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4.3 角
角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分
是角的内部．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：
用数字或小
写希腊字母表示
角时，要在靠近
角的顶点处加上
弧线，且注上阿
拉伯数字或小写
希腊字母．
题型1：角的概念及表示1.1．下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以
看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，不符合题意；
②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，不符合题意；
③角的边是射线，不能延长，不符合题意；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．
所以只有④一个不符合题意．
故答案为：A．
【分析】从静态定义来说：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，从动态定义来说，角可以看作
由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之
分，故角的大小与角的边长没有关系，角的边是射线时可以无限延伸的，不能延长，根据定义即可一
一判断。
【变式1-1】有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点；③射线
AB与射线BA表示同一射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角扩大2倍；⑤两点之
间，直线最短；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】【解答】解：①平角是在一条直线上的两条射线，而不是一条直线，说法错误
②虽然线段 AB=BC ，但当A、B、C三点不共线时，B不是线段AC的中点，说法错误
③射线AB的端点是点A，而射线BA的端点是点B，说法错误
④角的大小与变的长短无关，只与两条射线张开的角度有关，说法错误
⑤根据线段公理：两点之间、线段最短，说法错误
综上，正确的有0个
故答案为：A.
【分析】根据直线、平角的定义即可对①进行判断；根据线段中点的定义即可对② 进行判断；根据
射线的表示方法即可对③进行判断；根据角的定义即可对④进行判断；根据线段的性质即可对⑤进行
判断；根据角的单位之间的换算即可对.
【变式1-2】下列角中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，
A、B、D选项中，点C为顶点的角存在多个，故不符合题意
故答案为：C
【分析】根据角的定义即表示方法逐项判断即可。
【变式1-3】如图，图中能用一个大写字母表示的角有几个？分别把它们表示出来．
【答案】解：如图，图中能用一个大写字母表示的角有3个，
分别为：∠A，∠B，∠C．
【解析】【分析】利用角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其
中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否
则分不清这个字母究竟表示哪个角，进而得出答案．
【变式1-4】如图所示，从一点O出发引射线OA、OB、OC、OD，请你数一数图中有多少个角，并把
它们表示出来．
【答案】解：共6个角，有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD，共6个角．
【解析】【分析】根据角的概念（有公共端点的两条射线组成的图形叫角）写出即可，注意不要漏角
啊．
角度制及其计算
注意：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，
不够除的要借位，从高一位借的单位要化
等份，每一份就是1°的角，1°的 为1分，记作“1′”，
为低位的单位后再进行运算，在相乘或相
加时，当低位得数大于等于60时要向高一
位进位．
1′的 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的
角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，
1°＝60′，1′＝60″．
题型2：角度制及计算
2.计算：180°﹣34°54′﹣21°33′．
【答案】解：原式＝145°+35°﹣34°54′﹣21°33′，
＝145°+6′﹣21°33′，
＝123°+22°+6′﹣21°33′，
＝123°33′．
【解析】【分析】根据两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若满60，则转化为度，注
意以60为进制即可得出结果．
【变式2-1】计算：
（1）25°34′48″﹣15°26′37″
（2）105°18′48″+35.285°．
【答案】（1）解：25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″
（2）解：105°18′48″+35.285°
=105°18′48″+35°17′6″
=140°35′54″.
【解析】【分析】（1）度与度、分与分、秒与秒相减计算；
（2）先把减数化成35°17′6″，再度与度、分与分、秒与秒相加计算.
