文档内容
专题 04 菱形的性质与判定
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用菱形的性质求解..............................................................................................................................1
题型二、利用菱形的性质求解折叠问题..............................................................................................................4
题型三、利用菱形的性质求解动点问题..............................................................................................................9
题型四、利用菱形的性质证明与求解综合........................................................................................................13
题型五、利用菱形的判定与性质求解................................................................................................................19
题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题................................................................................................23
题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题................................................................................................30
题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）................................................................................35
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用菱形的性质求解
1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图， 是菱形 的对角线，在 上截取 ，使得
，连接 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /73度
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据菱形的性质得到 ，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ，
于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是 ．【答案】 /24度
【分析】利用菱形性质得出 ，可知 为 斜边中线，结合等腰三角形的性质求出 ，
利用外角即可求出 的值．
【详解】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着
人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得 ， ，则该菱形的面积是
．
【答案】24
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质．
根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面
积公式求解即可．【详解】解：如图所示， 交于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴该菱形的面积是
故答案为：24．
4．（25-26九年级上·广西玉林·期末）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ，
，点 是 边上的一个动点，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的
最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等，由菱形的性质可得 ，
， ，即得 ，四边形 是矩形，连接 ，可知
，可得当 时， 取最小值，此时 的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，连接 ，则 ，
当 时， 取最小值，此时 的值最小，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
题型二、利用菱形的性质求解折叠问题
5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片 中， ，点 在 边上，将菱形纸
片 沿 折叠，点 落在 边的垂直平分线上的点 处，则 的大小为 ．
【答案】 /75度
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和
定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
连接 ，由菱形的性质及 ，得到 为等边三角形， 为 的中点，利用三线合一得到
为角平分线，得到 ， ， ，进而求出 ，由折叠的性质得到
，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，设 与 交于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，∵ ，
∴ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可得， ，
∴ ．
故答案为： ．
6．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ，点 是 边
上一点，连接 ，把 沿直线 翻折到菱形 所在平面内得到 ，点 正好落在 的延
长线上，若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /46度
【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的
关键．
首先根据菱形的性质得出 ，再根据折叠得到 ， ，即可将 拆分
为 进行计算即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
7．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，菱形 中， ，点P在对角线 上，将 沿
翻折，得到 ，当 时，P、 、D三点共线．
【答案】 或
【分析】本题考查了翻折的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的
性质等知识点．当P， ，D三点共线时，分两种情况：①当D在线段 上时，连接 ；②当D在
延长线上时，连接 ， ，由翻折的性质易证得 ，则 ，设
，由菱形的性质及 易求得菱形内各个角的度数，然后，根据用x表示的各个
角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下 的度数．
【详解】解：当P， ，D三点共线时，分两种情况：
①当D在线段 上时，
如图，连接 ，
∵ 沿 翻折至 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵四边形 为菱形，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵P在菱形 的对角线 上，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
而 ，
∴ ，
∴ ；
②当D在 延长线上时，
如图，连接 ， ，
同上，设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵P在菱形 的对角线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 或 时，P、 、D三点共线，
