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阶段性复习压轴专题满分攻略
专题 03 特殊平行四边形综合各市好题必刷
一．选择题（共18小题）
1．（2022春•开福区校级期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【答案】C
【解答】解：A、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故A选项错误；
B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故B选项错误；
C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C选项正确；
D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故D选项错误；
故选：C．
2．（2022•岳麓区校级开学）如图，四边形 ABCD为矩形纸片，把纸片 ABCD
折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等
于（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【解答】解：由折叠的性质得BF＝EF，AE＝AB，
因为CD＝6，E为CD中点，故ED＝3，
又因为AE＝AB＝CD＝6，
所以∠EAD＝30°，
则∠FAE＝ （90°﹣30°）＝30°，
设FE＝x，则AF＝2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2＝62+x2，x2＝12，x ＝2 ，x ＝﹣2 （舍去）．
1 2
AF＝2 ×2＝4 ．
故选：A．
3．（2022•薛城区校级模拟）如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交
CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于（ ）
▱
▱
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM＝∠BMC，
∴∠BMC＝∠CBM，
∴BC＝MC＝2，
∵ ABCD的周长是14，
∴BC+CD＝7，
▱
∴CD＝5，
则DM＝CD﹣MC＝3，
故选：C．
4．（2022 春•姑苏区校级期中）已知四边形 ABCD，下列说法正确的是
（ ）
A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
【答案】B【解答】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴A不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确；
故选：B．
5．（2022春•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，
BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解答】解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB＝2BD，BC＝2BE，
∴DE∥BC且DE＝ AC，
又∵AB＝2BD，BC＝2BE，
∴AB+BC+AC＝2（BD+BE+DE），
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：
6×2＝12．
故选：C．
6．（2022•宝应县一模）如图，正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使
顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH
的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，
∵BE：EC＝2：1，BC＝9，
∴CE＝ BC＝3，
∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，
即（9﹣x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
即CH＝4．
故选：B．
7．（2022春•广丰区校级期中）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分
∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC
的周长是（ ）
A．28 B．32 C．18 D．25
【答案】D
【解答】解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE＝AB＝6，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，
故选：D．
8．（2022秋•吉安县期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错
误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形
ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
10．（2022•睢阳区模拟）如图，将 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在
B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（ ）
▱
A．66° B．104° C．114° D．124°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝ ∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
11．（2022春•玉林月考）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝
4，CD＝3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形
EFGH的周长是（ ）A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【解答】解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC＝
＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HG＝ BC＝EF，EH＝FG＝ AD，
∵AD＝6，
∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．
故选：D．
12．（2022春•任城区期末）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点
不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下
列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【答案】D
【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；
选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
13．（2021秋•东平县期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，
∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为
M，若BC＝7，则MN的长度为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝ DE＝ ．
故选：C．
14．（2023•河北模拟）如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（ ）
A．CD＝4 B．CD＝2 C．OD＝2 D．OD＝4
【答案】D
【解答】解：添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
15．（2022•费县校级二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S ＝48，则OH的长
菱形ABCD
为（ ）
A．4 B．8 C． D．6
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝ BD，∵菱形ABCD的面积＝ ×AC×BD＝ ×12×BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝ BD＝4；
故选：A．
16．（2022•庆云县模拟）如图 1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要
在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的
▱
甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【答案】A
【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；
故选：A．
17．（2022春•铜官区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