【变式2-2】计算：
（1）13°29’+78°37‘ （2）62°5’-21°39‘ (3)22°16′×5 （4）42°15′÷5
【答案】（1）92°6′；（2）40°26′；(3)111°20′；（4）8°27′
【解析】【解答】(1)13°29′＋78°37′＝13°＋78°＋29′＋37′＝91°＋66′＝92°6′；
（2）62°5′－21°39′＝61°－21°＋65′－39′＝40°＋26′＝40°26′；
（3）22°16′×5＝22°×5＋16′×5＝110°＋80′＝111°20′；
（4）42°15′÷5＝42°÷5＋15′÷5＝8.4°＋3′＝8°＋0.4×60′＋3′＝8°27′
【分析】这里的加减乘除运算，一度等于60分，一分等于60秒；加法运算时，如果和中秒值大于
60，就要向分进一，同理，如果分值大于60，也要向度进1；减法运算时，如果秒不够减，可向分借
一作为60秒加上原先的秒值再与减数中的秒值相减，分进行减法时类似（向度借一作60）。
角的比较：方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得
∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
题型3：角的比较
3.如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵三角板是等腰直角三角形，每个锐角为45°，
根据三角板和角的比较大小的方法可得：∠B＜45°＜∠A，
则∠A＞∠B；
故答案为：A．
【分析】根据三角板和角的比较大小的方法可得∠B＜45°＜∠A，据此判断即可.
【变式3-1】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB与∠MPN的关系是（ ）
A．∠AOB＞∠MPN B．∠AOB＜∠MPN
C．∠AOB＝∠MPN D．∠AOB＝2∠MPN【答案】C
【解析】【解答】解：如图，根据网格的特点可知，
DO=PN=1，∠CDO=∠MNP=90°，CD=MN=2
∴△OCD≌△PMN
∴∠AOB＝∠MPN，
故答案为：C
【分析】根据表格可得△OCD≌△PMN，再利用全等三角形的性质可得∠AOB＝∠MPN。
【变式3-2】如图所示，比较∠α与∠β的大小．
【答案】解：方法一：∵用量角器∠α=60°，∠β=46°，
∴∠α＞∠β．
方法二：①作∠AOB=∠α；
②用点O作顶点，一边为射线OA，在与OB同侧的方向作∠AOC=∠β，
∵射线OC在∠AOB的内部，
∴∠α＞∠β．
【解析】【分析】根据度量法或叠合法即可得出结论．
角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是
∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
题型4：角平分线
4.如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠COB=∠AOB
1
C．∠AOB=2∠BOC D．∠AOC= ∠AOB
2
【答案】B
【解析】【解答】解：A选项．∵∠AOC＝∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以A不符合题意；
B选项．∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB．
所以B符合题意；
C选项．∵∠AOB＝2∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以C不符合题意；
1
D．∵∠AOC= ∠AOB，
2
∴OC平分∠AOB．
所以D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义可直接判定求解即可。
【变式4-1】如图，∠AOB=20°，∠BOC=80°，OE是∠AOC的角平分线，则∠COE的度数为（
）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠AOB=20°，∠BOC=80°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°
而OE是∠AOC的角平分线，
1
∴∠COE= ∠AOC=50°
2
故答案为：D．
1
【分析】先求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°，利用角平分线的定义可得∠COE= ∠AOC=50°.
2
【变式4-2】如图，∠AOB=68°，OC平分∠AOD且∠COD=15°，则∠BOD的度数为（ ）．
A．28° B．38° C．48° D．53°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOD且∠COD=15°，
∴∠AOD=2∠COD=30°，
又∵∠AOB=68°，
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=38°，
故答案为：B．
【分析】先求出∠AOD=2∠COD=30°，再根据∠AOB=68°计算求解即可。
题型5：角的和、差、倍、分运算
5.如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数.
【答案】解：∵∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，
∴设∠AOC=5x，∠BOC=2x，则∠AOB=7x，
∵OD平分∠AOB，1 7
∴∠BOD= ∠AOB= x，
2 2
∵∠COD=∠BOD－∠BOC，又∠COD=15°，
7
∴ x－2x=15°，
2
解得：x=10°，
∴∠AOB=7×10°=70°.
【解析】【分析】由题意可设∠AOC=5x，∠BOC=2x，则∠AOB=7x，根据角平分线的概念可得
1 7
∠BOD= ∠AOB= x，然后根据∠COD=∠BOD-∠BOC=15°可得x的值，进而可得∠AOB的度数.
2 2
【变式5-1】如图，∠AOB是平角， ∠AOC=80° ， ∠BOD=30° ，OM、ON外别是∠AOC、
∠BOD的平分线，求∠MON的度数.