故答案为： 或 ．
8．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形 中， ，边长 为8，点M是 边上一
点，点N是 边上一点，将 沿 翻折，点A的对应点 恰好落在菱形 的一条边上，若
，则 的长为 ．【答案】6或7
【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟
练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
分 落在 上和 落在 上两种情况进行讨论求解即可．
【详解】①当 落在 上时，如图，
∵菱形 中， ，边长 为8，
∴ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 落在 上时，如图：
作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，四边形 为矩形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理，得 ，
解得 ，
∴ ；
综上： 或 ；
故答案为：6或7．
题型三、利用菱形的性质求解动点问题
9．（2025·青海西宁·一模）如图，在菱形 中， ，边长 ，点 是 边的中点，点
是 边上一动点，点 是对角线 上一动点，连接 ，求 最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，作点 关于 对称点 ，连接
，可得 ，可知当 时， 取最小值，过点 作 于 ，利
用直角三角形的性质和勾股定理求出 即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，作点 关于 对称点 ，连接 ，则 ，
∴ ，
当 时， 取最小值，过点 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ ，
即 最小值为 ，
故答案为： ．
10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形 中， ， ， 为边
边上的一个动点， 为 上的一个动点，则 的最小值为
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接 ，根据菱形的性质可得 ， 的最小
值为 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，当 在 上时， 最小，最小值为 ，
进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 垂直平分
∴
∴
∴ 的最小值为
过点 作 于点 ，交 于点 ，
∴当 在 上时， 最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
∴ ，故答案为： ．
11．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在边长为 的菱形 中， ，E是 边
上的动点，F是 边上的动点，且 ，连接 ，则 的最小值是 cm．
【答案】5
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确作出
辅助线是解题的关键．
连接 ，首先证明 是等边三角形，构建垂线段最短可知，当 时， 最短，即
最短．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 都是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 时，线 最小，最小值为 ，∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
12．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在菱形 中， ， ，M，N分别是边
的动点，满足 ，连接 ，E是边 上的动点，F是 上靠近C的四等分点，
连接 ，当 面积最小时， 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ，得到 是等边三角形，进而判断当 面积
最小时， ，根据 为 上的动点，当 重合时，最小，进而可得 的最小值．
【详解】解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
四边形 是菱形， ，
，
是等边三角形
，
为等边三角形，
点 是 上靠近点 的四等分点，
的面积最小时， 的面积也最小当 最小时， 的面积最小
当 时， 最小
是等边三角形，
点 是 上的动点，
当点 与点 重合时， 最小
的最小值为
故答案为：
题型四、利用菱形的性质证明与求解综合
13．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，在菱形 中， ，将菱形一部分沿 翻折，
点 恰好落在 的延长线上 处．
(1)求证： ；
(2)若 ，求菱形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）由折叠的性质可得 ，由菱形的性质可得 ，推出 ，易证 是等腰三角
形，结合 ，得到 ，进而求出 ，即可证明结论；
（2）由折叠的性质可得 ， ，根据菱形的性质易证 是等腰直角三角形，
得到 ，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得 ，
∵在菱形 中， ，∴ ，
∵点 恰好落在 的延长线上，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由折叠的性质得 ， ，
∵在菱形 中， ， ，
∴ ， ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴菱形的边长为 ．
14．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，菱形 的对角线 与 相交于点O， 的中点为
E，连接 并延长至点F，使得 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得 及
是解题的关键．
（1）由 ， ，证明四边形 是平行四边形，根据菱形的性质证明 ，则四
边形 是矩形；（2）由菱形的性质得 ，由矩形的性质得 ，则
6，，所以 ，则 ．
【详解】（1）证明：∵ 的中点为E，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，对角线 与 相交于点O，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 6，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为96．
15．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，四边形 是菱形， 于点 ， 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若菱形的边长为 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等
三角形的判定定理 证明三角形全等是解题的关键．
（1）由菱形得 ， ，由垂直得 ，即可用 证全等；
（2）勾股定理求 ，由全等得 ，结合菱形边长得 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∵菱形的边长为 ，即 ，
∴ ．
16．（2025·辽宁抚顺·一模）如图：四边形 中， ， ，垂足为 ，点
在线段 的延长线上，且 ，连接 ， ．
(1)如图1，当 ， 时．
①求证： ；
②猜想 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当 ， 不垂直 时，②中 与 的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过
程，若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；② ，理由见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂
直平分线的性质，熟练运用上述性质是解题的关键．
（1）①证明 是线段 的垂直平分线，可得 ，利用角度转换得到 ，即
可证明 ；
②根据 ，可得 ，通过线段转换得到 ，即可证明 是等边