3，BC＝4，点 M 是边 AB 上一点（不与点 A，B 重合），作 ME⊥AC 于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【答案】A
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝ EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝ AB×CM＝ AC×BC，
∴CM＝ ＝ ＝2.4，
∴CP＝ EF＝ CM＝1.2，
故选：A．18．（2022 春•梁溪区月考）如图，已知 A（3，6）、B（0，n）（0＜
n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（ ，0），则
PM的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．
则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，
∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）
∵BM＝CM，
∴M（ ， ），
∵P（ ，0），∴PN＝ON﹣OP＝ ﹣ ＝x，
∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（ ）2＝ x2﹣3x+9＝ （x﹣ ）2+ ，
∴x＝ 时，PM2有最小值，最小值为 ，
∴PM的最小值为 ＝ ．
故选：D．
二．填空题（共19小题）
19．（2022秋•济阳区月考）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P
是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，
PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 ．
【答案】2.5
【解答】解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，AB∥CD．
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S ≌S ．
△POF △AOE
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积＝ AC•BD＝5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝2.5．
故答案为：2.5．
20．（2022春•海淀区校级期中）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于
．
【答案】3
【解答】解：∵菱形ABCD的周长等于24，
∴AD＝ ＝6，
在Rt△AOD中，OH为斜边上的中线，
∴OH＝ AD＝3．
故答案为：3．
21．（2022春•让胡路区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点
B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ．
【答案】 （ 4 ， 4 ）
【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AC＝4，
∴点C的坐标为：（4，4）；
故答案为：（4，4）．
22．（2022•南山区校级一模）菱形的两条对角线长分别是 6和8，则菱形的边
长为 ．
【答案】5
【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为 ＝5．
故答案为：5．
23．（2022春•满洲里市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原
点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边
上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为 ．
【答案】 （ 2. 5 ， 4 ），或（ 3 ， 4 ），或（ 2 ， 4 ），或（ 8 ， 4 ）
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，
∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝5，
①当PO＝PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP＝OD时，如图1所示：
则OP＝OD＝5，PC＝ ＝3，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP＝DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED＝90°，DE＝ ＝3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE＝5﹣3＝2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE＝5+3＝8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，
4）；
故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．24．（2022•城关区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相
交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为 ．
【答案】3
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD＝ ＝ ＝3 ；
故答案为：3 ．
25．（2022春•工业园区校级期中）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于
点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴
影部分的面积为 ．
【答案】6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，得S ＝S ，
△AOE △COF
∴S ＝S +S +S ＝S +S +S ＝S ；
阴影 △AOE △BOF △COD △AOE △BOF △COD △BCD
∵S ＝ BC•CD＝6，故S ＝6．
△BCD 阴影
故答案为6．
26．（2021秋•朝阳区校级期末）以边长为 2的正方形的中心O为端点，引两
条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、B两点，则线段AB的最小值
．
【答案】
【解答】解：
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠COA＝∠DOB，∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB＝ ＝ OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD＝OF，
∴CA＝DA，
∴OA＝ CF＝1，
即AB＝ ，
故答案为： ．
27．（2022春•盐池县期末）如图，在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，
AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为 ．
【答案】
【解答】解：连接 AC，EC，EC 与BD交于点 P，此时 PA+PE 的最小，即
PA+PE就是CE的长度∵正方形ABCD中，BE＝2，AE＝1，
∴BC＝AB＝3，
∴CE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
28．（2021秋•绥棱县期末）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法
摆放，点A 、A …A 分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分
1 2 n
（阴影部分）的面积的和为 cm2．
【答案】
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n﹣1）＝ cm2．
故答案为： ．
29．（2022春•北京期中）如图：已知 AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝
DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等
边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到
点D时，则点G移动路径的长是 ．【答案】3
【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的
运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD＝10﹣2﹣2＝6，
∴MN＝3，即G的移动路径长为3．
30．（2022春•梅江区期末）如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，
AC＝4，点 D 是斜边 BC 上的一个动点，过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，
DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．【答案】