【答案】解：∵∠AOB是平角，
∴∠AOB=180°
∵OM、ON外别是∠AOC、∠BOD的平分线，且∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，
1 1
∴∠AOM= ∠AOC=40° ， ∠BON= ∠BOD=15° ，
2 2
∴∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON＝180°-40°-15°＝125°
【解析】【分析】根据平角的概念可得∠AOB=180°，根据角平分线的概念可得∠AOM=40°，
∠BON=15°，然后根据∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON进行计算.
【变式5-2】如图， OB，OE 是 ∠AOC 内的两条射线， OD 平分 ∠AOB ，
1
∠BOE= ∠EOC ，若 ∠DOE=55° ， ∠AOC=150° ，求 ∠EOC 的度数.
2【答案】解：设∠BOE=x°，则∠DOB＝55°﹣x°，
1
由∠BOE＝ ∠EOC可得∠EOC＝2x°，
2
由OD平分∠AOB，
得∠AOB＝2∠DOB，
故有2x+x+2（55﹣x）＝150，
解方程得x＝40，
故∠EOC＝2x＝80°.
【解析】【分析】 设∠BOE=x°，则∠DOB＝55°﹣x°，∠EOC＝2x°， 由角平分线的定义可得
∠AOB＝2∠DOB=2（55°﹣x°），根据∠DOE=∠EOC+∠BOE+∠AOB=150°列出方程并解之即可.
方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线
OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察
点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
题型6：方位角及应用
6.如图，甲、乙两艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A，B处时，经测量，甲船位于港口的北偏
东34°方向上，乙船位于港口的北偏西41°方向上，则∠AOB度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．105°
【答案】B【解析】【解答】解：如图；
由题意得∠NOA为北偏东34∘，∠NOB为北偏西41∘，
∴∠AOB=∠NOA+∠NOB
=34°+41°
=75°，
故答案为：B．
【分析】根据题意可得∠NOA=34∘，∠NOB=41∘，再利用角的运算可得
∠AOB=∠NOA+∠NOB=75°。
【变式6-1】某测绘兴趣小组用测绘装置对一建筑的位置进行测量，测量前指针指向北偏东38°，测量
1
后指针顺时针旋转了 周，则此时指针指向为（ ）
4
A．北偏西52° B．南偏东52° C．西偏南42° D．东偏北42°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，OC为旋转后指针位置．
1
由题意得，∠AOB=38°，∠COB= ×360°=90°，
4
∵∠AOB+∠COB+∠DOC=180°，∴∠DOC=180°−∠AOB−∠COB=52°，
∴此时指针指向为南偏东52°．
故答案为：B.
【分析】对图形进行点标注，OC为旋转后指针的位置，由题意可得∠AOB=38°，∠COB=90°，结合
平角的概念求出∠COD的度数，据此解答.
【变式6-2】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°，若∠AOC=∠AOB，求OC的方
向.
【答案】解：∵OA的方向北偏东方向15°，OB的方向西偏北方向50°，
∴∠AOB=90°-50°+15°=55°，
∵∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=55°，
15°+55°=70°，
∴OC的方向为北偏东70°.
【解析】【分析】根据角的和差关系可求出∠AOB的度数，根据∠AOC=∠AOB可得OC的方向角，
根据方向角的概念即可得答案.
钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，
时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
题型7：钟表的夹角问题
7.钟表在8点30 分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为( )
A．60 B．70 C．75 D．85
【答案】C
【解析】【解答】解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°．
故答案为：C．【分析】8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．根据钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹
角为30°，即可得出8点30分分针与时针的夹角。
【变式7-1】小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所
成角的度数是（ ）
A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°
【答案】C
15 13
【解析】【解答】解：6点15分时，时针和分钟相距的份数是3+ = ，
60 4
13
∴6点15分时时钟的分针与时针所成角的度数是 ×30°=97.5°，
4
故答案为：C．
【分析】根据钟面平均分成12份可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数，乘以每份的度数即
可得出答案。
【变式7-2】已知时钟在5点到6点之间，分析时钟的时针与分针成直角时的时间可能是几点几分？
【答案】解：5点时针和分针的角度为150°，设5点x分，时针和分针所成的角度为90°，
（ 1 ）时针在分针的前面时，
150+0.5x﹣6x=90，
120
解得：x = ；
11
（ 2 ）时针在分针的后面时，6x﹣150﹣0.5x=90，
480
解得：x = .