三角形，得到 ，再证明 是等边三角形，即可得到四边形 为菱形，即可解答；
（2）在 的延长线上取点 使 ，得到 是线段 的垂直平分线，再证明
，继而得到 是等腰三角形，得到 ，即可解答．
【详解】（1）①证明： ， ，是线段 的垂直平分线，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
；
②解： ，理由如下：
，
，
，
，
是线段 的垂直平分线，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
是等腰三角形，
，
是 的外角，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是 的垂直平分线，，
，
四边形 是菱形，
；
（2）解： 成立，理由如下，
如图，在 的延长线上取点 使 ，
，
，
， ，
是线段 的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
，
，
，
， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
是 的外角，
，
，
，
， ，
，
，
是等腰三角形，，
， ，
，
．
题型五、利用菱形的判定与性质求解
17．（2025·四川乐山·一模）如图，小明同学按如下步骤作四边形 ：①画2个单位长度的线段 ；
②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接 ，则 的
大小是 ．
【答案】 /30度
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定性质，根据作图可得四边形 是菱形，进而
根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，
∴四边形 是菱形， 和 是等边三角形，
∴ 平分 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
18．（25-26九年级上·全国·期末）如图， 中， ．按以下步骤作图：①以点B为圆心，
长为半径作弧，交 于点F；②分别以点A，F为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内相
交于点P；③作射线 ，交 于点E，连接 ．四边形 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定
与性质，由作图可得 平分 ， ，则 ，证明四边形 为菱形，得出，再由四边形 的周长为 ，计
算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作图可得： 平分 ， ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ，
故答案为： ．
19．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形 中， 、 、 、 分别是边 、 、
、 的中点，若 ，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可
证 ，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形 是菱形，根据菱形的面积公
式即可求出四边形 的面积．
【详解】解： 、 、 、 分别是边 、 、 、 的中点，
、 、 、 分别是 、 、 、 的中位线，
， ，
，
，
四边形 是菱形，
，．
故答案为： ．
20．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护
海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为 的蓝丝带，若 ，则重叠部
分图形的面积是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三
角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作 于点E，过点D作 于点F，
依题意得 ，则四边形 是平行四边形，根据蓝丝带宽为 得 ，
再根据等腰直角三角形勾股定理 ，进而得平行四边形 是菱形，然后根据菱形的面
积公式即可得出重叠部分图形的面积．
【详解】解：过点B作 于点E，过点D作 于点F，如图所示：
依题意得： ，
四边形 是平行四边形，
蓝丝带宽为 ，
，
，
和 都是等腰直角三角形，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，同理： ，
，
平行四边形 是菱形，
重叠部分图形的面积是： ，
故答案为： ．
题型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题
21．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在菱形 中，过对角线 上任一点P，作 ，
，下列结论正确的是 ．（填序号）
①图中共有3个菱形；
② ；
③四边形 的面积一定等于四边形 面积的2倍；
④四边形 的周长等于四边形 的周长．
【答案】①②④
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角
形的判与性质通过分析图形中的各个四边形和三角形，判断各结论的正确性即可．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
∴平行四边形 是菱形，
同理四边形 是菱形，
∴图中有3个菱形，菱形 、菱形 、菱形 ，故①正确；
∴ ， ，又 ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∵平行四边形 和菱形 等高，
∴要使四边形 的面积等于四边形 面积的2倍，
则需要 ，故③错误；
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 、四边形 、四边形 、四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴四边形 的周长 四边形 的周长，故④正确；
故答案为：①②④．
22．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形 中， ，点E、F分别是 、 上任
意的点（不与端点重合）．且 ，连接 与 相交于点G，连接 与 相交于点H．有如下几
个结论：① ；② 的大小为定值；③ 平分 ；④ ．以上结
论中，正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】先证明 是等边三角形，利用 可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判
断②；过C作 于M， 交 延长线于N，则 ，根据四边形的内角
和 可推导出 ，然后证 和 得到
，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得 ，
，利用全等三角形的性质可得 ，进而得
，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案．【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，又 ，
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ，
即 的大小为定值，故②正确；
过C作 于M， 交 延长线于N，则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ，故③正确；
∴ ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故④错误，
故答案为：①②③．
23．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形 中， ，对角线 相交于点 ，
一块三角板 （ ）的直角顶点 恰好是 的中点，连接 ．现给出以下结论：
① 是等边三角形；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据菱形的性质证明 为等边三角形， 为等边三角形，故①符合题意；证明
，可得 ，故②符合题意；如图，记 的交点为 ，证
明 ，可得 ，结合 ，
，可得 ，故③不符合题意；取 的中点 ，连接
并延长交 于 ，连接 ，证明 ，可得 ，证明
，可得 ，设 ，而 ，
，证明 ，可得四边形 是矩形，可得 三点共线，进一步求解即可得到④
符合题意.
