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期末复习重点题型几何中的分类讨论思想两解或多解（原卷版）
专题诠释：分类讨论思想是数学中的重要的思想方法，也是一种重要的解题方法。可以考查学生思维的开放性、
周密性、发散性和全面性。此类题具有较强的综合性，难度较大，在考试中一般以压轴题形式出现。人教版八
年级数学上几何部分所涉及的分类讨论的知识点，比较多。
下面列举人教版八年级数学上的几何中常见的分类讨论思想的类型，共同学们借鉴。
第一部分 典例讲解+针对训练
类型一 全等三角形的分类讨论
典例1 （2023秋•天长市期中）如图，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm．直线/经过点C，
点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B﹣C﹣A路径向终点A运动，同时，点N以每秒1cm的速度从
A点出发，沿A﹣C﹣B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过 M、N作
MD⊥l于点D，NE⊥l于点E，设点N运动时间为t秒．
（1）当点M在BC上，点N在AC上时，
①CM＝ cm，CN＝ cm（用含t的代数式表示）．
②当t＝4时，△CDM与△CEN全等吗？并说明理由．
（2）要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出t的值．
针对训练
1．（2023秋•正定县期中）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，
且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度
从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．
过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角
形与△QCN全等时，t的值为（ ）s．
A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或42．（2022秋•桥西区期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．
（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；
（2）点D在x轴上运动（不与点B重合），点E在y轴上运动（不与点A重合），当以点D、O、E为
顶点的三角形与△AOB全等时，直接写出点D的坐标．
类型二 等腰三角形中的分类讨论
典例2（2022秋•麻章区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直
线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
针对训练
1．（2023秋•东昌府区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在
直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，
符合条件的M点有 个．类型三 轴对称中的分类讨论
典例3（2023秋•工业园区校级期中）如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你
找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个．
针对训练
1．（2022秋•寻甸县期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形
称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（
）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
类型四 三角形的高的位置不确定性
典例4（2023春•宝安区期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数
是（ ）
A．15° B．75° C．15°或75° D．无法确定
针对训练
1．（2022春•渝中区校级期末）等腰△ABC两腰上的高所在直线夹角为45°，则顶角∠A的度数为 ．
2．（2023秋•卧龙区期中）如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为29°，那么等腰三角形的顶角为
度．
3．（2022秋•道里区期末）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，垂足为点D，点E在射线BC上，连接
AE，若AB＝AE＝CE，AB＝5，BD＝3，则CD＝ ．
4．（2023•双柏县模拟）等腰三角形中，有一个角是 40°，它的一条腰上的高与底边的夹角是
．类型五 直角三角形中的分类讨论
典例5（2022秋•顺义区校级期中）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，点D为
BC中点，若动点E以1cm/s的速度出发，沿着由A→B的方向运动，设点E运动的时间为t秒，连接
DE，当△BDE为直角三角形时t的值为 ．
针对训练
1． 如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，BC＝6❑√3，点D是BC边上的任意一动点，点
B与点B′关于直线AD对称，直线AB′与直线BC相交于点E．
（1）求BC边上的高；
（2）当BD为何值时，△ADB′与△ADC重叠部分的面积最大，并求出最大值；
（3）连接BB′，当△BDB′为直角三角形时，求∠BAD的度数．第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•沭阳县校级月考）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方
格纸中的两个格点．若要找出格点C，使AC＝BC，则满足条件的格点C有 个．
2．（2022•沂水县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交
直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 ．
3．（2022秋•苍溪县期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上．
（1）在直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为 ；
（3）如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 ．
4．（2022秋•邯山区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上
的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点
E运动 s时，CF＝AB．5．（2022秋•浠水县校级期中）如图（1），AB＝14cm，AC＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、
B，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间
为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线
段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它
条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x和t的值．
6．（2023秋•琼山区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证α：△OCD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形，直接写出答案．
α