11
120 480
故答案为：5时 分或5时 分.
11 11
【解析】【分析】根据对钟表的认识，可得时针每分钟走0.5度，而分针每分钟走6度，5点时针和分
针的角度为150°，设5点x分，时针和分针所成的角度为90°，根据情况分类讨论，即可得出答案.
题型8：角的个数探究
8.如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，
则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内
画20条射线时，则图中角的个数是（ ）A．190 B．380 C．231 D．462
【解题思路】∠MON内画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画
n条时，由规律得到角的个数的表达式，进而得出结论．
【解答过程】解：由题可得，画n条射线所得的角的个数为：
1
1+2+3+…+（n+1）= （n+1）（n+2），
2
1 1
∴当n＝20时， （n+1）（n+2）= ×21×22＝231．
2 2
故选：C．
【变式8-1】（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
【答案】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在
∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在∠AOB内部画3
条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在∠AOB内部画10条射线
OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角，故答案为：66．（5）在∠AOB内部
(n+1)(n+2)
画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）= 个不同的角．故答案
2
(n+1)(n+2)
为： ．
2
【解析】【分析】（1）根据图形数出即可；
（2）根据图形数出即可；
（3）根据图形数出即可；
（4）有1+2+3+…+9+10+11=66个角；
（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【变式8-2】如图所示，从一点O出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四
条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为大于等于2的整数）
条射线，则会得到多少个角？如果n＝8时，检验你所得的结论是否正确．
【解题思路】根据图形分别n的值与角的个数的关系，进而得出规律求出即可．
【解答过程】解：当n＝2时，角的个数为1；
当n＝3时，角的个数为1+2＝3；
当n＝4时，角的个数为1+2+3＝6；
当n＝5时，角的个数为1+2+3+4＝10；
1
当射线的条数为n时，角的个数为1+2+3+4+…+（n﹣2）+（n﹣1）= （n﹣1）n，
2
1 1
当n＝8时， ×（8﹣1）×8＝28．所以n条射线可组成 （n﹣1）•n个角，这个结论也是正确的．
2 2
余角和补角
1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的
余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补
角．
2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
注意：
（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无
关．
（2）一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补
角比它的余角大90°。
题型9：余角和补角及计算
9.若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3−∠2=90°；②
∠3+∠2=270°−2∠1；③∠3−∠1=2∠2；④∠3<∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2），
∴（2）−（1）得，∠3−∠2＝90°，
∴①符合题意．
（1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270°−2∠1，
∴②符合题意．
（2）−（1）×2得，∠3−∠1＝2∠2，
∴③符合题意．由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°，
得，∠3＝180°−∠1＝2∠1＋2∠2−∠1＝∠1＋2∠2，
∴∠3＞∠1＋∠2，
∴④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 ∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角， 对每个结论一一判断求解即可。
【变式9-1】如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的
角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？
【答案】解：∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠BOD+∠DOE=90°，
∠DOE+∠EOF=90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOD=∠BOC，∴与∠DOE互余的是∠EOF、∠BOD、
∠BOC；∵∠AOF+∠BOF=180°，∠DOE+∠BOF=180°，∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC．
【解析】【分析】根据图形和已知得到与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC；∠DOE互补
的角有∠BOF、∠EOC．
【变式9-2】如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．
【答案】（1）解：设∠BOC=x，则∠AOC=2x，
依题意列方程90°−2x=x−30°，
解得：x=40°，
即∠AOB=40°．
（2）解：由（1）得，∠AOC=80°，
①当射线OD在∠AOC内部时，∠AOD=20°，则∠COD=∠AOC−∠AOD=60°；
②当射线OD在∠AOC外部时，∠AOD=20°
则∠COD=∠AOC+∠AOD=100°．
综上可知∠COD的度数为60°或100°．
【解析】【分析】（1）设∠BOC=x，则∠AOC=2x，根据题意列出方程，解之即可；
（2）分两种情况：①当射线OD在∠AOC内部时，②当射线OD在∠AOC外部时，分别求出∠COD
的度数即可。
【变式9-3】如图， ∠AOB=40° ， OB 是 ∠AOC 的平分线， OD 是 ∠COE 的平分线.