【详解】解：∵在菱形 中， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ 为等边三角形， 为等边三角形，故①符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
如图，记 的交点为 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故③不符合题意；
取 的中点 ，连接 并延长交 于 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
设 ，而 ， ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，而 ，
∴ 三点共线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形；
∴ ，故④符合题意；
故答案为：①②④.
24．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形 中， ，对角线 相交于点
是对角线 上的一动点，作 于点 ， 于点 ，给出下面四个结论：① 为
等边三角形；② ；③ ；④ 上述结论中，正确结论的序号有 ．【答案】①③④
【分析】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形
的判定与性质，灵活运用含有 角的直角三角形的性质，三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决
问题的关键．
①根据菱形性质得 ， ，再根据等边三角形的判定即可对结论①进行判断；
②设 ，则 ，利用含有 角的直角三角形性质及勾股定理得 ， ，由
此可对结论②进行判断；
③根据 及四边形的内角和等于 得 ，再根据 得
，由此可对结论③进行判断；
④连接 ，设 ，则 ， ， ， ，进而得
， ， ，再根据 ，得 ，由此可对
结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：① 四边形 是菱形， ，
， ， ， ， ，
，
是等边三角形，故结论①正确；
②设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
由勾股定理得： ，
又 ，
，故结论②不正确；
③ ， ，
，
根据四边形的内角和等于 得： ，，
，故结论③正确，
④连接 ，如图所示：
设 ，则 ， ， ，
，
， ，
， ，
，
，
又 ，
，故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号有①③④．
故答案为：①③④．
题型七、利用菱形的判定与性质解决综合问题
25．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形 中， 、 相交于点 ， 为 的中点，连接
并延长至点 ，使 ，连接 和 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形 是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形
是菱形可得结果；
（2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出 ，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点 为 的中点，且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是矩形，
，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵四边形 是矩形，且 ，
∴ ， ，
又∵点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）可知：四边形 是菱形，
∴菱形 的面积为： ．
26．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
交于点 平分 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)4
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证 ，再证四边形 是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质求出 ， ，然后利用菱形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：证明： ，
．
为 的平分线，
，
，
．
，
．
，
四边形 是平行四边形．
，
平行四边形 是菱形．
（2）解： 四边形 是菱形，
．
，
．
，
，
菱形 的面积为 ．
故答案为：4．
27．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形 中， ， ．
(1)如图1，过对角线 中点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ，求证：四边形
为菱形；
(2)求图1中线段 的长；
(3)如图2，矩形 内有一点 ，连接 ， ，延长 交 于点 ，若 ， ，
求 的长．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等内容，利用勾
股定理建立方程是本题的解题的关键．
（1）先证 可得四边形 是平行四边形，再根据对角线互相垂直即可得证；
（2）易得 ，再在 中利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）易得 ，则 ，据此在 中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是矩形， 是 中点，
， ， ，
，
又 ， ，
， ， ，
，
；
四边形 是平行四边形
，
四边形 为菱形；
（2）解： 四边形 为菱形，
，
在 中， ，
即
解得
（3）解： ，
，
，
．
又 ，
， ，
