文档内容
七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
7.1 平面直角坐标系
有序数对
知识点一
◆1、定义：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有序数对.
【注意】理解概念的两个要点：一是“有序”，二是“数对”.“有序”是指两个数的位置不能随意
交换，当 a ≠ b 时，（a，b）与（b，a）表示的是两个不同的位置.“数对”是指必须要两个数.
◆2、表示方法：由 a 与 b 组成的数对记作(a，b)，两个数之间用逗号分开.
◆3、应用：用有序数对表示位置,如用“排、列”表示教室的位置，用经纬度表示地理位置等.
平面直角坐标系及有关概念
知识点二
◆在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为 x轴或横轴，习惯上
取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系
的原点．
◆平面直角坐标系中两坐标轴的特征：①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单
位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同.
点的坐标
知识点三
◆1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，这个有序数对就是这个点的坐
标．
◆2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开．
◆3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向
y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴
上的点横坐标为0.
◆4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是：
(1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点；
(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线；(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.
◆5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对
于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M （即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是
说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
◆6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|．
平面直角坐标系内点的坐标特征
知识点四
●坐标平面的划分: 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第
二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
◆1、各区域点的坐标特征
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 简记
在第一象限 正号 正号 （+，+）
在第二象限 负号 正号 （-，+）
在第三象限 负号 负号 （-，-）
在第四象限 正号 负号 （+，-）
正半轴 正号 0 （+，0）
在x轴
上
负半轴 负号 0 （-，0）
正半轴 0 正号 （0，+）
在y轴
上
负半轴 0 正号 （0，-）
原点 0 0 （0，0）
◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上.题型一 用有序数对表示位置
【例题1】（2022秋•南岗区校级月考）张明同学的座位位于第2列第5排，李丽同学的座位位于第4排
第3列，若张明的座位用有序数对表示为（2，5），则李丽的座位用的有序数对表示为（ ）
A．（4、3） B．3，4 C．（3，4） D．（4，3）解题技巧提炼
用有序数对来描述物体（点）的位置，其中“有序”是指（a，b）与（b，a）中
的a，b的前后顺序不同，描述的位置不同.“数对”是指必须由两个数才能确定
某点的位置.
【变式1-1】（2022秋•平和县期中）下列条件不能确定点的位置的是（ ）
A．阶梯教室6排3座
B．小岛北偏东30°，距离1600m
C．距离北京市180千米
D．位于东经114.8°，北纬40.8°
【变式1-2】（2021秋•景德镇期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日﹣2022年2月20
日在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市的地理位置的是（ ）
A．离北京市200千米 B．东经114.8°，北纬40.8°
C．在宁德市北方 D．在河北省西北部
【变式1-3】若有序数对（2，9）表示住户住在2单元9号房，则（3，11）表示住户住在 单元
号房．
【变式1-4】（2022春•汕头期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标 A的位
置为（2，90°），B的位置为（4，210°），则C的位置为 ．
【变式1-5】如图是一个综合超市的示意图，王丹同学在周末打算去该超市买几本书．当她从入口A处
进入后，先到冷饮部B处买了一瓶饮料，然后才打算去图书部C处买书．如果用（0，0）来表示入口处点A的位置，用（1，2）来表示冷饮部点B的位置，那么：
（1）图书部点C、休息区点D的位置怎样表示？
（2）如果用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）表示王丹同学从B到C的
一条路径，那么还有别的路径吗？若有，请用同样的方法写出来，若没有，说明理由．
题型二 确定平面直角坐标系内点的坐标
【例题2】点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）分别写出点A，B，C，D的坐标；
（2）依次连接A、C、D得到一个封闭图形，判断此图形的形状．解题技巧提炼
确定点的坐标的方法：首先确定横坐标，方法是先由这点向x轴画垂线，垂足在
x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这
点的纵坐标.最后用有序数对将它表示出来，即横坐标在前，纵坐标在后，中间
用“，”分开，并用小括号括起来.