（1）若 ∠DOE=10° ，求 ∠BOD 的度数；
（2）若 ∠AOD 与 ∠BOD 互补，求 ∠COE 的度数.
【答案】（1）解： ∵OB 是 ∠AOC 的平分线， OD 是 ∠COE 的平分线，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠DOE=10° ，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+10°=50° ；
（2）解： ∵OB 是 ∠AOC 的平分线， OD 是 ∠COE 的平分线，
∴∠BOC=∠AOB=40° ，
设 ∠COD=∠DOE=x° ，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=(40+x)° ， ∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(80+x)° ，
∵∠AOD 与 ∠BOD 互补，
∴∠AOD+∠BOD=(40+x)°+(80+x)°=180° ，
∴x=30 ，
∴∠COD=∠DOE=30° ，
∴∠COE=2∠COD=60° .
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠DOE=10° ，利
用
∠BOD=∠BOC+∠COD即可求解 ；
（2）由（1）知∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠DOE，设 ∠COD=∠DOE=x° ，可得
∠BOD=（40+x）°， ∠AOD=（80+x）°，根据∠AOD与∠BOD互补建立方程并解之即可.
题型9：三角板问题
10.用一副三角板画角，不能画出的角的度数是（ ）度．
A．15 B．20 C．75 D．120【答案】B
【解析】【解答】解：∵一副三角板中的角有30°，45°，60°，90°，
∴用一块三角板的45 °角和另一块三角板的30°角组合可画出15°、75°角；
用一块三角板的直角和和另一块三角板的30°角组合可画出135°角；
无论两块三角板怎么组合也不能画出20°角．
故答案为：B ．
【分析】根据一副三角板中的角有30°，45°，60°，90°，判断即可。
【变式10-1】如图，将一个三角板 60° 角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合， ∠1=28°，∠2
的大小是（ ）
A．28° B．32° C．58° D．62°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°，∠1=28°，
∴∠EAC=60°-28°=32°，
∵∠EAD=90°，
∴∠2=90°-∠EAC=90°-32°=58°．
故答案为：C．
【分析】根据∠EAC=∠BAC-∠1，∠2=90°-∠EAC即可求解。
【变式10-2】18．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，
OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠COE=20°，则∠BOD= ；若∠COE=α，则∠BOD= （用含α的代数式表示）；
（2）将图1中三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量
关系，并说明理由．
【答案】（1）40°；2α
（2）解：∠BOD=2∠COE，理由如下：
设∠BOD=β，则∠AOD=180°-β，
∵OE平分∠AOD，
1 180−β β
∴∠EOD= ∠AOD= =90°− ，
2 2 2
∵∠COD=90°，
β β
∴∠COE=90°−(90°− )= ，
2 2
∴∠BOD=2∠COE．
【解析】【解答】（1） 若∠COE=20°，
∵∠COD=90°，
∴∠EOD=90°-20°=70°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD=140°，
∴∠BOD=180°-140°=40°；
若∠COE=α，
则∠EOD=90°-α，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD=2（90°-α）=180°-2α，
∴∠BOD=180°-（180°-2α）=2α．
故答案为：40°；2α．
【分析】（1）由余角的定义可求解∠EOD的度数，结合角平分线的定义可得∠AOD的度数，进而可
求解∠BOD的度数；
（2）设∠BOD=β，则∠AOD=180°-β，由角平分线的定义可求解∠EOD的度数，利用余角的定义可
β
得∠COE= ，进而可求解∠BOD与∠COE的关系。
2
一、单选题
1．如图，甲从O点出发向北偏东65°方向走到点B，乙从点O出发向南偏西15°方向走到点C，则
∠BOC 的度数是（ ）．A．165° B．125° C．135° D．130°
【答案】D
【解析】【解答】解：OB与正东方向的夹角的度数是：90°－65°＝25°，
则∠BOC=25°+90°+15°=130°．
故答案为：D
【分析】利用方向角的计算方法列出算式求解即可。
2．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是( )
A．在距离学校300米处 B．在学校的西北方向
C．在西北方向300米处 D．在学校西北方向300米处
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
由图可知 ∠BOC=45∘ ,所以 ∠AOB=90∘−∠BOC=90∘−45∘=45∘.