．设 的长为 ，则 的长为 ， 的长为 ，
在 中，由勾股定理得， ，
解得 ，即 的长为 ．
28．（25-26九年级上·江西吉安·期末）如图1，矩形 的对角线 相交于点O，延长 至点
E，使 ，连接 是 的中点，连接 ．
(1)①试猜想四边形 的形状，并说明理由．
②若 ，则四边形 的面积为________．
(2)如图2，将图1中的矩形 改为正方形 ，其他条件不变．若正方形 的面积为16，求四
边形 的面积．
【答案】(1) 四边形 是菱形，理由见解析； 24
(2)8
① ②
【分析】本题考查矩形的性质和菱形的性质与判定，掌握矩形和菱形的性质是解题关键．
（1）①根据矩形性质先得到 ，再利用垂直和平分的条件得到 ，最后借助H为中点，通
过等量代换得到 ，即可通过四边相等的四边形是菱形证明结论；
②利用矩形和菱形的性质，找到图中矩形和菱形被对角线分割而成的三角形的面积关系，求解即可；
（2）同（1）②理，改矩形为正方形不影响图中三角形的面积关系，按照同样的面积关系计算即可．
【详解】（1）①解：四边形 是菱形，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
又 ，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵点H是 中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
②解：∵四边形 是矩形，
∴ ，由中点的性质，可知 ，
∵ ，
∴ ，
由（1）可知，四边形 是菱形，
由菱形的对称性可知， ，
∴四边形 的面积为 ；
（2）解：∵正方形是特殊的矩形，具有矩形的所有性质，
∴（1）中的结论仍成立，
由（1）可知， ， ，
∴四边形 的面积为 ．
题型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图）
29．（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，四边形 是矩形（ ）．
(1)尺规作图：作 的垂直平分线，分别交 、 于点E、F；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接 、 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用基本作图，作出线段 的垂直平分线即可；
（2）设 交 于点O，如图，先证明 得到 ，再证明四边形 为菱形即可．
【详解】（1）解：如图， 为所作；
（2）证明：如图，设 交 于点O，
∵四边形 为矩形，∴ ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为菱形．
30．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在 中， ，点 为斜边上一点，连接
，分别过点 、 作 、 的平行线相交于点 ．
(1)在不添加新的点和线段的前提下，请增加一个条件： ，使得四边形 是菱形，并说明理由；
(2)在（ ）的条件下，尺规作图：求作点 ，使得四边形 为矩形．（保留作图痕迹，不写作法，标
明字母）
【答案】(1)点 为 中点（ 或 或 或 ），见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段，菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判
定，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）根据平行四边形的判定方法和菱形的判定即可求解；
（ ）先作一条线段等于已知线段，然后通过平行四边形的判定，矩形的判定即可求证．
【详解】（1）解： 点 为 中点，
证明如下：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
在 中，点 为 中点，∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
（ 或 或 ），
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形，
其他证法相同；
（2）解：如图所示：点 为所求，
理由：∵点 为 中点，
∴ ，
由作图可知， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
31．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
交于点O．
(1)下列条件：① ；② ；③ ．请选择条件：______（填写序号），使得四
边形 为菱形，并说明理由；
(2)尺规作图：已知 ，请在 上求作一点P，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)①或③，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，以及直角三角形斜边中线的性质．（1）若选①，证明 得 ，从而 ，可得四边形 是菱
形；若选③，证明 得 ，从而 ，可得四边形 是菱形；
（2）作线段 的垂直平分线与 交于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）解：可选择①或③．若选①： ．
理由：∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线．即 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
若选③： ．
理由：∵ ， ，
∴ 是 的垂直平分线，即 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：如图，点P即为所求．
连接 ，
∵ ， ，∴ 是 的垂直平分线．即 ，
∴ ，
∵ 是 的中线，
∴ ．
32．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形 为菱形，延长 到点 ，使得 ，