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）
【变式2-2】如图，写出A、B、C、D、E、F、H各个点的坐标．
【变式2-3】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C，D，O都在格点上．
以点O为坐标原点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标．【变式2-4】如图是A，B，C，D四点所在位置．
（1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为（1，5），则点B，D的坐标分别为
， ；
（2）若点B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），请在图中建立平面直角坐标系，并写出此
时点A，C的坐标．【变式2-5】如图，在平面直角坐标系中，
（1）写出点A，B，C，D的坐标．
（2）x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？
题型三 在平面直角坐标系内描点
【例题3】（2022秋•南海区月考）在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接
起来．C（﹣6，3），D（﹣6，0），A（0，0），B（0，3）．
（1）图形中哪些点在坐标轴上？
（2）线段BC与x轴有什么位置关系？解题技巧提炼
1、已知点A（a,b）,描这个点的方法是：
(1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点；
(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线；
(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.
2对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有
序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与
有序数对是一一对应.
【变式3-1】一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣
1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）
【变式3-2】（2022春•海港区期末）在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣
1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3-3】如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置．
（1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？
（2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H．【变式3-4】（2021春•环江县期中）在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母：
（1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）；
（2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度；
（3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度．
【变式3-5】（2022秋•涡阳县校级月考）在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题：
（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标．
（2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）．
（3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？题型四 由点的位置确定点的坐标
【例题4】（2022秋•遵义期末）如图所示是围棋棋盘的一部分，将它放置在平面直角坐标系中，若白
棋②的坐标是（﹣3，﹣1），白棋③的坐标是（﹣2，﹣5），则黑棋①的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣5） B．（0，0） C．（1，﹣4） D．（2，﹣2）
解题技巧提炼
解答根据已知点的坐标表示平面内其它点的位置的问题，应先根据已知点的坐标
建立适当的平面直角坐标系，再根据其它点所在的象限及位置最终确定坐标.【变式4-1】（2021秋•驿城区校级期末）如图是小刚画的一张脸，若用点A（1，1）表示左眼的位置，
点B（3，1）表示右眼的位置，则嘴巴点C的位置可表示为（ ）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（2，0）
【变式4-2】（2022春•渝中区校级月考）如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“相”所
在位置的坐标为（3，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣1，2）
【变式4-3】（2022春•兴隆县期中）如图是小明、小刚小红做课间操时的位置，如果用（4，5）表示
小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，那么小红的位置可表示为（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（﹣1，3） D．（0，2）
【变式4-4】（2022秋•杏花岭区期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶
片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3）（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为 ．题型五 由点到坐标轴的距离确定点的坐标
【例题5】（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是
7，则点P的坐标为（ ）
A．（7，﹣2） B．（2，﹣7） C．（7，2） D．（2，7）
解题技巧提炼
平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|.
【变式5-1】如图，点Q（m，n）是第二象限内一点，则点Q到y轴的距离是（ ）
A．m B．n C．﹣m D．﹣n
【变式5-2】（2022秋•广陵区校级期末）点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到
y轴的距离为2，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【变式5-3】（2022春•绥棱县期末）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距
离x轴4个单位长度，则点P坐标是（ ）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，3）
【变式5-4】（2022•港北区二模）已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的
坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，4） D．（2，﹣4）
【变式5-5】（2022春•曹妃甸区期末）点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，则
点P的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（6，﹣6） D．（3，3）或（6，﹣6）
【变式5-6】（2022春•鹿邑县月考）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点Q的坐标为（1，5），PQ∥x轴；
（3）点P到x轴、y轴的距离相等．
题型六 由点的坐标确定点所在的象限
【例题6】（2022秋•凤翔县期中）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解题技巧提炼
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象
限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限.