所以小明家在学校西北方向300米处.
故答案为：D.
【分析】如图，根据题意得出∠BOC=45∘，求出∠AOB=45∘，即可求出小明家在学校西北方向300米处.
3．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 ∠α 和 ∠β 互余的摆放方式是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∠α与∠β互余，故本选项符合题意；
B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本选项不符合题意；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本选项不符合题意；
D、∠α+∠β=180°，即互补，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
4．用一副三角板可以画出的最大锐角的度数是（ ）
A．85° B．75° C．60° D．45°
【答案】B
【解析】【解答】用一副三角板可以画出：30°、45°、60°、75°、15°，五个锐角，其中最大的锐角为
75°．
故答案为：B．
【分析】根据一副三角板的角的度数，分别判断可以画出的度数即可。
5．如图，∠1＝115°，∠AOB＝90°，点C，O，D在同一条直线上，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．65°
【答案】A【解析】【解答】解：∵∠1＝115°，点C，O，D在同一条直线上，
∴ ∠BOC＝180°－∠1＝180°－115°＝65°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠2＝90°－∠BOC＝90°－65°＝25°
故答案为：A
【分析】利用邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据∠2＝90°－∠BOC，代入计算求出∠2的度
数.
二、填空题
6．计算：58°35′＋67°45′= .
【答案】126°20′
【解析】【解答】解：58°35′＋67°45′=126°20′.
故答案为：126°20′.
【分析】根据角的运算，度和度相加，分和分相加，再把大于或等于60分的按照1°=60′与前面的度相
加即可求解.
7．如图， A、O、D 在一条直线上，且 ∠AOB:∠BOD=2:7 ，若 BO⊥CO ， OE 平分
∠AOB ，则 ∠COE 的度数为 .
【答案】110°
【解析】【解答】解：∵∠AOB:∠BOD=2:7 ， ∠AOD=180° ，
2
∴∠AOB= ×180°=40° ，
9
又∵OE 平分 ∠AOB ，
2 1
∴∠BOE= × ×180°=20° ，
9 2
又∵BO⊥CO，
∴∠BOC=90° ，
∴∠COE 的度数为 90°+20°=110° ，
故答案为： 110° .【分析】根据平角的定义及 ∠AOB:∠BOD=2:7 可得到 ∠AOB 和 ∠BOD 的度数，再由
BO⊥CO ， OE 平分 ∠AOB ，即可得到结果.
8．如果一个角的余角等于它本身，那么这个角的补角等于 度.