过点 作 ，交 的延长线于点 （保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，用无刻度的直尺作直线 直线 不与 重合）；
(2)如图②，用无刻度的直尺作出一个矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ， ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ，则线段 所在的直线即为所
求的直线 ；
（2）连接 ，交 于点 ，分别延长 ， ，相交于点 ，连接 ， ，相交于点 ，则四边
形 即为所求．
【详解】（1）解：如图，直线 即为所求．
（2）解：如图，矩形 即为所求．一、单选题
1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知一个菱形的对角线的长分别为4和3，则这个菱形的面积为（
）
A．6 B．11 C．16 D．9
【答案】A
【分析】本题考查菱形的面积计算，掌握菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．
直接代入数据计算即可得出答案．
【详解】解：∵菱形的面积为对角线长乘积的一半，
∴该菱形的面积= ，
故选：A．
2．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形 中，点 是对角线 上的一点， ，
连接 ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到
， ， ， ，由
，得到 ，从而根据“等边对等角”得到 ，根据角的和差即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴在菱形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选：A．
3．（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知四边形 中， 与 相交于点 ，下列条件：①
；② ；③ ；④ ，从以上条件中任选三个，能判定四边形 是菱形
的选法有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
根据菱形的判定方法，逐一选择三个条件进行证明，判断最终有几种选法即可．
【详解】解：选择①②③：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴不能判断四边形 是菱形，
∴选法不正确；
选择①②④：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴选法正确；
选择①③④：
同理可证： ，得到四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴选法正确；选择②③④：
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴选法正确；
故选：C．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片 中， ， 为 的中点．折叠菱形
纸片 ，使点 落在 所在直线上的点 处，得到经过点 的折痕 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质
是解本题的关键．
连接 ，由菱形的性质及 ，得到三角形 为等边三角形， 为 的中点，利用三线合一得
到 为角平分线，得到 ， ，进而求出 ，由折叠的性质得
到 ，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：连接 ：
∵四边形 为菱形， ，
∴ 为等边三角形， ， ，
∵ 为 的中点，
∴ 为 的平分线， ，
∴ ，
∴由折叠的性质得到 ，在 中， ．
故选：C．5．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在菱形 中，连接 ，点E在 上，连接 交 于
点F，作 于点G， ， ，若 ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的判定与性质，熟
练掌握以上知识点是做题的关键．先设 ， ，根据菱形的性质及 ，得到
平分 ，根据角平分线的性质，进而得出 ，进一步得出 ， ，再证明
，得到 ，利用勾股定理求出 ，设 ， ，则
，再利用勾股定理求出 的值，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，交 于点 ，
设 ， ，则 ，
∴ ．
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ，
∴ 平分 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
在 中，
由勾股定理得， ，
故设 ， ，则 ，
在 中，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得， ，
∴ ．
故选：A．
二、填空题
6．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形 对角线 与 相交于点 ， 为 的中点，
菱形 周长为 ，则 的长为 ．
【答案】3【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，
利用三角形中位线定理求出 的长度．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， 是 的中点．
∵菱形 的周长为 ，
∴ ．
又∵ 为 的中点，
∴在 中， 是中位线，
∴ ．
故答案为：3．
7．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在菱形 中， ， 分别为 ， 的中点，且
， ，则菱形 的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理；由菱
形的性质及直角三角形的性质得 ，由三角形中位线定理求得 ，由勾股定理求得 ，即
可求得菱形的面积．
