宝塔顶端 在一条直线上，测得
；然后，移开标杆，在 处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高 为 时，恰好测
得点 的仰角为 ，已知 ， ，点 在一条直线上，点 在一条直线上，
求北塔的高 ．【答案】北塔的高 为
【分析】过点 作 于点 ，根据已知条件推出 ，得到 ，即可求得．
【详解】解：过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
∴北塔的高 为 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明 是解决本题的关键．
17．如图所示：笔直的公路边有甲、乙两栋楼房，高度分别为 和 ，两楼之间的距离为 ，现有
一人沿着公路向这两栋楼房前进，当他走到与甲楼的水平距离为 且笔直站立时（这种姿势下眼睛到地
面的距离为 ），他所看到的乙楼上面的部分有多高？【答案】
【分析】作 ，交 于M，如图，把题中数据与几何图中的线段对应起来，
,点A、E、C共线，则 ，
，然后证明 ，利用相似比计算出 ，再计算
进行计算．
【详解】解：作 ，交 于M，如图，
，点A、E、C共线，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
即他所看到的乙楼上面的部分有7.8m高.
【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区．
合理使用相似的知识解决问题．
18．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市
繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在
河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点
D、E，使得DE BC．经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知
AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度．
【答案】桥AF的长度为80米．
【分析】过E作EG⊥BC于G，依据 ABC∽△ADE，即可得出 ，依据 ACF∽△ECG，即可得到
△ △
，进而得出AF的长．
【详解】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，∴ ，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴ ，即 ，
解得AF=80，
∴桥AF的长度为80米．
【点睛】本题主要考查了利用相似测量河的宽度（测量距离）．测量不能直接到达的两点间的距离，常常
构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造
直角三角形．方法是通过测量易于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
19．如图，王海同学为了测量校园内一棵大树 的高度，他走到了校园的围墙 外（如图所示），然后
他沿着过点F与墙 垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树恰好被围墙挡住顶端C和树的顶端E
时，三点在同一条直线上．若 米， 米， 米，王海身高1.6米．求大树的高度．
【答案】大树的高度为8.6米
【分析】如图，作 于H，交 于G，则 ，
；然后再证明 ，运用相似三
角形的性质可得 ，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】如图，作 于H，交 于G，则 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ = ，即 = ，
∴ ，∴ （m）．
答：大树的高度为8.6米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）
作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的
高度．
提升篇
1．如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯
照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
【答案】C
【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得 .又AB∥CD，得出
，设 =a,DF=b（a,b为常数），可得出 ，从而可以得出
，结合 可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.
【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,
∴四边形CDFE为矩形.
∴DF∥GH,
∴又AB∥CD，∴ .
设 =a，DF=b,
∴ ,
∴
∴
∴GH= ，
∵a,b的长是定值不变，
∴当人从点 走向点 时两段影子之和 不变．
故选：C.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
2．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作
EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式
是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣
【答案】A
【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，
然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．【详解】作点F作FG⊥BC于G，
∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；
∴∠BDE＝∠FEG，
在△DBE与△EGF中，
，
∴△DBE≌△EGF（AAS），
∴EG＝DB，FG＝BE＝x，
∴EG＝DB＝2BE＝2x，
∴GC＝y﹣3x，
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG∥AB，
∴△FGC∽△ABC，
∴CG：BC＝FG：AB，
即 ＝ ，
∴y＝﹣ ．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的
关键．
3．如图，夜晚路灯下，小莉在D处测得自己影长DE＝4m，在点G处测得自己影长DG＝3m．E、D、
G、B在同一条自线上，已知小莉身高为1.6m，则灯杆AB的高度为__________m．【答案】6.4
【分析】由题意知 ， ， ，有 ， ，可得
，求出 的值，然后根据 计算求解即可得到 的值．
【详解】解：由题意知 ， ，
∴ ，
∴
∴
解得
∵
∴
解得
故答案为：6.4．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于正确的计算求解．
4．将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A，A，A，…，A 和点M，M，
1 2 3 2021 1
M，…，M 是正方形的顶点，连接AM，AM，AM，…，AM ，分别交正方形的边AM，AM，
2 2020 1 2 3 2020 1 2 1
AM，…，A M 于点N ，N ，N ，…，N ，则N A 长为______．
3 2 2020 2019 1 2 3 2020 2020 2020【答案】
【分析】根据相似三角形的性质（对应线段成比例），从而求得所求线段长度．
【详解】解：由题意可得 ，
∴ ，
∵正方形的边长都为1，
∴ ．
同理可得 ，
∴
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】此题是探索规律题，涉及到了三角形相似的性质，通过题意理解掌握变化规律并应用三角形相似
的性质求解是解题的关键．
5．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知
识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网
上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离
（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），
测量相关数据．
(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，
FQ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，
为什么？
【答案】(1)3，2
(2)离B地 （或离D地 ），理由见解析
【分析】（1）通过证明 ， ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；
（2）由（1）得， ， ，设 ，可求出 ，求出x的值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得， ，
，
，
，点F是BD的中点，
，
，
解得 ；
，
，
，点F是BD的中点，
，
，
解得 ；
故答案为：3；2；
（2）小明站在离B点 米处的位置，理由如下：
由（1）得， ， ，，设 ，
，
，
，
，
解得 ，
，
所以，小明站在离B点 米处的位置．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