【解答】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝ AB×AC＝ BC×AD，
∴AD＝ ＝ ，
∴MN的最小值为 ；
故答案为： ．
31．（2022秋•迎泽区校级月考）如图，边长为 1的正方形ABCD中，点E是
对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC
于N，则PM+PN＝ ．【答案】
【解答】解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，
由正方形的性质可知∠EBF＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
又根据正方形的边长为1，得到BE＝BC＝1，
在直角三角形BEF中，sin∠EBF＝ ，
即BF＝EF＝BEsin45°＝1× ＝ ，
又PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S +S ＝S ，
△BPE △BPC △BEC
即 BE×PM+ ×BC×PN＝ BC×EF，
∵BE＝BC，
PM+PN＝EF＝ ；
故答案为： ．
32．（2021秋•泾阳县期末）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD
＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF
＝ ．【答案】9.6
【解答】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝ BD＝8，
根据勾股定理得：AG＝ ＝ ＝6，
∵S ＝S +S ，
△ABD △AOB △AOD
即 BD•AG＝ AB•OE+ AD•OF，
∴16×6＝10OE+10OF，
∴OE+OF＝9.6．
故答案为：9.6．
33．（2022秋•南海区校级月考）如图所示，四边形 ABCD中，AC⊥BD于点
O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别
作 PM⊥AD 于点 M，作 PN⊥DC 于点 N．连接 PB，在点 P 运动过程中，
PM+PN+PB的最小值等于 ．【答案】7.8
【解答】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，
∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD于点O，
∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝ ＝ ＝5，
∴CD＝AD＝5，
连接PD，如图所示：
∵S +S ＝S ，
△ADP △CDP △ADC
∴ AD•PM+ DC•PN＝ AC•OD，
即 ×5×PM+ ×5×PN＝ ×8×3，
∴5×（PM+PN）＝8×3，
∴PM+PN＝4.8，
∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，
由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，
∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，
故答案为：7.8．
34．（2022春•鼓楼区期末）如图，在 ABCD中，点D是定点，点A、C是直
线l 和l 上两动点，l ∥l ，且点D到直线l 和l 的距离分别是1和4，则对角
1 2 1 2 ▱ 1 2
线BD长度的最小值是 ．【答案】5
【解答】解：如图，过点 D作DM⊥l 于点M，延长DM交l 于点H，过点B
1 2
作BN⊥l 于点N，连接MN，设CD与l 交于点E，AB与l 交于点F，
2 1 2
∵DM⊥l ，l ∥l ，
1 1 2
∴DM⊥l ，∠AED＝∠DCF，
2
∵点D是定点，且点D到直线l 和l 的距离分别是1和4，
1 2
∴DM＝1，DH＝4，
∴MH＝DH﹣DM＝4﹣1＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，∠ADC＝∠CBA，
∴∠BFC＝∠DCF，
∴∠AED＝∠BFC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），∴BN＝DM＝1，
根据垂线段最短、两点之间线段最短可得，
当MN⊥l 时，BD的长度取最小值，最小值为DM+BN+MH的长，
1
∴对角线BD长度的最小值是1+3+1＝5，
故答案为：5．
35．（2022•薛城区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在
CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方
形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 ．
【答案】 +3
【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为 ×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ ，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则 ab＝ ，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝ ，即BG+CG＝ ，∴△BCG的周长＝ +3，
故答案为： +3．
36．（2022•肇东市校级三模）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动
点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形
的边长为1，则线段DH长度的最小值是 ．
【答案】
【解答】解：在正方形 ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG
＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAG，
∴∠ABE＝∠DAG，∵∠BAH+∠DAG＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝ AB＝ ，
在Rt△AOD中，OD＝ ＝ ＝ ，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝ ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
37．（2022春•工业园区校级期末）如图，矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝3，E
为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值
是 ．
【答案】3
【解答】解：当点F与点C重合时，点P在P 处，CP ＝DP ，
1 1 1
当点F与点E重合时，点P在P 处，EP ＝DP ，
2 2 2∴P P ∥CE且P P ＝ CE，
1 2 1 2
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，
由中位线定理可知：P P∥CE且P P＝ CF，
1 1
∴点P的运动轨迹是线段P P ，如图所示，
1 2
∴当BP⊥P P 时，PB取得最小值，
1 2
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°，
∴CP ＝ CD＝3，
1
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE＝ AB＝3，
连接BP 、BP ，作BP′⊥P P 于P′，作P Q⊥AB于Q，
1 2 1 2 2
则BP的最小值为BP′的长，P Q是△EAD的中位线，
2
∴P Q＝ AD＝ ，QE＝AQ＝ AE＝ ，
2
∴BQ＝BE+QE＝3+ ＝ ，
在Rt△BP Q中，由勾股定理得：
2
BP ＝ ＝ ＝ ，
2
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
CE＝ ＝ ＝3 ，∴P P ＝ CE＝ ，
1 2
在Rt△BCP 中，由勾股定理得：
1
BP ＝ ＝3 ，
1
设P′P ＝x，则P′P ＝ ﹣x，
2 1
由勾股定理得：
BP 2﹣P′P 2＝BP 2﹣P′P 2，
2 2 1 1
即（ ）2﹣x2＝（3 ）2﹣（ ﹣x）2，
解得：x＝ ，
∴BP′2＝（ ）2﹣（ ）2＝18，
∴BP′＝3 ．
故答案为：3 ．
三．解答题（共14小题）
38．（2022•滨城区校级一模）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行
四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
39．（2022•隆昌市校级二模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，
点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝ AE＝5 ．
40．（2022春•衡山县期末）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O
作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线
于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理
由．
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分