【答案】135
【解析】【解答】解：设这个角为a，由题意可得，α=90°−α，解得，α=45°，
∵180°−45°=135°，
∴这个角的补角等于135度．
故答案为：135．
【分析】先求出α=90°−α，再求出α=45°，最后计算求解即可。
9．一个角是70°39′，则它的余角的度数是 ．
【答案】19°21′
【解析】【解答】解：它的余角=90°﹣70°39′=19°21′．
故答案为：19°21′．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
10．从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC=
度．
【答案】40
【解析】【解答】解：如图，A沿北偏东60°的方向行驶到B，则∠BAC=90°﹣60°=30°，
B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠BCO=90°﹣20°=70°，
又∵∠ABC=∠BCO﹣∠BAC，
∴∠ABC=70°﹣30°=40°．
故答案是：40．
【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出行驶的过程，再根据已知转向的角度结合三角形的内角
和与外角的关系求解．三、计算题
11．计算：
（1）53°28′+47°32′
（2）17°50′﹣3°27′
（3）15°24′×5；
（4）31°42′÷5（精确到1″）
【答案】（1）解：53°28′+47°32′
=100°60′
=101°．
（2）解：17°50′﹣3°27′
=14°23′
（3）解：15°24′×5
=15°×5+24′×5
=75°120′
=77°．
（4）解：∵31°÷5=6°…1°，
又∵1°=60′，
∴（60+42）′÷5=20′…2′，
∵2′=120″，
∴120″÷5=24″，
即31°42′÷5=6°20′24″
【解析】【分析】（1）把度、分分别相加，再满60进1即可；（2）把度、分分别相减即可得出答案；
（3）把度分分别乘以5，再满60进1即可；（4）先31°除以5，商是6°余1°，再（60+42）′除以
5，得出商是20′，余2′，把2′化成秒，再除以5即可．
四、解答题
12．如图，已知直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE,求∠BOD
的大小.【答案】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
又∵∠BOE=2∠AOE，
1
∴∠AOE=90°× =30°，
3
∴∠AOF=180°-30°=150°，
又∵OC平分∠AOF，
1
∴∠AOC=150°× =75°，
2
∴∠BOD=180°-90°-75°=15°．
【解析】【分析】根据OA⊥OB可知∠AOB=90°，再根据∠BOE=2∠AOE求出∠AOE的度数，再根据
OC平分∠AOF和∠AOF+∠AOE=180°，求出∠BOD的大小．
13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一点，过点P作PE⊥AD交直线BC于
点E．当∠ABC=35°，∠ACB=85°时，求∠DEP的度数．
【答案】解：∠ABC=35°，∠ACB=85°
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=65°，
∴PE⊥AD
∴∠EPD=90°，∴∠DEP=90°−∠PDE=25°
【解析】【分析】先求出 ∠BAC=60°， 再求出PE⊥AD，最后计算求解即可。
五、综合题
14．如图，已知OM平分 ∠AOC，ON 平分 ∠BOC，∠AOB=90∘，∠BOC=30∘ ．
求：
（1）∠AOC 的度数；
（2）∠MON 的度数．
【答案】（1）解： ∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
又∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝120°
（2）解： ∵OM平分∠AOC，
1
∴∠MOC＝ ∠AOC，
2
∵∠AOC＝120°，
∴∠MOC＝60°，
∵ON平分∠BOC，
1
∴∠NOC＝ ∠BOC，
2
∵∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝15°，
∵∠MON＝∠MOC－∠NOC
＝60°－15°＝45°
【解析】【分析】（1）根据角的和差由∠AOC＝∠AOB＋∠BOC就可以算出∠AOC的度数；
1 1
（2）根据角平分线的定义得出∠MOC＝ ∠AOC=60° ，∠NOC＝ ∠BOC=15° ，然后根据角的
2 2
和差由∠MON＝∠MOC－∠NOC算出答案。
15．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°．（1）若∠AOC=∠AOB，求OC的方向；
（2）OD是OB的反向延长线，求OD的方向；
（3）∠BOD可看作是OB绕点O顺时针方向旋转至OD，作∠BOD的平分线OE，求OE的方向．
【答案】（1）解：如图，
∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1=90°﹣50°=40°，∴∠AOB=40°+15°=55°，∵∠AOC=∠AOB，
∴∠AOC=55°，∴∠FOC=∠AOF+∠AOC=15°+55°=70°，∴OC的方向是北偏东70°
（2）解：∵OB的方向是西偏北50°，
∴∠1=40°，
∴∠DOH=40°，
∴OD的方向是南偏东40°
（3）解：∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠DOE=90°，
∵∠DOH=50°，
∴∠HOE=40°，
∴OE的方向是东偏北40°．
【解析】【分析】（1）根据方向角算出∠1，再根据角的和差算出∠AOB，∠FOC的度数，根据方位
角的定义即可得出OC的方向；
（2）根据方向角算出∠1，根据对顶角相等算出∠DOH的度数，再根据方位角的定义得出OD的方向；
（3）由图可得：∠BOD可看作是OB绕点O顺时针方向旋转180°至OD，根据角平分线的定义得出∠DOE=90°，根据方位角的定义及角的和差即可算出∠HOE的度数，从而得出答案。