【详解】解：在菱形 中， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，且 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
菱形的面积为 ．
故答案为：24．
8．（25-26九年级上·广东梅州·期末）如图，菱形 的边长为4，E，F分别是 边上的动点，， ，则下列结论：① ；② 为等边三角形；③若 ，则
；④ ．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】①根据菱形的性质，证明 和 是等边三角形，得出相等的角和边，证明
即可；
②根据 得出相等的边和角，然后根据菱形的性质即可证明 为等边三角形；
③过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据角平分线的性质得出高相等，求出三角
形的面积比即可得出结论；
④根据三角形的外角定理进行证明即可．
【详解】解：①∵四边形 为菱形，且 ，
∴ ，
∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
故①正确；
②由①得 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
故②正确；
③如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵四边形 为菱形，且边长为4，∴ 平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故③错误，不符合题意；
④由①得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 和 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确，符合题意；
综上，正确的选项为①②④，
故答案为：①②④．
9．（25-26九年级上·山东济南·期末）已知四边形 是边长为 的菱形， ，点 ， 分别是
边 ， 的中点， 为菱形边上的一点，且 是以 为斜边的直角三角形，那么 的长度为
．
【答案】 或
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含 的直角三角形的性质．根
据题意分情况讨论 ， ，进而根据菱形、等边三角形及含 的直角三角形的性质、勾股
定理即可求解．
【详解】解：如图， ， 为直角三角形，四边形 是边长为 的菱形， ，点 ， 分别是边 ，
的中点，
，
∴ 是等边三角形，
；
如图， 于 点，连接
∵四边形 是菱形，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
综上， 的长为 或
故答案为： 或 ．
10．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，四边形 是菱形， ， ，点 是射线
上一动点，把 沿 折叠，其中点 的对应点为 ，连接 ，若 为等边三角形，则
的长为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，含 角直角三角形的性质，掌握折
叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．分两种情况进行讨论：当点 在 上时，当点
在 延长线上时，依据折叠的性质、等边三角形的性质以及含 角直角三角形的性质，即可得到
和 的度数，进而得到 的长．
【详解】解： 四边形 是菱形， ， ，
， ，
分两种情况： 如图，当点 在 上时，点 与点 重合时，此时 为等边三角形，
由折叠可得， ，
，
在 中， ；
②如图，当点 在 延长线上时，当 为等边三角形时， ，
，
由折叠可得， ，
，
在 中， ．
故答案为： 或 ．三、解答题
11．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，
过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半等知识，证明 是解题的关键．
（1）先证明 ，推出 ，结合 ，推出四边形 是平行四边形，
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，从而推出四边形 是菱形即
可；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，根据菱形的性质和 推出
和 都是等边三角形，得出 ，再求出 ，根据 所对的直角边等
于斜边的一半，得出 ，最后根据勾股定理求解 和 即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， 是 的中点，∴ ，
∴四边形 是菱形．
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中，
∴根据勾股定理， ，
∴ ，
∵在 中，
∴根据勾股定理， ，
∴CF的长是 ．
12．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形 中， ，
．点P从点A出发，以1 /秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，
以2 /秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的
时间为t秒．
(1)当四边形 是矩形时，直接写出t的值为 ；
(2)在点P，Q运动过程中，若四边形 能够成为菱形，求 的长．
【答案】(1) ；(2)4
【分析】（1）利用时间 路程 速度，可确定t的取值范围，当运动时间为t（ ）时， ，
， ， ，根据四边形 是矩形（即 ），可列出关于
t的一元一次方程，解之可得出t的值；
（2）根据四边形 是菱形（即 ），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其
代入 中，可求出 的长，再利用勾股定理，即可求出 的长．
【详解】（1）解： （秒）， （秒）．
当运动时间为t（ ）时， ， ， ， ，