线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝ ＝10，
∴OC＝ EF＝5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
41．（2023•河北模拟）已知，如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC
中线，F是BD的中点，连接CF并延长到E，使FE＝CF，连接BE、AE．
（1）求证：△CDF≌△EBF；
（2）求证：四边形AEBD是菱形；
（3）若BC＝8，BE＝5，求BG的长．
【解答】（1）证明：∵F是BD的中点，
∴FD＝FB，
在△CDF和△EBF中
，
∴△CDF≌△EBF（SAS），
（2）证明：∵△CDF≌△EBF，
∴CD＝EB，∠FCD＝∠FEB，
∴CD∥EB，
∵∠ABC＝90°，BD是△ABC中线，
∴AD＝CD，∴AD∥EB，AD＝EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD＝ AC，
∴四边形AEBD是菱形．
（3）解：∵AD＝BE＝5，
∴AC＝2AD＝10，
∵∠ABC＝90°，BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝6，
∵BE∥AC，
∴△BGE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴BG＝ AB＝ ×6＝2，
∴BG的长是2．
42．（2022•萧山区开学）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2 ，
∴菱形的面积为4×2 ＝8 ．
43．（2022春•九龙坡区校级期中）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相
交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连
▱
接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝ OB，DF＝ OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
44．（2022春•双台子区期末）如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD
平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴2∠COD+2∠COF＝180°，
∴∠COD+∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
45．（2022春•汶上县期末）如图，在菱形 ABCD中，对角线AC，BD交于点
O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝ ，
在Rt△AEC中，AC＝ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝ AC＝ ．
46．（2022春•天山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC
的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
【解答】解：（1）证明：
∵E是AD的中点
∴AE＝DE
∵AF∥BC
∴∠AFE＝∠DBE在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝DB
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，
D是BC的中点
∴AD＝CD＝ BC
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：法一、
设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，
AF＝BD＝CD，
∠BAC＝90°，
∴S ＝CD•h
菱形ADCF
＝ BC•h
＝S
△ABC
＝ AB•AC
＝ ．
法二、
连接DF∵AF＝DB，
AF∥DB
∴四边形ABDF是平行四边形
∴DF＝AB＝8
∴S ＝ AC•DF
菱形ADCF
＝ ．
法三、
∵三角形ABD与三角形ADC与三角形AFC的面积相等，
∴菱形ADCF的面积等于三角形ABC的面积为24．
答：菱形ADCF的面积为24．
47．（2022•龙华区校级一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，
连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，求证：AB＝FB．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH＝DC＝AB，
即B是AH的中点，
又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，BF＝ AH＝AB．
48．（2022 春•阳新县期末）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线
AC、BD交于点O，且AO＝OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC
于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
49．（2021秋•临沂期末）如图，在正方形 ABCD 中，E是边 AB 上的一动点
（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF
并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，
连接BH．
（1）求证：GF＝GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
【解答】证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵ ，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴GF＝GC；
（2）BH＝ AE，理由是：
证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，
∵AD＝AB，
∴DM＝BE，
由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ADC＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴2∠2+2∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
即∠EDG＝45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，
∴∠1＝∠BEH，
在△DME和△EBH中，
∵ ，
∴△DME≌△EBH（SAS），
∴EM＝BH，
Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝ AE，
∴BH＝ AE；
证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，
∴∠ENH＝90°，
由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
∵ ，
∴△DAE≌△ENH（AAS），
∴AE＝HN，AD＝EN，
∵AD＝AB，
∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，
∴AE＝BN＝HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH＝ HN＝ AE．50．（2022秋•铁西区月考）如图，已知四边形 ABCD是正方形，AB＝4 ，
点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点
F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
（1）求证：四边形DEFG是正方形；
（2）求AE2+CE2的最小值．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：如图，连接EG，
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DCG＝∠DAE＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ECG＝45°+45°＝90°，
∴AE2+CE2＝EC2+CG2＝EG2，
∴AE2+CE2的最小值就是EG2的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4 ，
∴BC＝AB＝4 ，∠B＝90°，
∴AC＝8，
设CE＝x，则AE＝CG＝8﹣x，
∴EG2＝EC2+CG2＝x2+（8﹣x）2＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32，
∴当x＝4时，EG2有最小值是32，即AE2+CE2的最小值是32．
51．（2022•湘潭县校级模拟）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE（ASA），
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC＝2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD．