【变式6-1】（2022春•贵州期末）无论m取什么实数，点（﹣1，﹣m2﹣1）一定在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-2】若m是任意实数，则点M（5+m2，1）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式6-3】（2021•邵阳模拟）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，则点M的位置在（
）
A．第一或第三象限 B．第一象限
C．第三象限 D．坐标轴上
【变式 6-4】（2022 秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系中，点（﹣1﹣2m2，m2+1）一定在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 6-5】（2021 秋•大观区校级期末）如果 P（a，b）在第三象限，那么点 Q（a+b，ab）在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-6】点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型七 坐标轴上的点的坐标特征
【例题7】（2022春•新化县校级期末）点M（m+1，m+3）在x轴上，则M点坐标为（ ）
A．（0，﹣4） B．（4，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）
解题技巧提炼
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为 0，y轴上的点横坐标为 0，坐标原点
横纵坐标均为0 即原点O的坐标是（0,0）
， .
【变式7-1】（2022•揭东区一模）如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）【变式7-2】（2021春•柳南区校级期末）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点（n+1，n﹣3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式7-3】（2022秋•修水县期中）已知点A在x轴的负半轴上，且到原点的距离是3，则点A的坐标
为 ．
【变式7-4】（2022秋•天长市月考）若点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，则m的值是（ ）
1 1 1
A．m＝2 B．m=− C．m＝2或m=− D．m＝﹣2或m=
3 3 3
【变式7-5】（2022春•宜州区期中）在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，2a+4），根据下列条件，
求出相应的点P的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P的横坐标比纵坐标大2；
题型八 角平分线上点的坐标特征
1 a
【例题8】若点A（− ， ）在第三象限的角平分线上，则a的值为（ ）
2 3
3 3 2 2
A． B．− C． D．−
2 2 3 3
解题技巧提炼
在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标相同，第二、四象限
上的点横坐标与纵坐标互为相反数.
【变式8-1】平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3）和点B（5，﹣5）分别在（ ）
A．第一、三象限的角平分线上
B．第二、四象限的角平分线上
C．第三、四象限的角平分线上D．第二、三象限的角平分线上
【变式8-2】已知点M（2x﹣3，3﹣x），在第一、三象限的角平分线上，则M点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1）． B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
【变式8-3】如果点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上，那么点N（﹣m+2，m﹣1）在（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式8-4】已知点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上，求点M的点坐标．
题型九 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
【例题9】（2022秋•莲池区校级期末）在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直
线PQ∥y轴，则a的值等于（ ）
A．﹣5 B．3 C．﹣4 D．4
解题技巧提炼
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标
相同；平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同.
【变式9-1】（2022秋•佛山校级期末）已知点A（m，﹣2），点B（3，m+1），且直线AB∥x轴，则m
的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【变式9-2】（2022秋•莲池区校级期末）已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（ ）
A．（2，8） B．（2，8）或（2，﹣2）
C．（7，3） D．（7，3）或（﹣3，3）
【变式9-3】（2022春•渝中区校级月考）已知点M（x+5，x﹣4）．满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且
与x轴平行的直线上，则MN的长度为 ．
【变式9-4】（2022秋•道里区校级月考）平面直角坐标系中，已知 MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，
3），并且MN＝5，则N点的坐标为 ．
【变式9-5】（2022春•渝中区校级月考）已知AB⊥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝3，则B的
坐标为 ．
题型十 点的坐标与图形的面积关系
【例题10】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．解题技巧提炼
利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，同时运用“割
补法”计算不规则图形的面积.
【变式10-1】（2021春•莘县期末）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C
（2，3）．请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置；
（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-2】（2021春•东城区校级期末）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），
（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．
（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？
（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？
【变式 10-3】如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是 O（0，0），A（2，0），B（4，2），C
（2，3），过点C与x轴平行的直线EF与过点B与y轴平行的直线EH交于点E．
（1）求四边形OABC的面积；
（2）在线段EF上是否存在点P，使四边形OAPC的面积为7？若不存在，说明理由；若存在，求点P的
坐标．