根据题意得： ，
解得：t ，
∴当四边形 是矩形时，t的值为 ．
故答案为： ；
（2）解：当四边形 为菱形时， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
答： 的长为 ．
13．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图 ，点 是菱形 边 上一点，连接 ．求作 ，使 ，且点 在 边
上；
(2)如图 ，点 是菱形 边 上的一点．求作 边上的点 ，使 ；
(3)如图3，四边形 中， ， ， 平分线交边 于点 ，求作线段
的中点 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析(3)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质及全等三角
形的判定方法是解题的关键．
（1）连接 、 交于点 ，作射线 交 于点 ，连接 ，则 ；
（2）连接 、 于点 ，作射线 交 于点 ，则 ；
（3）连接 交 于点 ，作射线 交 于点 ，则点 为 的中点．
【详解】（1）解：如图， 为所求；
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
又∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ （ ），
∴ ；
（2）解：如图，点 为所求；
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ）∴ ；
（3）解：如图点 为所求；
∵ ，
连接 交 于点 ，作射线 交 于点
∵ 平分 ，
∴
又∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点 是 的中点．
14．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，平行四边形 中， 是对角线 上一点，且 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理；
（1）连接 与 交于点 ，证明 ，得到 ，即 ，则
平行四边形 是菱形；
（2）先求出 ，再勾股定理求出 ，则 ，再根据菱形 的面积是
代入求值即可．
【详解】（1）解：连接 与 交于点 ，
∵平行四边形 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵ ，平行四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴菱形 的面积是 ．
15．（2025·湖南·模拟预测）已知点 ， 分别在矩形纸片 的边 ， 上，连接 ，将矩形纸
片 沿 折叠．(1)如图①，若点 恰好落在点 处， 与 相交于点 ，连接 ， ．
①判断四边形 的形状，并证明你的结论；
②若 ， ，求折痕 的长；
(2)如图②，若点 恰好落在边 上的点 处，点 落在点 处， 交 于点 ，且 ．
①求证： ；
②若 ， ，求 的长．
【答案】(1)①四边形 是菱形，证明见解析；②
(2)①见解析；②6
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，图形折叠的
性质，解题的关键是掌握这些知识点．
（1）①根据折叠变换的性质和菱形的判定即可得；
②设 ，则 ，在直角三角形 中，由勾股定理求 ，在直角三角形 中，由勾
股定理求x，利用菱形面积的计算公式建立等式 ，进行计算即可得；
（2）①由矩形和折叠的性质，用 证明 ，从而得 ，则 ，由
， 得 ；
②由 ， ，得 ， ， ，设 ，则 ，根据勾股定
理得 ，进行计算即可得 的长度．
【详解】（1）①四边形 是菱形．
证明如下：
由折叠的性质，得 ， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
② 四边形 是矩形，，
， ，
，
设 ，则 ，
，
，解得 ，
，
，
．
（2）① 四边形 是矩形，
， ，
由折叠的性质，得 ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
．
②设 ，
，
，
，
，
由折叠的性质，得 ， ，
，
，
，，
，解得 ，
．
16．（2025·安徽·模拟预测）在边长为6的菱形 中， ，点E、F是边 、 上的点，连
接 ，
(1)如图1，将 沿 翻折使B的对应点 落在 中点上，此时四边形 是什么四边形？并说明
理由．
(2)如图2，若 ，以 为边在 右侧作等边 ；
①连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的长度．
②直接写出 的最小值．
【答案】(1)四边形 是菱形，理由见解析
(2)① 的长为3或 ；②当点G与点H重合时， 的最小值为
【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ， ，由菱形的性质和等腰三角形的性质可
得 ，可证 ，可得结论；
（2）①由“ ”可证 ，可得 ， ，分两种情况讨论，由等
边三角形的性质和勾股定理可求解；
②由垂线段最短，可得当点G与点H重合时， 的最小值为 ．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，
理由如下：连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，∵将 沿 翻折使B的对应点 落在 中点上，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：①如图2，连接 ，在 上截取 ，连接 ，连接 ，并延长 ，交 于点
N，过点C作 直线 于H，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，过点M作 于Q，过点G作 于P，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
综上所述： 的长为3或 ，
②由（2）①可知：点G在 上运动，且 ， 与 的距离为 ，
∴当点G与点H重合时， 的最小值为 ．
